专家意见与多元函数的对数效用最大化

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英文标题：
《Expert Opinions and Logarithmic Utility Maximization for Multivariate
  Stock Returns with Gaussian Drift》
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作者：
J\\\"orn Sass, Dorothee Westphal, Ralf Wunderlich
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper investigates optimal trading strategies in a financial market with multidimensional stock returns where the drift is an unobservable multivariate Ornstein-Uhlenbeck process. Information about the drift is obtained by observing stock returns and expert opinions. The latter provide unbiased estimates on the current state of the drift at discrete points in time.   The optimal trading strategy of investors maximizing expected logarithmic utility of terminal wealth depends on the filter which is the conditional expectation of the drift given the available information. We state filtering equations to describe its dynamics for different information settings. Between expert opinions this is the Kalman filter. The conditional covariance matrices of the filter follow ordinary differential equations of Riccati type. We rely on basic theory about matrix Riccati equations to investigate their properties. Firstly, we consider the asymptotic behaviour of the covariance matrices for an increasing number of expert opinions on a finite time horizon. Secondly, we state conditions for the convergence of the covariance matrices on an infinite time horizon with regularly arriving expert opinions.   Finally, we derive the optimal trading strategy of an investor. The optimal expected logarithmic utility of terminal wealth, the value function, is a functional of the conditional covariance matrices. Hence, our analysis of the covariance matrices allows us to deduce properties of the value function.
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中文摘要：
本文研究了具有多维股票收益率的金融市场中的最优交易策略，其中漂移是一个不可观测的多元Ornstein-Uhlenbeck过程。通过观察股票收益率和专家意见，可以获得有关漂移的信息。后者提供了离散时间点漂移当前状态的无偏估计。投资者最大化终端财富预期对数效用的最优交易策略取决于过滤器，该过滤器是给定可用信息的漂移条件预期。我们通过状态滤波方程来描述其在不同信息设置下的动态特性。在专家意见之间，这是卡尔曼滤波器。滤波器的条件协方差矩阵遵循Riccati型常微分方程。我们依靠矩阵Riccati方程的基本理论来研究它们的性质。首先，我们考虑在有限时间范围内，越来越多的专家意见的协方差矩阵的渐近行为。其次，我们陈述了协方差矩阵在无限时间范围内收敛的条件，并给出了规则到达的专家意见。最后，我们推导了投资者的最优交易策略。终端财富的最优期望对数效用值函数是条件协方差矩阵的函数。因此，我们对协方差矩阵的分析允许我们推断值函数的性质。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Expert_Opinions_and_Logarithmic_Utility_Maximization_for_Multivariate_Stock_Retu.pdf (472.23 KB)

2022-5-10 16:59:25 上传

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关键词：效用最大化 专家意见 最大化 Multivariate maximization

高斯漂移J¨orn-Sass下多变量股票收益的专家意见和对数效用最大化*, Dorothee Westphal+和Ralf Wunderlich2016年3月10日摘要本文研究了具有多维股票收益率的金融市场中的最优交易策略，其中漂移是一个不可观察的多元Ornstein-Uhlenbeck过程。通过观察股票收益率和专家意见，可以获得有关漂移的信息。后者提供了对离散时间点漂移当前状态的无偏估计。投资者最大化终端财富预期对数效用的最佳交易策略取决于过滤器，即给定可用信息的漂移条件预期。我们陈述了过滤方程，以描述其在不同信息设置下的动态。在专家意见之间，这是卡尔曼滤波器。滤波器的条件协方差矩阵遵循Riccati类型的普通微分方程。我们依靠矩阵Riccati方程的基本理论来研究它们的性质。首先，我们考虑了在有限的时间范围内，越来越多的专家意见的协方差矩阵的渐近行为。其次，我们陈述了协方差矩阵在有限时间范围内与定期到达的专家意见收敛的条件。最后，我们推导了投资者的最优交易策略。终端财富的最优期望对数效用值函数是条件协方差矩阵的函数。

因此，我们对协方差矩阵的分析允许我们推导出值函数的性质。关键词：条件协方差矩阵、Ornstein-Uhlenbeck过程、部分信息、投资组合优化、无偏专家意见2010年数学学科分类：初级91G10；次级93E11、93E20。1简介金融市场中的交易决策总是基于投资者可获得的关于股票发展的通常非常有限的信息。这些信息可能包括以前和现在观察到的股票回报。尽管这些收益受到一些漂移项的影响，但观测数据中总是存在随机变化。然而，在做出交易决策时，尽可能多地了解潜在的趋势是非常重要的。投资者在交易中经常依赖的另一个信息来源是专家意见。专家们可能对市场的当前发展有更深入的了解，因此能够在某些时候对漂移项进行或多或少的准确估计。本文的目的是研究股票收益率漂移是一个不可观测的高斯过程的金融市场中的最优投资组合交易策略。关于漂移过程的信息是通过观察库存周转率和即将到来的专家小齿轮来获得的，这些专家小齿轮给出了一个无偏估计*德国凯瑟斯劳滕大学数学系，邮政信箱3049，67653凯瑟斯劳滕；电子邮件地址：sass@mathematik.uni-吉隆坡。德+凯瑟斯劳滕大学数学系，P.O。

德国凯瑟斯劳滕67653号3049信箱；电子邮件地址：westphal@mathematik.uni-吉隆坡。德勃兰登堡理工大学数学研究所科特布斯-森夫滕堡，Postfach 101344，03013科特布斯，德国；电子邮件地址：ralf。wunderlich@b-tu.deExpert对多元股票收益率的看法离散时间点的当前漂移状态。投资者的目标是找到一种交易策略，使其终端财富的预期对数效用最大化。在没有专家意见的情况下，这是一个经典的部分信息下的效用最大化问题，这意味着投资者只有来自观察股票收益的信息，不能直接看到潜在的随机漂移过程。在均方意义上的最佳估计是滤波器。虽然在适当的可积性假设下，最优交易策略的存在是可以证明的，参见Bj¨ork，Davis and Land¨en[1]和Lakner[13]，但我们需要有限维滤波器的模型来完全解决问题，包括最优策略的计算。基本上有两种情况会导致有限维滤波器。首先，漂移过程可以建模为一个或nstein-Uhlenbeck过程（OUP）作为一个变量（包括静态但未观测到的随机变量的退化情况），或作为一个连续时间马尔科夫链（CTMC）。过滤器分别是著名的Kalma n和Wonham过滤器，参见Elliott、Aggoun和Moore[6]，Liptser和Shiryaev[15]。在这两个模型中，效用最大化问题的解决方案是已知的，分别见Brendle[3]、Lakner[14]、Putsch¨ogl and Sass[17]和Honda[10]、Rieder and B¨auerle[18]、Sass和Hausmann[21]。包括无偏见的专家意见可以减少过滤器的差异。更好的估计会提高预期效用。

这可以被视为静态Black Litterman方法的连续时间版本，该方法结合了资产回报的估计和专家对ass ets表现的意见，见Black and Litterman[2]。Frey、Gabih和Wunderlich[7,8]解决了具有电力效用的基础CTMC的情况，Gabih、Kondakji、Sass和Wunderlich[9]解决了具有对数效用的OUP的情况。作为一种近似，还可以引入持续及时的专家意见。这为por tfolio优化问题提供了更明确的解决方案。Davis和Lleo[5]认为这种方法适用于潜在的OUP，Sass、Seifred和Wunderlich[22]针对CTMC。本文将[9]中关于一只股票市场的结果推广到了d>1股票的金融市场，并给出了相应的专家意见。我们导出的过滤方程是一维情形的扩展。投资组合优化结果也适用于多变量情况，见定理5.2。但是[9]关于条件变分的收敛结果在多元情况下没有直接等价物，因为它们需要和s状态非常详细的单调性性质和界。相反，我们选择合适的标准，例如。这就是我们的主要贡献。对于越来越多的专家意见，条件方差的范数收敛到零，见定理3.4。在有限时间范围内，等距专家意见规范的收敛性更为微妙，尤其是当要求专家意见之间的单调性时，这反映了专家意见的影响随着时间的推移而减少。在这里，我们给出了几个结果，展示了在某些条件下的收敛性，如定理M4.10，并提供了在这些条件不成立时的反例。具体来说，我们将按照以下步骤进行。

在第2节中，我们将介绍我们的金融市场模型。我们假设股票收益率的漂移是一个多变量的Ornstein-Uhlenbeck过程，动态μt=α（δ- ut）dt+βdBt，其中α，β∈ Rd×d，δ∈ rdb=（Bt）t∈[0，T]是d维布朗运动。市场参与者无法观察到这种漂移。除了股票价格之外，专家们还以专家意见的形式对当前的走势进行了进一步估计。我们引入专家意见的概念，并指定投资者可获得的不同信息设置。我们假设一个投资者只观察股票收益，另一个投资者只使用专家意见来制定交易决策。假设第三位投资者能够获得这些原始信息。第2节的第二部分陈述了相应的过滤方程。这些给出了滤波器和条件协方差矩阵的动力学。仅在返回观测的情况下，滤波器是类别卡尔曼滤波器，例如，参见Liptser和Shiryaev[15]。当我们包含e xp ert意见时，我们使用了inElliott、Aggoun和Moor e[6]所述的离散时间卡尔曼滤波器。第3节分析了条件协方差矩阵。特别是，定理3.4显示了越来越多的专家意见在有限时间范围内的限制行为，其可靠性最低。这是Gabih等人[9]的命题4.3的推广。在第4节中，我们分析了多变量股票收益率的条件协方差矩阵在专家意见一致的情况下的极限行为。

在这种情况下，重要的是要提到，仅观察股票收益的投资者和观察股票收益的投资者以及专家意见的条件协方差矩阵遵循矩阵Riccati方程。与一维情况相反，这个普通微分方程没有封闭形式的解，这使得分析更加困难。然而，通过使用Riccati微分方程的基本性质，例如Kucera[12]、Wonham[26]、Bucy[4]和Martensson[16]中提供的例子，可以证明这些情况下的一些限制行为。当我们研究我们在第5节中讨论的投资组合优化问题时，条件协方差矩阵的性质是有帮助的。我们考虑终端财富预期对数效用的最大化。按照Gabih等人[9]的思路计算不同投资者的最优策略和价值函数。结果表明，最优值是相应条件协方差矩阵的函数。因此，本节的剩余部分集中于证明可以从共变矩阵的性质推导出的值函数的性质。在第6节中，我们提供了一些滤波器和值函数的模拟，以说明我们的理论结果。我们还简要介绍了效率的概念，以分析从不同信息来源获得的信息的价值。表示法：在本文中，当考虑相同大小的对称矩阵A和B时，如果差异A，我们将写出A>B或B6A- B为正半定义。除非从状态上看，当A是矩阵时，kAk表示A的谱范数。对于对称正定矩阵A∈ Rd×dwe称一个symmetr正半定矩阵B∈ 如果B=A，则为A的平方根。

平方根是唯一的，将由A.2市场模型和过滤方程2表示。1金融市场模型let T>0表示我们的有限投资水平。我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, G、 G，P），其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]满足通常条件。假设所有过程都是自适应的。在我们的金融市场中，有一种无风险债券，其DynamicSt=Strtdt，S=1。这里，r=（rt）t∈[0，T]是一个确定性的连续过程。此外，市场允许投资高风险股票，SdwithdSit=Situitdt+mXj=1σijdWjt, i=1，d、 其中W=（Wt）t∈[0，T]是m维布朗运动。我们认为矩阵σ∑Twithσ=（σij）i，jis为正定义。虽然矩阵σ随时间呈常数变化，但漂移过程u=（u，…，ud）t遵循多元Orns-tein-Uhlenbeck过程的动力学。更精确地说，dut=α（δ- ut）dt+βdBt，其中α，β∈ Rd×d，δ∈ rdb=（Bt）t∈[0，T]是与W无关的d维布朗运动。初始漂移u为多元正态分布u~ N（m，∑），对于某些向量∈ RDE和协方差矩阵∑∈ Rd×d是对称的正半定义。我们假设μ与B和W无关。漂移过程u可以写成ut=δ+e-αtu- δ+ZteαsβdBs.μ皮重的平均mt:=E[ut]和协方差矩阵∑t:=cov（ut），由公式smt=δ+E给出-αt（m）- δ） ，∑t=e-αt∑+ZteαsβTeαTsdsE-αTt。多元股票回报的专家意见在我们的模型中，我们有兴趣估计观察到的股票价格Si，i=1，d、 事实证明，使用股票收益率比直接使用股票价格更容易，其中drit=dSitSit。返回动态可以写成dRt=utdt+σdWt。

请注意，我们可以在股票价格上写下回报率，即RIT=log Sit+mXj=1（σij），这意味着股票价格产生的过滤与回报过程产生的过滤相同。这就是为什么在下文中，我们假设市场中的投资者观察的是股票回报，而不是股票价格。除了观察股票收益率外，还可以从专家意见中获得关于漂移过程的信息，专家意见到达离散时间点，并给出漂移的无偏估计。我们通过定义确定性时间点0=t<t<·t<tN，对这些专家意见进行建模-1<T。tkare时的实验视图被建模为一个随机向量Zk=（Zk，…，Zdk）TwithZk=utk+（Γk）εkwhere The matrixΓk∈ Rd×d对称正定义和εk=（εk，…，εdk）T。这里，εik，i=1，d、 k=0，N- 1是独立同N（0，1）-分布的随机变量。我们还假设εi独立于μ和布朗运动W和B。注意，zk是多元N（utk，Γk）-分布的，这意味着经验观点给出了tk时漂移真实状态的无偏估计。矩阵Γ是模拟专家责任的一种方法。请注意，在一维情况下，Γ仅为专家在时间tk时估计的方差。备注2.1。可以允许相对的专家意见，这意味着专家也可以在tk时给出两种股票漂移差异的估计。这些相对估计可以用公式qk=Pkutk+ξk表示∈ 对于一些矩阵Pk∈ Rl×d，以及期望为零的多变量正态分布的随机变量ξk。这里，L6d是专家做出的估计数。

我们假设具有满秩的pick MatrixPkW包含关于哪些股票包含在这些估计中的信息，有关详细说明和示例，请参见Sch¨ottle、Werner和Zagst[23]第3.1节。请注意，sinc e pke有完整的秩，因此存在me~nk∈ Rd使得ξk=Pkаk，例如аk=PTk（PkPTk）-1ξk.因此，Qk=Pk（utk+Γk），其中Zk:=utk+Γkis是一位绝对的专家，他对上文介绍的漂移状态持异议，因为Γkis正态分布，期望值为零，因此可以写成（Γk）1/2εk。投资者可用的信息仍需描述。继Gabih等人[9]之后，我们将四位不同的投资者进行了相应的投资者筛选。定义FH=（FHt）t∈[0，T]表示H∈ {R，E，C，F}。我们考虑的第一位投资者可以观察股票回报，但不能观察专家的意见。因此，她对每一个t∈ [0，T]由返回过程{Ris | s6t，i=1，…，d}生成。另一位投资者不能观察这些股票回报，也不能仅仅依靠专家的意见。因此，相应的投资者过滤效应是由专家意见{Zk|tk6 t}产生的。作为上述过滤的组合，由{Ris|s 6 t，i=1，…，d}生成的FCtis∪ {Zk | tk6 t}。这种过滤对应于一个投资者，他可以将股票收益和专家意见作为信息来源。为了完整起见，我们还包括一位能够观察漂移过程本身的投资者。在完整信息的最后一种情况下，投资者过滤仅由FF=G给出。多元股票回报的专家意见2。2过滤等式在上一小节的末尾，我们定义了四位能够访问不同信息来源的投资者。