阿尔法预测的最优交易

最后一项是努尔头寸和每日马科维茨投资组合之间差异的综合剩余风险（方差）。这个术语将交易推向每日马科维茨投资组合“q”，这是每日信号建议的目标头寸。因此，最初的优化问题与使用快速信号跟踪马科维茨投资组合是双重的。这种分解虽然相当随意，但在实践中非常有用，因为交易者可以简单地用来自每日回测的理想投资组合替换“q”。使用定义（13）和HJB方程Ohm （11） ，可以写出V:^Dt，x·V+λν（q）的hjb方程- q）+minC | u |+Ku+五、Q- GU= 0（15），我们使用关系式（6）。边界条件由表达式（14）得出，由以下公式给出：V（T，x，q）=λνT（q- q）（16）这正是一天结束时，马科维茨投资组合的剩余方差。优化问题归结为用边界条件（16）求解HJB方程（15）。为了将方程（15）简化为标准偏微分方程，我们推导了交易率u，该交易率u使termhC | u |+Ku最小+五、Q- G用户界面。这样，交易率u与收益g、线性成本C以及目标函数相对于初始头寸的导数有关，即五、q、 u的显式表达式取决于（t，x，q）空间中的位置。特别是，（t，x，q）空间被分为三个区域，并且在每个区域中，u呈现不同的表达式。这些是我们买卖或不交易的地区。具体来说，三个区域和相应的交易率u由以下公式给出：问题的另一个可能公式是假设恒定的离散化交易率，即u∈ [-Q、 0，Q]。我们将在下一节中考虑这个模型，在那里我们也允许限制订单。1.g>C+五、Q

在这种情况下，u>0，所以我们购买：u=2KG- C-五、Q(17)2. g<-C+五、q、 在这种情况下，u<0，所以我们销售：u=-2K-G- C+五、Q(18)3. -C+五、Q≤ G≤ C+五、q、 在这种情况下，我们不交易，即：u=0（19）。卖出区和不交易区（NT）之间的边界是一个嵌入（t，x，q）空间的二维模型。我们通过显式参数化q=b来描述它-（t，x）。同样，购买区和NT区之间的边界被描述为q=b+（t，x）。从方程（17）、（18）可以看出，b±（t，x）由以下方程隐含定义：g C=五、Qq=b±（20）最佳交易轨迹，从买入区开始，进入NT区，直到一天结束，如图2所示。正如我们在附录C中所示，这种情况是在零波动率均值回复信号的情况下实现的。对于随机信号的情况，通常一个人可以在一天中多次进出NT区域。如图2所示，NT区域的宽度在一天结束时增加。这意味着我们在一天开始的时候更具侵略性。请注意，这与我们在日常信号存在的情况下的直觉是一致的。由于每日信号只是一个漂移，我们通过在一天开始交易来最大化我们的利润。我们可以将交易率u总结为：u=2KG- C-五、Q+-2K-G- C+五、Q+（21）其中（8）中定义了正部分函数（x）+。V（15）的方程现在可以写成紧凑的形式：^Dt，x·V+λν（q- “q）- Ku=0（22），其中u在（21）中给出，边界条件在（16）中定义。HJB方程（22）通常很难求解。在本节剩下的部分中，我们考虑t“t”q“卖出$Zone$Buy$Zone$No/Trading$Zone$Trading”轨迹“b@（t，x）”b+（t，x）”的近似值。图2：图中显示了卖出、买入和不交易（NT）区域。

我们表示为b-（t，x）（b+（t，x））销售（购买）区域和NT区域之间的边界。我们展示了一个交易轨迹，初始位置在买入区。交易将仓位移向新界区，当达到该位置时，交易停止。源项-忽略了Kuin方程（22）。我们认为，对于价格不受影响的市场，这是一个很好的近似值，即在极限K内→ 0，并使用蒙特卡罗模拟来描述我们在这种情况下的交易策略的实施。在信号波动率为零的情况下，不存在不确定性，优化问题可以用欧拉-拉格朗日变分原理求解。我们在附录C中讨论了这种情况，在附录C中，我们能够推导出任何确定性信号的边界b±的显式表达式。我们还计算了确定性均值反向信号情况下的最佳交易轨迹，表明在这种情况下，一旦我们进入无交易（NT）区域，我们会一直呆在那里直到一天结束。该解决方案的另一个一般特征是→ 0我们立即到达NT区域的一个边界（如果我们出去了）。另一种完全可解的情况是，当我们将线性成本设置为零时，即C=0。在这种情况下，我们只剩下二次成本，问题变得非常类似于[11]中研究的离散时间优化。

在附录D中，我们使用Feynman-Kac定理明确地解决了一般信号的这个问题。我们注意到[8]中讨论的问题基本上与本节中描述的优化问题相对应，但在有限的时间范围内，在NT区域边界瞬间到达的情况下（无价格影响）。2.1近似HJB解决方案我们已经展示了如何用目标函数表示最优策略，由HJB方程（22）确定。这个方程的精确解析解似乎遥不可及，因此出于实际目的，我们建议使用忽略源项得到的解-奎因（22），即：V≈λν（2T）- t） （q）- q）（23）使用这个近似目标函数V，我们得到五、q=λν（2T）- t） （q）- q）（24）和方程（20）可以显式求解，以获得边界b±（t，x）。结果是：b±（t，x）=q+λν（2T）- t） （g（t，x） C） （25）我们注意到（25）相当于确定性情况（63）的对应表达式，其中确定性增益被随机增益取代。在哪种情况下，我们可以证明近似值（23）？在极限K→ ∞, 随着美国经济的增长，交易率降至零~ 1/K，因此源项也会变为零-库~ 1/K。因此，在这种情况下，作为一阶近似，我们可以忽略源项，使用解（23）。事实上，正如我们在附录E中所描述的那样，我们也可以用1/K定义系统扩展。另一个更实际的限制是当K→ 0，这对应于价格影响可以忽略不计的情况，对于小交易者来说是一个很好的近似值。在这种情况下，根据直觉和附录C中确定性案例的结果，我们会立即（当我们离开NT区域时）向NT区域的边界进行交易。

有人可能会说，在这种情况下，u是不同的，但在实践中，交易规模必须是有限的，即isdq=u dt=FINITE（26）。此外，在实践中，dt是有限的（例如1秒），因此当K变为零时，u仍然是有限的，我们可以证明我们的近似值是正确的-库≈ 0.当然，这不是一个正式的数学证明，而只是一个论点，允许我们在忽略市场影响的情况下使用结果（25）。2.2实施和模拟我们现在描述如何在实际交易中实施我们的形式主义。我们考虑的是asmall trader的情况，其价格影响可以忽略不计。正如我们已经讨论过的，这对应于极限K→ 0，其中近似值（23）是可靠的。在这个制度下，如果我们不在NT区，我们会立即向其中一个边界进行交易。特别是，我们与b进行贸易-（t，x）边界，如果我们在销售区，则为边界b+（t，x），如果我们在购买区。（25）给出了边界b±（t，x）的表达式。基本交易决策量表设置为dt。我们可以将每日马科维茨仓位q作为每日回溯测试的理想仓位。因此，拉格朗日乘数λ可以写成：λ≈每日目标的年化夏普比率每日目标的年化波动率（27）。我们假设我们可以将高频预测值建模为均值回复过程。在实践中，根据z分数或信号分解我们的日内alpha XT是有用的两次[t] =0和VAR[t] =1。

我们可以写：xt:=β√νtdt=-κtdt+√2κdZt（28）常数β可以方便地用理想HFposition的年夏普比qt=t/√ν:β ≈高频信号的年化夏普比√252T（29）那么增益是：g（t，) =β√νκ1.- E-κ（2T）-（t）≈β√νκ（30），如果预测值的时间尺度远小于一天，则最后一个近似值有效。我们用蒙特卡罗模拟测试了我们的算法，结果如图3所示。在模拟中，决策时间标度为dt=1分钟，当我们离开NT区域时，我们一次直接交易到NT区域的边界。日内信号的平均回复时间为30分钟，日信号在一天中保持不变，但每天都在变化，平均回复时间为10天，年夏普为2.1。其他相关参数包括价格方差ν=0.01，半价差C=0.01，风险规避λ=37.4。我们用β=1参数化HF，如（28）所示，对应于HF Sharpe=16.5。在图3中，蓝线是每日信号的累积损益，其中交易都在一天的开始，线性成本被忽略。绿线与考虑了线性成本的损益相同。红线是我们从HJB方法中获得的策略损益，该方法还考虑了交易成本。我们看到，由于高频信号和日内交易，我们的策略优于每日策略。

事实上，当交易成本被忽略时，我们的损益也高于每日损益，这意味着由于高频信号，我们可以跟随每日信号，产生负交易成本。2011年3月2011年7月2011年11月2011年3月2012年7月2012年7月2012年3月2013年7月2013年7月2013年7月累计损益每日目标不含成本（2.08）每日目标（1.88）HJB日内目标（2.33）图3：该图显示了几个累计损益，图例中括号内的数字是对应的夏普比率。蓝线是日常策略的损益，不考虑直线成本。绿线是考虑线性成本的相同策略。红线是日内交易的策略，也考虑了交易成本。高频平均回复时间为30分钟，日信号平均回复时间为10天。相关参数为：ν=0.01，C=0.01，λ=37.4，β=1.3极限订单优化。我们现在重新讨论前面章节中描述的优化问题，也允许极限订单。我们可以使用相同的HJB框架，现在（7）中定义的交易率可以从市场订单和限制订单中获得分配。具体来说，我们的立场现在将按照以下方式演变：dqt=（m+t）- M-t+1+tl+t- 1.-热释光-t） dt，m±t，l±t≥ 0（31），其中m±和l±皮重分别为市场和限制订单的大小。如果在间隔dt内执行限制指令，则指示器为1±tequalsone，否则为零。因此，我们假设我们的限价订单足够小，可以一次性完成（我们忽略部分订单）。为简单起见，我们将假设价差是恒定的（一个刻度），因此只有在中间价朝正确方向移动时，才会执行限价指令。如前一节所述，我们将一半排列表示为C。在间隔dt结束时，所有待定的限额订单都将被取消。

我们还认为，我们会将限价订单放在书的顶部，因此不会优化其价格。我们将在本节末尾讨论如何实施价格优化。设P+，P-是在下一个时间步长dt内完成限价买卖订单的条件概率。到目前为止，我们已经将决策区间dt中的价格建模为一个差异过程。然而，在现实生活中，dt内部存在离散的价格运动（滴答滴答）。这些都是P±必须预测的运动。因此，对于限价指令，我们必须有一个非常短期的预测因子，它可能不同于较长期的日内阿尔法xt。因此，fill probability可以是时间的函数，我们不同的日内α流：P±（t，x，y）：=E[1±t | xt=x，yt=y]（32）。在实践中，我们预计yt将通过比xt短得多的平均逆转时标来主导fill probability。此外，理想情况下，两个阿尔法源都是不相关的。我们将在第3.2节回到这一点。我们将忽略价格影响，简单地限制交易规模，以便：∈ [0，Q]（33）l±∈ [0，Q]（34）米±+l±∈ [0，Q]（35）其中Q>0。请注意，如下文所述，在没有影响期限的情况下，最后一个限制只会选择限制或市场秩序。HJB方程（15）的形式如下：0=^Dt，x，y·V+λν（q- “q）+minm，l”m+C+五、Q- G- P+l+C-五、q+g+M-C-五、q+g- P-L-C+五、Q- G（36）其中，如前一节所述，C是买卖价差的一半，假设为常数，而^Dt，x，y是时间的最小生成器，它是我们预测集的差异。我们的交易决策基于HJB方程（36）中m±，l±的优化。与市场订单一样，我们发现了不同的交易区域。特别是，我们发现了一个销售区域、一个购买区域和一个做市区域。

销售和购买区域分为两个子区域，即我们发送市场订单的市场订单区域和我们发送限制订单的限制订单区域。总的来说，我们的策略包括五个区域：我们发送卖出市场订单的区域、我们发送卖出限价订单的区域、我们做市的区域、我们发送买入限价订单的区域和我们发送买入市场订单的区域。具体而言，我们刚才描述的五个区域由以下表达式定义：1。g>C1+P+1-P++五、我们发送了一份购买市场订单。2.C+五、q<g<C1+P+1-P++五、我们发出限购订单。3.-C+五、Q≤ G≤ C+五、我们同时发送买入和卖出限价指令（做市）。-C1+P-1.-P-+五、q<g<-C+五、我们发出限价销售订单。5.g<-C1+P-1.-P-+五、我们发送一份销售订单。我们注意到，造市区域的边界仅在市场订单的情况下与新界区相同。因此，使用与上一节相同的符号，它们由G定义 C=五、Qq=b±（37），其中b+（t，x）（b）-（t，x））现在将做市区域与买入（卖出）限制区域分开。我们将b+（t，x，P+）定义为买入市场区域和买入限制区域之间的边界，以及b-（t，x，P）-) 作为卖出市场区域和卖出限制区域之间的边界。它们由以下等式隐含定义： C1+P±1- P±=五、Qq=~b±（38）五个交易区域和所有边界如图4所示。这是一个示意图，其中x，P+，P-在白天是恒定的。实际上，它们是随机量。请注意，当我们远离做市区域（即我们远离理想的每日仓位“q”）时，该策略需要市场订单，当我们接近该区域时，该策略需要限价订单。

因此，当我们远离最佳位置，与直觉不一致时，策略会变得更具攻击性。在第3.2节中，我们使用蒙特卡罗模拟来测试我们的策略。在我们的简化模型中，我们发现同时发送买入和卖出限价指令（做市）是次优的。原因是，在我们的简单模拟中，我们永远不会同时执行两个订单，我们被迫在未来进行更多交易。相反，最好不要在该地区进行贸易。因此，在我们的模拟中，我们将用非交易区域取代做市区域。交易率Q的最佳值是什么？与市场订单一样，在没有影响的情况下，我们希望尽可能多地进行交易。然而，我们不应该跨越交易区域，因为这将导致未来更多不必要的来回交易。因此，我们认为，在我们当前贸易区域的边界进行贸易是最佳的。请注意，我们没有优化[14,18]中的限价订单价格。尽管我们不会在本文中详细研究这个问题，但我们应该指出，这种优化在我们的框架中实现起来非常简单。例如，假设价差始终为一个刻度，让C+δ±T“T”q“买入$MARK$Zone$MARK。使$Zone$b；（T，x）“b+（T，x）”买入$Limit$Zone$Sell$MARK$Zone$Sell$Limit$Zone$b；（T，x，P；）”b+（t，x，P+）“~~图4：本图显示了具有限制指令的情况下的五个区域。我们表示为b-（t，x）（b+（t，x））卖出（买入）限制区域和做市区域之间的边界。卖出（买入）市场区域和卖出（买入）限制区域之间的边界表示为b-（t，x，P+）-)). 对于图形曲线，我们表示常数x，P+，P的情况下的区域-.是限价订单与中间价的价格距离，其中δ±≥ 0