20-60-20规则

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英文标题：
《The 20-60-20 Rule》
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作者：
Piotr Jaworski and Marcin Pitera
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we discuss an empirical phenomena known as the 20-60-20 rule. It says that if we split the population into three groups, according to some arbitrary benchmark criterion, then this particular ratio implies some sort of balance. From practical point of view, this feature often leads to efficient management or control. We provide a mathematical illustration, justifying the occurrence of this rule in many real world situations. We show that for any population, which could be described using multivariate normal vector, this fixed ratio leads to a global equilibrium state, when dispersion and linear dependance measurement is considered.
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中文摘要：
在本文中，我们讨论了一种被称为20-60-20规则的经验现象。它说，如果我们根据任意的基准标准将人口分成三组，那么这个特定的比率意味着某种平衡。从实践的角度来看，这一特性通常会导致有效的管理或控制。我们提供了一个数学说明，证明了这一规则在许多实际情况下的合理性。我们证明，对于任何可以用多元正态向量描述的种群，当考虑色散和线性相关测量时，这个固定比率会导致一个全局平衡状态。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：Multivariate Mathematical Differential Quantitative illustration

20-60-20规则Piotr Jaworski*, Marcin Pitera+，2015年8月21日摘要在本文中，我们讨论了一种被称为20-60-20规则的经验现象。它说，如果我们根据一些任意的基准标准将人口分成三组，那么这个特定的比率意味着某种平衡。从实践的角度来看，这一特性往往导致管理或控制效率低下。我们提供了一个数学说明，证明了这一规则在许多实际情况下的合理性。我们表明，对于任何可以用多元正态向量描述的群体，当考虑离散度和线性相关测量时，这个固定比率会导致一个全局平衡状态。关键词：20-60-20规则，60/20/20原理，20:60:20，帕累托原理，生命数定律，因子稀疏原理，截断正态分布，条件椭圆分布。2010年12月12日。60A86，62A86，引言20-60-20规则是一种经验陈述。它说，如果我们想使用一些任意的b enchmark标准将人口分成三组，那么20%、60%和20%的比例证明是有效的划分。通常根据群体中每个元素的表现进行划分，g组分别被称为阴性、中性和阳性。第一组与对所考虑的主体有积极贡献的人口因素有关（例如有效工人、高级销售经理、生产成员），而最后一组则表示相反。中间集cor对人群的中间部分做出反应，表现一般。换言之，我们根据有效性的概念对人口进行聚类。这一规则的重要性来自这样一个事实，即对于许多实证问题来说，这种特殊的划分似乎是最有效的。

让我们详细介绍这一现象的两种常见幻觉，然后评论使这一想法更加透明的效率。第一个示例考虑销售部门。几乎在任何一家大公司，销售部门的员工都可以分成三组，保持20-60-20的比例。第一组是业绩最好的，即使没有监督，他们也能获得巨大的利润。中间一组是那些需要设法获得平均但稳定的收入的人。最后一组是那些即将被解雇或辞职的人。他们没有很好的收入，即使有人提供服务。第二个例子与可更改性有关。如果你愿意在任何一家大型机构做出实质性的改变，那么平均20%的人已经准备好，愿意并且能够改变，而20%的人不会接受改变，不管付出什么代价。中间60%的人会等着看情况如何。公司在管理和销售部门广泛使用20-60-20规则[15,13]。这种现象的一个实际方面涉及到这样一个事实，即创造了不同的程序和方法来处理正、负和中性组的效率，20-60-20比率被证明是最有效的划分。例如，在许多与人力资源管理有关的问题中，一个人应该确定并将注意力集中在60%的中间群体，因为这个群体可以而且应该得到有效的管理。*波兰华沙华沙大学数学研究所+波兰克拉科夫贾吉隆大学数学研究所。当然，这一现象有无数的例证。人们可以考虑金融市场的整体状况、人群中的欺诈和盗窃能力、选民结构、运动员的体育表现、学生的潜力、病人处理、医疗等。请参见。G

[14,3,1,5,7,8,11,2,4]，其中使用了20-60-20比率，并提出了处理许多实际问题的详细程序。自然问题是为什么这种特殊的20/60/20比率在很多情况下都是有效的？为什么不是10/80/10或30/40/30？这是巧合，还是来自于人口的某些基本结构？虽然在从业者中很受欢迎，但由于作者的知识，目前还没有关于20-60-20 pr公司知识的科学证据。因此，这条值得注意的规则变得更像是阿斯洛根，而不是科学事实。基于色散和线性相关测量的这种现象的可能数学说明将是本文的主要主题。我们将证明，如果一个（多元）r andomvector是正态分布的，并且我们根据第一坐标的（分位数函数）进行调节，那么当考虑色散和线性相关测量时，接近20/60/20的比率意味着一个全局平衡状态。特别地，我们证明了对于所有条件向量，这个特殊的划分意味着协方差矩阵的等式，这意味着总体中某种形式的全局平衡。我们还将使用条件Kendallτ和Spearmanρ矩阵讨论单调依赖的情况。这些材料是按以下方式组织的。引言之后是简短的序言，其中我们建立了贯穿本文的基本符号。接下来，在第2节中，我们介绍20-60-20规则的数学模型，并使用条件共变矩阵定义平衡状态。多元正态向量的20-60-20规则在第3节中讨论。m 1理论可以被认为是本文的主要结果。

第四节研究了不同的平衡态，得到了相关矩阵、肯德尔τ矩阵和斯皮尔曼ρ矩阵。特别是，我们在这里给出了一些理论结果，其中考虑了斯皮尔曼ρma定理，并给出了一个数值例子，说明了样本数据的20-60-20规则。在第5节中，我们将简短地讨论如果我们放松对常态的假设会发生什么。这里考虑的是一般椭圆情况。1.预备课程(Ohm, ∑，P）是概率空间，设n∈ N、 让我们定义一个N维连续随机向量=（x，…，Xn）。我们将使用h（x，…，xn）：=P[x≤ 十、Xn≤ xn]，表示相应的联合分布函数，hi（x）=P[Xi≤ x] ，i=1，2，n、 表示边际分布函数。给定‘rnp[{ω]中的Borel集B∈ Ohm : （X（ω），Xn（ω））∈ B} ]>0我们可以定义所有（x，…，xn）的条件分布∈ B byHB（x，…，xn）=P[x≤ 十、Xn≤ xn | X∈ B] 。（1） 换言之，我们将随机向量X截断为孔l集合B。如果必要，我们假设正则条件概率的存在。在本文中，我们假设B是一个非deg e ne rate矩形，即B∈ R、 其中：={A∈\'Rn:A=[A，b]×[A，b]×。×[an，bn]，其中an，bn∈\'R和an<bn}。因为我们主要感兴趣的是基于第一坐标的分位数调节，对于q，q∈ [0，1]这样q<q，我们将使用符号H[q，q]（x，…，xn）：=HB（q，q）（x，…，xn），（2）其中条件集由b（q，q）：=H给出-1（q），H-1（q）×R×。我们也将H[q，q]称为截断分布，而B（q，q）称为截断区间（见[10]）。此外，我们将用u=（u，…，un）和∑={σij}i，j=1，。。。，n、 X的平均向量和协方差矩阵。

与公式（1）类似，给定B，我们将使用uBand∑bt来表示条件平均向量和条件协方差矩阵，即分布为HB的arandom向量的平均向量和条件协方差矩阵。因此，如（2）所示，我们将写出u[q，q]：=uB（q，q）和∑[q，q]：=∑B（q，q）。我们将分别用φ和Φ来表示标准分布。2全球平衡为了根据有效性的概念将整个人口分成三个独立的群体，我们需要对整个人口的概率分布和给定的基准做出假设，该基准衡量人口中每个元素的有效性。我们假设X~ N（u，∑），即可以使用N维随机向量X=（X，…，Xn）来描述总体，其与平均向量u和协方差矩阵∑正态分布。此外，我们将得出基准水平由第一坐标系确定，即X。请注意，对于多变量非线性，这可能是所有其他坐标系的线性组合。人们可以将其他坐标视为各种因素，这些因素可能会影响主要基准。请注意，如果我们谈论人们测量能力，那么高斯函数，通常被描述为钟形曲线，是一种自然选择。我们将寻找两个实数q，q∈ [0，1]和相应的分区B（0，q），B（q，1-q） ，B（1）- q、 1），这将允许一些平衡。换句话说，我们想把整个人群分成三个亚组，对应于较低的100 q%，中间的100（1-Q-q） 以及人口的上百分之一百，其有效性由基准衡量。要做到这一点，让我们来定义平衡状态或全球平衡。定义1。

如果∑[0，q]=∑[q，1]，我们会说在X中实现了一个全局平衡（或平衡态）-q] =∑[1-q、 1]，（3）对于某些q，q∈ [0,1]，因此q<q.definition1似乎非常直观。事实上，条件协方差矩阵的等式表明：1。通过方差测量的离散度是任何坐标Xi（fori=1，2，…，n）的每个子群中的s ame。尤其是基准的分散性在所有地方都是一样的。2.由条件相关矩阵测量的线性依赖结构在所有三个子群中是相同的。第一个属性创建了一个自然平衡状态，因为当考虑到与每个群的平均成员的平方距离时，任何一个虚拟都会导致不规则。选择这种偏差度量似乎是很自然的，因为人们对任何差异的认识都应该很高，因为方差（或标准差）似乎是最简单的可变性度量。第二个属性与线性依赖结构有关。相关性矩阵的等式意味着群体之间的自然平衡，因为人们往往首先注意到最简单的（线性）依赖关系。群体之间的任何转移都会导致他们之间的依赖。一般来说（即，当我们放松关于正态性的假设时），当我们考虑由协方差矩阵表示的一些族参数时，全局平衡可能不存在，或者严重依赖于初始∑。3 20/60/20原理如果X是多元正态分布，由于高斯密度的对称性，设置q=q是合理的。为了简单起见，我们将在对称情况下使用q=q=qf。因此，我们实际上将寻求forq∈ （0,0.5），使较低100q%总体的条件协方差矩阵与中间100（1）的条件协方差矩阵一致- 2q）%和uppe r 100 q%。我们现在准备介绍本文的主要结果。

我们将证明如果X~ N（u，∑），则对于唯一的q将达到平衡状态∈ (0, 0.5). 这是一个理论陈述。定理1。让X~ N（u，∑）。然后存在一个唯一的q∈ （0，0.5）以实现全局平衡inX，即等式（3）是q=q=q的真值。此外，q的值独立于u和∑，q的近似值为0198089616。。。定理1的证明惊人地简单。这是引理1和引理2的直接结果，我们现在将介绍和证明。在我们做这件事之前，让我们对理论1做一个评论。它说，如果我们将整个人群分成三个独立的组，那么接近20-60-20的比率（仅此比率）将意味着所有组的条件协方差矩阵相等，从而创建一个自然平衡。为了证明定理1，我们需要一个条件协方差结构的解析公式，给出正测度的条件Borel集B。这就是引理1的陈述。引理1。让X~ N（u，∑）。对于具有正测度的R的任何Borel子集B，∑B=∑+（D[X | X∈ B]- D[X]）βT，其中βT=（β，…，βn），βi=Cov[X，Xi]D[X]。引理1的证明。在高斯世界中，我们可以把每个随机变量xia描述为随机变量X和随机变量y的组合，与X无关。实际上，我们把i=1，nYi=Xi- βiX，其中βi=Cov[X，Xi]D[X]。（4） 显然，β=1，Y=0。因为对于i=2，n、 新定义的变量Yi与X不相关，它们是独立的。接下来，我们计算条件协方差矩阵。使用（4），我们得到i，j=1。

，nCov[Xi，Xj | X∈ B] =Cov[βiX+Yi，βjX+Yj | X∈ B] 。由于Yi和Yjdo不依赖于X，我们得到cov[Yi，X | X∈ B] =0=Cov[Yj，X | X∈ B] ，andCov[Yi，Yj |X∈ B] =Cov[Yi，Yj]=Cov[Xi，Xj]- βiβjD[X]。因此，我们得到了cov[Xi，Xj | X∈ B] =Cov[Xi，Xj]+βiβj（D[X | X∈ B]- D[X]）。由于βiβjis是n×nma trixβT的第i，j项，我们完成了引理的证明。从引理1我们可以看到，我们可以参数化∑Bin，这样它将只依赖于X的条件方差。因此，我们只需要证明存在q∈ （0，0.5）使Xin在所有三组中的（条件性）离散度，由se ts B（0，q），B（q，1）确定- q） B（1）-q、 1）将一致。这将是Lemma2的声明。引理2。让X~ N（u，σ）。那么就存在一个u nique q∈ （0，0.5）使得d[X | X∈ B（0，q）]=D[X | X∈ B（q，1- q） ]=D[X | X∈ B（1）- q、 1）]。此外，q=Φ（x），其中x<0是以下等式的唯一负解- xΦ（x）=φ（x）（1）- 其中φ和Φ分别表示标准正态分布的密度和分布函数。q的近似值为198089616。。。。引理2的证明。在不损失一般性的情况下，我们可以假设xH为标准正态分布N（0，1）。实际上，for Xst=X-σ，和q，q∈ [0,1]，这样q<q，我们得到X | H（X）∈ [q，q]= DσXst+u|Φ（Xst）∈ [q，q]= σDXst |Φ（Xst）∈ [q，q].为了继续，我们需要计算X的截断正态分布的前两个矩。为了透明，我们将给出完整的证明（比较[10，第13.10.1节]）。让我们计算条件期望E[X|X<X]和E[X|X<X<-x] 对于任何Fix edx∈ (-∞, 0).

因为φ′（x）=-xφ（x），我们得到[x | x<x]=Φ（x）Zx-∞ξφ（ξ）dξ=Φ（x）(-φ（ξ））|x-∞= -φ（x）Φ（x），E[x | x<x<-x] =0。为了得到相应的二阶矩，我们按部分积分。E[X | X<X]=Φ（X）Zx-∞ξφ（ξ）dξ=Φ（x）-ξφ（ξ））|x-∞+Zx-∞φ（ξ）dξ=Φ（x）(-xφ（x）+Φ（x））=1-xφ（x）Φ（x），E[x | x<x<-x] =1- 2Φ（x）Z-xxξφ（ξ）dξ=1- 2Φ（x）-ξφ(ξ))|-xx+Z-xxφ（ξ）dξ=1.- 2Φ（x）（2xφ（x）+1-2Φ（x））=1+2xφ（x）1- 2Φ（x）。因此，D[X | X<X]=1-xφ（x）Φ（x）-φ（x）Φ（x），D[x | x<x<-x] =1+2xφ（x）1- 2Φ（x）。由于条件期望值的行为类似于加权算术平均值，我们得到E[X | X<X]在X中严格增加，而E[X | X<X<-x] E[x|x<x]相对于x严格递减。因此，中心条件方差D[x|x<x<-x] 正在严格地减少。接下来，我们将证明尾部条件方差D[X | X<X]严格增加。实际上，ddxD[X | X<X]=-φ（x）Φ（x）+xφ（x）Φ（x）- xφ（x）Φ（x）+2xφ（x）Φ（x）+2φ（x）Φ（x）=φ（x）Φ（x）十、- 1+xφ（x）Φ（x）+2φ（x）Φ（x）=φ（x）Φ（x）十、-φ（x）Φ（x）+φ（x）Φ（x）- 1!> 最后一个不等式来自s inc eφ（x）Φ（x）=-E[X | X<X]是递减且为正的，我们得到φ（X）Φ（X）≥φ(0)Φ(0)=π>.接下来，请注意（比较e[9，引理8.1]）limx→-∞D[X | X<X]=0和D[X |X<0]=1-π、 whilelimx→-∞D[X|X<X<-x] =1和limx→0D[X|X<X<-x] =0。因此存在唯一的x<0，使得D[x|x<x]=D[x|x<x<-x] 。比较图1的可视化效果。0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0qvarianceB[0，q]（尾部）B[q，1-q] （中）图1：条件尾部方差D[X | X]图∈ B（0，q）]和条件中心方差[X | X∈ B（q，1-q） ]作为q的函数∈ （0,0.5），假设X~ N（0，1）。此外，D[X | X<X]- D[X|X<X<-x] =1-xφ（x）Φ（x）-φ（x）Φ（x）- 1.-2xφ（x）1- 2Φ（x）=Φ（x）Φ（x）（1）- 2Φ（x））(-xΦ（x）- φ（x）（1）-2Φ（x）），表明x是方程（5）的（负）解。