关于一类具有线性路径的广义Takagi函数

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英文标题：
《On a class of generalized Takagi functions with linear pathwise
  quadratic variation》
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作者：
Alexander Schied
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a class $\\mathscr{X}$ of continuous functions on $[0,1]$ that is of interest from two different perspectives. First, it is closely related to sets of functions that have been studied as generalizations of the Takagi function. Second, each function in $\\mathscr{X}$ admits a linear pathwise quadratic variation and can thus serve as an integrator in F\\\"ollmer\'s pathwise It\\=o calculus. We derive several uniform properties of the class $\\mathscr{X}$. For instance, we compute the overall pointwise maximum, the uniform maximal oscillation, and the exact uniform modulus of continuity for all functions in $\\mathscr{X}$. Furthermore, we give an example of a pair $x,y\\in\\mathscr{X}$ such that the quadratic variation of the sum $x+y$ does not exist.
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中文摘要：
我们考虑$[0,1]$上的连续函数类$\\mathscr{X}$，它从两个不同的角度引起了人们的兴趣。首先，它与作为Takagi函数的推广而研究的函数集密切相关。第二$\\mathscr{X}$中的每个函数都允许线性路径二次变化，因此可以作为F\\\'ollmer的路径It\\=o演算中的积分器。我们推导了类$\\mathscr{X}$的几个一致性质。例如，我们计算$\\mathscr{X}中所有函数的整体点态最大值、一致最大振荡和精确一致连续模此外，我们给出了一对$x，y\\in\\mathscr{x}$的例子，使得$x+y$之和的二次变化不存在。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Classical Analysis and ODEs        经典分析与颂歌
分类描述：Special functions, orthogonal polynomials, harmonic analysis, ODE\'s, differential relations, calculus of variations, approximations, expansions, asymptotics
特殊函数、正交多项式、调和分析、Ode、微分关系、变分法、逼近、展开、渐近
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_a_class_of_generalized_Takagi_functions_with_linear_pathwise_quadratic_variation.pdf (968.47 KB)

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关键词：Differential Mathematical Applications Quantitative Perspectives

关于一类具有线性路径二次变量的广义Takagi函数*数学系德国曼海姆大学68131曼海姆第一版：2015年1月15日本版：2015年8月4日摘要我们从两个不同的角度考虑[0,1]上的一类X连续函数。首先，它与作为Takagi函数的推广而研究的函数集密切相关。其次，X中的每个函数都允许线性路径二次变化，因此可以作为F¨ollmer的路径It¨ocalculus中的积分器。我们得到了类X的几个一致性质。例如，我们计算X中所有函数的整体逐点最大值、一致最大振荡和精确一致连续性。此外，我们给出了一个pairx，y的例子∈ X的和X+y的二次变化不存在。数学学科分类2010:26A30、26A15、60H05、26A45关键词：广义Takagi函数、Takagi类、一致连续模、路径二次变异、路径协变量、路径Ito演算、F¨ollmer积分1简介在本文中，我们从几个不同的角度研究[0,1]上的一类X连续函数。一方面，就像典型的布朗样本路径一样，每个函数x∈ X允许F¨ollmer[13]意义上的线性路径二次变化hxit=t，因此可以作为F¨ollmer路径It¨o演算中的积分器。

另一方面，X是一个子集，或与已经研究过的函数类有一个非空交集*电子邮件：schied@uni-曼海姆。作者衷心感谢德意志联邦储备银行（Deutsche Forschungsgeminschaft）通过研究培训小组RTG 1953对高木（Takagi）著名例子[29]的推广，即无处可微的连续函数的支持。现在，我们将解释我们的结果与这两种不同的文献的联系。1.1对F¨ollmer的路径It¨o计算的贡献1981年，F¨ollmer[13]提出了It¨o公式的路径版本，因此，它产生了严格的It¨o积分的路径定义，作为黎曼和的极限。最近的一些事态发展使人们对这种循序渐进的方法重新产生了兴趣。其中包括Dupire[10]和Cont及Fourni\'e[6,7]提出的函数路径It\'o演算概念，这对于定义路径空间上的偏微分方程至关重要[11]。对pathwise It\'o演算重新产生兴趣的另一个原因是，人们越来越意识到数学金融中的模型模糊性，以及由此产生的减少对概率模型依赖的愿望；例如，参见[15]了解最近的一项调查，参见[3,4,8,14,26,27]了解成功应用路径It微积分解决金融问题的案例研究。[28]提供了对pathwise It\'o演算的系统介绍，包括[13]的英文翻译。函数x∈ C[0，1]可以作为F¨ollmer的路径It¨o演算中的积分器，如果它包含一个连续的路径二次变量T7→ Hxit沿着[0,1]的给定细分序列。当x是连续半鞅（如布朗运动）的样本路径且不属于某个空集时，满足此条件。

然而，这个空集通常不明确，因此不可能判断布朗运动的特定实现x是否确实允许连续的路径二次变化。本说明的第一个目的是提供一个丰富的连续函数类X，该类函数可以直接构造，并且允许所有X的非平凡路径二次变化hxit=t∈ 十、因此，X中的函数可以用作路径It¨o演算中的一类测试积分器。我们相应的结果，命题2.6，略微扩展了甘特[18,19]之前的结果，由此得出所有x的hxi=1∈ 十、在这种情况下，本说明的第二个目的是研究hxi和hyi的存在是否意味着hx+yi的存在（或者，等价地，存在路径二次协变量hx，yi）。对于连续半鞅的典型样本路径，该蕴涵始终为真，但相应的空集将同时依赖于x和y。然而，在关于路径It\'o演算的文献中，人们理所当然地认为hx+yi的存在性不能从hxi和hyi的存在性中推导出。在命题2.7中，我们将给出两个函数x，y的例子∈ 而hx+yi确实不存在。据作者所知，到目前为止，文献中还没有这样一个例子。1.2对广义Takagi函数理论的贡献1903年，Takagi[29]提出了[0,1]上的一个连续函数的例子，该函数现在是可微的。

这个函数已经被重新发现了好几次，它的性质也得到了广泛的研究；见Allaart、Kawamura[2]和Lagarias[24]最近的调查。虽然原始的Takagi函数本身不属于我们的X类，但至少有两类函数的研究是由Takagi函数推动的，它们与X密切相关。其中一个函数族是1984年由Hataan和Yamaguti引入的“Takagi类”[20]。Faber[12]或Kahane[21]早些时候引入了类似但限制更大的函数类。Takagi类与X有一个非空交集，但另一个类中没有一个交集。最近，Allaart[1]将Takagi类扩展到更灵活的函数类。这个家族现在包含X。通过扩展K^ono[23]给出的关于Takagi类的论点，Allaart[1]特别研究了他的类中某些函数的连续模。与之前的研究不同，本文的重点不是函数x的个体特征∈ 而是关于整个类的一致性。这里我们计算X中所有函数的整体逐点最大值、一致最大振动和精确一致连续模。在这些计算中，我们不能使用之前为分析Takagi函数及其推广而构思的方法。例如，无论是K^ono[23]的结果和参数，还是Allart[1]的结果和参数，都不适用于X中函数的连续模，必须对之前的方法进行适当的扩展。这个新的扩展利用了X及其成员的自相似结构。在我们的分析中，功能bx将发挥特殊作用，如下文（2.2）所述。

它曾出现在勒德拉皮尔（Ledrappier）[25]和甘特特（Gantert）[18,19]的著作中，勒德拉皮尔研究了其图形的豪斯道夫维数。在这里，我们将确定其全局最大值及其精确连续模。特别是，在我们分析X的均匀性质时，需要得到关于bx全局最大值的结果，但这些结果本身也很有趣。本文的组织结构如下。在接下来的第2节中，我们首先介绍我们的classX，然后在定理2.2和2.3以及推论2.5中讨论它的一致性。我们回顾了F¨ollmer[13]关于路径二次变量和协变量的概念，并陈述了相应的结果。第3.2节“结果声明”中给出了所有证明。回想一下，Faber–Schauder函数是在ase中定义的（t） ：=t，e0,0（t）：=（min{t，1）-t} ）+，em，k（t）：=2-m/2e0,0（2mt- k） 对于t∈ R、 m=1，2，和k∈ Z.em的图形，klooks像一个高度为2的楔形物-m+2，宽度2-m、 中心在t=（k+）2处-m、 特别是，函数em，khave不相交支持不同的k和固定的m。现在让系数θm，k∈ {-1，+1}给出并定义n∈ n连续函数xnn（t）：=n-1Xm=0米-1Xk=0θm，kem，k（t），0≤ T≤ 1.（2.1）众所周知（参见，例如[1]），并且很容易看出，由于系数θm，k的一致有界性，函数xn（t）在t中一致收敛为连续函数x（t）asn↑ ∞. 让我们表示byX:=nx∈ C[0,1]x=∞Xm=0m-1Xk=0θm，kem，k系数θm，k∈ {-1，+1}以这种方式产生的另一类极限函数。函数x∈ X属于Hata和Yamaguti[20]引入的“Takagiclass”，当且仅当系数θm，kin（2.1）独立于k。此外，X是Allaart[1]研究的更灵活的广义Takagiff函数类的子集。

然而，原始的Takagi函数是通过取θm，k=2得到的-因此，m/2不属于X。备注2.1（关于与布朗样本路径的相似性）。X中的函数可以展示有趣的分形结构；参见图1。另一方面，图2显示了与布朗桥示例路径的一些相似之处。这种相似性并不令人惊讶，因为众所周知的布朗尼桥的L’evy–Ciesielski结构在于替换系数θm，k∈ {-1，+1}具有独立的标准正态随机变量（参见[22]）。事实上，使用de Rham[9]和Billingsley[5]的参数，在[1，定理3.1（iii）]中可以看出，X中的函数与布朗样本路径共享无可区分的性质。此外，Ledrappier[25]表明，函数Bx图的Hausdor ff维数：=∞Xm=0m-1Xk=0em，k（2.2）与典型布朗轨迹图相同，即3/2。此外，在命题2.6中，我们将看到X中的函数与布朗样本路径具有相同的路径二次变化。我们的第一个结果与X中函数的（一致）极大值和振荡有关。它还将涉及（2.2）中定义的函数bx，该函数将在我们的分析中发挥特殊作用。Kahane[21]计算了原始Takagi函数的最大值，但他的方法不适用于我们的情况，这里需要更复杂的参数。定理2.2（一致最大值和振荡）。

类X具有以下统一属性。（a） X中函数的一致最大值由bx得到，由maxx给出∈Xmaxt∈[0,1]| x（t）|=最大值∈[0,1]bx（t）=（2）+√2).此外，bx（t）的最大值在t=和t=.1/3 1/2 2/3 11/2（2）时达到+√2） 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.10.20.30.40.50.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.50.51.00.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0图1:X中各种θm，k选项的函数图。左上方的面板显示了函数bx，它是通过θm，k=1定义的，以及它的全局最大值。右上方的面板对应于θm，k=(-1） m，左下面板到θm，k=(-1） m+k，右下面板到θm，k=(-1） bm/5c。（b） X-ismaxx中函数的最大一致振动∈Xmaxs，t∈[0,1]|x（t）- x（s）|=（5+4）√2） ，其中分别在s=1/3、t=5/6和X时达到最大值*:= e0,0+∞Xm=1M-1.-1Xk=0em，k-M-1X`=2m-下午1点`; （2.3）我们参考图6了解函数x的曲线图*.在下一个结果中，我们将研究bx的连续模和类X的连续一致模。K^ono[23]分析了Hata和Yamaguti[20]的Takagi类中某些函数的连续模，Allaart[1]后来扩展了这个结果。然而，[23]和[1]中的结果和参数都不适用于X中的函数，因为序列am:=2m/2是无界的。为了说明我们的结果，让我们0。20.40.60.81.0-0.20.20.40.60.81.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.0-0.50.5图2:x∈ 当系数θm，k构成独立且相同分布的{-1，+1}值随机序列，使得θm，k=+1，概率（左）和（右）。

虚线对应于二次变量在第八个二元划分T上的近似值hxio。用ν（h）：=b表示-loghc，h>0，（2.4）logh的整数部分，定义ω（h）：=1 +√h2ν（h）/2+(√8 + 2)2-ν（h）/2。注意ω（h）的阶数为O(√h） 作为h↓ 0.更准确地说，lim infh↓0ω（h）√h=2r+√2，林素福↓0ω（h）√h=（11+7）√2).然而，本文的其余部分不需要这些确切的限制。定理2.3（连续模）。（a） 函数bx的连续模为ω。更准确地说，林素福↓0max0≤T≤1.-h | bx（t+h）- bx（t）|ω（h）=1。（b） X中函数的精确一致连续模由下式给出：√2ω. 也就是说，林苏↓0supx∈Xmax0≤T≤1.-h | x（t+h）- x（t）|ω（h）=√2.此外，函数x上的上确界∈ X由函数X得到*在（2.3）中定义为↓0max0≤T≤1.-h | x*（t+h）- 十、*（t） |ω（h）=√2.备注2.4。在定理2.3的证明中，我们将实际展示以下上界，它们比定理中的相应陈述更强：|bx（t+h）- bx（t）|≤ ω（h）和supx∈X | X（t+h）- x（t）|≤√2ω（h）表示所有h∈ [0,1）和t∈ [0, 1 -h] 。推论2.5。X是C[0，1]关于一致收敛拓扑的紧子集。此外，定理2.3（b）暗示每个x∈ X是指数的H¨older连续，因此在这个意义上允许有限的2-变化∈T（x（T）- x（t））<∞, （2.5）其中上确界接管[0，1]的所有分区T，而tdenotes是T inT的后继分区，即T=（min{u∈ T | u>T}如果T<1，如果T=1。每个x∈ 因此，X可以作为粗路径的路径积分理论中的一个积分器；例如，参见Friz and Haier[17]。F¨ollmer[13]较早地提出了一种不同的路径积分理论。

它基于以下路径二次变化的概念。与（2.5）中考虑的所有分区的上确界不同，我们定义了分区T的递增序列 T ··· [0，1]的值，使其网格趋于零；苏卡序列（Tn）n∈n将被称为重新排列的分区序列。为了x∈ C[0，1]然后定义序列hxint:=Xs∈田纳西州≤t（x（s）- x（s））。（2.6）函数x∈ C[0，1]被称为允许沿序列（Tn）的连续二次变化hxi，如果对于所有t∈ [0,1]limithxit:=limn↑∞hxint（2.7）存在，如果t7→ hxit是一个连续函数。F¨ollmer的pathwise It¨o演算使用这类函数x作为积分器。对于给定的x∈ C[0,1]，近似值hxintar在n中通常不是单调的，因此（2.7）中的极限是否存在先验不清楚。此外，即使极限存在，它可能也适用于c`adl`ag函数x，但这要求x的连续部分沿（Tn）输入连续的二次变化；参见[13]和[6]。出于这个原因，我们将在这里集中讨论连续函数x的情况。x强烈依赖于底层分区序列的特定选择。例如，众所周知，对于任何x∈ C[0,1]存在一个重组序列（Tn）n∈Nof划分为x沿（Tn）n的二次变化∈Nvanishes相同；见[16，第47页]。构造x也不难∈ C[0,1]，其中（2.7）中的限值存在，但满足hxit=]1/2,1]（t），因此是不连续的。另一方面，很容易看出，有界变差的连续函数的二次变差沿每个细分序列存在并消失。