离散系统正实轴上的非凹效用最大化

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英文标题：
《Non-concave utility maximisation on the positive real axis in discrete
  time》
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作者：
Laurence Carassus, Mikl\\\'os R\\\'asonyi, Andrea M. Rodrigues
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We treat a discrete-time asset allocation problem in an arbitrage-free, generically incomplete financial market, where the investor has a possibly non-concave utility function and wealth is restricted to remain non-negative. Under easily verifiable conditions, we establish the existence of optimal portfolios.
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中文摘要：
我们研究了无套利、一般不完全金融市场中的离散时间资产配置问题，其中投资者具有可能的非凹效用函数，财富被限制为非负。在易于验证的条件下，我们证明了最优投资组合的存在性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Non-concave_utility_maximisation_on_the_positive_real_axis_in_discrete_time.pdf (380.76 KB)

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关键词：效用最大化 最大化 Mathematical Quantitative maximisation

离散时间正实轴上的非凹效用最大化*Laurence Carassus+Miklós RásonyiAndrea M.Rodrigues§2018年9月11日摘要我们在一个无套利、一般不完全的金融市场中处理离散时间资产分配问题，投资者可能具有非凹效用函数，财富被限制为非负。在易于验证的条件下，我们建立了最优投资组合的存在性。关键词：离散时间模型；动态规划；有限视界；不完全市场；非凹效用；最佳投资组合。AMS MSC 2010：主要93E20、91B70、91B16、次要91G10。1简介我们考虑在多资产和离散时间金融市场交易的投资者，他们正试图从终端财富中最大化他们的预期效用。如果效用函数u定义在非负半直线上，是凹的，并且问题有一个有限值函数，那么总是有这样的策略，见Ráso nyi和Stettner[19]。此外，在一般的半鞅模型中，我们还需要假设所谓的“交变弹性”+∞”, 由AE+（u）表示，小于1，以获得效用最大化问题的最优投资组合，见下文Kramkov和Schachermayer[15]andRemark 2.11。在效用最大化的背景下，渐近弹性的条件（最初用于Cvitani'c和Karatzas[8]；Karatzas、Lehoczky、Shreve和Xu[12]；Kramkov和Schachermayer[15]）在文献中具有相同的标准。在这篇文章中，我们想要消除通常在美国所做的关于凹度和平滑度的假设。为什么？可以援引几个理由。第一点非常明确：投资者可以在一定财富水平以上改变对风险的看法。

我们也可以考虑在某个B级优化性能的问题：一个用损失函数惩罚B级的损失，另一个用增益函数最大化B级之后的增益。这些插图是分段凹函数的典型示例。Carassus和Pham[4]在完整案例中以及Reichlin[20]在伪完整市场中解决了这类问题。非凹效用函数的其他例子是所谓的“S形”函数。这些都出现在Cpersky理论中*L.Carassus感谢LPMA（UMR7599）的支持。A、 M.Rodrigues非常感谢FCT Funda~ao para A Ciência e Tecnologia（葡萄牙科学技术基金会）通过SFRH/BD/69360/2010博士奖学金提供的财政支持。这项研究的一部分是在。拉索尼。A.M.罗德里格斯大学与英国苏格兰埃迪·恩堡大学数学学院+LMR（EA 4535，CNRS FR 3399ARC），法国霍斯磨坊兰斯香槟阿登大学数学学院——BP1039，51687兰斯塞德克斯2。电子邮件：劳伦斯。carassus@univ-兰斯。frMTA Alfréd Rényi数学研究所，匈牙利布达佩斯。第二作者也是匈牙利布达佩斯帕兹马尼佩特天主教大学的研究员。电子邮件：rasonyi@renyi.mta.hu§都柏林城市大学，都柏林，爱尔兰。电子邮件：安德里亚。MeirelesRodrigues@dcu.ieNon-离散时间正实轴上的凹效用最大化[14]；Tversky和Kahneman[23]）。这一理论表明，问题的心理表征很重要：研究人员根据给定的随机参考点B分析自己的得失，而不是根据zer o，他们将潜在的损失考虑得比潜在的遗传因素更多。

请注意，与累积概率理论相比，在本文中，我们不允许投资者通过累积分布的转换函数扭曲概率测度。Berkelaar、Kouwenberg和Post[1]在一个完整的市场环境中研究了“S形”函数的情况。在预先发送的论文中，我们在非负半线上定义的可能非凹、不可微分和随机效用函数上提供了温和的有效条件（涉及渐近弹性），以保证最优策略的存在，我们涵盖了大量不完全模型，这些模型可以适用于任意计量经济数据。在Carassussand Rásonyi[5]中处理了在整个实线上定义的（非随机）实用程序的情况，但到目前为止，在非负实线的情况下没有一般结果；在目前的情况下，我们只知道Reichlin[21]的第四章，其中一些非常特殊的市场模型证明了存在结果。最后，我们根据累积前景理论的精神，列出了概率扭曲的一些参考文献，因为这些结果可以应用于我们的设置，权重函数等于恒等式。在不完全离散时间环境下，Carassus和Rásonyi[6]；拉索尼和罗德里格斯·维拉尔·雷亚尔[17]的研究非常具体的效用函数。在连续时间研究中，所有参考文献都假设市场是完整的：见金和周[11]，卡莱尔和达纳[7]，坎皮和德尔维尼亚[3]，拉桑尼和罗德里格斯[16]。这篇文章的简要概述如下。第2节专门说明市场模型并介绍相关符号。

在第3节中，我们阐述了我们的主要结果。接下来，在第4节中，我们将在一步设置中检查问题，而在第5节中，我们将使用动态规划方法证明我们的主要结果。为了简化表示，第6节收集了一些辅助结果的证明。2符号和设置2。1.在接下来的市场中，我们将考虑一个无摩擦、完全流动的金融市场模型，交易期限为∈ N、 在这种情况下，当前时间用0表示，交易只发生在{0，1，…，T}日期。与往常一样，经济中的不确定性以完全概率空间为特征(Ohm, F，P），其中F是样本空间上的σ-代数Ohm, P是潜在的概率度量（被解释为物理概率）。此外，经济中的代理人积累的所有信息都是通过离散时间过滤F={Ft；t∈ {0，1，…，T}使得Fcoincides与所有P-null集的族一致。最后，我们还假设F=FT。接下来，我们将一个整数d乘以大于0，并考虑一个过程S={St；t∈ {0，1，…，T}，因此Stre表示d交易风险资产的时间T价格。用Ξntall-ft可测随机向量族ξ表示：Ohm → 每n∈ N和每个t∈ {0，1，…，T}，我们假设∈ Ξdt每t∈ {0，1，…，T}，即S是F-适应的。在不丧失普遍性的情况下，我们还应假设，在这种经济中，无风险资产的价格始终与固定价格相等。最后，对于每个t∈ {1，…，T}，我们定义圣，圣- 圣-1.我们认为，自我融资投资组合是一个过程φ={φt；t∈ {1，…，T}，带φT∈Ξdt-1对于所有t∈ {1，…，T}，及其财富过程∏φ=n∏φT；T∈ {0，1，…，T}osatis fies，第2页/离散时间内正实轴上的非凹效用最大化每T∈ {1, . . .

，T}，πφT=πφ+tXs=1hφs，Ssi a.s.这里h·，·i表示RDK中的标量积，k·k是相应的欧氏范数。我们用Φ表示所有自我融资投资组合的类别。此外，我们将实施以下交易限制：投资组合的价值不应被允许成为严格负的。所以我们说投资组合∈ Φ对于x是容许的≥ 0（而我们是∈ ψ（x））如果，对于每t∈ {1，…，T}，不等式∏φT≥ 0持有∏φ=x的a.s.。由于预算限制，这种限制是自然的，并且经常被施加，参见Kra mkovand Schachermayer[15]；Rásonyi和Stettner[19]。以下无套利假设规定，任何投资者都不应被允许在没有风险的情况下从无到有地获利，即使有预算限制。假设2.1。市场不允许套利，即对所有x≥ 0，如果φ∈ 带∏φT的ψ（x）≥ xa。s、 ，则∏φT=xa。s、 （NA）备注2.2。Rásonyi和Stettner[19]的命题1.1证明，（NA）等同于经典的无套利条件：φ ∈ Φ∏0，φT≥ 0 a.s.意味着∏0，φT=0 a.s.当e∏0，φT代表与φ相关的财富过程时，初始财富为零，即∏φ=0。现在Fix t∈ {1，…，T}。我们知道存在一个规则的条件分布带重新规范t至Ft-在物理量P下，我们用P表示圣|英尺-1.通过对P-null集进行修改，我们可以并将假定P圣|英尺-1（·ω）是所有ω的概率∈ Ohm. 设Dt（ω）表示P的支集t的一个有效壳圣|英尺-1(·, ω). 根据Jacod和Shiryaev[10]中的定理3，在（NA）下，Dt（ω）实际上是P-几乎每个ω的线性空间。考虑到英国《金融时报》-1-可测随机变量H≥ 0 a.s。

（这也可能是某种原因。）≥ 0），我们设置Ξdt-1（H），ξ ∈ Ξdt-1:H+Hξ，性病≥ 0 a.s。.我们带上了EΞdt-1成为所有随机向量的类ξ∈ Ξdt-1比如ξ（ω）∈ p-a.e.ω的Dt（ω）。符号Ξdt-1（H）是不言自明的。提议2.3。以下两种说法相当：（i）（NA）成立；（ii）每t∈ {1，…，T}，存在Ft-1-可测量的随机变量βt>0，κt>0a。s、 这样，对于每一个ξ∈eΞdt-1，不等式（hξ，性病≤ -βtkξk | Ft-1) ≥ κt（2.1）持有a.s.证据。这源于Rásonyi和Stettner[18]中的命题3.3和上述备注2.2（另见Rásonyi和Stettner[19]中的命题1.1]）。备注2.4。我们注意到，上述（NA）的“定量”特征仅适用于Ft-1-属于Dta的可测Rd值函数ξ。s、 这将促使以后使用正交投影（参见第4节）。第3页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化2。2投资者的风险偏好由一个（可能是非凹和非可微随机）效用函数描述。定义2.5（非凹随机效用）。随机效用（在非负半直线上）是任意函数u：（0+∞) × Ohm → R验证以下两个属性（i）每x∈ (0, +∞), 函数u（x，·）：Ohm → R是F-可测量的，（ii）对于a。e、 ω∈ Ohm, 函数u（·ω）：（0+∞) → R是非递减且连续的。对于每个ω∈ Ohm 对于（ii）成立，我们设置u（0，ω），limx↓0u（x，ω），我们定义为（0，ω），否则为0。不知道u（0，ω）可以取这个值-∞.备注2.6。在本文中，我们将财富限制为非负，我们考虑的是仅在非负实数线上定义的效用。连续性和单调性是标准假设。

此外，由于u将用于评估投资者的未来财富，它很可能取决于经济变量，因此它可能是随机的，见示例2。下文第9段。最后，与大多数研究不同的是，我们不假设u的凹性或光滑性。对u的一个可能的扩展是上半连续的，这将是未来研究的主题。我们注意到，由于u（·ω）是a.e.ω的单调函数∈ Ohm, 限制你(+∞, ·) , 利克斯→+∞u（x，·）存在a.s.（尽管它可能不确定），我们定义(+∞, ω) , + ∞ 否则。我们将要求如下。假设2.7。u在0处的负部分有明确的预期，即EPU-(0, ·)< +∞. （2.2）备注2.8。如果u是确定性的，那么上述假设相当于u（0）>-∞.这是公认的限制，因为它排除了u（x）像ln（x）或-xα（α<0）在0附近。然而，它仍然允许大量的实用程序。目前，我们不能放弃这一假设，因为它对于证明动态程序保持下面的增长条件（2.6）至关重要（见定理3.3第5节证明中的第（v\'）。还要注意的是，当效用函数的域等于整个实线时，这个假设是假设2.9中的（10）的附属项。本着累积前景理论的精神，我们以随机效用函数的一个重要例子继续这一小节。示例2.9（参考点）。在CPT fra mework中，假设每个投资者都有一个财富参考点（在文献中也被称为基准或现状，参见Bernard和Ghossoub[2]、He和Zhou[9]、Carassus和Rásonyi[6]），根据该参考点来评估T结束时的支付。

因此，投资者的决策不是基于财富的最终水平（正如冯·诺依曼和Morge nstern[24]的预期效用理论所假设的那样），而是基于财富水平与参考点的偏差。请注意，与CPT不同，我们的设置不包括概率失真（权重函数）。从数学上讲，一个参考点是任何固定的sc alar值和F-可测量的随机变量B≥ 因此，假设在终端时间T和场景ω的情况下∈ Ohm,如果与参考水平的偏差为三次正（分别为严格负），即X（ω）>B（ω）（分别为X（ω）<B（ω）），则称逆变器产生增益（分别为损耗）。注意，例如，B可以被视为非负常数（这是酪蛋白Berkelaar、Kouwenberg和Post[1]；Ber nard和Ghos soub[2]；Carassus和Pham[4]）。这里是x+，max{x，0}和x-, - 每x的最小值{x，0}∈ R.此外，为了减少旋转的重量，给定任何函数f:X→ R、 从今以后，我们将为所有的x写f±（x），[f（x）]∈ X.第4页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化参考点c也可以是随机的（例如，为了反映投资者将其表现与在可能不同的市场中行事的其他投资者的表现进行比较的事实）。在这种情况下，投资者有一个随机m效用定义的asu（x，ω），eu（x- B（ω）），x>0，ω∈ Ohm, （2.3）欧盟：(-是的+∞) → 满足eu的ra（确定性）非减连续函数(-ess sup B）>-∞ （我们把欧盟放在哪里(-ess sup B），limx↓- ess sup Beu（x），asbefo re）。显然，EP[u]-(0, ·)] < +∞, 假设2.7对u是正确的。我们将对函数u的增长做出以下假设。假设2.10。存在常数γ>0和x≥ 0，以及一个随机变量C≥ 0 a.s。

与EP[c]<+∞, 对于a.e.ω∈ Ohm,u（λx，ω）≤ λγu（x，ω）+λγc（ω）（2.4）对所有λ同时保持不变≥ 1和所有x≥x、 此外，EP[u+（x，·）]<+∞.备注2.11。对于u确定性、严格凹性和连续可微性，我们重新定义了llthatAE+（u），lim supx→+∞xu′（x）u（x）表示u的渐近弹性+∞ （参见Kramkov和Schachermayer[15，p.943]），我们总是有AE+（u）≤ 1（理由是指Kramkov和Schachermayer[15，引理6.1]）。通过Kramkov和Schachermayer[15]中的引理6.3，我们知道AE+（u）等于所有实数γ>0的范围内，其中存在一些x>0，因此，对于所有λ≥ 1和所有x≥ x、 u（λx）≤ λγu（x）（2.5）成立。从Kramkov和Schachermayer[15]引理6.3的证明可以清楚地看出，如果u不是凹的（但c是连续可微的），那么AE+（u）的这种特征也成立。由于后一个公式（2.5）对于可能的非微分和非共模u以及任意γ>0也是有意义的，我们遵循Carassus和Rásonyi[5]，定义了+∞ uASAE+（u），inf{γ>0：十、≥ a.e.ω，u（λx，ω）的0 s.t≤ λγu（x，ω），λ ≥ 1.十、≥ x} 按照通常的惯例，空集的上限是+∞.因此，使用渐近弹性的这个广义概念，我们可以看到，如果AE+（u）<+∞, 或者u在某个可积随机常数的上面有界≥ 0 a.s.和假设2。7点。事实上，在第一种情况下，这是微不足道的，因为（2.4）由AE+（u）<γ表示。在第二种情况下，取x，0，我们得到每x的值≥ 每λx和≥ 1，u（λx，ω）≤ C（ω）≤ λγC（ω）=λγu（x，ω）+λγ[C（ω）- u（x，ω）]≤ λγu（x，ω）+λγ[C（ω）- u（0，ω）]，它允许我们定义c（ω），[c（ω）- u（0，ω）]+。作为c（ω）≤ C（ω）+u-（0，ω），2。7表明EP[c]<+∞.