离散系统正实轴上的非凹效用最大化

ω不等式U+T-1（λx，ω）≤λγU+T-1（x，ω）+λγ′C（ω）同时适用于llλ≥ 1和x≥ 0，所以假设4.6得到验证。因此，我们可以应用引理4。9和命题4.10获得函数GT-2andeξT-1满足所需的性能。以类似的方式处理t的剩余值∈ {T- 2.1} （注意，对于下一步，（5.3）将允许我们在步骤（v\'）中得出以下结论：U-T-1(0, ·)< +∞), 我们构造了UT函数-2.U、 UandeξT-2.eξ。然后，我们通过归纳法确定*= x、 φ*（·）和φ*t（·），~ξtΠφ*T-1.(·). 证明的剩余部分，显示φ的最优性*, 正如Rásonyi和Stettner[19]中命题3.2的证明一样展开。我们把它搬到这里是为了方便领导。feξ张力的联合可测性φ*是一个关于给定过滤的可预测过程。回想一下，我们已经证明了这一点∈Ξdt-1（x）EPU+t（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.< +∞ a、 因此，以下所有有条件的预期都存在并且是确定的。很容易看出这一点*t（·）∈ Ξt-1.Πφ*T-1., 命题4。10表明，对于t∈{1，…，T}，EPhUtΠφ*t（·）·英尺-1i=EPhUtΠφ*T-1（·）+DSξtΠφ*T-1.(·) , 圣（·E）·英尺-1i=Ut-1.Πφ*T-1(·) , ·a、 s.So EPhUtΠφ*t（·）·Fi=EPhUt-1.Πφ*T-1(·) , ·Fia。s、 我们推断出Πφ*T（·）·Fi=EPhUΠφ*(·) , ·Fi=U（x）a.s.（5.4）现在让φ∈ ψ（x）。显然，φT∈ ΞT-1.φT-1.. 使用命题4。10年后，我们获得了φT-1（·）+hφT（·），圣（·）一·英尺-1i≤ 美国犹他州-1∏T-1（·），·）a.s.第13页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化迭代我们得到的相同参数φT-1（·）+hφT（·），圣（·）一·菲≤ U（x）a.s.（5.5），证明了定理，回顾了（5.4）。定理3.5的证明。对于每一个时间阶段t，证明的展开与定理3.3完全相同，定理3.3是唯一的不同之处∈ {T。

，1}，在假设4的验证中。4对于函数Ut:[0，∞) × Ohm → R，在3的证明中递归定义。3.第3.3项证明的（i）、（ii）、（iv）、（v）、（i’、（ii’、（iv’）和（v’）完全相同，并将使用以下（5.6）证明（iii）和（iii’）（以及假设4.4）。注意，假设v*（x） <∞ 在定理3.3的证明中，仅在（iii）和（iii\'）中使用。我们通过对t的反向归纳证明了存在一些Jt∈ W使得ut（x，ω）≤ Jt（ω）xγ+1（5.6）同时用于ll x≥ 0，对于P-null集外的ω。从t=t开始，我们设置（x，·），u（x，·）。假设2。10表明，在P-null集之外，对于所有x≥ x、 UT（x，·）=u（x，·）≤ （x/x）γ[u+（x，·）+c（·）]，和for 0≤ x<x，UT（x，·）≤ U+T（x，·）=U+（x，·），所以我们可以设置jt（·），max[u+（x，·）+c（·）]/xγ，u+（x，·）,根据我们的假设，后者显然在W中。现在，让我们假设这个语句已经为T，T显示- 1.t+1。使用MMA4。我们可以估计出（x，·），e ss supξ∈eΞdt（x）EP[Ut+1（x+hξ（·），St+1（·）i，·）| Ft]≤ ess supξ∈eΞdt-1（x）EPhJt+1（·）[x+kξ（·）kSt+1（·）k]γ+Jt+1（·）Fti≤ xγEPhJt+1（·）[1+kSt+1（·）k/βt+1（·）]γFti+EP[Jt+1（·）|Ft]a.s.，因此我们可以设置Jt（·），EPhJt+1（·）[1+kSt+1（·）k/βt+1（·）]γFti∈ W对于每一个x，我们得到了这个不等式≥ 0 a。s、 ，但我们利用UT路径的规律性，得到了所有x≥ 在公共P-完整度量集上为0。现在我们展示（5.6）如何暗示假设4.4成立，从而取代定理3.3证明中的（iii）和（iii\'）。参数与上面使用的jt+1相同≥ 0 a。s、 因此U+t（x，ω）≤ Jt（ω）xγ+1为了所有的x≥ 在一个常见的P-完全测量集上为0。Thuses supξ∈eΞdt-1（x）EPU+t（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.≤ ess supξ∈eΞdt（x）EPhJt（·）[x+kξ（·）kkSt（·）k]γ+Jt（·）英尺-1i≤ （xγ+1）Jt-1(·) < +∞ a、 和假设。4是正确的。

定理3.5的证明结束于定理3.3的证明结束之后。注意，这里我们得到v*（x） <∞ 为了所有的x≥ 0.实际上从（5.5）式中∈ ψ（x）是任意的，我们得到v*（十）≤ EP[U（x，·）]。因此v*（十）≤ （1+xγ）EP[J（·）]<+∞.第14/23页离散时间内正实数轴上的非凹效用最大化6附录我们处于第4节的设置中。例6.1。下面的例子显示，不难找到（非随机）效用，它们在上面有界，但具有非零（实际上是有限的）渐近弹性。下面的构造灵感来自Kramkov和Schachermayer[15]中引理6.5的证明。设f:[0+∞) → R是取值为sf（n）的函数，-n+1=n- 12（n+1），f（n+1/2）- n+an，f（n+1/2+an），f（n+1）- an，与an，1/[4（n+1）（n+2）]相比，每n∈ N、 在定义的点之间是线性的。显然是f(+∞) = 1/2和f（1）=0。我们还注意到f（0）=-1/2 > -∞. 此外，f的分段线性和琐碎计算使f′（x）=f（n+1/2+an）- f（n+1/2）- an）对于任何x，2an=1∈ （n+1/2）- n+1/2+an），特别是f′（n+1/2）等于1。此外，我们还有以下不等式，f（n+1/2）n+1/2≤f（n+1）n+1/2=n（n+2）（2n+1），所以把上述所有的一个结合起来就得到了limn→+∞（n+1/2）f′（n+1/2）/f（n+1/2）=+∞,因此AE+（u）=+∞ 在克拉姆科夫和沙切迈耶的经典意义上[15]。最后，我们注意到，正如Kramkov和Schachermayer[15]中引理6.5的证明一样，f c可以稍加修改，使其变得平滑，我们的结论仍然有效。因此，如备注2.11所述，Kramkov和Schachermayer[15]的引理6.3适用于andlim supx→+∞xf′（x）f（x）=inf{γ>0：十、≥ 0 s.t.a.e。

f（λx，·）≤ λγf（x，·），λ ≥ 1.十、≥ x} 按照通常的惯例，空集的上限是+∞, 而f在两种意义上都有一种独特的表征。然而，选择X=1，我们得到了0≤ f（x）≤1/2代表x≥ x、 假设2.10适用于u（x）=f（x）。引理2.12的证明。考虑一个任意的x∈ [0，x）。然后我们可以利用u是非递减的事实和不等式（2.4）来获得a.e.ω∈ Ohm thatu（λx，ω）≤ u（λx，ω）≤ λγu（x，ω）+λγc（ω）≤ λγu+（x，ω）+λγc（ω）对于任何λ≥ 1.作为c≥ 这意味着u+（λx，ω）≤ λγu+（x，ω）+λγc（ω）。另一方面，对于a.e.ω∈ Ohm 每x≥ x、 由（2.4）可知，u（λx，ω）≤ λγ[u（x，ω）+c（ω）]≤ λγu+（x，ω）+c（ω）总而言之λ≥ 1.再次使用c≥ 我们得到u+（λx，ω）≤ λγ[u+（x，ω）+c（ω）]。因此，选择C（ω），u+（x，ω）+C（ω）≥ 0并结合我们之前得到的关于a.e.ω的不等式∈ Ohmu+（λx，ω）≤ 最大值λγu+（x，ω）+c（ω）, λγu+（x，ω）+c（ω）≤ λγu+（x，ω）+λγC（ω）表示所有λ≥ 1，x≥ 0.最后，请注意EP[C]<+∞ 自EP[u+（x，·）]起+∞ 和EP[c]<+∞根据假设2.10。第15/23页引理4离散时间证明中正实轴上的非凹效用最大化。8.设Θ表示从{1，…，d}到}的函数集{-√D√d} ，并让x>0。然后我们通过引理4.7得到，对于所有的ξ∈eΞd（x），x+hξ，yi≤ x（1+k/β）≤ 十、1+（1/β）最大τ∈Θhτ，Y ia、 s.，henceV+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤ 五+十、1+（1/β（·））最大τ∈Θhτ，Y（·）i, ·≤Xτ∈ΘV+（x[1+hτ/β（·），Y（·）i]，·）a.s.，其中我们定义V+（x，ω），0为x<0。我们从Rásonyi和Stettner[19]的命题4.2得知，存在一个随机集M（1）∈ GB研发部这样ξ∈ M（1）a。s、 当且仅当ξ∈Ξd（1）。用r（1）（ω）表示M（1）（ω）的线性范围，r（1）再次在G中B研发部根据Rásonyi和Stettner的提案4.3[19]。必须在集合{ω上分别证明我们的引理∈ Ohm : dim R（1）（ω）=k}，带k∈ {0, . .

，d}，因为这些集合在G中（参见Rásonyi和Stettner[19]中对命题4.3的证明）。逐字应用Rásonyi和Stettner[19]中引理2.3的论点，可以证明g的存在∈ Ξd（1）和ετ∈ 带ετ的Ξ∈ （0，1）使得egτ，g+ετ（τ/β- g） 属于M（1），因此属于Ξd（1）（用城市引理表示，g=H，g=ρ，Kθi=τ/β，ετ=ψ，i=τ）。因此，对于x≤ 1，V+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤Xτ∈ΘV+（1+hτ/β（·），Y（·）i，·）a.s.，几乎可以肯定，对于x>1，V+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤Xτ∈ΘxγV+（1+hτ/β（·），Y（·）i，·）+C（·）.根据推测4。6.注意，如果τ是这样的，{1+hτ/β（·），Y（·）i<0}具有严格的正概率，那么在这个集合上，前面的不等式成立，因为C≥ 再次应用同样的假设（用同样的注释），我们得到a.s.thatV+1 +τβ（·），Y（·）, ·≤ετ(·)γ五+ετ(·)1 +τβ（·），Y（·）, ·+C（·）≤ετ(·)γ五+ετ（·）[1+hg（·），Y（·）i]+ετ（·）τβ(·)- g（·），Y（·）, ·+C（·）≤ετ(·)γ五+1+hg（·），Y（·）i+ετ（·）τβ(·)- g（·），Y（·）, ·+C（·）=ετ(·)γV+（1+hegτ（·），Y（·）i，·）+C（·）,其中，自1+hg，Y i以来，最后一个不等式成立≥ 0 a.s.现在letL′（·），Xτ∈Θετ(·)γV+（1+hegτ（·），Y（·）i，·）+C（·）+ C（·）！+V+（0，·），其中最后一项被添加，以涵盖x=0的情况。根据假设，EPCG< +∞a、 根据假设4。我们有EP[V+（1+hegτ（·），Y（·）i，·）|G]<+∞ 和EP[V+（0，·）| G]<+∞ a、 因此证明是完整的，因为ετ是G-可测的。第16/23页引理4离散时间证明中正实轴上的非凹效用最大化。9.让我们首先为每个正比例的最终数字q选择ess supξ的一个版本F（q，ω）∈Ξd（q）EP[V（q+hξ（·），Y（·）i，·）|G]。接下来，对于ny对q<qof正有理数，以及任何ξ∈ Ξd（q），有ξ∈ Ξd（q），显然是q+hξ，yi<q+hξ，yi。

所以我们假设。3 thatV（q+hξ（ω），Y（ω）i，ω）≤ V（q+hξ（ω），Y（ω）i，ω）表示P-a.e.ω∈ Ohm. 然后，我们从条件期望的单调性和取本质上确界得出结论，F（q，·）≤ F（q，·）a.s.同样地，对于每个正q∈ Q、 F（Q，ω）<+∞ 根据假设。4.这样就可以找到一套∈ 全概率的G，例如，对于每ω∈ A、 q7的映射→ F（q，ω）是非递减的，并且在正有理数集上是有限值。让我们具体说明，对于每个x∈ [ 0, +∞) ω∈ A、 G（x，ω），infq∈Qq>xF（q，ω），如果ω∈ Ohm \\ A.显然，当x≥ 0在Q中，然后是G（x，·）≥ F（x，·）a.s.此外，对于e ach x≥ 我们知道G（x，·）是G-可测的。我们将把剩余的证据分成五部分。（i） 根据上述定义，可以直接检查每个ω∈ Ohm, 函数G（·，ω）是非递减的。同样清楚的是，G（x，ω）<+∞ 为了所有的x≥ 0和ω∈ Ohm.（ii）我们继续向所有x∈ [ 0, +∞),G（x，·）=ess supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]a.s.为了做到这一点，让我们定义一个任意的x∈ [0, +∞). 然后，对于每一个q∈ Q、 Q>x，不等式supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≤ F（q，·）持有a.s.，因此我们得到supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≤ G（x，·）a.s.仍然需要验证逆不等式是否也是真的（除了可能在一组测量零点上）。这将分三步实现。（a） 让我们从严格的递减序列{qn；n；开始∈ N} 满足x<qn<x+1和limn的有理数→+∞qn=x。现在，给定任意n∈ N、 这是家里的事EP[V（qn+hξ（·），Y（·）i，·）|G]；ξ ∈ Ξd（qn）是向上的，因此一个c可以找到ζn∈ Ξd（qn）使得ep[V（qn+hζn（·），Y（·）i，·）|G]≥ F（qn，·）-娜娜。s、 （b）接下来，fix一个任意的n。

在上面观察到ζn∈ Ξd（qn） Ξd（x+1）。因此，假设bζ是它在D上的投影，我们知道Ephvqn+Dbζn（·），Y（·）E·Gi=EP[V（qn+hζn（·），Y（·）i，·）|G]≥ F（qn，·）-娜娜。s、 （6.1）第17页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化，此外，引理4。7允许我们得出结论，kbζnk≤ Kx+1a。s、 因此，我们可以提取随机子序列bζnk；K∈ 没那么笨→+∞bζnk=ζa.s.，对于某些G-可测量的随机变量ζ（见[13]中的L e mma 2]）。但thenx+hζ（ω），Y（ω）i=limk→+∞qnk（ω）+Dbζnk（ω）（ω），Y（ω）E≥ P-a.e.ω的0∈ Ohm, i、 e.ζ∈ Ξd（x），这反过来意味着∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ 最后，让我们定义随机变量fk：Ohm → R如下，fk（ω），Vqnk（ω）+Dbζnk（ω）（ω），Y（ω）E，ω, ω ∈ Ohm.通过序列{qn；n的构造∈ N} 以及随机子序列bζnk；K∈ 不，通过V路径的连续性（见假设4.3），可以清楚地看出→+∞fk=V（x+hζ（·），Y（·）i，·）a.s.我们进一步观察到，对于p-a.e.ω∈ Ohm,fk（ω）≤ 五、x+1+Dbζnk（ω）（ω），Y（ω）E，ω≤h（1+x）γ+1iL′（ω），其中第一个不等式来自V的单数性（我们称为假设4.3的增益），第二个不等式是引理4.8的简单推论，结合x+1+Dbζnk（·），Y（·）E的事实≥ qnk（·）+Dbζnk（·）（·），Y（·）E≥ 因此，我们可以应用Fatou引理（对于上极限）得出EP[V（x+hζ（·），Y（·）i，·）|G]≥ 林素福→+∞EP[fk | G]≥ 林因夫→+∞Fqnk（·）·-nk（·）≥ infn∈NF（qn，·）a.s.，来自（6.1）的（6.3）应用于{nk=i}的i≥ k、 将方程（6.2）和（6.3）结合起来，最终得出了预期的不均匀性supξ∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ infn∈NF（qn，·）≥ 第三，通过构造，G是右连续的。

此外，很容易看出g（x，ω）=1A（ω）infn∈N{F（rn，ω）11{rn>x}+(+∞)11{rn≤x} }其中{rn；n∈ N} 是Q的一个枚举（我们通常约定为0×）∞ =0). 回想一下ω→ F（rn，ω）对于每个rn是G-可测的，因此G对于乘积σ-代数B是可测的（[0+∞))  G（iv）现在考虑任意G-可测随机变量H≥ 我们希望展示g（h（·），·）=ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]a.s.（6.4）第18页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化我们刚才证明了（6.4）对非负常数H成立。很容易证明它对G-可测可数阶跃函数H也成立。接下来，假设H是任何有界、G-可测、非负（a.s.）随机变量，存在一个常数M>0，使得H≤ 众所周知，我们可以取一个非递增序列{Hn；n∈ N} G-可测阶跃函数收敛到H a.s.，这样，永远y N∈ N、 嗯≤ M.a.s.然后，定义任意ξ∈ Ξd（H），我们每n∈ N等于Hn+hξ，yi≥ H+Hξ，yi≥ 0 a.s.，因此（Hn（·），·）=ess supζ∈Ξd（Hn）EP[V（Hn（·）+hζ（·），Y（·）i，·）|G]≥ EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.（回想一下，（6.4）对于阶跃函数是正确的），这反过来又会使→+∞G（Hn（·），·）≥ 林恩芬→+∞EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.一方面，我们通过G的右连续性得到limn→+∞G（Hn（·），·）=G（H（·），·）a.s.另一方面，我们可以应用Fatou引理（关于次极限，请参见假设4.5）得出结论→+∞EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.，因此ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]≤ G（H（·），·）a.s.（通过ξ的任意性）∈ Ξd（H））。

现在，为了证明这个逆不等式，我们可以构造一个序列{ζn；n∈ N} 这样，每N∈ N、 我们有ζN∈ Ξd（Hn），ζn（ω）∈ D（ω）表示P-a.e.ω∈ Ohm, andG（Hn（·），·）-n=ess supξ∈Ξd（Hn）EP[V（Hn（·）+hξ（·），Y（·）i，·）|G]-N≤ EP[V（Hn（·）+hζn（·），Y（·）i，·）|G]a.s.（6.5）我们进一步指出，每个ζn都长到Ξd（M）（因为M+hζn，Y i≥ Hn+hζn，yi≥ Malema 4.0。7存在一个r和om变量kmk，使得kζnk≤ KMa。s、 因此，我们可以选择一个随机子序列{ζnk；k∈ N} 笨拙的→+∞ζnk=ζa.s.，对于某些G-可测量的ζ。显然，H+Hζ，yi=limk→+∞（Hnk+hζnk，yi）a.s.，且每k∈ N、 Hnk+hζnk，YⅠ=+∞Xi=k（Hi+hζi，yi）11{nk（·）=i}≥ 0 a.s.，因此ζ∈ Ξd（H）。因此，ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]≥ EP[V（H（·）+Hζ（·），Y（·）i，·）| G]a.s.，由本质上确界定义。此外，对于everyk，我们有引理4.8∈ N、 五+Hnk（·）（·）+ζnk（·）（·），Y（·）, ·≤ 五+M+ζnk（·）（·），Y（·）, ·≤ LM（·）a.s.第19页/离散时间内正实轴上的非凹效用最大化（注意ζnk∈ Ξd（M）），因此limsup-Fatou引理产生（参见假设4.4）EP[V（H（·）+Hζ（·），Y（·）i，·）|G]≥ 林素福→+∞EP五、Hnk（·）（·）+ζnk（·）（·），Y（·）, ·G≥ 林素福→+∞GHnk（·）（·）·-nk（·）= G（H（·），·）a.s.，其中最后一个不等式来自（6.5）。结合上面的不等式，weestablish（4.7）也适用于任何有界H。最后，我们将上述结果推广到任意G-可测H≥ 0 a.s.自CEH=Pn∈NHn，带ea ch Hn，H11{n-1.≤H<n}G-可测且有界，我们可以从有界情形中得到期望的等式。（v） 最后，我们认为几乎所有的G路径都是连续的。

这将通过构造一些左连续函数来实现ω ∈ Ohm: 十、≥ 0，G（x，ω）=G（x，ω）= 1、我们定义（x，ω），（supq∈Qq<xG（q，ω），如果x>0，则G（0，ω），否则。从（iii）中回想G是B（[0+∞))  G-可测量，所以很明显G是b（[0+∞))  G-也可以测量。此外，对于每一个ω，检查这一点很简单∈Ohm, 函数g（·，ω）在（0+∞). 我们进一步指出，通过构造，G的所有路径在（0+∞).从G的所有样本路径的单调性可以看出，它们的质量是G（x，ω）≥G（x，ω）对每个x同时成立≥ 0，对于每个ω∈ Ohm. 特别是，对于每个ω∈ Ohm 为了所有的x≥ 0，它认为g（x，ω）<+∞. 最后，我们将展示Pω ∈ Ohm: 十、≥ 0，G（x，ω）=G（x，ω）=1.（a）证据是矛盾的。让我们假设Ohm,ω ∈ Ohm : x>0s.t.G（x，ω）>G（x，ω）具有严格的正度量，即P(Ohm) > 0.注意，因为(Ohm, G，P）是一个完整的测度空间，我们可以应用可测投影定理（参见Sainte Beuve[22]中的定理4]）来推导Ohm= 项目OhmG-G-1((0, +∞))属于G。以多功能E为例：Ohm => [ 0 , +∞) 给定byE（ω），x>0:G（x，ω）>G（x，ω）, 如果ω∈ Ohm,{1} 否则。其图形由gph E=(Ohmc×{1}）∪[Ohm× (0, +∞)] ∩HG-G-1((0, +∞))我给定一组E X×Y，我们记得E在X上的投影是projx（E），{X∈ X: Y∈ Y使得（x，Y）∈ E} 。第20页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化，属于B（[0+∞)) G同样地，我们可以应用冯·诺伊玛·纳努曼定理（参见Sainte Beuve[22]中的定理3]）来产生一个g可测量选择器H：Ohm → [ 0, +∞) 当然。特别是，这意味着ω ∈ Ohm: G（H（ω），ω）>G（H（ω），ω）≥ P(Ohm) > 当G（0，ω）=G（0，ω）时，我们得到H>0。