20-60-20规则

使用基本的数值工具，我们检查（5）是否满足x≈ -084846488，其中Φ（x）≈ 0, 19808961 5.定理1为经验的20-60-20规则提供了一个例证。特别是，我们已经证明，对于任何多元正态向量，当考虑离散和线性相关测量时，这个固定比率会导致全局平衡状态。然而，请注意，条件变量的相等并不意味着条件分布的相等，如图1所示。此外，虽然线性依赖结构是相同的，但每个子组的整体依赖性（例如通过copula函数[12]测量）将是不同的。事实上，例如，要求最佳组中的依赖结构与平均组中的依赖结构一致似乎是不明智的。请参见图2以获取示例。备注1。在Lemma2中计算的平衡能级q既不依赖于u，也不依赖于∑。因此，如果我们在（3）中考虑相关矩阵而不是协方差矩阵，那么Theorem1中q的最佳值也将意味着相关矩阵的相应平衡状态。请注意，我们需要额外的假设，即Xis不独立于（X，…，Xn），否则任何q∈ （0,0.5）将满足（3）的相关矩阵，而不是协方差矩阵。-3.-2.-1 0 1 2 30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-3.-2.-1 0 1 2 30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4-3.-2.-1 0 1 2 30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4图2：标准正态分布下20%、中60%和上20%的条件密度函数。

三种情况下的条件方差一致。-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 3-3.-2.-1 0 1 2 30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0.2 0.8 1.0 0.2 0.0.6 0.8 1.00.0.2 0.4 0.6 0.8 0.8 0.0.2 0.0.4 0.6 0.8 1.0图3：来自二元正态的条件s样本（上排）及其条件copula函数（下排），其中∑=ij和∑=1σ=8。该条件以第一协调为基础，并与总人口的20%以下、60%中间和20%以上相关。备注2。值k∑[0，q]-∑[q，1]-q] k代表q≈ 可以使用0.198和一些任意矩阵范数（例如Frobeniunsorm）来测试X离多元正态分布有多远。这项测试尤其重要，因为它显示了尾部对分布中心部分的影响，因为通常（前螺旋数据）尾部的依赖性（相关性）结构显著增加，显示出非正态性。备注3。我们还可以考虑三个以上的州，将人口归为一类（例如，根据选定的基准，我们可能将五个州视为关键、糟糕、正常、良好和杰出的表现）。5种和7种不同状态的平衡状态（类似于定义1中的平衡状态）的比率接近于tO0。027/0.243/0.460/0.243/0.027和0.004/0.058/0.246/0.384/0.246/0.058/0.004。这些值可以使用引理1和引理2.4单调依赖平衡的结果轻松计算。在平衡状态的定义（定义1）中，我们实际上测量了条件协方差矩阵之间的距离，以比较各组之间的可变性和线性依赖结构。

如注释1所述，我们可以使用条件相关矩阵而不是共变矩阵，并将重点放在线性相关结构的比较上。当然，还有其他依赖性指标，可以用来重新定义1。其中最流行的是所谓的一致性度量，其中Kendallτ和Spearma nρ通常是二维情况的代表（更多细节见[12，第5节]）。与测量线性依赖性e不同，他们关注的是单调依赖性，对随机变量的任何严格单调变换都是不变的（请注意，相关关系只是不变的正线性变换）。因此，不是协方差矩阵∑[0，q]，而是∑[q，1]-q] 和∑[1]-q、 1]在（3）中，我们可以考虑条件Kendallτ和条件Spearmanρ的对应矩阵，用∑τ[0，q]，∑τ[q，1]表示-q] ，∑τ[1-q、 1]和∑ρ[0，q]，∑ρ[q，1]-q] ，∑ρ[1-q、 分别为1%。为了进行比较，我们还将考虑条件相关矩阵，我们将使用符号∑r[0，q]，∑r[q，1-q] 和∑r[1-q、 q]。不幸的是，如果我们用定义3中的Pearmanρ或Kendallτ矩阵代替协方差矩阵，则定理1的模拟不成立。因此，我们需要不同的平衡状态符号，如定义2中所述。定义2。假设X是对称的，Letκ∈ {r，ρ，τ}。我们将说，对于κ和^q，在X中实现了准全局平衡（或准平衡态）∈ [0，1]ifk∑κ[0，^q]- ∑κ[^q，1- ^q]kF=infq∈（0,0.5）k∑κ[0，q]- ∑κ[q，1]-q] 肯德基。

（6） 其中k·kf是由kakf给出的标准Frobenius矩阵范数：=tr AAT=vutnxi=1nXj=1 | aij |，对于任何n维矩阵a={aij}i，j=1，。。。，n、 与定义1类似，我们将说，在Xforκ和^q中实现了全局平衡（或平衡状态）∈ [0，1]如果（6）中的值等于0。为了提高透明度，我们将编写^qr=arg minq∈（0,0.5）k∑r[0，q]- ∑r[q，1-q] kF，（7）^qτ=arg minq∈（0,0.5）k∑τ[0，q]- ∑τ[q，1]-q] kF，（8）^qρ=arg minq∈（0,0.5）k∑ρ[0，q]- ∑ρ[q，1]-q] kF，（9）表示比率，这意味着（6）中给出的准平衡状态。正如所料，For X~ N（u，∑），对于几乎所有的u和∑值，^qτ和^qρ似乎也非常接近0.2。为了说明这一性质，我们选取了1000个随机协变量矩阵{∑i}i=1forn=4，并计算了函数fIR（q）=k（i）r[0，q]- （∑i）r[q，1-q] kF，（10）fiτ（q）=k（σi）τ[0，q]- （∑i）τ[q，1]-q] kF，（11）fiρ（q）=k（σi）ρ[0，q]- （∑i）ρ[q，1-q] 肯德基。（12） 为了每个人，我都这么做∈ {1，2，…，1000}我们已经从X中抽取了1000.000.000个蒙特卡罗样本~ N（0，∑i）和（10）、（11）和（12）的计算值，使用相应条件矩阵的MC估计。i=1，2，…，的fir，fiτ和fiρ图，图4中显示了50 ar e。在图5中，我们也给出了点{qri}i=1，{qτi}i=1和{qρi}i=1的平滑历史函数，对于这些点，i=1，2，…，其最小值在（10）、（11）和（12）中给出，1000.即X是对称的wrt。E[X]=（E[X]。

，E[Xn]）；注意，这意味着∑[0，q]=∑[1-q、 1]对于任何问题∈ (0, 0.5).这将分别与条件相关矩阵、Spearmanρ矩阵或Kendallτ矩阵有关。为了简单起见，我们使用arg-min并假设（准）平衡态存在且唯一。另外假设相关系数大于0.2且小于0.8，以避免计算0。15 0.20 0.25 0.300.00 0.05 0.10 0.15 0.20qF-正常0。15 0.20 0.25 0.300.00 0.05 0.10 0.15 0.20qF-正常0。15 0.20 0.25 0.300.00 0.05 0.10 0.15 0.20qF-图4:i=1，2，…，的函数fir，fiτ和fiρ的图，50，使用N（0，∑i）中的1.000.00个样本和条件矩阵的相应估计进行计算。0.19 0.20 0.21 0.22 0.230 50 100 150 200qd0。19 0.20 0.21 0.22 0.230 50 100 150 200qd0。19 0.20 0.21 0.22 0.230 50 100 150 200qd密度图5：使用点{qi}i=1、{qτi}i=1和{qρi}i=1构造的蒙特卡罗密度函数。Foreach i=1，2，1000模拟来自N（0，∑i）的1.000.00 0样本，并使用相应的条件矩阵估计进行计算。不幸的是，（8）和（9）中定义的^qτ和^qρ通常不是恒定的，与∑无关。特别是，如果X内部的依赖性非常强，例如向量（X，X，…，Xn）几乎是共单调的，那么^qτ和^qρ的值可能会大幅增加。为了说明这个性质，让我们给出一些理论结果，包括条件Spea-rmanρ和Kendallτ。为了简单起见，在本小节结束之前，我们假设n=2。然后，给定X~ N（u，∑），我们知道σ=σ=rσ，其中r∈ [-1，1]是X和X之间的c关系。

很容易证明（见[9]），皮尔曼ρ和肯达llτ的无条件值和条件值都只取决于X的copula，它由相关系数参数化。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设X=（X，X），而不是考虑所有的u和∑~ N（u，∑）当reu=（0，0）和∑=1 rr 1.对于固定的∈ [-1, 1].让ρ[p，q]（r）和τ[p，q]（r）去注意相应的条件Spearmanρ和Kendallτ，给定区间B（p，q）。注意，ρ[p，q]（r）和τ[p，q]（r）分别是由独立性或共单调性引起的r问题的奇函数（另见备注1）。请注意，由于X的对称性，相关系数的符号是不相关的，因此在不丧失一般性的情况下，我们可以假设相关矩阵为正。此外，^qτ和^qρ的值是不变的wrt。u，因此我们可以设置u=0，而不会失去通用性。注意，在我们的数值例子中，我们假设任何一对的相关性都在0.2到0.8之间，不包括极端情况。注意，（条件）Spearmanρ和Kendallτ对Xor X的任何单调变换都是不变的，copula函数也是不变的。引理3。对于所有0≤ p<q≤ 1和r∈ (-1,1），ρ[p，q](-r） =-ρ[p，q]（r）和τ[p，q](-r） =-τ[p，q]（r）。证据在开始证明之前，让我们回顾一下copula理论中的一些基本事实（参见[12]及其引用）。我们将使用crp来表示高斯copula，参数为r∈ (-1，1），这与相关系数一致。注意，协整可以被视为一个分布函数（具有均匀的边界），让我们假设（U，V）是一个分布为Cr的随机向量。我们将用Cr[p，q]表示条件分布n（U，V）在条件U下的copula∈ [p，q]，其中0≤ p<q≤ 1.

根据Sklar定理，我们得到了Cr[p，q]：Cr[p，q]的以下描述u、 Cr（q，v）- Cr（p，v）q- P=Cr（（q- p） u+p，v）- Cr（p，v）q- p、 u，v∈ [0，1]。（13） 接下来，很容易注意到，（U，1）的分布函数- V）等于C-r、 因此，高斯copula与flipping相互转换，即-r（u，v）=u- Cr（u，1-v） 为了你，v∈ [0, 1].另一方面，波动改变了条件分布（U，V）|U∈[p，q]到（U，1）-V）U∈[p，q]。因此我们得到了-r[p，q]（u，v）=u- Cr[p，q]（u，1）- v） 。因此，基于[12，定理5.1.9]，我们得出ρ[p，q](-r） =-ρ[p，q]（r），τ[p，q](-r） =-τ[p，q]（r），我们记得，条件copula Cr[p，q]的Spearmanρ和Kendallτ由公式给出：ρ[p，q]（r）=ρ（Cr[p，q]）=-3+12ZZCr[p，q]（u，v）dudv，（14）τ[p，q]（r）=τ（Cr[p，q]）=-1+4ZZ[0,1]Cr[p，q]（u，v）dCr[p，q]（u，v）。（15） 为了描述它们对小r的行为，我们需要它们对r命题1的泰勒展开式。对于固定的p，q∈ （0,1）（p<q）和r∈ (-1，1），使得r接近0，我们得到ρ[p，q]（r）=r（q）- p） πΦ(√2x）- Φ(√2x）- （q）- p）√π（ν（x）+~n（x））+ O（r），（16）τ[p，q]（r）=ρ[p，q]（r）+O（r）。（17） 其中x=Φ-1（p）和x=Φ-1（q）。证据我们将不使用类似于Lemma3中介绍的方法。公关将基于两个事实。首先，当r=0时，C和C[p，q]都等于乘积copula∏（u，v）：=uv，即C（u，v）=uv=C[p，q]（u，v）。其次，二元高斯分布的分布函数对参数r的导数等于其密度，这意味着Cr（u，v）r=2π√1.- 雷克斯普-Φ-1（u）+Φ-1（v）- 2rΦ-1（u）Φ-1（v）2（1）- r）.我们计算了ρ[p，q]（r）在r=0时的泰勒展开式。ρ[p，q]（0）=ρ（π）=0。ρ[p，q]（0）r=12ZZC[p，q]（u，v）rdu dv。Cr[p，q]的导数将分两步计算。首先，我们对公式（13）进行了区分。

我们得到rCr[p，q]u、 Cr（q，v）- Cr（p，v）q-P+ Cr[p，q]u、 Cr（q，v）- Cr（p，v）q-PQ-PCr（q，v）R-Cr（p，v）R=Q-PCr（（q- p） u+p，v）R-Cr（p，v）R.接下来，设置r=0，我们得到rC[p，q]（u，v）=q-PφΦ-1（（q）- p） u+p）- u~n（Φ-1（q））- (1 - u） ψ（Φ-1（p））φ(Φ-1（v））最后，我们得到了ρq，p（0）r=q-pZZφ(Φ-1（（q）- p） u+p）- u~n（Φ-1（q））- (1 - u） ψ（Φ-1（p））φ(Φ-1（v））du dv=q-pZφ(Φ-1（（q）- p） u+p）- u~n（Φ-1（q））- (1 - u） ψ（Φ-1（p））duZ~n（Φ-1（v））dv=q-P√πQ-P√π(Φ(√2Φ-1（q））-Φ(√2Φ-1（p）））-(φ(Φ-1（q）＋ψ（Φ）-1（p）））.Kendallτ情况的证明来自SymmetryZCDC=ZZCdC。我们有τq，p（r）r=4rZZ[0,1]Cr[p，q]（u，v）dCr[p，q]（u，v）=8ZZ[0,1]rCr[p，q]（u，v）dCr[p，q]（u，v）。设置r=0，我们得到τq，p（0）r=8ZZ[0,1]rC[p，q]（u，v）dC[p，q]（u，v）=8ZZ[0,1]rC[p，q]（u，v）du dv=ρq，p（0）r、 对于表示ρ或τ的κ，使用命题n1，我们现在可以比较κ[0，q]（r）和κ[q，1]的值-q] （r），同时改变q∈ （0,0.5）和r∈ (-1, 1). 注意，对于n=2，当且仅当κ[0，q]（r）时，达到（9）对应的平衡状态-κ[q，1]-q] （r）=0。[9，定理4.1和4.4]表明，对于任何固定的r>0，条件连接函数Cr[0，q]在q中增加，而Cr[q，1]-q] q值在下降，因此差异ρ（q，r）=ρ[0，q]（r）- ρ[q，1-q] （r）及τ（q，r）=τ[0，q]（r）- τ[q，1-q] （r）（18）严格地增加q并改变符号。使用引理3我们知道，对于每个r∈ (-1，1），使得r6=0，正好存在一个q∈ （0,0.5）对于哪个ρ（q，r）=0和一个q∈ （0,0.5）对于哪个τ（q，r）=0。LetAκ：(-1, 1) → （0,0.5），κ=ρ，τ是一个函数，它为任何r6=0分配适当的q，并让aκ（0）=lim inf→0Aκ（t）。我们将把ρr和τr表示成正交的。注意，对于r=0，任何q∈ （0,0.5）意味着平衡状态，这就是我们用这种方式定义A（0）的原因。定理2。

当r接近0时，我们得到ρ（r）=Aτ（r）+O（r）=q*+ O（r），其中q*≈ 0，2132413是以下等式（1）的解- 4q+6q）Φ(√2Φ-1（q））- 问题（1）-6q+8q）√πφ(Φ-1（q））- q=0。证据如果r=0，那么对于任何q∈ （0，0.5），我们得到（18）等于0，为了清楚起见，我们可以设置aκ（0）=q*. 使用引理3，在不损失一般性的情况下，我们可以假设r>0。由于位置1，对于小r，我们得到ρ[0，q]（r）- ρ[q，1-q] （r）=rπq-2.Φ(√2Φ-1（q））- Q√πφ(Φ-1（q））+ O（r）- rπ（1）- 第2季度）1.- 2Φ(√2Φ-1（q））-2(1 - 第2季度）√πφ(Φ-1（q））+ O（r）=rπq（1）- 第2季度）(1 - 4q+6q）Φ(√2Φ-1（q））- 问题（1）- 6q+8q）√πφ(Φ-1（q））- Q+ O（r）和τ的类似公式。特别是，定理2暗示Aρ（0）=Aτ（0）=q*. 使用基本的数值计算，我们得到表示ρ或τ0.213<Aκ（r）<0.271的κ，对于任何r∈ (-1, 1). 然而，通常这种边界要紧密得多，这在我们之前的数值例子中已经可以观察到（参见图4）。通过一些简单的计算，我们得到了0。213<Aκ（r）<0.230，对于r∈ (-0.9 , 0.9). 函数的gra-phρ（q，r）=ρ[0，q]（r）- ρ[q，1-q] （r）对于q的各种固定值∈ （0,0.5）如图6所示，相应的τ.备注4。当我们考虑条件Spearmanρ矩阵（或Kendallτ）的平衡态时，我们只需要知道X的依赖结构，由它的copula给出。因此，我们可以设置X，…，的任何边际分布，Xn，不改变平衡。

这使我们能够考虑更一般的多元分布类，20-60-20规则适用于这类分布。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.05 0.00 0.05 0.10 R差异。2130.2200.2300.2500.270图6:ρ（q，r）=ρ[0，q]（r）- ρ[q，1-q] （r）作为（固定）q.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0不同值的r函数-0.05 0.00 0.05 0.10 R差异。2130.2200.2300.2500.270图7:τ（q，r）=τ[0，q]（r）- τ[q，1-q] （r）作为（固定）q.5不同值的r函数，当我们放松假设X~ N（u，∑），不再保证平衡的存在。一个自然的问题是，对于任何椭圆分布，20/60/20规则是否成立。在本节中，我们将很快讨论这件事。如果可以用特征函数φX（t）=eit′uψ（t′∑t），（19）来定义X的椭圆分布，其中u是一个向量（如果存在，则与平均向量重合），∑是一个尺度矩阵ix（与协方差矩阵成正比，如果它存在的话），而ψ则被称为椭圆分布的特征发生器（参见[6]和其中关于椭圆分布的概述的参考文献）。为了简单起见，我们将使用椭圆分布的所谓随机表示。众所周知（见[6]）如果X具有密度，那么它是椭圆的当且仅当它可以表示为X=u+√∑RU，在哪里√∑是任何平方矩阵√∑t√∑=∑（例如，使用Cholesky分解得到的），是一个n维随机向量，均匀分布在单位n-球面上，R是一个非负随机向量，对应于径向密度，与U无关。此外，我们假设存在R的前两个矩，这确保了X的mea n向量和协方差矩阵的存在。