阿尔法预测的最优交易

价格距离为C+δ±的alimit订单的完全概率定义为asP±（δ±，t，x，y）：=E[1±，t | xt=x，yt=y]（39）。那么我们的优化问题现在又包括两个维度：minm±，l±，δ±m+C+五、Q- G- P+（δ+，t，x，y）l+C+δ+-五、q+g+M-C-五、q+g- P-(δ-, t、 x，y）l-C+δ-+五、Q- G（40）包括最优订单安排在内的问题的详细研究和模拟将留给未来的工作。3.1近似HJB解在市场订单的情况下，HJB方程的完整解似乎没有希望。因此，在这种情况下，我们也将V近似为非交易区的值函数：V（t，x，q）≈λν（2T）- t） （q）- q）（41）哪一个五、q=λν（2T）- t） （q）- q）（42）方程（37）和（38）可以显式求解，以获得边界b±（t，x）和∧b±（t，x，P）。结果是：b±（t，x）=q+λν（2T）- t） （g（t，x） C） ~b±（t，x，P±）=q+λν（2T）- （t）g（t，x） C1+P±1- P±（43）3.2实施和模拟我们已经使用蒙特卡罗模拟测试了我们的交易策略。特别是，我们在第3.1节中描述的近似条件下工作，其中各个区域的边界给出了不等式（43）。正如我们已经提到的，我们正处于零影响因子的近似值，因此贸易会瞬间到达我们所在地区的边界。在我们的模拟中，为了捕捉与订单相关的价格的非常短期的行为，我们将我们的日内阿尔法分解为一个缓慢的过程(t） 而且很快t） 预测因素。

也就是说：dPt=（\'α+xt）dt+√νdWtxt=√νβt+-βTDt=-κtdt+√2κdZtd▄t=-~κ~tdt+√2κdZt（44）只有在以下情况下，快速信号才会主导短期价格可预测性： β ,~β~κβκ（45）事实上，~斜纹布的数量级为dt:~κ~ 1/dt（46）在这种情况下，所有概率都是√ 只是，而长期综合增益将只是t:P±≈ P±（）) = Φ√ν~ -2Cdtpνdt！，g（t，) ≈β√νκ（47），其中Φ是单位正态分布的累积函数。在图5中，我们展示了使用简单的限额/市场订单算法进行蒙特卡罗模拟的结果。所有参数与第2节中的模拟相同。对于快速信号√t、 我们采用1分钟的平均回复时间标度（即，它等于dt）和β=13。与之前的模拟一样，我们会立即向我们的区域边界进行交易。尽管我们的模拟没有考虑做市，但我们发现使用限价订单有轻微的改善。2011年3月、2011年7月、2011年11月、2011年3月、2012年7月、2012年2月、2013年7月、2013年7月、2013051015累计损益每日目标（不含成本）（2.08）每日目标（1.88）HJB日内目标（2.33）HJB日内目标（含L.o）（2.42）图5：图例中的前三个累计损益与图3中描述的交易策略相同。图例中的最后一条损益（浅蓝色线）与HJB策略有关，该策略包括日内交易、市场交易和限价订单。交易成本也被考虑在内。相关参数如图3所示，快速预测的平均回归时间尺度为1分钟，β=13.4结论在本文中，我们开发了一个通用框架，以得出利用任何可能的α来源的最佳交易策略。

我们使用了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）理论，尽管HJB方程无法精确求解（除了一些简化限制），但我们提出了几个算法，这些算法受精确解的一般特征启发，可以在实际交易中轻松实现。我们的框架使用有限的地平线优化。事实上，我们在一天内优化了交易，并考虑了隔夜风险和可能的隔夜阿尔法。我们将预测因子的日常组成部分从当天的第一天分离出来。通过这种方式，在任何一个交易日内保持不变的每日阿尔法确定了一个理想的头寸或马科维茨投资组合，交易者应该达到该头寸或马科维茨投资组合。我们的策略规定了如何利用日内信号达到每日信号指示的理想位置。我们考虑了两个滑动来源：临时市场影响和线性成本。前者意味着交易率的降低。后者，在我们只允许市场指令的情况下，会产生一个以马科维茨投资组合为中心的无交易（NT）区域，其边界取决于日内预测值的值。在NT地区之外有头寸的交易者向NT地区边界交易。参见图2。在我们同时允许市场和限价指令的情况下，NT区域被做市区域取代，交易员在该区域同时发送买入和卖出限价指令。在这种设置中，买卖区域被分别划分为两个子区域，以所使用的订单类型为特征。例如，卖出区域分为卖出限制区域（交易员发送卖出限制指令）和卖出市场区域（交易员发送卖出市场指令）。

market Order地区距离Markowitz投资组合最远，因此与直觉一致，在这些地区，我们交易更积极，发送市场订单。参见图4。总而言之，我们的框架以一种统一的方式将限额和市场指令结合起来，允许交易人员利用每日阿尔法信号、日内阿尔法信号和围绕最佳每日仓位的做市。我们已经使用蒙特卡罗模拟测试了我们的分析算法，重点是一个小交易者的情况，其中价格影响可以忽略不计。这些数字表明，对于一个天真地遵循马科维茨投资组合的交易员来说，我们的策略增加了累积利润和损失。在本文中，我们没有对限价订单的价格进行优化，只是简单地考虑了最接近中间价格的订单（即，位于订单簿顶部的限价订单）。此外，我们的简单蒙特卡罗法不允许对做市进行数值模拟，我们将该区域替换为非交易区域。我们很自然地期望，适当优化限价单价格和引入做市将进一步改善我们模拟中的利润和损失。我们把这个留给未来的研究。感谢Adela Baho、Slava Belyaev、Arthur Berd、Jim Gatheral、Petter Kolm、JungWoo Lee和Matthew Lorig的讨论。F.P.的工作得到了玛丽·居里国际离任奖学金FP7-PEOPLE-2011-IOF项目298073（ERGTB）的支持。Ornstein-Uhlenbeck均值回复过程Ornstein-Uhlenbeck过程描述为：dxt=κ（`x- xt）dt+√κt等于ηx的过程，它意味着。在主要文本中，我们通常认为“x=0”，然而，本附录中的结果是针对完整性得出的一般结果。

方差η被视为常数，Zt是标准的维纳过程。在边界条件xt=x的情况下，（48）的解由xs=`x+（x）给出- \'x）e-κ（s）-（t）+√ηZste-κ（s）-r） dZr（49）x为正态分布，其期望值和方差由边界条件xt=x决定，由[xs | xt=x]=\'x+（x）给出- \'x）e-κ（s）-t） Var[xs | xt=x]=η2κ（1）- E-2κ（s-t） （50）将过程XS视为高频信号，我们可以计算公式（5）中定义的增益g（t，x）。结果是g（t，x）=x（2T- t） +x- \'-xκ（1）- E-κ（2T）-t） ）（51）并且可以明确地检查一般条件（6）是否满足。它遵循dg（t，x）=-x dt+√ηκ(1 - E-κ（2T）-t） ）dZt（52）增益g（s，xs）也是正态分布的，条件平均值M（s）和条件方差∑（s）由M（s）给出：=E[g（s，xs）| xt=x]=“x（2T- s） +x- \'-xκ（1）- E-κ（2T）-s） ）e-κ（s）-t） ∑（s）：=Var[g（s，xs）|xt=x]=η2κ（1）- E-2κ（s-t） ）（1- E-κ（2T）-s） ）（53）具有一般价格影响函数的HJB方程在本附录中，我们记录了具有一般临时影响函数KR | us | pds且p>1的情况下的HJB方程。将目标函数（14）推广为以下函数v（t，x，q）=min{us|s∈（t，t）}EZTt（美国）- g（s，xs）us）ds+KZTt | us | pds+λνZ2Tt（qs）- q）dsqt=q，xt=x满足HJB方程^Dt，x·V+λν（q- q）+minC | u |+K | u | p+五、Q- GU= 0（54）与正文中讨论的二次型情形一样，由于u的最小化，解被分为三个交易区域：1。g>C+五、q、 在这种情况下，u>0，所以我们购买：u=主键P-1.G- C-五、QP-1(55)2. g<-C+五、q、 在这种情况下，u<0，所以我们销售：u=-主键P-1.-G- C+五、QP-1(56)3. -C+五、Q≤ G≤ C+五、Q

在这种情况下，我们不交易（u=0）。贸易汇率u简写为：u=主键P-1.G- C-五、QP-1+-主键P-1.-G- C+五、QP-1+（57）和HJB方程（54）可以写成：^Dt，x·V+λν（q）- “q）- K（p- 1） |u | p=0（58）C零挥发性信号我们考虑HF信号x具有零挥发性的近似值，即isdx（t）=u（t，x（t））dt（59）。在这种情况下，优化问题是完全确定的，最优策略（定义为最小化目标函数（14）的策略）可以使用变量原理计算。当初始仓位位于买入区或卖出区时，最好向非交易区（NT）交易。我们假设我们在市场收盘前到达新界区，一旦我们进入新界区，我们就一直呆在那里直到一天结束。正如我们将要展示的，对于指数信号（或零信号）的情况，这是一个正确的假设。然而，总的来说，NT区域的边界取决于x，因此人们可以多次进出该区域，对于非终止信号也是如此。在我们的假设下，如果初始位置q（t）=q位于销售区域，我们销售直到到达b-, 销售和NT区域之间的阈值。也就是说，我们一直销售到q（t）=b-（^t，x（^t））。类似地，如果初始仓位位于买入区，我们买入直到达到b+，即买入区和NT区之间的阈值。也就是说，直到时间t达到q（t）=b+（t，x（t））。我们表示为V-（V+）我们从销售（购买）区域开始的案例的目标函数（14）。

显式地，V±（t，x，q）=min{q（s）|s∈（t，t）}“Z^tt±C˙q（s）- g（s）˙q（s）+K˙q（s）+λν（q（s，x（s））- “q）ds+λν（2T）-^t）（q（^t）- “q）= min{q（s）|s∈（t，t）}V±[q（s）]（60）在最后一行中，我们定义了V±[q（s）]，交易轨迹q（s）的函数，满足边界条件q（t）=q和˙q（s）：=dq（s）/ds。我们的信号x（s）是确定性的，边界条件x（t）=x，增益定义为g（s，x（s））=R2Tsx（r）dr，这是（5）中定义的增益的确定性限制。最优策略由使V±[q（s）]最小的轨迹q（s）给出，并可使用欧拉-拉格朗日变分原理导出。也就是说，我们要求V±[q（s）]对于最小轨迹周围的任何容许函数是静止的。初始位置是固定的，因此我们不允许在初始时间出现波动，即δq（t）=0。然而，总的δq（^t）6=0，这也将产生在时间^t时计算的边界项的运动方程。我们有δq（s）V±[q（s）]=λν（2T）-^t）q（^t）- “q”±C-g（^t，x（^t））δq（^t）+Z′ttds(-2K–q（s）+g（s，x（s））+λν（q（s）- Δq（s）（61），其中我们使用了˙q（\'t）=0。事实上，公式（21）显示，当我们接近NT区域时，交易率为零。因此，使成本函数最小化的轨迹由两个方程描述：0=λν（2T-^t）q（^t）- “q”±C-g（^t，x（^t））0=-2K–q（s）+g（s，x（s））+λν（q（s）- q）（62）我们提醒，^t是头寸到达交易区域边界的时间，因此q（^t）相当于b-（^t，x（^t））（b+（^t，x（^t）））如果我们从销售（购买）区域开始。

因此，第一个方程可以用以下方式写成b±（^t，x（^t））=\'q+λν（2T-^t（g（^t，x（^t）） C） （63）这是贸易区域边界的明确表达。为了积分第二个方程并解决优化问题，我们考虑了signalx（t）的显式动力学。C.1确定性均值回复高频信号我们开始考虑形式为dx（t）=-κx（t）dt（64）可整合为tox（s）=xe-κ（s）-t） （65）对于s>t，相关增益由g（s，x（s））=xκ（e）给出-κ（s）-（t）- E-κ（2T）-t） （66）第二个方程可以在施加初始条件q（t）=q的情况下进行积分。结果是q（s）=xe-A（s）-（t）- E-κ（s）-t） 2Kκ- λν+a esA（1- E-2（s）-t） A）+q（1）- E-A（s）-t） ）+q e-A（s）-t） （67）式中，A=qλν2ka是一个待确定的积分常数。停止时间^t和积分常数a由以下系统确定：˙q（^t）=0q（^t）=b±（^t，x（^t））（68）在这个公式中，^t是停止时间。然而，改变K，^t的值可以跨越整个交易区间[topen，t]，因此我们可以替换t→^t在（63）中，并将（63）解释为（t，q，x）空间中交易区域边界的表达式。在第二个等式中，我们取b-如果我们从卖出区开始，如果我们从买入区开始，则为b+。这个系统可以用数值方法求解。在图6中，我们绘制了初始位置位于销售区时的解（67），表明结果与二次规划得到的数值优化完全一致。我们考虑常数K的各种值，正如预期的那样，K→ 0我们立即到达NT区域的一个边界（如果我们不在）。

作为K→ ∞ 我们慢慢地向边境贸易。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0倍。81.01.21.41.61.82.0位置K=0.04，^t=0.94，a=0.009K=0.01，^t=0.54，a=0.0046K=0.001，^t=0.19，a=0.0026B-买入区边界b+图6：在该图中，我们绘制了初始头寸位于卖出区的情况下的最佳交易轨迹。连续线显示了常数K的几个值的结果（67）。图例中还报告了停止时间^t和积分常数a。这些点显示了使用二次规划进行数值优化的结果。虚线表示边界b±。相关参数的选择如下：ν=0.01，λ=50，C=0.1，`q=1.0，高频信号的平均回复标度为20分钟。C.2一般价格影响函数变分原理也可应用于存在一般价格影响函数的情况。特别地，方程（62）推广到0=λν（2T）-^t）q（^t）- “q”±C-g（^t，x（^t））0=pKdds（±˙q（s））p-1+˙g（s，x（s））+λν（q（s）- q）（69）我们注意到第一个等式与（62）中的第一个等式相等。

这意味着，对于非终结性信号，对于任何影响函数，交易区域的边界都是相同的。D具有二次成本的市场订单当我们只考虑二次成本（即C=0）和市场订单时，最优交易率不再是间断的：u=2KG-五、Q（70）然后HJB方程简化为：Dt，x·V+λν（q）- “q）-4KG-五、Q= 0（71）在通常的边界条件sv（T，x，q）=λνT（q）下- q）（72）我们可以通过下列二次变换来解（71）：V（t，x，q）=V（t，x）+V（t，x）（q）- q）+V（t，x）（q- q）（73）这导致了以下偏微分方程^Dt，x·V+λν-KV=0（74）^Dt，x·V+KV（g- 五） =0（75）^Dt，x·V-4K（克）- 五） =0（76），边界条件为：V（T，x）=λνT（77）V（T，x）=0（78）V（T，x）=0（79）。具有多项式结构的HJB方程的解如[24]所述。利用费曼-卡克定理，很容易写出通解：V（t）=KAtanh（（t- t） A）+ta1+tatanh（（t- t） A）（80）V（t，x）=KE中兴通讯-KRstV（s）dsV（s）g（s，xs）dsxt=x（81）V（t，x）=-4KEZTt（g（s，xs）- V（s，xs））dsxt=x（82）其中A=qλν2K。E K→ ∞ 在大K极限中，我们考虑目标函数V:V=V+KV+KV+。（83）也就是说，我们把V写成1/K的展开式。把ansatz（83）插入HJB方程（22）中，收集1/K中相同阶的项，我们可以写出展开式（83）中任何项的方程，并迭代求解方程（22）。