具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算

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英文标题：
《Optimal Asset Liquidation with Multiplicative Transient Price Impact》
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作者：
Dirk Becherer, Todor Bilarev, Peter Frentrup
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study a multiplicative transient price impact model for an illiquid financial market, where trading causes price impact which is multiplicative in relation to the current price, transient over time with finite rate of resilience, and non-linear in the order size. We construct explicit solutions for the optimal control and the value function of singular optimal control problems to maximize expected discounted proceeds from liquidating a given asset position. A free boundary problem, describing the optimal control, is solved for two variants of the problem where admissible controls are monotone or of bounded variation.
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中文摘要：
我们研究了一个非流动性金融市场的乘性瞬时价格影响模型，其中交易引起的价格影响相对于当前价格是乘性的，随着时间的推移具有有限的恢复率，并且订单大小是非线性的。我们构造了最优控制的显式解和奇异最优控制问题的值函数，以最大化清算给定资产头寸的预期贴现收益。对于问题的两个变量，描述了最优控制的自由边界问题，其中容许控制是单调的或有界变化的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_Asset_Liquidation_with_Multiplicative_Transient_Price_Impact.pdf (691.73 KB)

2022-5-7 07:49:01 上传

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关键词：Quantitative Applications Differential Optimization Probability

具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算*, Todor Bilarev+，Peter Frentrup洪堡大学数学研究所zu BerlinMay 1，2017年金融市场，交易对价格的影响与当前价格成倍增加，随时间的推移具有一定的弹性、最优控制和奇异最优控制问题的价值函数。对于可容许控制为单调或有界变分的两个变量，求解了描述最优控制的自由边界问题。关键词：奇异控制、有限燃料问题、自由边界、变量不平等性、流动性不足、乘性价格影响、限价订单书MSC2010主题分类：35R35、49J40、49L20、60H30、93E20、91G801。介绍市场，目标是出售（或购买，参见备注4.4）给定数量的风险资产，并提前完成交易。最优交易执行问题已经被许多学者研究过*我们感谢Peter Bank就控制问题的早期版本进行了富有成效的讨论。+感谢培训团队RTG1845 StoA电子邮件地址：Becher，bilarev，frentrup@math.hu-柏林。dearXiv:1501.01892v3[math.OC]2017BL98OW13AFS10KP10ASS12FKTW12LS13to[PSS11，GS13]以获取进一步的参考和应用背景。提出问题（3.3）（3.4）[Tak97，DZ98，DM04]，明确取决于状态过程（S，Y），控制策略Θ中每个跳跃的积分总和。

关于最优奇异控制存在性的更多结果，请参阅这些文章；在几个方面，对这些问题的明确描述可能与本文所考虑的有所不同。在本文中，我们研究了与[PSS11，AFS10，OW13，LS13]的加法极限指令簿模型密切相关的乘法极限指令簿模型，关键区别在于指令的价格影响是乘法的，而不是加法的。在没有大型交易者活动的情况下，风险资产价格遵循一些未受影响的非负价格演化=（St），例如几何布朗运动。交易策略交易助理=Stf（Yt），t≥0，对于描述市场影响水平的流程。Yt-Hytt是由持有的风险资产的数量驱动的，可以被解释为一个数量。在函数SF，h（见假设3.2）中，资产出售（购买）降低（增加）了弹性的极限率。由于是正的，乘性价格影响确保了[BL98]中GS13模型的风险，而负价格可能发生在加性影响模型中。我们接受扰动，订单的深度可以是有限的，也可以是有限的，参见第节。2.1.hYt/YtYtS，YYPSS11AFS10LS13PSS11GZ15[AFS10，KP10]考虑在离散时间进行交易。AFS10PSS11PSS11为了识别具有isLok12PSS11影响的自由边界的有限时域问题中的最优控制，[LS13]研究有限时域的一般漂移问题，而WEKP10FKTW12GZ15和结果在关键方面有所不同。文章[GZ15]考虑了永久性价格影响、影响、一般影响函数和零差价（见第5节）。

[FKTW12]研究了由启发式参数导出的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数值解，研究了Black-ScholesKP10解有限期上的不同最优执行问题，其非线性瞬态价格影响是当前订单的函数，通过Y依赖于所有过去订单的时间和大小，如[PSS11]所示。对于最优控制，我们通过验证变分不等式证明了最优性（对于最优清算问题的两个变量，我们得到了显式解）。在Firstsell中，但不购买，而对于第5节中的第二个变量（II），中间购买是允许的，即使交易者最终想要清算她的头寸。变体Iregulation只执行销售订单。第二个变量可能适用于投资者交易12，并且由于对合适的参数化越来越不耐烦而趋于零，参见示例4.3和图4a。在例5.5中，我们比较了加性和乘性限额指令簿如何在标准影响下产生不同的最优控制定性特性，这比具有资产价格乘性演化的模型更好。2.瞬时和倍增价格影响，F，Ftt≥0，PFtt≥0假设满足右连续性和完全性的一般条件，全部为半JS03FF0-σ考虑除无风险计分资产外，还有风险资产的市场，风险资产的受影响（基本）价格过程的形式为st=eutMt，S∈ (0, ∞), (2.1)u ∈ RMsupt≤TEMt<∞T∈, ∞JS03Mτ：Mτ- Mτ-τSQQPQ~ PFTT∈, ∞对于小投资者来说，在任何有限的范围内，风险都会消失[DS98]。

素数示例mmeσWWσ>更一般地说，M=E（L）可以是局部鞅的随机指数，这是一个具有L>-1安第斯[M]<∞这不是单调的（参见[Kal00，引理4.2]和[CT04，定理9.9]），或者对于可预测的随机波动过程（σt）t，可以有m=E（RσtdWt）≥0当c>1时，在[1/c，c]中有界。tt≥00-≥表示初始位置，Θ0--Θ是指在kP10GZ15控制问题出现之前出售的风险资产的累计数量，具有有限的范围和负漂移，以确保优化器的存在。首先，我们假设Θ在减少，但这将在第5节中推广到有界变差的非单调策略。关于执行订单的价格，如下所示。一个过程，即市场影响过程，捕获了策略Θ对价格的影响，并定义为解决方案todYt=-h（Yt）dt+dΘt（2.2）Y0-∈ 右：右→ R与H（0）=0连续。更多条件将在假设3.2的后面部分施加。在这种市场影响下，市场具有弹性回归到中性水平0h（Yt），这可能是非线性的，由弹性函数h规定。例如，当n（y）=βy为线性时，市场以指数速率β>0（如[OW13]）复苏。显然，Y依赖于Θ，偶尔我们会通过写Y=YΘ来强调这一点。实际（报价的）风险资产价格受大型交易策略的影响，通过市场影响过程Y以乘法的方式进行，并通过t:=f（Yt）St（2.3）对公式f（Y）=exp的递增函数f进行建模Zyλ（x）dx, Y∈ R、 （2.4）λ：R→, ∞Stt≥0大型交易员根据连续策略Θc出售风险资产，然后分别出售（负成本）-RTSudΘcuover any period[0，T]。

为了允许涉及大宗交易的非连续性交易，也允许从一定规模的市场抛售订单中获得收益Θt∈ Rattime t，由术语给出-StZΘtf（Yt）-+ x） dx，（2.5），这是在（影子）限价指令簿内执行大宗交易时解释的，（3.3）定义的收益的良好稳定性属性，作为策略的函数，参见[BBF17]。特别是，用一系列在越来越短的时间间隔内进行的连续交易来近似大宗交易，可以得到极限中的项（2.5）。2.1. 多重市场影响的限额指令簿视角多重价格影响和大宗交易的收益可以通过影子限额指令簿（LOB）中的交易来解释。现在，我们将展示乘法价格影响函数F如何与LOB形状相关，LOB形状是根据相对价格ρt:St/stspecified相对于绝对价格pertubationsSt确定的- [PSS11]中的Stas。请注意，LOB形状是静态的（第5节考虑了一个双边LOB，其买卖价差为零）。根据LOB形状，这种模型可以被视为价格影响的低频模型，该形状在较长的期限内具有代表性，但不适用于短期内的高频交易。Lets=ρStbe一些接近未受影响价格的价格。letq（ρ）dρ表示（出价或要价）在价格水平，即相对价格扰动ρ下的价格。这导致了累积分布函数q（ρ）的测量：=Rρq（x）dx，ρ∈(0, ∞).价格对应于某个游骑兵扰动ρ的订单总量(0, ∞) 然后是isRRq（x）dx。销售-Θt分时将价格从ρt调高-SttoρtSt，而体积变化为q（ρt-)- Q（ρt）=-Θt.此次销售的收益rρt-ρtρQρYt:Qρtf:Q-1可用方程式（2.5）表示。从这个意义上讲，Yfrom（2.2）可以理解为[PSS11，第2节]中的体积效应过程。

如需说明，请参见图1。例2.1。让（单面或双面）阴影限制订单簿密度beq（x）：=c/xrx∈, ∞c、 r>crq-Θt-Ytf（Yt）f（Yt）-) 1图1:QFY销售一块尺寸-Θt>0。注意-Yt=-Yt-- Θt.r<r>（2.2）注意[PSS11，第185页]假设目标交易方向的市场深度有限。当x>0和（r）时，求逆f- 1） y 6=c asQ（x）=（c log x，对于r=1，c1-r（x1-R- 1） ，否则，f（y）=（ey/c，对于r=1，1 +1-rcy1/(1-r） 否则。对于参数函数λ，这产生λ（y）=f（y）/f（y）=（c+（1）- r） y）-1.注意R 6fλcr-1.∞r<-∞,铬-1r>f>还有一些有趣的案例，比如∈(0, ∞)\\ 如果{y:<fy<∞}D关于策略Θ（在（3.1）、（5.2）中）可接受性的附加要求，该策略Θ必须参与If。例4.3将进一步调查该案例。3.具有单调策略的最优清算0-根据一些性能标准，分为更小的订单进行改进。在第5节之前，我们将把自己局限于单调控制策略，不允许中间调节有限的变化，也允许中间购买订单。对于初始位置Θ0-股票，一套可接受的交易策略isAmon（Θ0-):=ΘΘ正在减少，c\'adl\'ag，可预测，为Θ0-≥ Θt≥ 0.（3.1）TTP策略Θ∈ 阿蒙（9200）-) 分解为连续和不连续部分Θt=Θct+X0≤s≤TΘs，（3.2）cts:s-s-≤, ∞打折。从策略Θ到时间T的γ贴现收益∞ 阿雷特（y；Θ）：=-中兴通讯-γtf（Yt）标准Θct-X0≤T≤TΘt6=0e-γtStZΘtf（Yt）-+ x） dx，（3.3），其中y=Y0-是进程的初始状态。很明显，Y0-和ΘdetermineYby（2.2）。备注3.1。（3.3）中的（可能）最终金额具有最终预期。的确，对任何人来说∈ 阿蒙（9200）-) 一个哈苏普≤T|Yt|<∞.

因此，中值定理和f的性质暗示了t∈ [0，T]0≤ -ZΘtf（Yt）-+ x） dx≤ -Θtsupx∈(Θt，0）f（Yt）-+ 十）≤ -Θt·supt≤Tf（Yt）。(3.3)∈ 阿蒙-Ysupt≤t有界，我们有E[supt]∈[0，T]St]<∞ 和0≤Pt∈[0，T](-Θs）≤ Θ0-.注意，单调极限∞（y；Θ）：=limT%∞LT（y；Θ）始终存在。我们考虑控制问题，以找到在开放（有限）时间范围内最大化预期（贴现）清算收益的最优策略∈阿蒙（9200）-)J（y；Θ）代表J（y；Θ）：=E[L∞（y；Θ）]，（3.4）与值函数v（y，θ）：=supΘ∈阿蒙（θ）J（y；Θ）。（3.5）（见下文备注3.9）。自预期起[exp(-γt）St]=Sexp(-t（γ）- u），t≥0，取决于u，γ仅通过δ：=γ- 对于正的优化问题，哪个更重要∞对于θ>0。因此，关于大投资者选择的γδ参数（当选择γ时），指定她的偏好todS/S组合。对于第3节至第5节，假设δ、f、h满足以下条件。假设3.2。地图t 7→ E[E]-γtSt]，t≥ 0是递减的，即δ：=γ- u > 0.f:R→, ∞ff∈ c增加使得λ（y）：=f（y）/f（y）>0。弹性函数h:R→ （2.2）中的R是h（0）=0且h>0的cw。弹性和市场影响满足（hλ）>0和（hλ+h）>0。存在h（y）λ（y）+δ=0的解∞toh（y）∞)λ（y）∞) +h（y）∞) +δ= 0.（yand y的独特性∞由其他条件决定。）备注3.3。（hλ）>0和（hλ+h）>0是我们验证最优性的技术要求。已经从影子限额订单簿（LOB）的角度（参见第2.1节）来看，一些SORTHFA看起来很自然。满足假设3.2和f（y）的示例：=eλy对于常数λ>hyβyβ>δ>实例有界弹性，h（y）=αarctan（βy），对于α，β>0，β<λ且不太<δ<αλπδ，最初在时间0的一切都是最优的）。双面限制订单簿。

定理3.4的证明见第4节。定理3.4。让模型参数sh，λ，δ满足假设3.2和Θ0-≥0开始。定义y∞< y<0作为h（y）的唯一解∞)λ（y）∞) + h（y）∞) + δ=0和h（y）λ（y）+δ=0，且设τ（y）：=-δlogf（y）f（y）h（y）λ（y）+h（y）+δh（y）, （3.6）y∈ （y）∞, y] τ7→ y（τ）：[0，∞) → （y）∞, y] θyy∈ （y）∞, y] ，是普通微分方程θ（y）=1+h（y）λ（y）δ的严格递减解-h（y）h（y）δh（y）+h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y） ，y∈ （y）∞, y] ，（3.7）θyθ7→ yθ≥Θ0-和Y0-, 确定以下清算策略Θ=Θ选项。1.如果Y0-≥ y+0-, 一次性出售所有资产：Θ=0.2。y0-< Y0-< y0--≡0--Θ>0和Y≡ Y0-+ Θ=y（Θ）。Y0-< y0-sinf{t>|ywty0-} < ∞ywywt-HYWTYY0-也就是说，设置Θt=Θ0-对于t<s，这导致t<s.4的Yt=yw（t）。YSS≥连续：Θt=θ（y（t- t） ）s≤ T≤ T，直到时间T=s+τ（y（Θs））.5。当所有资产在某个时间出售时停止∞: Θt=0，t∈ [T，∞).然后，策略Θoptis是最优变现maxΘ问题（3.4）的唯一最大化子∈阿蒙（9200）-)E[L∞（y；Θ）]-初始市场影响为Y0的资产-= y、 相关文献）。西塞特∞如果是有限的，那么定理3.4中的开放地平线控制显然对任何有限地平线上的问题都是最优的≥ T参见备注3.10。备注3.5。[PSS11]考虑一个类似的最优执行问题，具有可加性价格影响ψ，使得St=St+ψ（Yt），具有（2.2）中的体积效应过程。他们研究了有限时间范围内鞅的情况[0，T]。执行成本等于负清算收益，而执行成本在预期中寻求最小化-在我们的模型中（对于γ，u=0），使用固定的Y0-:= 0.另见下文备注3.10。（3.4）Y0-Y∈ RPSS11在无漂移（δ=0）的有限时间范围内的购买策略，以及在零开始的冲击过程，使用优雅的凸性参数进行表征；查阅

备注3.10。提议3.6。V:R×，∞→, ∞Gt（y；Θ）：=Lt（y；Θ）+e-γtSt·V（Yt，Θt），Y=YΘandy=Y0-, 这是一部超级电影∈ 阿蒙-Gy≤ G0-y:S·VY0-,0-ThenS·V（y，θ）≥ v（y，θ），θ=0-. 此外，如果存在Θ*∈ 阿蒙（9200）-) 这样的*) 是一个鞅，它保持g（y；Θ）*) =G0-（y；Θ）*), 然后s·V（y，θ）=V（y，θ）和V（y，θ）=J（y；Θ）*).备注3.7。GG0-时间区间[0，T]到时间“0”的（超）鞅性质-”.证据注意，EG0-（y；Θ）= G0-（y；Θ）=S·V（y，θ）和Gt（y；Θ）= ELt（y；Θ）+ EE-γtSt·V（Yt，Θt）每个人≥而且，V（Yt，Θt）是一致有界的≥0和Θ∈ 阿蒙（9200）-) 通过有限常数c>0，因为假设是连续的（因此在紧集上有界），状态过程（Y，Θ）取矩形中的值-|y|-θ、 |y |+θ×, θ.因此，EE-γtSt·V（Yt，Θt）≤ 总工程师-γ-碲圣=总工程师-δts0趋于0→ ∞, 因为δ>0。自那时起[Lt（y；Θ）]→ J（y；Θ）ast→ ∞利用单调收敛定理，weS·Vy，θ≥ Gy≥ E[Gty]→ Jy。索赔的一部分。第二部分与此类似。GVS·，e-γ·VY·Squasi左连续和e-γ·V（Y·，Θ·）是可预测的，且有界变化，以获得dgt=e-δtV（Yt-, Θt-) dMt+e-δtMt--δV- hVy（Yt）-, Θt-) dt+Vy+Vθ- F（Yt）-, Θt-) dΘct+ZΘtVy+Vθ- F（Yt）-+ x、 Θt-+ x） dx(3.8)-δV- hVy（a，b）：=-δV（a，b）- h（a）Vy（a，b）Vy+Vθ- F（a，b）：=Vy（a，b）+Vθ（a，b）- f（a）。现在，鞅最优性原理提出了最优策略应该出售或等待的区域的方程式，即只有时间经过（等待）的区域。我们将构造一个变量不等式max的经典解{-δV- hVy，f- Vy- Vθ}=0，这是一个函数vinc1,1（R×[0，∞), R） 严格递减的自由边界函数y（·）∈ C（[0，∞), R） ，以致-δV- h（y）Vy=0英寸宽（3.9）-δV- h（y）Vy<0 in S（3.10）Vy+Vθ=f（y）in S（3.11）Vy+Vθ>f（y）in W（3.12）V（y，0）=0Y∈ R（3.13）表示等待区W和卖出区S（参见。