关于一类具有线性路径的广义Takagi函数

对于某些划分的重新定义序列，确实允许非平凡二次变化的函数必须具有有限的总变化。因此，在这种情况下出现的第一个问题是，如何获得沿着给定的划分序列（Tn）n进行连续二次变化的函数∈N当然，我们可以选取不包含在某个空集合a中的布朗运动（或者更一般地说，连续半鞅）的所有样本路径。但a通常不会被精确给定，因此无法判断布朗运动的特定实现x是否确实允许沿（Tn）n的二次变化hxit=t∈N.此外，函数x的这个选择原则允许概率模型通过后门进入，尽管路径It\'o演算的最初目的是完全摆脱概率模型。在下面的命题中，我们证明每个x∈ X允许t的线性路径二次变化hxit=t∈ [0,1]沿着二元划分序列：Tn:={k2-n | k=0，2n}，n=1，2。（2.8）这略微扩展了甘特[18,19]的结果，由此得出，对于allx，hxi=1∈ 十、我们的命题意味着每个x∈ X可以作为F¨ollmer’s spathwise It¨o演算中的积分器。提议2.6。每x∈ X允许沿（2.8）序列（Tn）的二次变化hxit=t。我们将在本文中讨论的第二个问题是，当两个函数x，y的协变量∈ C[0，1]是必需的。Lethx，yint:=Xs∈田纳西州≤t（x（s）- x（s））（y（s）- y（s））（2.9）并观察Hx，yint=hx+yint- hxint- 海因特.

（2.10）如果x和y允许沿（Tn）n的连续二次变化hxi和hyi∈N、 然后从（2.10）得出x和y的协变量，hx，yit:=limn↑∞hx，yint，（2.11）沿（Tn）n存在∈当且仅当x+y允许沿（Tn）n的连续二次变化时，Nand在t中是连续的∈N.当x和y是布朗运动的样本路径，或者更一般地说，是连续半鞅的样本路径时，二次变量hx+yi，因此hx，yi，几乎肯定会有性别歧视。但是对于任意函数x，y∈ C[0，1]到目前为止，还不可能将（2.11）中极限的存在简化为hxi和hyi的存在。在下一个命题中，我们将提供两个函数x，y的例子∈ （2.11）中的极限不存在，即使hxit=t=hyit。这表明hx、yi和hx+yi的存在并不意味着hxi和hyi的存在。特别是，这类函数允许沿（Tn）n的连续二次变化∈不是向量空间。据作者所知，到目前为止，文献中还缺少一个相应的例子。提议2.7。考虑序列（Tn）n∈Nof并矢分区（2.8）和函数Bx=∞Xm=0m-1Xk=0em，k和y=∞Xm=0m-1Xk=0(-1） mem，k，属于X，因此允许二次变化hbxit=t=hyitalong（Tn）。德林↑∞hbx+yi2nt=t和limn↑∞hbx+yi2n+1t=t（2.12）和limn↑∞hbx，yi2nt=-t和limn↑∞hbx，yi2n+1t=t.（2.13）特别是，当t>0时，hbx+yin和hbx，yintdo的极限不作为n存在↑ ∞, 但bx+Y在两个重组序列（T2n）n上呈现不同的连续二次变化∈Nand（T2n+1）n∈N.参见图1中的两个上部面板，了解位置2.7中出现的两个函数bx和y的曲线图。X+y的曲线图见图3=∞Xm=02m-1Xk=02e2m，k。

（2.14）3个证明。我们用下面的定理来证明：-1Xm=0米-1Xk=0em，k（t），t∈ [0,1]和n=1,2；请参见图4以获取说明。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.51.01.52.02.5图3（2.14）中定义的函数bx+y的曲线图。虚线为hbx+yi，虚线为hbx+yi。ttttt=mmmmm n=1n=2n=3n=4n=5图4：引理3.1的图解及其证明。函数bxnar在区间[0,1/2]上绘制了各种n值，以及相应的tn和Mn值。引理3.1。LetJn:=（2n）- (-1） n）是雅各布沙尔数的序列，并且：=2 +√2 + (-1） n+1-n(√2.- 1)- 2.-不适用。（3.1）函数bxnhas是由t给出的两个最大点-n:=2-nJn∈ [0,1/2]和t+n:=1- T-N∈ [1/2,1]，（3.2）这些是唯一的最大点，以及由Maxt给出的bxnis的全局最大值∈[0,1]bxn（t）=bxn（t-n） =bxn（t+n）=Mn。证据我们首先注意到BxnW相对于t=1/2的对称性和t+n=1的事实-T-它足以证明bxnto[0，]的限制的结果。因此，我们将用TNT代替t-n、 首先，对于n=1，我们有bxn（t）=e0,0（t）=min{t，1-t} ，在t=1/2=2时最大-1 Jand的最大值为1/2=M。鉴于t=1/2，我们的索赔为tn=2-nJnis现在相当于递归tn+1=tn+(-1） n-（n+1）。（3.3）对于n=2，新的最大值在峰值e1,0处取下，该峰值在t=1/4=t时达到-2.-2.因此（3.3）适用于n=2。

此外，maxt∈[0,1/2]bx（t）=bx（1/4）=+2-3/2=M。显然，bx和bxon[0，1/2]的最大化子是唯一的。现在我们假设n≥ 2并且已经为n和n建立了断言- 1.当lettingfm，k:=em，k+em+1,2k+em+1,2k+1时，（3.4）可以从bxn=bxn中获得函数bxn+1-1+n-1.-1Xk=0en-1、kby替换所有Faber–Schauder函数-1，k具有相应的功能fn-1，k，即bxn+1=bxn-1+n-1.-1Xk=0fn-1，k.根据我们的归纳假设和tn的公式，bxnisen的最大值在某个函数的峰值处达到-1，k.显然，fn的支持-1、KC在en的支持下进行-1，k，而函数bxn-1在这个支撑上是线性的。此外，函数fn-1、田纳西州的两个最大值-2.-（n+1）和tn+2-（n+1），这些极大值严格地大于en的一个极大值-1，k；如图5所示。因此，bxn+1（tn+2-（n+1）或bxn+1（tn- 2.-（n+1））必须严格大于bxn（tn）=maxtbxn（t）。因此，bxn+1的最大值必须在某些费伯-薛定谔函数en的峰值处达到，`在一定程度上\'∈{0，…，2n-1}. en的支持度是一个有端点和s的区间，而en的峰值位于s*= （s+s）/2，高度为2-（n+2）/2。另一方面，函数bxn在en的支持下是线性的，因此bxn+1的最大值必须满足∈[0,1/2]bxn+1（t）=bxn+1（s）*) = bxn（s）*) + 嗯，`（s）*) =bxn（s）+bxn（s）+2-n+2。在由s和s包围的区间的一个端点处，比如在s处，函数bxnconcidewithbxn-因此，bxn（s）的值可以通过Mn从上面估算出来-1.另一方面，值Bxn（s）可以通过Mn从上面估算。因此，我们到达BXN+1（s）*) ≤锰+锰-1+ 2-n+2=Mn+1。

（3.5）但我们可以在（3.5）中实现平等*tn和tn之间的中点-1，这是可能的，因为（3.3）、tn和tn-1关闭第n代someFaber–Schauder函数的支持间隔。在做出这个选择时，我们还有*=总氮+总氮-1=总氮+总氮- (-1） n-1.-n=tn+1。这证明bxn+1的Mn+1最大，在tn+1时最大。此外，tn+1是bxn+1in[0，1/2]的唯一最大化子，因为，根据归纳假设*= （总氮+总氮）-1） /2是（3.5）中唯一可以保持平等的点。k2-m（k+）2-m（k+）2-m（k+）2-m（k+1）2-M-m+2（1）+√2)2-m+4em，kfm，kFigure 5：函数fm，kde在（3.4）中定义，与em一起绘制，k.定理2.2的证明。第（a）部分：对于t固定，x（t）=P∞m=0Pm-1k=0θm，kem，k（t）通过将所有系数θm，kequal取为+1而最大化，即| x（t）|≤ |bx（t）|所有x∈ X和t∈ [0，1]。关于bx的最大值和最大值的陈述紧随引理3.1，由Notingthe Mn得出→(2 +√2） 和t-N→作为n↑ ∞.第（b）部分：我们首先证明了任意x∈ X由X的最大振动控制*. 如图6所示为x的曲线图*. 为此，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设，x的费伯-朔德发展中的系数θ0,0等于+1。接下来，我们注意到对于0≤ s≤ 1/2，x（s）≤ bx（s）=x*（s） （3.6）和x（s）≥ e0,0（s）-bx（s）- e0,0（s）= 2e0,0（1）- （s）- bx（1）- s） =x*(1 - s） 。（3.7）为1/2≤ T≤ 1.我们得到的方式和X一样*（t）≤ x（t）≤ 十、*(1 - t） 。（3.8）如下所示：∈[0,1]|x（t）- x（s）|≤ 麦克斯∈[0,1/2]最大值∈[1/2,1]|x*（t）- 十、*（s） |，（3.9）并取x=x*我们看到右边实际上等于maxs，t∈[0,1]|x*（t）-十、*（s） |。要计算（3.9）的右边，请注意我们有x*= [0,1/2]上的bx，以及x的最大值*在s=1/3的情况下获得的值（2+√2） 根据这个定理的第一部分。此外，在[1/2,1]中，我们有-十、*（t） =bx（t）- 1/2) -1/2.

因此，从定理（a）部分可以看出，x的最小值*在t=5/6时达到最小值-(2+√2);参见图6。因此，maxs∈[0,1/2]最大值∈[1/2,1]|x*（t）- 十、*（s） |=（2）+√2) -=+√.3.2定理2.3和推论2.5的证明设h>0，并定义n:=ν（h），使2-（n+1）<h≤ 2.-n、 Faber–Schauder函数，在长度为2的区间内，其斜率为±2m/2-（m+1）。利用这个事实≤ N-对于间隔[t，t+2-n] ，我们得到| x（t+h）- x（t）|≤N-2Xm=0h2m/2+∞Xm=n-1米-1Xk=0θm，kem，k（t+h）- em，k（t）, （3.10）式中，θm，kare是x的费伯-朔德展开式中的系数。左手和等于h（1）+√2） （2（n）-1)/2- 1). 这种观察结果适用于[20]和[1]到0 1/3 1/2 5/6的情况-(2 +√2)(2 +√2） 图6：函数x*其最大值和最小值，以及函数e0,0（虚线）。确定相应的连续模，因为在这些论文中，Faber–Schaudercoe系数使得右侧的和可以渐近忽略。在我们的例子中，（3.10）右边的和与h2ν（h）的顺序相同，因此不能忽略。为了解决这个问题，我们注意到Faber–SchauderFunction具有以下缩放特性：√2em，k（t）=em-1，k（2t）和em，k（t）- `2.-m） =em，k+`（t）（3.11）表示t∈ R、 m≥ 0和k，`∈ Z代表t∈ [0, 1 - 2.-n） 给定，让`∈ Nbe这样说`2-N≤ t<（`+1）2-nand定义s:=t- `2.-n、 然后0≤ 2n-1s<1/2和1/4<2n-1（s+h）<1。标度特性（3.11）意味着≥ n、 em，k（t+h）- em，k（t）=21-N相对长度单位-（n）-1） ，k-`2米-n（2n）-1（s+h））- 相对长度单位-（n）-1） ，k-`2米-n（2n）-1s）. （3.12）情况m=n- 1需要额外护理，这取决于“是偶数还是奇数”。案例1:“是偶数。在这种情况下，[`2-n、 （`+2）2-n] 包含t和t+h，等于en的支持-1,`/2.

因此，恒等式（3.12）扩展到m=n- 1.我们到达∞Xm=n-1米-1Xk=0θm，kem，k（t+h）- em，k（t）= 21-Ny（2n）-1（s+h）））- y（2n）-1s）（3.13）福里：=∞Xm=0m-1Xk=0θm+n-1，k+`2m-1em，k∈ 十、（3.14）第二种情况：`是奇怪的。在这种情况下，间隔[2]-n、 （`+1）2-n] 包含t，属于en的支持-1,(`-1） /2，而间隔[（`+1）2-n、 （`+2）2-n] 属于奥芬的支持-1,(`+1)/2. 点t+h可能属于这两个区间中的任何一个。我们需要根据系数θn-1,(`-1） /2和θn-1、（`+1）/2颜色不同。案例2a：θn-1,(`-1） /2=θn-1,(`+1)/2. 我们已经-1,(`-1） /2（r）+en-1，（`+1）/2（r）=21-N- e0,0（2n-1r- `/2)对于r∈ [`2-n、 （`+2）2-n] 。因此，我们再次得出（3.13），但这一次是：-θn-1,(`-1） /2e0,0+∞Xm=1m-1Xk=0θm+n-1，k+`2m-1em，k∈ 十、案例2b：θn-1,(`-1)/2= -θn-1,(`+1)/2. 自从-1,(`-1） /2（r）- EN-1，（`+1）/2（r）在[`2]上是线性的-n、 （`+2）2-n] 有坡度-2n-1，我们得到| x（t+h）- x（t）|≤N-1Xm=0h2m/2+∞Xm=nm-1Xk=0θm，kem，k（t+h）- em，k（t）= h（1+√2） （2n/2）- 1) + 2-n/2 | y（2n（s+h）））- y（2ns）|，（3.15）其中y（r）=（y（r）如果0≤ R≤ 1，y（r）- 1） 如果1≤ R≤ 2，（3.16）和y，y∈ X由Y给出：=∞Xm=0m-1Xk=0θm+n，k+`2mem，k，y：=∞Xm=0m-1Xk=0θm+n，k+（`+1）2mem，k（3.17）参见图7，其中y=bx=-y、 正如第2.3（b）项证明中所需。定理2.3（a）的证明。让h>0再次用n=ν（h）表示。由于θm，k=1，对于所有的m，k，（3.10），（3.13），（3.14）和定理2.2（a），意味着在情况1 | bx（t+h）- bx（t）|≤ h（1+√2） （2（n）-1)/2- 1) + 21-Nbx（2n）-1（s+h）））- b2n（b2n）-1s）(3.18)≤ h（1+√2） 2（n）-1)/2+1-n（2）+√2） =ω（h）。在案例2a中，我们得到了一个类似的估计，但在（3.18）的右侧，bx需要被替换为：-e0,0+∞Xm=1m-1Xk=0em，k。但请注意，by（t）=bx（~n（t））- 1/2，式中φ（t）=1/2- t代表t≤ 1/2和φ（t）=t- 1/2堡垒≥ 1/2.

因此，|bx（t+h）- bx（t）|≤ ω（h）在情况2a中也成立。最后，案例2b不会发生。这就是“证明”的结论≤”.证明“≥”, 我们让t:=0和hn:=-n、 然后我们在案例1中，和| bx（t+hn）- bx（t）|=（1）+√2） （2（n）-1)/2- 1） hn+2（1）-n） /2bx（2n-1hn）=ω（hn）- (1 +√2） hn，根据定理2.2（a）。因为ω（hn）=O(√嗯，我们得到“≥”.定理2.3（b）的证明。让h>0再次用n=ν（h）表示。在案例1中，（3.10），（3.13），（3.14）和定理2.2（b）意味着每个x∈ X | X（t+h）- x（t）|≤ h（1+√2） （2（n）-1)/2- 1) + 21-nsupy∈十、y（2n）-1（s+h）））- y（2n）-1s）≤ h（1+√2） 2（n）-1)/2+1-n（5+4）√2)= (1 +√2） h2n/2-logh+n/2√+√+ 4.-不适用。（3.19）自logh+n/2起≥ -n/2- 1.上一个和的中间项由上而下-2.-n/2/√8，所以（3.19）中的整个总和由（1）控制+√2） h2n/2+√+ 4.-√-n/2，反过来由√2ω（h）。与案例1相同的不等式适用于案例2a。在情况2b中，我们得到| x（t+h）- x（t）|≤ h（1+√2） （2n/2）- 1) + 2-n/2sup0≤R≤2sup0≤s≤2 | y（r）- y（s）|，其中y是（3.16）中的y，y∈ 十、显然，当y=-y=bx，然后等于（2+√2） 根据定理2.2（a）。因此，|x（t+h）- x（t）|≤ h（1+√2） 2n/2+2-n/2（2）+√2) =√2ω（h）。这就是“证明”的结论≤”.证明“≥”, 我们让：=--nand hn：=-n、 所以当考虑函数x时，ν（hn）=n*:= -十、*∈ X，我们在案例2b中。首先，我们有e0,0（tn+hn）- e0,0（tn）=0。第二，对于m=1，n、 函数GM:=-嗯，2米-1.-1+em，2米-1.-（n）-1） tntn+hn+2-（n）-1） m≥ 3m=2m=1m=0图7：案例2b的说明，尤其是\'≥’ 在定理2.3（b）中，n=3。功能em，kin The Faber–x的Schauder开发*= -十、*都是一代一代地单独策划的≤ N- 1.他们世世代代的总和≥ n对应于重定标函数bx的序列。是线性的吗[-2.-M-1,+ 2-M-1]  [tn，tn+hn]坡度为2m/2。

利用这个事实≤ N-1givesx*（tn+hn）- 十、*（tn）=n-1Xm=1m/2hn+∞Xm=nM-1X`=2m-1em，`（tn+hn）+m-1.-1Xk=0em，k（tn）= (1 +√2） （2n/2）-√2） hn+2-n/2bx（1/3）+bx（2/3）= (1 +√2） 2n/2hn- (√2+2）hn+2-n/2（2）+√2)=√2ω（hn）- (√2+2）hn，其中，在第二步中，我们如（3.15）所述进行了论证，在第三步中，我们使用了定理2.2（a）；如图7所示。因为ω（hn）=O(√嗯，我们得到“≥”.推论2.5的证明。定理2.2暗示族X是一致有界的，定理2.3（b）得出X是等连续的。因此，只剩下证明X在C[0,1]中是封闭的。继Hata和Yamaguti[20]之后，让（xn）n∈Nbe X中一致收敛于某个X的序列∈ C[0,1]。我们显然有x（0）=x（1）=0。众所周知，任何这样的函数都可以唯一地表示为一系列一致收敛的Faber–Schauder函数，x=∞Xm=0m-1Xk=0am，k（x）em，k，（3.20），其中系数am，kar给定为asam，k（x）=2m/22x2k+1m+1- 十、公里- 十、k+1m.显然，我们有am，k（xn）→ 对于所有对m，k作为n↑ ∞. 但是自从每一次xn∈ 表示法（3.20）是唯一的，我们必须有am，k（xm）∈ {-1，+1}，这意味着alsoam，k（x）∈ {-1，+1}反过来x∈ X.3.3命题2.6和2.7的证明备注3.2。如[26，备注8]所述，以下事实很容易从[28]中的命题2.2.2、2.2.9和2.3.2中得出。假设x∈ C[0，1]承认hxi沿（Tn）的连续二次变化，f是连续的且变化有限。那么Hfian和hx+fi都沿（Tn）存在，由hfi=0和hx+fi=hxi给出。通过极化恒等式（2.10），我们进一步得到hx，fi=0。命题2.6的证明。

[19]中的引理1.1（ii）指出函数x∈ C[0,1]与Faber–Schauder Development合作∞m=0Pm-1k=0θm，kem，ksatis fieshxin=nn-1Xm=0米-1Xk=0θm，k。这立即产生所有x的hxi=1∈ 十、（3.11）中的第一个缩放特性意味着∈ X存在y∈ X和线性函数f使得X（t）=f（2t）+2-0的1/2y（2t）≤ T≤ 1/2. 因此，根据备注3.2，hxi=hf+2-1/2yi=h2-1/2yi=1/2。迭代得到hxi-`= 2.-`对所有人来说∈ N.使用（3.11）中的第二个标度性质，以与Hxi（k+1）2类似的方式给出-`- hxik2-`= 2.-`对于k，`∈ N与（k+1）2-`≤ 1.因此，对于所有并矢有理数t，我们得出hxit=t∈ [0，1]。一个三明治式的论点将这一事实推广到了所有t∈ [0, 1].为了x∈ 带费伯的X–Schauder展开式X=P∞m=0Pm-1k=0θm，kem，kand n∈ N、 我们定义为（2.1）。命题2.7的证明。对于t=1，我们首次展示（2.13）。为此，我们注意到x（s）=xn+k（s）表示s∈ TNK≥ 因此，hbx，yin:=Xs∈田纳西州（南部）- bx（s））（y（s）- y（s））=Xs∈田纳西州（南部）- bxn（s））（yn（s）- yn（s））。（3.21）此外，bxn+1s+s= bxns+s+ n+1=（bxn（s）+bxn（s））+n+1，在哪里n+1=2-（n+2）/2是Faber–Schauder函数en的最大振幅，`。