具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算

图2）定义的asW:={（y，θ）∈ R×[0，∞) | y<y（θ）}，S:={（y，θ）∈ R×[0，∞) | y>y（θ）}。（3.14）本文研究的最优清算属于有限燃料控制问题，这通常会导致自由边界问题，类似于上面推导的问题。参见[KS86]JJZ08（候选）边界Y（θ），然后是值函数V，并证明它们解出了所需的方程，并且导出的控制策略是最优的。备注3.8。蒂梅特和她所持有的股票。为了帮助直觉，我们将沿着时间的θy或W之间的边界，而不是一眼就引入各种函数θy，但必须记住，这些函数是不同的函数，例如，在区分时。备注3.9（关于确定性最优控制）。通过证明定理3.4，我们将在接下来的章节中得到最优策略。在这里，我们直接说明为什么非确定性策略对于（3.5）和优化超确定性策略是次优的，构造候选解并证明最优性，如后文所示。T<∞, 然后，值函数将与我们在确定性策略的子集上进行优化时一样。实际上，通过可选投影（见[DM82，VI.57]），我们得到了[LT（y；Θ）]=-EhMTZTe-δtf（Yt）-) dΘcti- EhMTX0≤T≤TΘt6=0e-δtZΘtf（Yt）-+ x） dxi。T∈, ∞ePMT/MPFTELTyEeP[\'T（Θ）]代表\'T（Θ）：=-MRTe-δtf（Yt）-) dΘct- MP0≤T≤TΘt6=0e-δtRΘtf（Yt）-+x） `ePTω同值函数。请注意，这与[Lok12，第7.2号提案]类似。利用单调性，我们得到∞（y；Θ）]=supT∈[0,∞)E[LT（y；Θ）]，因此上述测量值的变化产生v（y，θ）=supT∈[0,∞)supΘ∈Amon（θ）E[LT（y；Θ）]等于up∈[0,∞)supΘ∈Amon（θ）确定性\'T（Θ）=supΘ∈阿蒙（θ）确定性`∞(Θ).

（3.15）此外，我们可以检查任何确定性最大化子Θ*∈ Amon（θ）到（3.15）也是原始问题（3.4）的最佳值，其中v（y，θ）<∞ 由于δ<0。备注3.10。对于给定的有限地平线∞, GeneralPS11（δ=0）的执行问题。当漂移δ为零时，具有乘法影响的问题可以转化为乘法设置中的additiveLok12PSS11horizon情况，但对于δ6=0，则不能。∈ 阿蒙-F（y）=Ryf（x）dx。对于确定性Θ和g（x）：=f（h）-1（x））x+δF（h-1（x））我们有[LT（Θ）]=F（Y0-) - eδTF（YT）-中兴通讯-δtg（h（Yt））dt。（3.16）gxfhλhδ/hH-1xghy∞^g（x）={`（x）|`≤ g是一个}存在。对于cδ，T:=RTe-δtdtJensen不等式yieldsE[LT（Θ）]≤ F（Y0-) - eδTF（YT）- Cδ，T·^gZTh（Yt）e-δtCδ，Tdt（3.17）（3.17）几乎所有∈（0，T）。这种影响策略类似于[PSS11]的A类策略。（3.17）中的积分一般只能在δ=0时求解。在这种情况下，cδ，T=TandRTh（Yt）dt=Y0-- Θ0-- 对于在时间T之前清算的任何策略，soE[LT（Θ）]≤ F（Y0-) - F（YT）- T^gY0-- Θ0-- YTT=:^G（YT）。（3.18）删除（y）：=（Y0）--Θ0-- y） /T.直接计算表明凹函数-1（h（y）∞)) 和（如果0-≤Θ0-) 非递减ate-1（h（y））。所以^Gobtainsy*∈E-1hy，e-1hy∞证明^g=g在[h（y）上∞), h（y）]。以A型战略为例Θ*它执行一个初始大宗交易Θ*=Y-Y0-玩具：h-1.嗯**t/thYey*直到时间和规模的大宗交易结束Θ*T=y*- Y冲击水平Y*英语教学*^Gy**Y0-≤0-4.解决自由边界问题∩ S{yθ，θ|θ≥}{y，θy |……}在假设3.2下，最优策略由θ（y）=1+h（y）λ（y）δ的自由边界描述-h（y）h（y）δh（y）+h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y） （4.1）yy∞, yθy（4.1）垂直渐近线，在第4.4节中，我们构造了自由边界问题（3.9）-（3.13），完成了最优清算问题的验证。4.1.

平滑粘贴法根据有关有限燃料随机控制问题的文献，参考[KS86，第6节]，我们应用平滑法原理推导（4.1）除以（V，y（·））得到的候选边界已经构建，并且沿着自由边界非常平滑。这将是自由边界问题的经典解。W{y，θ：y<c}一些c<0。在这种情况下，等待区域中（3.9）的解的形式为v（y，θ）=C（θ）expZyc-δh（x）dx, （y，θ）∈ W、 （4.2）其中C:[0，∞) → [0, ∞). 为了进一步缩短项，让φ（y）：=exp（Ryc）-δh（x）dx），y≤ c、 CVy+Vθ和表达式Vθy+vyy在等待区域，我们得到（y，θ）∈ W thatVy（y，θ）+Vθ（y，θ）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+C（θ）φ（y），（4.3）Vθy（y，θ）+Vyy（y，θ）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+δC（θ）φ（y）h-2（y）（δ+h（y））。（4.4）另一方面，在销售区域收益率中计算的相同表达式（对于（y，θ）∈ S） Vy（y，θ）+Vθ（y，θ）=f（y）和Vθy（y，θ）+Vyy（y，θ）=f（y）。现在，假设V是一个C2，1-函数。特别是，对于y=y（θ）：（f（y）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+C（θ）φ（y），f（y）=-δC（θ）φ（y）/h（y）+δC（θ）φ（y）h-2（y）（δ+h（y））。（4.5）将（4.5）作为C（θ）和C（θ）的线性系统求解，我们得到y=y（θ）：C（θ）=f（y）·φ（y）·h（y）δ+h（y）λ（y）δh（y）=:M（y），C（θ）=f（y）·φ（y）·δ+h（y）λ（y）+h（y）h（y）=:M（y）。（4.6）（4.6）Cθym和CθyMy，θ·y·稍后指定）。根据链式法则，我们得到M（y）=C（θ（y））·θ（y），因此θ（y）=M（y）M（y）=（δ+2hλ）（h）+（δ+2δhλ+hλ+hλ）h-h（δ+hλ）hδh（δ+hλ+h）（y） （4.7）定义θ（·）时。请注意，（4.1）和（4.7）的右侧是相等的。为了推导θ（·）的定义域，我们将边界条件（3.13）与（4.2）（4.6）y:yθ一起使用-（4.7）中的1δhyλydenominator表示∞求δ+h（y）∞)λ（y）∞) +h（y）∞) = 0是边界的垂直符号。请注意，假设3.2暗示了这一点∞< y<0，特别是，我们可以选择∈（y，0）在本节开头。

目前的讨论建议将候选边界定义如下：∈ （y）∞, y] 设置θ（y）：=-败走恶犬（δ+2hλ）（h）+（δ+2δhλ+hλ+hλ）h-h（δ+hλ）hδh（δ+hλ+h）（x） dx。（4.8）我们在引理4.1中验证了（4.8）定义了Limy和y的递减边界∞θ（y）=+∞θyVW（4.2）（4.6）S（3.11）。在第4.4节中，我们证明了这种构造给出了自由边界问题（3.9）-（3.13）的解，从而给出了最优控制问题的解。4.2. 变分法在本节中，我们提出了另一种通过变分法确定候选最佳边界的方法。此外，这给出了时间的明确描述，作为变分法中的一个等周问题，我们假设最优策略是确定性的（因此可以假设w.l.o.g.Mt/M=1，参见备注3.9），并且-T:inf{T≥|t} <∞τT- ttθτyτ，θτ∈ W∩ SC边界的平滑度。由（2.2）我们得到θ（τ）=y（τ）- 函数y（τ）=y（t）=Yt的h（y（τ））（4.9）。因此，优化问题（3.4）转化为发现：[0，∞) → R最大化j（y）：=ZTf（y（τ））e-δ（T）-τ)y（τ）- h（y（τ））dτ=：ZTF（τ，y（τ），y（τ））dτ（4.10），附带条件θ=K（y）：=ZTy（τ）- h（y（τ））dτ=：ZTG（τ，y（τ），y（τ））dτ（4.11），对于固定位置θ：=0-. 这个等周问题的欧拉方程是fy-ddτFy+λGy-ddtGy= 0（4.12）λλTTTθ和初始状态（T）仍然未知。先验地，最终状态（0）是自由的，这导致自然边界条件fy+λGyτ=0= 0. （4.13）当y:=y（0）和y:=y（τ）时，方程（4.13）简化为λ=-f（y）e-δT，and 0=f（y）h（y）- f（y）eΔτh（y）λ（y）+h（y）+δ（4.14）由等式（4.12）得出。请注意，涉及出现的术语影响dddτFyyyT<Tτ∈, Tθ=θ（T）y。因此，对于τ=0，我们得到h（y）λ（y）+δ=0，证明了假设3.2中的符号是正确的。

假设3.2保证了该模型的存在唯一性。它必须保持y<0，因为λ>0和h（y）<<=> y<0。重新排列（4.14）明确描述了边界沿线的清算时间：e-Δτ=f（y）f（y）h（y）λ（y）+h（y）+δh（y）。(4.15)τ 7→ yτθτRτyτ- hyττ函数将自由边界描述为参数曲线。微分方程（4.14）关于τ，我们得到0=f（y）h（y（τ））y（τ）- f（y（τ））y（τ）eΔτhλ+h+δ（y（τ））- δf（y（τ））eδτhλ+h+δ（y（τ））- f（y（τ））eΔτhλ+hλ+h（y（τ））y（τ）。因此，对于y=y（τ），我们得到y（τ）=δf（y）hλ+h+δ（y） f（y）h（y）e-δτ- f（y）hλ+h+δ（y）- f（y）hλ+hλ+h（y） ，（4.16）如果分母为非零。还要注意thaty（0）=-δh（y）h（y）λ（y）+hλ（y） <0（4.17）h>hλ>λ>T∞∈(0, ∞] 对于τ，y（τ）<0∈[0，T∞), 这里是双射的。调用τ（y）：=y-1（y）是它的倒数，让y∞:= limτ%T∞y（τ）<y。通过（4.15），等式（4.16）简化了toy（τ）=δhλ+h+δ（y） h（y）H- hλ（y）hλ+h+δ（y）-hλ+hλ+h（y） h（y）（4.18）fory=y（τ）。根据定义∞安迪∞, 我们看到y（τ）在[0，T]上是负的∞) 和0yy∞hy∞λy∞hy∞δy∞Y∞< yθ（y）在y上∈ （y）∞, y] 通过θ（y）=ddyθ（τ（y））=θ（τ（y））τ（y））从（4.9）中获得=y（τ（y））- h（y）y（τ（y））=1-h（y）y（τ（y））=1-h（y）δh（y）H- λh（y） +h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y） （4.19）θ（y）=0。我们还注意到（4.19）等于（4.1）。自由边界候选者的性质候选者边界的性质，特别是θ：（y）的双射性∞, y]→ [0, ∞).图2：状态空间的划分，对于δ=0.5，h（y）=y和λ（y）≡ 引理4.1。θ：y∞, Y→ R（4.8）Cy∞, Y∞θylimy&y∞θy∞证据h> y 7→δhλhy增加，使得（4.7）中的分母在y>y时严格为正∞. 因此，为了验证θ是否在减小，必须检查（4.7）中的分子是否为负。为此，我们将分子写成（δ+hλ）（h）+（δ+hλ）h+hh（hλ）- h（δ+hλ）h.注意，（δ+hλ）（h）+（δ+hλ）h=（δ+hλ）（δ+h+hλ）h<0，对于ally∈（y）∞, y） ，因为y<0。

因此，θ（y）<0表示y∈ （y）∞, y） 跟随byhh（hλ）- h（δ+hλ）h<hh（hλ）- h（δ+hλ）h- h（δ+h+hλ）（hλ）=-h（δ+hλ）（hλ+h）<0。很明显，θ在（4.8）isC中定义。因此，它仍有待于验证∞θ（y）=+∞. 注c<x∈Y∞, y指定符在[y]上有界∞, y] ，我们得到了平均值定理≤ δh（δ+hλh）（十）≤ C（x）- Y∞), 十、∈ （y）∞, y] ，对于有限常数C>0。因此，我们可以估计θ（y）≥败走恶犬-cC（x）- Y∞)dx=-复写的副本对数（y）- Y∞) - 对数（y）- Y∞)Y∈ （y）∞, y] ，收敛到+∞ 作为y&y∞. 这就完成了证明。4.4. 构造值函数和最优策略平滑粘贴方法直接给出边界上的值函数asV（y（θ），θ）=Vbdry（θ）：=f（y）h（y）δ+h（y）λ（y）δh（y）通过方程（4.2）和（4.6），y=y（θ）（4.20）。在变分法中，插入方程（4.15），用（4.9）改变变量，应用引理a.2，我们得到（4.20）作为（4.10）的解。通过等式（3.9），我们可以将V扩展到等待区域：V（y，θ）=VW（y，θ）：=Vbdry（θ）expZyy（θ）-δh（x）dx=fh（δ+hλ）δh（y（θ））expZy（θ）yδh（x）dx（4.21）y，θ∈ WVS:=S∩ {（y，θ）|y<y+θ}（y，θ）∈ S:y，θk·k∞y、 方向θ(-1.-1） ，即θ=θ*+ , y=y（θ）*) + ,  ≥ 0.（4.22）然后我们得到y（θ）≤ Y≤ y+θ，thatV（y，θ）=VS（y，θ）：=Vbdry（θ）*) +Zf（y+x）dx（4.23）=fh（δ+hλ）δh（y）- ) +败走恶犬-f（x）dx。（4.24）类似地，通过等式（3.13），我们得到S中的V:=S\\S，即y≥ y+θ：V（y，θ）=VS（y，θ）：=Zyy-θf（x）dx。（4.25）由于Vbdry（0）=0，我们可以通过扩展来组合EV和VS（y，θ）：=θ在内部。所以:= （y，θ）是k·k吗∞-方向距离(-, -1） 点（y，θ）的方向∈ 斯托SandV（y，θ）=VS（y，θ）：=Vbdry（θ）- ) +败走恶犬-f（x）dx（4.26）y，θ∈ Syθ-Y-在下一个引理中（在附录A中证明），我们可以证明定理3.4的主要结果。引理4.2。

函数V:R×[0，∞) → R与v（y，θ）=（Vbdry（θ- ) +雷伊-f（x）dx代表y≥ y（θ），Vbdry（θ）·expRyy（θ）-δh（x）dx, 为了你≤ 由方程（4.20）、（4.21）和（4.26）定义的y（θ）是inC（R×[0，∞)) 并解决了自由边界问题（3.9）-（3.13）。定理3.4的证明。y（θ）的光学连续性。事实上，Θoptis是确定性的，因为确实如此。如Lemma A.5的证明所述，函数Y 7→f·（hλ+h+δ）/h（y） （y）在增加∞, y] ，所以τ（y）yτθd减小了Θopt。右连续性来自定理中所述的5个步骤的描述。所以Θopt∈ 阿蒙（9200）-).hλhδ>y∞, yτYs<∞YSS>Y0-< y0-h（y）<0，我们有s<∞.关于最优性：注意（Yt，Θt）∈min{y-Θ0-,}, max{，y}×,Θ0-fory=Y0-hh>VYt，tVGMVGG- G0-SRΘVyVθ- FY0-x、 0-xx≤带G0的真鞅-= GforΘopt。因此，3.6号提案适用。（a） 固定β=1，δ=0.1，变化r.（b）固定r=1，变化β和δ。图3:Ex.4.3中的清算率（初始大宗交易后）。直线在θ（τ）=100处结束。例4.3。回想例2.1，让h（y）=βy表示β>0。然后（hλ）>0=-cδβ+（1）- r） δ和y∞=-c（β+δ）β+（1）- r） （β+δ）。从证明中可以看出，λ和hare只在可能的yt值下需要。HenceAsumption 3.2有效地限制了状态空间W∪ Stoc+（1）- r） y>0。我们只有10个-yy∞Y0-Y∞yy∞< y<r∈,β/βδ对于r6=1和y∈ （y）∞, y] 我们得到θ（y）=βy+δA（y）δ（1）- r）-βcBδC（1- r） 日志A（y）Bβc+βc（β+δ）δ堵塞βA（y）βy+（β+δ）A（y）,（a） 固定β=1，r=1，变化δ。

（b） 固定β=1，δ=0.1，变化r。图4:Y0-0-（y（Θ），τ（Θ）），其中连续交易开始。带A（y）：=c+（1）- r） y，B:=β+（1）- r） δ和C:=β+（1）- r） 而θ（y）=（βy+δc）（βy+（2β+δ）c）2βδc- cβ+Δδ测井曲线βy+（β+δ）cβc如果r=1。沿边界的液化时间（TTL）是δ、β、r和y/c的函数，即τ（y）=-δlog1 + (1 - r） y/c1+（1）- r） δ/β1/(1-r）y/c1+（1）- r） y/c+β+Δβ如果r6=1，-yδc-β-δlogyc+1+Δβ如果r=1。rδ→ ∞Y→ -∞δ乘积对数W:=（x 7→ xex）-1，r=1时的影响和资产位置，τ≥ 0 arey（τ）=cWe1-δτ- cβ+Δβ和θ（τ）=βc2δWe1-δτ- 1.- cβ+Δδlogwe1-δτ沿着自由边界。速率dΘt/dt=-θ（T）- t） 对于TTLτ=t，变得渐近恒定- T→ ∞τ减小→0，参见图3。相应的极限为limτ→∞θ(τ) = -h（y）∞) =βc（β+δ）β+（1- r） （β+δ）和θ（0）=Δβc2β+（1）- r） δ。备注4.4。如何以最佳方式获得资产头寸，将预期成本降至最低，这与之前的清算问题是自然对应的；参考[PSS11]。为此，（描述一段时间内购买的累计股份数量），可接受（购买）策略Θ的折扣成本（负收益）为∞eηtf（Yt）-)MtdΘct+Xt≥0Θt6=0eηtMtZΘtf（Yt）-+ x） dx，（4.27）e-γtSteηtMtη：u- γ-Δη>随着（预期）价格的上涨。{f+Vy中的变分不等式- Vθ，ηV- hVy}=0。对于最优清算问题，以前采用的一种方法再次允许通过自由边界构造区域和购买区域的经典解，即θ（y）=-1+h（y）λ（y）η-h（y）h（y）ηh（y）+h（y）（hλ+h）- η） （y）η（hλ+h- η） （y，y）≥ y、 （4.28）初始条件θ（y）=0，其中是h（y）λ（y）=η的唯一根（类似于（4.1）η>f∈ Cfλy:fy/fy>h∈ Chh>h>hh（hλ）>0和（hλ+h）>0。注意，除了η>0和（h）>hh之外，这些都符合假设3.2。

对于α，β>0，满足（h）>hhareh（y）=βyandh（y）=αarctan（βy）的示例。（4.28）y∞分母hλ+h-η、 丁∞< yandθ（y）=h（hλ）/（ηh）（y） >0。技术条件（h）>hh保证所有y的边界严格增加≥ y、 五,。最优清算具有非单调策略、显著的价格影响和明确的分析结果，我们简化了其他模型方面。这是对常见的相对流动性风险资产所观察到的主要单点价差的理想化[CDL13]。但请参见备注5.4。我们证明了当0时，最优交易策略是单调的-不太小（见备注5.3）。更准确地说，非恒定界面，与第4节中构造的自由边界重合。例如，在第2.1节中，我们只指定了LOB的投标方。现在，西方战略可以用一对不断增长的c`adl`ag过程来描述（a+，a-) A±0-= 0，其中+t（分别为A-t） 描述累计售出（或购买）的资产数量。她的风险资产头寸为Θt=Θ0--（A+t）- A.-t） 在蒂梅特≥0.我们假设价格影响过程Y=YΘ由（2.2）和Θ=Θ0给出--（A）+- A.-), 最佳买入价和卖出价按照相同的过程S=f（YΘ）S演变，也就是说买卖价差为零。按timetof大小执行市场购买订单的收益A.-t> 0由（2.5）和Θt=A.-t、 收益为负γ交易策略收益（A+，A-) 在一段时间内[0，T]areLT=-中兴通讯-γtf（Yt）标准Θct-十、Θt6=0吨≤Te-γtStZΘtf（Yt）-+ x） dx。（5.1）对于有限变异策略，Θ（5.1）中的和绝对收敛，参见。

备注3.1。我们考虑了可容许交易策略集SABV（Θ0）上的优化问题-):=Θ = Θ0--（A）+-A.-) | A±在增加，c`adl`ag，可预测，有界，A±0-= 0和Θt≥ 0代表t≥ 0, （5.2）AA+- A.-Aeven（有界）变异；最后一个条件意味着卖空是不允许的。为了一个可接受的策略Θ∈ Abv（Θ0）-),LT（y；Θ）如（3.3）所定义，但扩展到（5.1）中的一般有界变异策略，描述了在时间间隔[0，T]上实施Θ的收益。这些收益是everyT的最终收益≥0，见备注3.1。极限→∞ltylyl+y- L-y、 LyLy±±0- A±L±Ty≤ LTy±T≥YΘ-≥ YΘ≥ YΘ+A+A-≤ CCL±Ty≤ L∞y±∈ 莱弗里特≥.通过控制收敛，我们得到L±T（y；Θ）→ L±∞（y；Θ）inLandT→ ∞极限→∞伊蒂尔+∞Y- L-∞y:我∞YLJY可能的中间购买，maxΘ∈Abv（Θ0）-)J（y；Θ）代表J（y；Θ）：=E[L∞（y；Θ）]，（5.3）定义明确。通过第3节（参考命题3.6和命题3.8）中的论证，我们可以看到，在这种情况下，有必要找到以下问题的经典解vy+Vθ=f，关于R×[0，∞), (5.4)-δV- h（y）Vy≤ R×[0]上的0，∞), (5.5)-, t最优清算策略可以用一个卖出区和一个买入区除以一个边界来描述。SWB:R×，∞\\ Sy，θBy，θ∈ R×，∞y、 θk·k(-, -1） 点（y，θ）到边界的距离S={（y（θ），θ）|θ≥} ∪ {（y，0）|y≥ y} ，即（y）- , θ - ) ∈ 回顾一下VSin（4.26）和letVB（y，θ）的定义：=Vbdry（θ）- （y，θ）-Zy-（y，θ）yf（x）dx，表示（y，θ）∈ B.到目前为止的讨论表明，以下函数将是问题（5.4）-（5.5）的经典解决方案，描述优化问题（5.3）的值函数：VB，S（y，θ）：=（VS（y，θ），if（y，θ）∈ S、 VB（y，θ），if（y，θ）∈ B、 （5.6）直到乘法常数S。