不完全扩散行为准则下的最优投资

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英文标题：
《Optimal investment under behavioural criteria in incomplete diffusion
  market models》
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作者：
Mikl\\\'os R\\\'asonyi and Jos\\\'e Gregorio Rodr\\\'iguez-Villarreal
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The most commonly accepted model for investors\' preferences is expected utility theory. More recently, other theories have emerged and pose new challenges to mathematics. The present paper treats preferences of cumulative prospect theory (CPT), where an \"S-shaped\" utility function is considered (i.e. convex up to a certain point and concave from there on). Also, distorted probability measures are applied for calculating the utility of a given position with respect to a (possibly random) benchmark $G$. Such problems have heretofore been solved essentially for complete continuous-time market models only. In the present paper we make a step forward and consider incomplete models of a diffusion type where the return of the investment in consideration depends on some economic factors. Our main result asserts, under mild assumptions, the existence of an optimal strategy when the driving noise of the economic factors is independent of that of the investment and the rate of return is non-negative. We are also able to accommodate models of a specific type where the factor may have non-zero correlation with the investment.
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中文摘要：
最普遍接受的投资者偏好模型是预期效用理论。最近，出现了其他理论，对数学提出了新的挑战。本文讨论了累积前景理论（CPT）的偏好，其中考虑了“S形”效用函数（即凸到某一点，然后凹到该点）。此外，扭曲的概率度量用于计算给定位置相对于（可能是随机的）基准$G$的效用。到目前为止，这些问题基本上只在完整的连续时间市场模型中得到了解决。在本文中，我们向前迈进了一步，考虑了扩散型的不完全模型，其中考虑的投资回报取决于一些经济因素。我们的主要结果是，在温和的假设下，当经济因素的驱动噪声独立于投资的驱动噪声，且收益率为非负时，最优策略的存在性。我们还能够适应特定类型的模型，其中因子可能与投资具有非零相关性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_investment_under_behavioural_criteria_in_incomplete_diffusion_market_models.pdf (231.53 KB)

2022-5-7 07:44:17 上传

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关键词：Optimization Quantitative mathematics Preferences Game Theory

不完全扩散市场模型中行为准则下的最优投资*M.R\'asonyi+和J.G.Rodriguez Villarreal20211年1月11日简介投资者偏好最普遍接受的模型是预期效用理论，可以追溯到[2,20]。根据这一理论的原理，如果Eu（X），投资者指的是从X到Y的随机回报≥ Eu（Y）表示某些实用功能u:R→ R，通常假定为非递增和凹形。最近，出现了其他理论，对数学提出了新的挑战。本文讨论了累积前景理论（CPT）的偏好[11,19]，其中“S形”u被认为是e d（即凸到某一点，然后凹到某一点）。此外，扭曲的概率测度用于计算给定位置相对于（可能是随机的）基准G的效用。我们注意到，本文中的技术也很容易适用于其他类型的引用，如秩相关效用[15]或可接受性指数[8]。CPT参考的最优投资组合选择理论正处于起步阶段。连续时间研究几乎总是假设一个完整的市场模型[3,10,7,5,17]。迄今为止，只处理了非常特定类型的不完全连续时间模型（完整模型的有限混合；在物理度量下价格是鞅的情况；风险的市场价格是确定性的情况），参见[18,16]。在本文中，我们向前迈进了一步，考虑了不完全的扩散型模型，其中考虑的投资回报取决于一些经济因素。我们的主要结果是，在温和的假设下，当经济因素的驱动噪声独立于投资噪声且回收率为非负时，最优策略的存在性。

无可否认，独立性条件相当严格，不允许产生杠杆效应（见[4]）。*第二作者感谢墨西哥康奈特大学和爱丁堡大学的资助。这项工作的一部分是在第一作者与爱丁堡大学合作时完成的。+匈牙利科学院、布达佩斯阿尔弗雷德·雷恩伊数学研究所和布达佩斯天主教大学、爱丁堡大学也能够容纳特定类型的模型，其中因子可能与投资没有n-0相关性。我们认为，我们的结果为进一步的一般化打开了大门。2行为准则下的最优投资模型在[12]，[6]的基础上，给出了与行为最优投资问题相关的定义和符号。不幸的是，文献中用于寻找最优策略的大多数技术都依赖于问题的马尔可夫性质或非凸对偶性。根据行为标准，这些标准不再适用。为此，我们将考虑与最优投资相关的控制问题的弱型公式（第2.1小节）。引入[12]结果适用的问题的缓和，我们可以证明存在非最优投资策略（第2.3小节）。2.1设置：市场和偏好Fix a fix a fine horizon T>0。我们考虑由风险集合组成的金融市场，其发现价格（St）取决于经济因素。这些因素由d维随机过程{Yt}t>0来描述。

在没有严格定义的情况下，我们的市场模型由nsdYt=νt（Y·）dt+κt（Y·）dBt和Y=Y，（1）dSt=θt（Y·）Stdt+λt（Y·）stdw和S=S>0的方程描述，具有适当维度的B、W独立标准布朗运动。我们还假设存在一个固定价格等于1的无风险资产。我们将在本节后面进行详细介绍。随机效用模型提供了具有动力学（1）和（2）的金融市场模型的最佳示例，参见[9]。投资者买卖风险资产和无风险资产，投资比例为φt∈ [0，1]的财富在时间t时转化为风险资产。这导致了投资者在时间t时财富的以下等式：dXt=φtθt（Y·）Xtdt+φtλt（Y·）xtdw和X=X，（3）其中X>0是投资者的初始资本。不允许借贷和卖空，这是一个在[0,1]中获取价值的过程。我们注意到，在这个模型中，风险资产的价格对经济因素没有影响。我们将在下面的第3节中看到这个假设是如何被证明的。我们需要[12]中It^o过程定律的某些封闭性结果，因此有必要在随机控制理论的“弱”环境下工作，其中潜在的概率空间是不固定的。我们首先列出了（1）、（3）中的系数要求。设C（[0，T]；Rn）表示[0，T]上的Rn值连续函数族。用pt:C表示[0，T]路→ Rd投影pt（x·）=Xt，定义σ-代数Nt=σ（{ps:s6t}），N=σ（{ps:s6t}）。定义2.1。设ν（t，y·）：[0，t]×C[0，T]路→ Rd应使ν到[0，t]×C的限制[0，T]；研发部是B（[0，t]） Nt可测量，适用于任何0.6T。

我们将用νt（y·）或ν（t，y·）来表示这个泛函。同样，我们定义了系数θ、λ、κ，其测量特性与ν相同，但分别以R、R和Sd+表示，其中Sd+表示实矩阵、对称矩阵和正半限定d×d矩阵的集合。定义2.2。投资策略π由以下集合给出：π：=Ohm, F、 {Ft}06t6T，P，Xt，Yt，φt，（Bt，Wt），（x，y）,当x>0和y∈ 路，何处（a）Ohm, F、 {Ft}06t6T，P是一个完全过滤的概率空间，其过滤满足通常条件；（b） 该过程（Bt，Wt）t>0是标准的d+1维Ft-Wiener过程；（c） φt：Ohm ×[0，T]→ [0,1]是FB（[0，T]）——可测量且适应Ft；（d） 关于过滤概率空间Xt，Ytare F B（[0，T]）-可测量且FT适应的过程，例如Yt=y+Ztνs（y·）ds+Ztκs（y·）dBs，（4）Xt=x+Ztφsθs（y·）Xsds+Ztφsλs（y·）XsdWs，（5）对于0 6 T 6 T。换句话说，Ohm, F、 {Ft}06t6T，P，Xt，Yt，（Bt，Wt），（x，y）是方程组（1）、（3）的弱解。这一过程反映了风险资产的投资比率，它是可测量的，并且适合金融时报。我们不考虑（2）中的价格过程，因为它足以处理“受控动态”Xt。必要时，我们将使用符号Xπ、Yπ等来表示我们所指的对象属于π。设∏=∏（x，y）表示一组元素的集合。假设2.1。函数θ是非负的，即θ（t，y·）>0表示所有t∈ R+和y∈ C[0，T]；研发部.备注2.3。换句话说，风险资产的收益率必须是非负的。这似乎是一个无害的假设。另一方面，如前所述，定义2.2中的（b）是严格的。它不包括波动性与股价（负）相关的“杠杆效应”。

这个条件可以放宽，见第3节。我们现在提出了CPT下的最优投资框架，如[19]中所述。我们遵循[16]和[6]。投资者通过收益和损失e s上的公用事业来评估策略，这在函数u±：R中有描述+→ R+，由参考点G和函数w±：[0,1]→ [0，1]。后面的函数w±是为了解释她对得失的“可能性”的看法的扭曲。根据CP T的原则，投资者使用基准来评估投资组合结果，这是由实值随机变量G建模的。数量G取决于经济因素，如下所示：让我们用Fα表示确定性函数F:C[0，T]；研发部→ R+是不可测量的。由于概率空间不是固定的，对于每个π∈ 我们通过Gπ：=F（Yπ·）定义相应的参考点。也就是说，我们假设基准是经济因素的非负函数。结果可以很容易地推广到更一般的情况，即对于某些函数，Gπ：=F（Ypi·，Bπ·）。对于任何策略π∈ 我们定义了函数lsv+（π）：=Z∞w+Pπu+（XπT）- Gπ）+> Tdt，（6）andV-（π） ：=Z∞W-PπU-（XπT）- Gπ）-> Tdt。（7）CPT条件下投资者的最优投资组合问题在于最大化以下性能函数：V（π）：=V+（π）- 五、-（π） ，（8）定义，前提是至少有一个总和是确定的。修正x>0，y∈ R.集∏′：={π∈ π（x，y）：V-(π) < ∞} 和defi neV:=supπ∈π′V（π）。（9） V值代表在CPT框架下投资股票和无风险资产所能达到的最大满意度。我们的目的是证明^π的存在∈ π′使得V（^π）=V.2.2主要结果我们做出以下假设。回想一下符号yt=sups6t | ys |。假设2.2。

泛函κ、λ、θ和ν在[0，T]×C上一致有界[0，T]；研发部. 此外，对于fix e d t>0和函数yn，z∈C[0，T]；研发部以至于- z）T→ 0，n→ ∞ 我们有κt（yn·）→ κt（z·），对于泛函λ、θ和ν也是如此。我们将称之为在任何时候路径连续的系数∈ [0，T]。假设2.3。方程（4）存在一个（wea k）解，它在W中是唯一的。假设2.4。我们假设u±：R+→ R+和w±：[0,1]→ [0,1]是连续的非递减函数，对于所有x，u±（0）=0，w±（0）=0，w±（1）=1，u+（x）6 k+（xα+1）∈ R+，（10）w+（p）6g+pγ，对于所有p∈ [0,1]，（11）具有γ，α>0，k+，g+>0固定常数。我们用Lp表示(Ohm, P） 概率空间上P-可积随机变量的惯用空间(Ohm, F、 P）。假设2.5。存在θ>0使得θγ>1和Gπ∈ Lθγ(Ohm, Pπ）对于所有π∈ Π.注意，在假设2.3下，Gπ定律独立于π，因此假设2.5 ho lds i ff Gπ∈ Lθγ(Ohm, 对于一个特殊的π。为了确保（9）中的函数V和优化函数m在非空集上定义，我们引入以下假设onu-, 畸变函数w-和参考点Gπ。假设2.6。函数w-, U-是这样的，对于所有π∈ π，Z∞W-（Pπ（u）-（Gπ）>y）dy<∞. （12） 该假设确保集合∏′不是空的。的确，让我们(Ohm, F、 {Ft}06t6T，P）是一个过滤概率空间，其中（1）有一个解Yt。然后为所有t设置φt:=0和Xt:=x，Ohm, F、 {Ft}06t6T，P，x，Yt，0，（Bt，Wt），（x，y）属于∏′。修正x>0和y∈ R.我们的主要结果现在可以陈述了。定理2.4。在假设2.1、2.2、2.3、2.4、2.5和2.6下，问题（9）是适定的，即V<∞. 此外，存在一个最优策略^π∈ π′在（9）中达到上确界，即。

V=V（^π）。2.3控制集的放松我们通过扩展定义2.2中给出的投资策略类来引入问题的放松，我们将这种扩展称为辅助控制类。引入这种松弛是为了确保过程（Y·，X·）定律集的封闭性。我们遵循鞅问题公式，因此我们将At和Bt称为过程的漂移/扩散系数（Yt，Xt），正如它们出现在方程式（4）和（5）的鞅问题公式中一样。为了使用[12]，这些系数必须取Sd+1+×Rd+1的凸子集族中的值，因此我们将考虑方程（4）和（5）中系数取值的集合的“凸扩展”。定义2.5。表示A=Sd+1+×Rd+1。对于任意连续函数（x·，y·）∈ C（[0，T]；R×Rd）和任何T∈ [0，T]我们定义（x·，y·）=（a，b）∈ A.（a，b）=κκ（t，y·）0mλ（t，y·）xt,ν（t，y·）lθ（t，y·）xt,0 6米6 1,0 6升6√M（13） 备注2.6。注意，对于定义2.2中的任何投资策略π，如果σt=κ（t，y·）00φtλ（t，y·）xt英国电信=ν（t，y·）φtθ（t，y·）xt那么，定义=σtσt、 这对（at，bt）属于at（x·，y·）。以下定义描述了本工作中使用的辅助控制装置系列。它强调了这样一个事实：当t、x和y发生变化时，其系数以“可测量的方式”属于（x，y）处的凸集的It^o过程。定义2.7。我们定义了一系列辅助控制∏=∏（x，y）。

即辅助控制π∈ π由一个集合π组成：=Ohm, F、 {Ft}06t6T，P，Xt，Yt，（Bt，Wt），（x，y）其中x>0，y∈ R、 （a）Ohm, F、 {Ft}t>0，P是一个完全过滤的概率速度，其过滤满足通常条件；（b） ξt:=（Bt，Wt）是Rd+1值标准Ft布朗运动；（c） 存在一个A值，FB（[0，T]）-可测量且Ft适应的过程，用（at，bt）表示，如（d）和（e）以下的保持；（d） XT和Ytare F B（[0，T]）-可测量且经Ft调整，以使a.s。对于所有t>0；YtXt=yx+Zt√2asdξs+Ztbsds；（14） （e）对于几乎所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]，我们有（at，bt）∈ 在（X·，Y·）。我们经常写Xπ，Yπ来表示X，Y属于π。对于每个π∈ π，我们可以像以前一样定义V±（π），我们可以设置V（π）：=V+（π）- 五、-（π） 对于π∈ Π′:= {π ∈ π：V-(π) < ∞}.备注2.8。对于（X·，Y·）的一对过程At和btin，可以用0 6 mt6 1，0 6lt定义相应的实值过程Lt和Mt√mtsettinglt:=bd+1tθt（t，Yt）6=0/（Xtθt（t，Yt）），mt:=ad+1，d+1λt（t，Yt）6=0/（Xtλ（t，Yt））。定义2.7中的条件（c）、（d）以及假设2.2意味着LT、MTF可以选择为FB（[0，T]）是可测量的，并经过Ft调整。方程（14）可以改写为以下方程组。表示σt=κ（t，Y·）0√mtλ（t，Y·）Xt和BT=ν（t，Y·）ltθ（t，Y·）Xt.设置为：=σtσt、 Yt=y+Ztνs（y·）ds+Ztκs（y·）dBs，（15）Xt=x+Ztlsθs（y·）Xsds+Zt√msλs（Y·）XsdWs。（16） 定义2.9。让π∈ 保持放松的控制。我们说，如果=√mt，即。dXt=√mtθ（t，Y·）Xtdt+√mtλ（t，Y·）XtdWt。（17） 备注2。10.如果Xπ是一个投资组合价值过程，那么t kingφt=√我们可以看到Ohmπ、 Fπ，Fπtt> 0，Pπ，Xπt，Yπt，φt，Bπt，Wπt, （x，y）属于∏。备注2.11。假设给我们一个π∈ ∏即。

有一个标准的d+1维布朗运动（B，W）Ohmπ、 Fπ，Fπtt> 0，Pπ以及等式（15）和（16）所适用的xπt，Yπt，mπt，lπtsuch。定义连续半鞅Mπt:=Rtpmπtsλs（Y·）dWs+Rtlπtsθs（Y·）ds。然后我们可以重写方程（16）asXt=x+ZtXsdMπs.（18）方程（18）在给定的概率空间上有一个唯一的强解，给定s tochastic指数xπt=x expZt√msλsYπ·dWπs+ZtlsθsYπ·-msλsYπ·ds,（19） 这个过程是正Pπ-a.s.2.4 Krylov定理和相关结果引理2.12。设M=max{kκk∞, kλk∞, kθk∞, kνk∞}. （x·，y·）处的集合是闭且有界的凸集，其中界仅取决于M和xtonly。证据符号|·|指的是不同维度的欧几里德规范。为了简单起见，我们假设d=1。注意|（σt，bt）|=κt（y·）+mλt（y·）xt+νt（y·）+lθt（y·）xt1/2，因此|（σt，bt）|6√2M（1+| xt |）。（20） 很明显，布景已关闭。对于固定的t，x·和y·s-et是有界的。的确，让我们（at，bt）∈ 在（x·，y·）。我们拥有的n |（at，bt）|=·κt（y·）+·m·λt（y·）·xt+ νt（y·）+lθt（y·）xt1/2，所以|（英国电信，at）|6M+·M·xt+ M+Mxt1/2，这导致|（at，bt）| 6（M+1）+Mxt。特别地，kAt（x·，y·）k:=max{|（at，bt）|：：（at，bt）∈ 在（x·，y·）}6K时1+| xt|, （21）对于一些K≥ （x·，y·）处的集合也是凸的。的确，让（α，b），（γ，c）∈ 在（x·，y·）那么，对于0≤ u ≤ 1，u（α，b）+（1- u）（γ，c）=κt（y·）0（um+（1- u）n）λt（y·）xt,νt（y·）（ul+（1）- u）p）θt（y·）xt0 6米，n 6 1，0 6升6√m和06P6√n、 显然，ul+（1- u）P6Pum+（1- u）n，通过平方根函数的凹度。在处理与定义2.5和（13）中定义的集合系列相关的（半）连续性问题时，现在考虑（x·，y·）处的支持功能。我们代表所有人∈ R（d+1）（d+1），v∈ Rd+1和t∈ [0，T]，英尺（x·，y·）（u，v）=最大值Xi，jaijuij+Xjbjvj：（a，b）∈ At（x·，y·）.