具有乘性瞬时价格影响的最优资产清算

注意，（5.6）中的两种情况都可以组合为vb，S（y，θ）=Vbdry（θ）- （y，θ））+Zyy-（y，θ）f（x）dx，对于所有（y，θ）。可能存在中间购买的最优清算问题。定理5.1。让模型参数sh，λ，δ满足假设3.2。函数VB，Sis公司（R×[0，∞)) 求出（5.4）和（5.5）。优化问题（5.3）的值函数由S·VB，S给出。此外，对于给定的股份数9200-≥Y0-Y战略Θopt由Θopt0给出-= 0和：1。如果（y，Θ0）-)∈ S、 9200的清算策略是什么-如定理3.4.2所述，从y开始的份额和影响过程。如果（y，Θ0）-)∈ B、 Θoptconsists初始购买订单|（y，9200）-)|股票（因此，b然后根据9200的清算策略进行交易）-+|（y，9200）-)|从y+开始的共享和影响过程|（y，9200）-)| 如定理3.4所述。在c`adl`ag空间的某些拓扑中，请参见[BBF17，第5.2节]）。备注5.2。GZ15h≡在没有交易成本的情况下，在时间0完成初始清算。这也可以≡YΘtY0--0-t（3.3）可以写成lt（Θ）=ZTF（YΘt）dE-δtMtT-E-δΘtmy- MF（Y0-)(5.7)= -δ中兴通讯-δtMtF（YΘt）dt+ZTe-δtF（YΘt）dMt-E-δTMTF（YΘT）- MF（Y0-)Fy:Ry-∞fxx≥fF<∞^Θt≥^Θtt≥英语教学≤ ELT^Θ^Θt：≤tt≥Θ∈ Abv（Θ0）-). 此外，方程式（5.7）表明，在无漂移（δ=0）的情况下，【GZ15，第3.5条之前的评论】中观察到的Talready，并显示出与永久和瞬态冲击的显著差异；参见备注3.10。备注5.3。结果表明，当市场影响的初始水平为su fficiency y0时-< yupwards趋势为（2.2），则最优清算策略可能包括初始大宗买入，然后继续出售风险资产头寸。从这个意义上说，我们的模型是12Y0-< YLS13操作策略，购买价格趋于0的资产似乎很自然-<timet=0，然后最佳策略就是销售。

尽管如此，对于未受干扰价格过程的典型选择（例如指数布朗运动），我们可以证明我们的模型不提供（通常意义上的）正概率管理负收益（即损失）的套利机会，见[BBF17，第4节]。Y0-≥ 因此，最优的清算策略永远不会涉及中间购买。这尤其包括中性初始冲击的情况-= 0（如在[PSS11]中），或仅为yy0-∈Y∞将扩展到非零买卖价差的情况，如下所述。备注5.4。对于非零买卖价差的模型。事实上，如果最初的市场影响不是太小（Y0-≥ y） 在我们的模型中，LOB-bid-side被描述为，在一个具有非零买卖价差的模型中，最优清算策略仍然是单调的（仅与LOB-bid-side相关），并且将由定理5.1 sincesupΘ描述∈阿蒙（9200）-)J（Y0-; Θ）=supΘ∈Abv（Θ0）-)J（Y0-; Θ) ≥ supΘ∈Abv（Θ0）-)Jspr（Y0-; Θ），有JSPR（Y0-; Θ）表示非零利差模型的成本函数，asJ（Y0-, ·)和Jspr（Y0）-, ·) 在阿蒙（Θ0）上重合-) 这种不平等是由传播造成的。示例5.5（比较乘法和加法影响）。我们想重点介绍Lorenz和Schied[LS13]的加性瞬态冲击模型，该模型通过允许未受影响的价格过程出现非零漂移，推广了[OW13]中的连续时间模型。我们将在下面给出两种模型的简单说明，我们将给出：EσW布朗运动和σ>0，我们采用标准Black-Scholes模型中两种模型的未受影响价格，即t=St:=SE（ut+σW）t=S+Nt+kts∈ (0, ∞), （5.8）鞅部分Nt:=Rtσssdw和有限变化部分Kt:=Rtussd。十、 TX0-xXtt≥ TLS13SXt:StηEXt-,分机：e-ρtR[0，t]eρsXs/η∈, ∞提取-弹性函数h（y）的ρEXttXtYΘandΘby（2.2）：=ρy。

我们让Y0-:= 0表示Y=卖出和买入订单的市场深度（LOB交易量）；价格应该是≈ Sfyfyey/cc:S/ηηby[LS13，引理2.5]asC（X）：=Z[0，T]St-dXt+[S，X]T+Z[0，T]EXt-根据[LS13，定理2.6]，最优半鞅策略XwithX0-=x、 使E[C（x）]最小化，其形式为xt=x（1+ρ（T- t） )-（1+ρt）Z2+ρt-Z（0，t]~n（s）dZs+2ρKt- ρZtZ（0，s]~n（r）dZr+Ksds，t∈ [0，T），ΘT，XT图5：最佳风险资产头寸x，分别为Θ，随时间变化，s=1，初始头寸0-X0-u-.σ.ρ.X·ωt线前[Xt]。黄色是我们的mLOB模型的最佳策略Θ，没有γγ>Tγ<减小的向下漂移δ=γ- u）使得ΘT=E[XT-].其中φ（t）=（2+ρ（t）- t） )-1，导数Ekt:=dKt/dt=uStand，其中Zt等于hkt+ρRTKsdsFti。对于Black-Scholes类型的未受影响的价格动态，此yieldsZ=(1- euT）（1+ρu）+ρT沙dZt=- eu（T）-（t）1 +ρu+ρ（T）- （t）σStdWt。特别是，卖空可能会发生，清算在最终大宗出售的时间结束。对于选择的价格动态（5.8），最优清算策略在LS-ModelLs13参数中，我们的最优策略在更大类别的边界半鞅策略中也可以被证明是最优的。然而，请注意，mLOB模型中的优化是在没有卖空的情况下，通过一组较小的策略实现的。μρS0-T、 TTuTρS0-δγ - ut选择参数以突出其质量差异。在mLOB模型中，不耐烦γ调整清算时间（蓝线）或更特别的方式调整X0-=待清算股份被视为大额股份，即以积木型附加订单（att=0）投标方正价格提供的股份总额。因此，p:p[T∈, T:SXTt<]SXtXXTT，σ，X0-获得例如p≈ 0.7.dS/S为LS车型购买和销售。

从这个意义上讲，LS模型中的最优策略表现出交易触发的价格操纵，其精神是[ASS12，定义1]（不连续时间）负漂移u<0，而mLOB模型中的情况并非如此，根据定理5.1，参见备注5.3。让我们注意到，在Lorenz-Schiedmodel中，如果（加性）Bachelier型dSt=udt+σdWt，则可以获得（有界变化的）确定性最优策略。价格动态。让我们注意到，当然，随机最优策略也可以达到BBF16公平地注意到，资产价格和价格影响的加性模型有更容易分析的好处，特别是对于没有漂移的鞅情况。我们认为，机构投资者（如机构投资者）显然需要更长的视野；CL95LMS12LVMP07BLZ16由于负（模型）价格的概率可能很小，因此对于实际实施而言，很好的可处理近似值，参见[ST08，FKTW12]或[ASS12，第514页]。A.附录为了证明对验证至关重要的变分不等式，它将有助于haveLemma A.1。对于所有θ≥ 我们有vbdry（θ）=Zθf（y（x））expZθxδh（y（Z））dz经验Zy（x）y（θ）δh（y）dydx。证据使用等式（4.1），一个得到szθδh（y（z））dz=Zy（θ）yδh（y）θ（y）dy=Zy（θ）yδh（y）1+h（y）λ（y）δ-h（y）h（y）δh（y）+h（y）hλ+h+δ（y） δhλ+h+δ（y）dy=Zy（θ）yδh（y）dy+日志f（y）y（θ）y-对数h（y）y（θ）y+hloghλ+h+δ（y） 因此它遵循expZθδh（y（Z））dz=f（y）经验Zy（θ）yδh（y）dyf（hλ+h+δ）h（y（θ）），这意味着expZθxδh（y（Z））dz+Zy（x）y（θ）δh（y）dy=f（hλ+h+δ）h（y（θ））hf（hλ+h+δ）（y（x））。在与f（y（x））相乘后，使用引理A.2进行积分，得到了这个结论。引理A.2。让θ≥ 0

ThenRθhhλ+h+δ（y（x））dx=h（hλ+δ）δ（hλ+h+δ）（y（θ））。证据在θ=0时，两边都等于零，所以必须证明它们的导数相等。通过方程（4.1），我们得到了y=y（θ）：hhλ+h+Δθ=hhλ+h+δ的函数1+hλδ-hhδh+h（hλ+h+δ）δ（hλ+h+δ）=h（δ+hλ）（hλ+h+δ）- hh（hλ+h+δ）+hh（hλ+h+δ）δ（hλ+h+δ）=h（hλ+h+δ）-（h） +hh（hλ+h+δ）+hh（hλ+h+δ）δ（hλ+h+δ）=hδ-hhδ（hλ+h+δ）=h（hλ+δ）δ（hλ+h+δ）.引理A.3。我们有不等式（3.12），即VWy+VWθ>f，在W证明中成立。必须证明这一点→（VWy+VWθ）/f（y，θ）=:k（y）是严格递减的-∞, yθkyθ使用第4.1节中的符号，我们得到了y≤ y（θ）f（y）k（y）=C（θ）φ（y）- λ（y）φ（y）+ C（θ）φ（y）- λ（y）φ（y）.自φ=-Δφ/h，我们得到φ- λφ=-φ（λh+δ）/手φ- λφ=Δφ（λh+h+δ）/h.y<y∞k<-∞, Y∞Cθ，Cθ>θ>（4.6）fyky<y∞, yθ（4.6）C/C，我们检查y7→λh+h+δh（λh+δ）（y） 严格地说是在增加∞, y） 。实际上，h（λh+δ）ddyλh+h+δh（λh+δ）= （λh+h+δ）|{z}>0h（λh+δ）|{z}≥0- （λh+h+δ）|{z}≥0h（λh+δ）> 0y∞, yhλhδhλhδ严格递减，见假设3.2。回顾第4.4节中的区域：={（y，θ）∈ R×[0，∞)| y（θ）<y<y+θ}和：={（y，θ）∈ R×[0，∞) | y+θ<y}。引理A.4。我们有不平等（3.10），即。-δVS- h（y）VSy<0，在S-Proof中保持不变。y>ygθ：δVSy，θhyVSyy，θθ∈ （0，y）- y] 。通过等式（4.25），我们发现（θ）=ddθδZyy-θf（x）dx+h（y）f（y）- f（y）- θ)= δf（y）- θ） +h（y）f（y）- θ） =f（y）- θ)δ+h（y）λ（y）- θ)> f（y）- θ)δ+h（y）- θ） λ（y）- θ)≥ f（y）- θ)δ+h（y）λ（y）= 0，通过h和hλ的单调性。注意g（0）=0，所声称的不等式如下。引理A.5。我们有不平等（3.10），-δVS-h（y）VSy<0，保持不变。MoreoverVbdry（θ）=f（y（θ））+δh（y（θ））1.- y（θ）Vbdry（θ）（A.1）和VSy（y，θ）=f（y）- f（y）- ) -δh（y）- )Vbdry（θ）- ). （A.2）证据。设（y，θ）∈ s

通过（4.22），我们得到θ-  = θ（y）- ), 暗示y=θ（y）- )θ（y）- ) - 1=1 - y（θ）- ).利用引理A.1，我们得到了Vbdry（θ）=f（y（θ））+δh（y（θ））1.- y（θ）Vbdry（θ）和相应的Vbdry（θ- ) = f（y）- ) +δh（y）- )1.- y（θ）- )Vbdry（θ）- ).θvsy=4，方程如下- ) · (-y） +f（y）- f（y）- )(1 - y） =f（y）- f（y）- ) -δh（y）- )Vbdry（θ）- ).现在我们fix（yb，θb）：=（y-, θ-) 在边界和边界上≥0表示g的单调性():= δVS（yb+, θb+) + h（yb+)VSy（yb+, θb+), 等于δVbdry（θb）1.-h（yb+)h（yb）+ δZyb+ybf（x）dx+h（yb+)f（yb+) - f（yb）给出g（0）=0。因此，一个() = δVbdry（θb）-h（yb+)h（yb）+δf（yb+)+ h（yb+)f（yb+) - f（yb）+ h（yb+)f（yb+)= -h（yb）+)δh（yb）Vbdry（θb）+f（yb）+f（yb）+)hλ+h+δ（yb）+)= -h（yb+)f（yb）hλ+h+δ（yb）h（yb）+f（yb+)hλ+h+δ（yb+).肯塔基州：（hλhδ）/hyky∞kyky>y>Yan并且它在（y）中增加∞, y） 因为我们在区间k（y）（h）>（hλ+h+δ）h上有-（hλ+h+δ）h-（hλ+δ）（hλ）=（hλ）h-（hλ+δ）（hλ+h）>0。因此，FK在（y）中也在增加∞, y] ，这意味着()>0弗利∞< yb≤ yb+≤ y、 现在让yb+ > y、 这里有k（yb+) > 因此()h（yb+)=fk（yb）+)-fk（yb）≥fk（yb）+)-fk（y） >f（yb）+)-f（y）>0。总之，g() > 每小时0 > 0，这意味着g() > 0代表 > 0.引理4.2的证明。WSSVC引理A.3到A.5，而等式（3.9）、（3.11）和（3.13）通过构造是清晰的。设（y，θ）∈ W∩ S、 大豆=y（θ）和 = 0.施工保证了连续性。VWyVWθyyθvwyvsy在引理A.5的证明中已经做了g（0）=0。y、 θ∈ s∩ SyyθVbdry（0）=0，sinceh（y）λ（y）+δ=0。通过构造，引理A.5中的方向导数vy+VθSVyshown，我们得到vxy（y+θ，θ）=f（y+δ）- f（y）=VS（y+θ，θ）。最后，让（y，θ）∈ R×{}。因为h（y）λ（y）+δ=0，它直接跟随v（·，0）=0。我们只需要证明Vθ（y，0）=limθ和0θV（y，θ）的存在性和连续性。莱蒂。

如引理A.5所示，Vbdry（θ）=f（y（θ））+δ1.- y（θ）Vbdry（θ）/h（y（θ）），这导致vwθ（y，θ）=f（y（θ））expZyy（θ）-δh（x）dx+δh（y（θ））VW（y，θ）（4.21）VWlimθ&0θVWy，θlimθ&0VWθy，θ等式f（y）exp雷伊-δh（x）dx,这是连续的(-∞, y] 等式f（y）aty=y.y>yVy，θVSy，θ≥limθ&0θVSy，θlimθ&0VSθy，θfy。yyθ>Vy，θVSy，θVSθy，θfy- VSyy，θ方程（A.2），极限limθ&0θVS（y，θ）=f（y）- limθ&0VSy（y，θ）等于tof（y）- limθ&0f（y）- f（y）- ) -δh（y）- )Vbdry（θ）- )= f（y），自（y，θ）→ 0表示θ→ 0和h（y）6=0。定理5.1的证明。VB，S∈ CR×，∞VB，S（5.4）（5.5）（5.4）（5.5）y，θ∈ Sy，θSBθy，θ∈ 是y、 θ-y、 θ≥y、 θ，eyb，θb:ye, θeVB，S（y，θ）=VB，S（yb，θb）-Zybyf（x）dx和moreoverVB，Sy（y，θ）=ddyVB，S（y+e）, θ+e) -Zy+eyf（x）dx= （e）y+1）Vy+eyVθ-（1+e）y） f（y+e）)-f（y）= f（y）- VB，Sθ（yb，θb），其中最后一个等式使用f=Vy+Vθ。我们开始):= -h（yb）-E)f（yb）-E) - VB，Sθ（yb，θb）- δVB，S（yb，θb）-Zybyb-Ef（x）dx.请注意，通过构造第4.1节中与B之间的边界，G（0）=0。因此，需要验证≤我们有) =f（y）h（y）λ（y）+h（y）+δ-h（y）VB，Sθ（yb，θb），y=yb-E. 回想一下边界上的VB的以下形式（见（4.6））：VB，Sθ（yb，θb）=f（yb）h（yb）λ（yb）+h（yb）+δh（yb）。（A.3）因此，检查g（e) ≤ 0相当于验证h（y）λ（y）+h（y）+δ-h（y）h（yb）·f（yb）f（y）·h（yb）λ（yb）+h（yb）+δ≤ 0.（A.4）y≤ ybfy≤ fybfyb/fyky≤ kybk:=（hλ+h+δ）/h.Fory≤ Y∞这是微不足道的，因为（y）≤< 在这种情况下，k（yb）。福里∞< Y≤ 我们可以使用k的单调性，这在引理A.5的证明中得到了证明。（5.5）y，θsb策略。其余的证明与定理3.4的相同。参考文献[AFS10]具有一般形状函数的限购书中的策略。定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。[ASS12]奥埃琳·阿方西、亚历山大·希德和阿拉·斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。暹罗J。

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