离散系统正实轴上的非凹效用最大化

注意，在这种情况下，EP[u+（x，·）]=EP[u+（0，·）]≤ EP[C]<+∞我们注意到，如果u是确定的，凹的，并且在上面有界，那么AE+（u）≤ 0（againby Kramkov和Schachermayer[15，引理6.1]），但这在非凹的情况下失败。精确地说，在所引用的引理中，在（2.5）中有严格的不等式，并且要求它只适用于λ>1。显而易见，它也适用于我们的版本。第5页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化我们将在示例6中看到。假设2.10成立，但渐近弹性等于+∞. 这表明，尽管有足够的弹性，但具有有限的渐近弹性并不是函数验证假设2的必要条件。10.我们立即得到AE+（u）<+∞ （因此假设2.10成立）假设u是确定性的，连续可微分的，并且存在一些p>0，使得0<lim infx→+∞u′（x）xp≤ lim supx→+∞u′（x）xp<+∞.事实上，如果上述条件对u是真的，那么一方面，可以找到存在一些x>0的m>0，使得所有x的u′（x）>m xp≥ x、 但这意味着，对于所有x≥ x、 u（x）- u（x）=Zxxu′（y）dy≥ mxp+1- xp+1p+1。另一方面，我们可以找到有xM>0的M>0，使得所有x的u′（x）<xpm≥ xM。定义ˇx，max{x，xM}>0，注意我们可以假设u（x）>0而不丧失普遍性，并结合前面的不等式最终得出x u′（x）u（x）≤Mxp+1mp+1（xp+1- xp+1）+u（x）代表所有x≥ ˇx，thereforelim supx→+∞xu′（x）u（x）<+∞.特别地，如果u′（x）渐近等价于幂函数（即u′（x）/xp）→ 1，作为x→ +∞) 那么假设2。10次等待。

许多分段凹函数或“S形”函数（不仅仅是分段幂函数）可以通过这种方式调节，例如Berkelaar、Kouwenberg和Post[1]中考虑的Theone函数；金和周[11]。最后，假设u是示例2.9的效用。如果满足以下条件：（i）ess sup B<+∞;（ii）存在实数γ>0，ex>0和C≥ 因此，对于所有λ≥ 1和所有x≥ ex，eu（λx）≤ λγeu（x）+λγC；（iii）函数eu在其域上是连续可微的，对于所有x，实数k>0和bx>0≥ bx，eu′（x）≤ K然后是完整的假设2。10.实际上，设置x，max{ex，bx}+ess sup B>0 yieldsu（λx，ω）=euλ十、-B（ω）λ≤ λγeu十、-B（ω）λ+ λγC≤ λγeu（x）- B（ω））+λγkb（ω）1.-λ+ λγc对于a.e.ω，同时对于所有λ≥ 1和x≥x、 注意u+（x，·）≤ ~u+（x）和latteris阻止了ministic。因此，choosing c，K ess sup B+c（它是常数，因此可微积）给出了所声称的结果。我们最后指出，对于足够大的x，任何函数eu为凹函数，都满足上述条件（ii）、（iii）。现在我们可以推导出以下辅助结果，它为allx提供了一个估计值≥ 0，而不仅仅是x≥ x、 第6/23页离散时间曲线2.12中正实轴上的非凹效用最大化。在屁股底下。10有一个随机变量C≥ 0 a.s.使EP[C]<+∞ 对于a.e.ω，u+（λx，ω）≤ λγu+（x，ω）+λγC（ω）（2.6）同时适用于所有λ≥ 1和所有x≥ 0.证明。见附录6。3主要结果最优投资组合问题在于选择给定资产中的“最佳”投资：使终端财富的预期效用最大化的投资。定义3.1。让假设2.7成为可能。

给定任何x≥ 0，具有初始财富xon a fine horizon T的非凹投资组合问题为φ*∈ ψ（x）使v*（x） ，苏普尼弗φT（·）·i:φ∈ ψ（x）o=EPhuΠφ*T（·）·i、 （3.1）我们称之为φ*最佳策略。备注3.2。（i） 注意，由于假设2。7，伊芙-φT（·）·我≤ EPU-(0, ·)< +∞,上述（3.1）中的预期是存在的（尽管它们可能是有限的）。还需要立即检查一下策略≡ 0表示所有x的ψ（x）≥ 0，因此Supremum将接管一个非空集。特别是，v*（十）≥ EP[u（x，·）]>-∞, 低估。7.（ii）人们可能会问为什么存在最优φ*当ε-最优策略φε（即在所有策略中ε-接近上确界的策略）的存在是自动的时，对于所有ε>0，这一点很重要。首先，最优策略φ的不存在性*通常意味着一个乐观主义者序列φ1/n；N∈ N显示了一种实际上不可行且违反直觉的行为（参见Rásonyi和Stettner[18]的示例7.3）。第二，φ的存在*通常与一些紧性性质结合在一起，这是构造最终数值格式以找到最优解所需的。下面是这篇论文的主要结果。它说优化问题（3.1）有一个解决方案。定理3.3。让我们假设一下。1、2.7和2.10是正确的。进一步假设，对于everyx∈ [0, +∞) ,五、*（x） <+∞. （3.2）然后，对于每个x∈ [0, +∞) , 这里有一个策略*∈ ψ（x）令人满意Πφ*T（·）·i=v*（x） 。（3.3）证据。在适当准备之后，将在第5节中给出证据。我们在这里简要介绍一下。将采用动态编程技术。这将使我们能够把原来的问题分解成几个子问题，这些子问题涉及时间T的随机效用函数。

在每个时间步，我们将根据引理4提供的自然相容性，找到一个一步最优解。7以下和第7/23页的

该设置将应用于G=Ft的多步情况（见下一节）-1和Y=每一个固定的t∈ {1，…，T}。按照上一节的符号o，我们用Ξd表示所有G-可测函数ξ的族：Ohm → 另外，让PY | G:B研发部× Ohm → [0，1]是给定Y的唯一（最多一组度量值）正则条件分布。通过在P-null集上修改它，我们可以并且将假设PY | G（·ω）是每个ω的概率。现在，对于每个ω∈ Ohm, letsuppPY | G（·ω）表示PY | G（·，ω）（存在且非空）的支撑，并让D（ω）表示支撑的有效外壳PY | G（·ω）, 也就是D（ω），a off晚餐PY | G（·ω）.我们还将假设如下。假设4.1。对于a.e.ω∈ Ohm, D（ω）是Rd的线性子空间。此外，对于每个G-可测r和om变量H：Ohm → R和H≥ 上午0点。（对于任何常数x也是如此。）≥ 0），定义集合Ξd（H），ξ ∈ Ξd:H+Hξ，yi≥ 0 a.s。.最后，请注意所有函数的族ξ∈ Ξd如ξ（ω）∈ D（ω）表示a.e.ω。符号Ξd（H）是不言自明的。我们还应考虑以下条件，可将其视为一步无套利（参见第2.3条）。第8/23页离散时间假设4.2中正实轴上的非凹效用最大化。存在G-可测的随机变量β，κ>0a.s.这样p（hξ，yi≤ -βkξk | G）≥ κa.s.（4.1）对于所有ξ∈eΞd.我们可能也将假设β≤ 1.假设4.3。让函数V:[0+∞) × Ohm → R满足以下两个性质：（i）对于任何固定x∈ [0, +∞) , 函数V（x，·）：Ohm → R是相对于toF可测量的；（ii）对于a.e.ω∈ Ohm, 函数V（·，ω）：[0+∞) → R是连续的，不递减的。我们还需要下列可积条件。假设4.4。

每x∈ [0, +∞),ess supξ∈Ξd（x）EPV+（x+hξ（·），Y（·）i，·）G< +∞ a、 s.（4.2）假设4.5。V的条件期望-(0, ·) : Ohm → [0, +∞) 关于toG is FINITE a.s.，即EP五、-(0, ·)G< +∞ a、 最后，我们对V施加以下生长条件。假设4.6。存在一个常数γ>0和一个随机变量C≥ 0 a.s.这样的EP\'C< +∞ 对于a.e.ω，V+（λx，ω）≤ λγV+（x，ω）+λγ′C（ω）（4.4）同时适用于所有λ≥ 1和所有x≥ 接下来，我们注意到，对于某些ξ，用^ξ（ω）表示ξ（ω）在D（ω）上的正交投影∈ Ξd，我们有^ξ∈ Ξdand h^ξ，yi=hξ，yi a.s.，读者可向Carassus andRásonyi[5，备注8]了解更多细节。这意味着任何投资组合c都可以用其对D的预测来代替，而不改变其价值或对投资者的期望。现在我们回想一下，D中所有可容许策略的集合是有界的。引理4.7。假设这个假设。2是正确的。给定任何x≥ 0，存在可测的实值随机变量Kx，x/β≥ x如此，每x∈ [0，x]和每ξ∈Ξd（x），我们有kξk≤ Kxa。s、 （4.5）证据。这是Rásonyi和Stettner[19]中的引理2.1。至于下一个引理，它将允许我们将Fato-u引理应用于一系列倾向于下面（4.7）中基本上确界的条件期望。引理4.8。假设这是一种消费。1,4.2,4.3,4.4,4.5和4.6正确。给定anyx≥ 0，有一个非负随机变量L′：Ohm → R使得E[L′|G]<+∞ a、 每ξ∈Ξd（x）不等式v+（x+hξ（·），Y（·）i，·）≤ Lx（·）（4.6）适用于所有带有Lx的x，xγ+1L′，在固定的P-空集之外。证据见第6节。现在，基本上确界的一个常规版本被证明是存在的。第9/23页离散时间曲线4.9中正实轴上的非凹效用最大化。假设这个假设。1,4.2,4.3,4.4,4.5和4.6正确。

存在一个函数G:[0+∞) × Ohm → R满足以下两个性质：（i）函数G（x，·）是ess supξ的一个版本∈Ξd（x）EP[V（x+hξ（·），Y（·）i，·）|G]对于每个hx∈ [0, +∞);（ii）对于P-a.e.ω∈ Ohm, 函数G（·，ω）：[0+∞) → R在[0]上是非递减且连续的+∞).此外，给定任意G-可测随机变量H≥ 0A.s.，G（H（·），·）=ess supξ∈Ξd（H）EP[V（H（·）+Hξ（·），Y（·）i，·）|G]a.s.（4.7）证明。见附录6。提议4。10.假设假设4.1、4.2、4.3、4.4、4.5和4.6是正确的。Forevery G-可测随机变量H≥ 0a.s.，存在ξ（H）（·）∈Ξd（H）与g（H（·），·）=EPhVH+Deξ（H）（·），Y（·）E·吉娅。s、 （4.8）证据。见第6节。5.多步骤案例在本节中，我们将遵循Carassus和Rásonyi[5]；Rásonyi和Stettner[18,19]提出了一种动态规划方法，在不同的交易日将原始优化问题分解为若干子问题。我们的目标是调用递减部分的结果，从而使我们能够在每个阶段获得最佳解决方案。以适当的方式将它们结合起来将产生一个全局最优的投资策略。理论证明3。3.我们必须证明，第4节中的一些重要假设在每个时间步都得到了保留。让我们从定义ut（x，ω），u（x，ω），x开始≥ 0, ω ∈ Ohm.我们希望将第4节的结果应用于Y，圣彼得堡-1和V，UT。（i） 因为假设2。1根据假设，Jacod和Shiryaev[10]中的定理3暗示了a ffine空间DT（ω）是Rda的线性子空间。s、 因此，假设。1得到验证。根据2.3提案，假设4.2也成立。（ii）我们进一步注意到这一假设。3对于随机m效用函数的定义也是如此。（iii）我们现在声称该假设4。4是令人满意的。为了证明这一点，我们将≥ 0

首先我们检查EP[UT（x+hξ（·），圣（·）一·）|英尺-1] 对于任何给定ξ，都有明确的定义和明确的a.s∈ ΞdT-1（x）。显而易见，Rd值流程由φξTξ、 如果t=t，则0为ψ（x）中的投资组合，带epu+πφξT（·）·英尺-1.= EPu+（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.= EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.a、 s.第10页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化特别是，前面的等式和（3.4）意味着EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.= EPu+πφξT（·）·< +∞,所以EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.< +∞ a、 s.（因此，条件预期得到了很好的定义，并根据Remark3.2（i）确定了a.s.）。接下来，可以很容易地证明EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.: ξ ∈ ΞdT-1（x）是向上的，所以我们可以找到一个可数的随机向量序列{ξn；n∈ N}ΞdT-1（x）达到本质上确界，即→+∞EPU+T（x+hξn（·），圣（·）i，·）英尺-1.= ess supξ∈ΞdT-1（x）EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.a、 以非递减的方式。因此，根据单调收敛定理和条件表达式的定义，EP“ess supξ”∈ΞdT-1（x）EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.#= 画→+∞EPEPU+T（x+hξn（·），圣（·）i，·）英尺-1.= 苏普∈棉结U+T（x+hξn（·），圣（·）i，·）= 苏普∈尼福+φnT（·）·我+∞,其中φn，φξ，我们再次调用（3.4）。因此ess supξ∈ΞdT-1（x）EPU+T（x+hξ（·），圣（·）i，·）英尺-1.< +∞ a、 下一步是展示这种假设。5个也可以。事实上，根据假设2.7，EPEPU-T（0，·）英尺-1.= EPU-T（0，·）= EPU-(0, ·)< +∞,所以EPU-T（0，·）英尺-1.< +∞ A.s、 （v）最后，让常数γ>0和可积随机变量C（·）≥ 0 a.s.根据假设2给出。10和引理2.12。那么，对于a.e。

ω ∈ Ohm,U+T（λx，ω）=U+（λx，ω）≤ λγu+（x，ω）+C（ω）λγ=λγu+T（x，ω）+C（ω）λγ（5.1）同时用于所有λ≥ 1和x≥ 0.现在，由Lemma4。存在一个函数GT-1: [0, +∞) × Ohm → 在P-满测度集中，函数GT-1(·, ω) : [ 0, +∞) → R在[0]上不递减且连续+∞). 而且，每x∈ [ 0, +∞),燃气轮机-1（x，·）=ess supξ∈ΞdT-1（x）EP[UT（x+hξ（·），圣（·）一·）|英尺-1] a.s.第11页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化此外，第4条。10给我们，每小时∈ ΞT-1、英国《金融时报》-1-可测函数ξT（H）（·）：Ohm → RDGT-1（H（·），·）=ess supξ∈ΞdT-1（H）EP[UT（H（·）+Hξ（·），圣（·）一·）|英尺-1] （5.2）=EPhUTH（·）+DeξT（H）（·），圣（·E）·英尺-1ia。s、 现在让我们进入动态规划的下一个阶段。让我们-1: [0, + ∞) ×Ohm → R是UT给出的函数-1（x，ω），GT-1（x，ω）。和之前一样，我们想使用第4节的结果，这次是Y，装货单-1，克，英尺-2和V，UT-1.假设。如前所述，1和4.2都是正确的。接下来，我们证明这个假设。3次。事实上，考虑到任何x≥ 0，函数ut-1（x，·）：Ohm → R是英尺-1-可测量。另一方面，对于a.e.ω，我们有UT的副定义-1那是什么-1（·ω）是[0]上的非退化连续函数+∞).（iii.4）假设我们也有。事实上，让x≥ 0可以是任意的，但固定的，它可以很容易地检查，就像以前一样（手册的构造变得更加复杂，但完全类似于ous），对于每个ξ∈ ΞdT-2（x），条件期望EP[UT-1（x+hξ（·），装货单-1（·）i，·）|英尺-2] 不仅定义明确，而且定义明确。此外，ess supξ∈ΞdT-2（x）EPU+T-1（x+hξ（·），装货单-1（·）i，·）英尺-2.< +∞ a、 如所愿。（iv）我们继续证明假设4。5也经过了验证。

给定任何x≥ 0，很明显-1（x，·）=GT-1（x，·）≥ EP[UT（x，·）|英尺-1] 在美国，不平等是由0造成的∈ ΞdT-1（x）和对基本原则的定义。现在我们可以使用Jensen不等式（对于条件期望）来计算EPU-T-1(0, ·)英尺-2.= EPU-T-1(0, ·)≤ EPEPU-T（0，·）英尺-1.= EPU-T（0，·）= EPU-(0, ·),这反过来意味着（回想2.7节）EPU-T-1(0, ·)英尺-2.< +∞ a、 顺便说一句，我们也证明了这一点U-T-1(0, ·)≤ EPU-(0, ·). （5.3）（v\'）取常数γ>0和可积随机变量C（·）≥ 0 a.s.成为一个s.s.消费者2。10和引理2.12。对于每个λ，我们都有≥ 1和x≥ 0，U+T-1（λx，·）≤ EPhU+Tλx+DeξT（λx）（·），圣（·E）·英尺-1i≤ λγEPhU+Tx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i+λγEP[C（·）| FT-1] a.s.，第12页/离散时间正实轴上的非凹效用最大化，其中第一个不等式来自条件Jensen不等式和（5.2），其中H=λx，第二个不等式使用（5.1）。随着时间的推移，很容易看出eξT（λx）（·）/λ∈ΞdT-1（x）我们得到了μ+Tx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i=EPhUTx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i+EPhU-Tx+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i≤ 埃弗特x+DeξT（λx）（·）/λ，圣（·E）·英尺-1i+EPU-T（0，·）英尺-1.≤ 美国犹他州-1（x，·）+EPU-T（0，·）英尺-1.a、 所以我们得出结论，对于每个λ≥ 1和x≥ 0，U+T-1（λx，·）≤ λγU+T-1（x，·）+λγ′C（·）a.s.代表C（·），EP[C（·）| FT-1] +EPU-T（0，·）英尺-1.< +∞ a、 根据假设4。5表示V=UT。此外，EP\'\'C（·）= EP[C（·）]+EP[u-(0, ·)] < +∞ 凭直觉。7.使用UT路径的规则性-1.我们明白了，因为a.e。