不完全扩散行为准则下的最优投资

（22）在假设2.2下，对于固定t>0和（u，v），支持函数（x·，y·）→ Ft（x·，y·）（u，v）是连续的，因为我们定义了t，将系数限制为[0，t]，因此最大值被引理2取代。12.特别是，在[12]中假设3.1 iii）的意义下，（x·，y·）处的s et是上半连续的。同样清楚的是，对于固定的u，v∈ A、 Ft（u，v，x·，y·）是[0，T]×C上的一个Borel函数[0，T]；Rd+1.现在我们给出一些矩估计，特别是保证（Xπ，Yπ），π定律族的正确性∈ C中的∏[0，T]；Rd+1.提议2.13。为了便于参考，我们表示ζt=（Yt，Xt）。在假设2.2下，对于任意m>0，supπ∈πE∏supt6T|ζπt|m< ∞. （23）提案2.14。在假设2.2下，让π∈ π和Yπt，Xπt其相关过程包括（15）和（16）。然后，存在一个常数K>0，与π无关∈ π，对于任何η>0和s，t∈ [0，T]，EπkζT- ζskη6 K | t-s |η。（24）以上两个命题的标准证明见附录。关于C上测度紧性的一个众所周知的结果[0，T]；Rd+1给出了以下推论。这可以通过[13]中定理3.2的方法得到。推论2.15。让消费2.2生效吧。设{πn} Π. C上ζπn·过程的一组定律[0，T]；Rd+1是相对弱紧的。现在我们在我们的设置中重申[12]的定理3.2，它将提供弱控制分布的弱复杂性。定理2.16。让Assupmtion 2.2生效。用Qπ表示ζπ·在C上的分布[0，T]；Rd+1. 然后是布景Qπ：π∈ Π是序列弱紧的：对于任何序列πn∈ 有一个序列n（m）→ ∞ 作为m→ ∞和π∈ πC上任意实值有界连续函数H（x·）的[0，T]；Rd+1我们有→∞EνmH（ζνm·）=EπH（ζπ·），（25），其中νm=πn（m）。证据

根据上述讨论，[12]中的假设3.1 ii）和iii）在本案中成立。我们没有[12]中的3.1 i）假设，尽管（kAt（X·，Y·）k上的线性增长条件）存在一个准增长区间，参见（21）。但是，正如推论2.15所示，这仍然有助于序列Qπ的获得性（以及相对弱紧性）。然后，我们可以检查[12]中定理3.2的证明是否完成，并得出结论。下一个引理表明，对于定义2.7意义上的任何辅助控制π，我们可以将投资策略（定义2.2意义上的）与更高的值函数相关联。引理2.17。让π=Ohmπ、 Fπ，Fπtt> 0，Pπ，Xπ，Yπ,Bπ，Wπ, （x，y）∈Π.然后一个解todYt=νt（Y·）dt+κt（Y·）dBt，Y=Y，（26）d^Xt=√mtθt（Y·）^Xtdt+√mtλt（Y·）^XtdWt，X=X，（27）存在于同一过滤概率空间和^XT上≥ XπTa。s、 此外，^x是一个投资组合价值过程。证据让我们定义一下：=exp-Ztlπs-pmπsXπ·Yπ·θYπ·ds设置^Xt:=ZtXπt。It^o的公式表明^xte确实有效（27）。自θt≥ 假设为0，我们得到Zt≥ 1^Xt≥ Xπt，对于所有t.2.5定理2.4的证明。让t>0。通过（11）和（10），w+Qπu+（XπT）- Gπ）+> T6克+Qπ（XπT）- Gπ）α+>tk+- 1.γ.因此，V+（π）6g+R∞hQπ（XπT）- Gπ）α+>tk+- 1.iγ=g+1+R∞k+hQπ（XπT）- Gπ）α+>tk+- 1.我,Z∞k级+Qπ（XπT）- Gπ）α+>tk+- 1.γdy6k+Z∞Qπ（XπT）- Gπ）α+>sγdx。（28）如果≥ 1，应用切比斯-赫夫不等式和假设2.5，Qπ（XπT）- Gπ）α+>sγ=hQπ（XπT）- Gπ）αθ+>sθiγhEπ（XπT）- Gπ）αθ+iγsθγ6 Mγsθγ，（29）其中M=supπEπ（XπT）αθ+<∞ （注意G>0），根据命题2.13。

注意1/sθγ在[1]上是可积的，∞).因此，这个问题是适定的，因为V（π）≤ V+（π）表示所有π∈ 我们刚刚看到后者有一个独立于π的上界。根据定理2.16，定律集{Qπ}，π∈ζπ·=（Xπ·，Yπ·）过程的∏在弱拓扑中是相对紧凑的。设{πn}为弱控制πn序列∈π′使得v（πn）→ supπ∈π′V（π），n→ ∞. （30）有一个子序列o{πn}表示为πk这样Qπk=> Qπ问→ ∞ π∈Π.根据斯科罗霍德定理，有一个概率空间，用~Ohm,~F，~P随机变量Xk·，Yk·：~Ohm,~F，~P→C（[0，T]；R），C[0，T]；研发部,分别，这样的法律~Xk·，~Yk·等于QπkandX，~Y：~Ohm,~F，~P→ C（[0，T]；R），C[0，T]；研发部定律等于Qπ这样Xk→~X，~Yk→是统一标准中的a.s。根据假设2.3，Yk和Y具有相同的定律和Yk→概率为Y（偶数a.s.）。由[1]F.中的第1版~Yk→ F~Y在概率上。通过u±的连续性和投影pT（f）：=f（T），f∈ C（[0，T]；R），我们也有u±~XkT- F~Yk±→ u±~XT- F~Y±在概率上。因此，用D表示u±的累积分布函数的不连续点集~XT- F~Y±, 对任何人来说∈ R\\D wehaveQπku±（XπkT）- Gπk）±> Y→ Qπu±XπT- Gπ±> Y作为k→ ∞.因为w±是连续的，所以也Qπku±（XπkT）- Gπk）±> Y→ w±Qπu±XπT- Gπ±> Y,为了你/∈ D.由法图引理，Z∞W-QπU-XπT- Gπ-> Ydy 6limkZ∞W-QπkU-（XπkT）- Gπk）-> Y由（29）和法图引理，Z∞w+Qπu+XπT- Gπ+> Ydy>limkZ∞w+Qπku+（XπkT）- Gπk）+> Ydy，它的结果是V（π）) = supπ∈π′V（π）。很明显π∈Π′. 设（at，bt）是与π有关的A值过程∈与定义2.7相同。

ByLemma 2.17有π′=Ohmπ, Fπ, （Fπ）t） 06t6T，Pπ, Xπ′，Yπ,Bπ, Wπ, （x，y）在定义2.9的意义上，这是一个投资组合价值过程+Xπ′T- Gπ′+> u+XπT- Gπ+,注意，Gπ′=Gπ你呢-XπT- Gπ-> U-Xπ′T- Gπ′-而且因此V（π′）≥ supπ∈π′V（π）。因此，回顾备注2.10，投资策略^π=Ohmπ, Fπ, Pπ, {Fπt} 06t6T，Xπ′·Yπ·,qmπ′·Bπ, Wπ), （x，y）是最优的，即supπ∈π′V（π）≤ V（π）) ≤ V（π）=V（π），显然，还有π∈π′.3扩展基于经济考虑，我们扩展了上一节中开发的模型，允许投资组合估值过程影响Yt建模的因素，影响是“加性的”。这可能是适合大型投资者的模型。此外，还包括利率rtat时间t确定的无风险资产。为了简单起见，我们假设因子过程Y是一维的，结果可以用琐事l的方式推广到多维情况。定义3.1。设ν（t，y·）是一个R值过程，使得对[0，t]×C（[0，t]；R）的限制是B（[0，t]） Nt可测量，适用于任何0 6 t 6 t。同样，我们定义R值系数θ、λ、ρ、κ具有相同的可测性。在这种情况下，最优投资模型的随机微分方程由DYT=ν（t，Y·）dt+κ（t，Y·）dBt+ρ（t，X·）dXt，（31）dXt=φtθ（t，Y·）Xtdt+φtλ（t，Y·）XtdWt+（1）给出- φt）rtXtdt，（32）式中φt∈ [0，1]代表投资于股票的财富比例，y是一个经济因素，X是给定投资组合策略yφ的价值过程。集合∏的定义类似于定义2.2。假设3.1。对于所有t>0，stock的增长率大于键的增长率，即对于所有t，y·，θ（t，y·）>rt>0，Pπ- a、 美国。

（33）在假设2.2的意义下，泛函ν、θ、λ、κ、ρ是有界的且路径连续的。假设3.2。参考点G是一个常数。如第2.3小节所述，我们考虑宽松的环境。基于这个目的，我们定义θr（t，y·）=θ（t，y·）- 在下面的例子中，E是2×2矩阵，否则E=1，Eij=0。定义3.2。我们定义了以下集合族。At（x·，y·）=（a，b）∈ A.a=κ（t，y·）E+mλ（t，y·）xtρ（t，x·）ρ（t，x·）ρ（t，x·）1,（34）b=ν（t，y·）+ （lxtθr（t，y·）+rtxt）ρ（t，x·）,0 6米6 10 6升6√M（35）以下引理至关重要：它使我们能够使用[12]的结果。引理3.3。（x·，y·）处的集合是封闭的、凸的，并且每个集合（x·，y·）都是边界的∈C[0，T]；R每一个都是证明。只需要检查凸性。设0.6u6 1和（a，b），（α，β）∈在（x·，y·）处，则凸线性组合ua+（1- u）α等于κ（t，y·）E+（um+（1- u）m′）λ（t，y·）xtρ（t，x·）ρ（t，x·）ρ（t，x·）1和ub+（1- u）β等于ν（t，y·）+ （（λl+（1）- λ） l′）xtθr（t，y·）+rtxt）ρ（t，x·）作为ul+（1- u）l′6u√m+（1）- u)√m′pum+（1- μ）m′，我们有μ（a，b）+（1）- u) (α, β) ∈ 在（x·，y·）。引理2.12的估计也适用于这种情况，对于一些K>0，kAt（x·，y·）k6k1+| Xt|.这允许使用下面定义的RelaxedControl类，应用[12]的结果，如上所述。定义3.4。

我们说π∈ π如果π：=Ohm, F、 {Ft}06t6T，P，Xt，Yt，（Bt，Wt），（x，y）与（a）一起Ohm, F、 {Ft}06t6T，P完全过滤概率空间，其过滤满足通常条件；（b） 二维过程ξt:=（Bt，Wt）是标准的Ft布朗运动；（c） 向量（x，y）∈ (0, ∞) ×R分别是投资组合过程XT和经济因素Yt的初始状态；（d） 存在一个A值，FB（[0，T]）是可测量的和Ft适应的过程，表示为（at，bt）s uchYtXt=Zt√almos t all（ω，t）的2asdξs+Ztbsds（36）（e）∈ Ohm ×[0，T]，我们有（at，bt）∈ At（X·，Y·）（即我们可以以“可测量的方式”选择一对（mt，lt）。方程（4）和（5）的向量形式可以重写。定义σt：=κ（t，y·）ρ（t，x·）√mtxtλ（t，y·）√mttλ（t，y·）xt我们知道英国电信给出了漂移=ν（t，y·）+ （xtltθr（t，Y·）+xtrt）·ρ（t，x·）给定一个宽松的控制π，Xt，Ytare F B（[0，T]）-可测量且经FTA调整，使得对于所有T>0dYt=ν（T，Y·）dt+κ（T，Y·）dBt+ρ（T，X·）dXt，（37）dXt=[lt（θ（T，Y·）- rt）Xt+rt·Xt]dt+√mtλ（t，Y·）XtdWt。（38）下一个结果的证明严格遵循定理2.4。定理3.5。让假设2.3、2.4、3.1和3.2保持不变。问题（9）适定且∏′6= （同零策略属于∏′，其中∏′的定义与第2.2小节类似）。这里有π∈ π′，从而获得最高mumin（9）。4附录本节包括一些辅助结果的证明。命题2.13的证明。我们将写出ξs=（Ws，Bs）。假设m>2。旋转|·|将用于表示不同维度空间中的欧几里德范数。然后|ζt | m=h（Xt）+| Yt | im6 2m-1·[|Xt | m+|Yt | m]，（39）因此，获得每个过程的力矩Ytes和Xt满足（23）就足够了。

集合bs，2=（ltθt（Y·）Xt）和σs，2=（0，mtλt（Y·）Xt）Eπsupt6T | Xt | m6.3米-1 | X | m+EπZT | bs，2 | ds！m+Eπ“supt6TZtσs，2dξsm#！，（40）Jensen不等式和Burkholder-Davis-Gundy不等式πsupt6T | Xt | m6.3米-1.|X | m+EπZT | bs，2 | ds！m+CmEπZT |σs，2 | dsM,对于某些Cm>0的情况。我们可以再次应用Jensen不等式（现在是关于[0，T]上的“统一密度”），TZT | bs，2 | Tds！m6 Tm-1·ZT | bs、2 | mds和TZTkσs，2kTdsm6 Tm/2-1·ZTkσs，2kmds，（41）这里kσs，2km=mmt |λt（Y·）| m·Xmtand | bs，2 | m=lmtθmt（Y·）Xmt，然而，我们可以使用上面的估计（20），Eπsupt6T | Xt | m6.3米-1 | X | m+KEπ“ZT1+supt6skζtkmds#！，类似地，Eπsupt6T | Yt | m6.3米-1 | Y | m+K′Eπ“ZT1+supt6skζtkmds#！，对于常数K，K′。然后我们有πsupt6Tkζtkm6k（m）Kζkm+“ZT1+Eπsupt6skζtkmds#！，（42）对于某些K（m）>0的情况，通过Gronwall引理，Eπsupt6Tkζtkm6L（m），具有固定常数L（m），适用于所有π∈ Π. 例0<m<2遵循规范的单调性。命题2.14的证明。如命题2.13所示，对于每个坐标Xt和Yt，显示一个类似的估计（24）就足够了。这意味着- Ys |η6 K | t- s|η/2和E|Xt- Xs |η6 K | t- s |η/2。（43）根据假设2.2，第一个不等式是B-D-G和詹森不等式的简单结果：E | Yt- Ys |η6 2η-1·“E中兴通讯νY[0，r]博士η+Esups6r6tZrsκrY[0，r]dBrη#,E | Yt- Ys |η6 2η-1·“Mη| t- s |η+Cη·EZtsκrY[0，r]博士η/2#，thusE | Yt- Ys |η6 2η-1·hMη| t- s|η+CηMηt- s |η/2i6 2η-1·hMηTη/2+CηMηi·T- s |η/2。第二个估计依赖于命题2.13：E | Xt- Xs |η6 2η-1·“E中兴通讯lrθrY[0，r]Xr博士η+Esups6r6tZrsλrY[0，r]√mrXrdWrη#,6 2η-1·Mη·EZts | Xr | drη+CηEZts | Xr | drη/2!#,E | Xt- Xs |η6 2η-1·Mηh（t- s） η·N（η，T）+（T- s） η/2·N（η，T）i=K | T- s |η/2，其中K=2η-1MηN（η，T）·Tη/2+1N（η，T）是上π的上界∈πE∏supt6T | Xt |η在2.13号提案中。

注意，常数与π无关，与M和N（η，T）无关。参考文献[1]M.Barlow、M.Emery、F.Knight、S.Song和M.Yor。在《概率论》第三十二期《数学课堂讲稿》中，关于布朗和非布朗的自动过滤。1686264-305，柏林斯普林格，1998年。[2] D.伯努利。门苏拉索蒂斯新理论。评论：帝国主义石油政治学院。第五卷，1738年。L.Sommer译为“关于Ris k测量的新理论的阐述”，计量经济学，1954年22:23–36。[3] A.B.B.e rkelaar、R.Kouwenberg和T.Post。损失厌恶下的最优投资组合选择。牧师。经济部。圣塔。，86:973–987, 200 4.[4] F.布莱克。股票市场波动性变化的研究。《美国统计协会会刊》，商业和经济统计学家ics部分，177–181，1976年。[5] L.坎皮和M.德尔维尼亚。内部风险交易和行为融资薄弱。《暹罗J.金融数学》，3:242-2792012。[6] L.Car assus和M.R\'asonyi。关于多期不完全市场中b-E投资者的最优投资，出现在数学中。《金融》，2013年。可在http://arxiv.org/abs/1107.1617[7] G.卡莱尔和R.-A.达纳。当管理者具有法律不变效用时，或有权益的最优需求。数学《金融》，21:169-2012011。[8] A.切尼和D.P.马丹。绩效评估的新措施。金融研究回顾，22:2571–26062009。[9] J-P.Fouque、G.Papa nicolau和R.Sircar。具有随机波动性的金融市场中的衍生品。剑桥大学出版社，2000年。[10] Jin和Zhou X.Y。连续时间内的行为投资组合选择。数学《金融》，18:385-4262008。[11] D.卡尼曼和A.特沃斯基。前景理论：风险下决策的分析。《计量经济学》，47:263–2911979。[12] N.V.克雷洛夫。

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