阿尔法预测的最优交易

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英文标题：
《Optimal Trading with Alpha Predictors》
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作者：
Filippo Passerini and Samuel E. Vazquez
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the problem of optimal trading using general alpha predictors with linear costs and temporary impact. We do this within the framework of stochastic optimization with finite horizon using both limit and market orders. Consistently with other studies, we find that the presence of linear costs induces a no-trading zone when using market orders, and a corresponding market-making zone when using limit orders. We show that, when combining both market and limit orders, the problem is further divided into zones in which we trade more aggressively using market orders. Even though we do not solve analytically the full optimization problem, we present explicit and simple analytical recipes which approximate the full solution and are easy to implement in practice. We test the algorithms using Monte Carlo simulations and show how they improve our Profit and Losses.
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中文摘要：
我们使用线性成本和暂时影响的一般阿尔法预测来研究最优交易问题。我们在有限期限随机优化的框架内，使用限制和市场指令来实现这一点。与其他研究一致，我们发现线性成本的存在在使用市场指令时会导致一个无交易区，在使用限制指令时会导致一个相应的做市区。我们表明，当结合市场订单和限价订单时，问题会进一步划分为几个区域，在这些区域中，我们使用市场订单进行更积极的交易。尽管我们没有解析地解决完全优化问题，但我们给出了明确而简单的解析公式，这些公式近似于完全解，并且易于在实践中实现。我们使用蒙特卡罗模拟测试算法，并展示它们如何改善我们的利润和损失。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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关键词：阿尔法 Optimization Quantitative agent-based Monte Carlo

与Alpha Predictor的最优交易菲利波·帕塞里尼*和塞缪尔·E·V·阿斯克斯+*普林斯顿大学物理系，新泽西州普林斯顿08544物理实验室，法国巴黎高等师范学院，75005+Vega Edge LLC，纽约华尔街48号11楼，纽约10005，2015年1月19日摘要我们使用线性成本和临时影响的一般阿尔法预测来研究最优交易问题。我们在随机优化的框架内，使用限价和市价指令，在有限的水平上实现这一点。与其他研究一致，我们发现，线性成本的存在在使用市场指令时会导致“无交易”区域，在使用限价指令时会导致相应的“做市”区域。我们表明，当结合市场订单和限价订单时，问题会进一步划分为几个区域，在这些区域中，我们使用市场订单进行更积极的交易。尽管我们没有解析地解决完全优化问题，但我们给出了显式和简单的分析“配方”，这些配方近似于完全解决方案，并且易于在实践中实现。使用蒙特卡罗模拟测试算法，并展示它们如何改善我们的利润和损失。1简介在本文中，我们从一个普通交易者的角度出发，希望从阿尔法的所有可能来源中获利，包括预测因素，甚至可能是限价指令的做市。因此，受汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方法的启发，我们提出了一个非常通用和实用的框架。我们不寻求找到优化问题的精确解析解，而是引入一些算法“配方”，可以在实际交易中轻松实现。我们允许使用这两种限制*filippop@princeton.edu+svazquez@vegaedge.comand市场订单和一般阿尔法预测。

我们证明了文献中许多流行的优化问题都可以看作是我们框架的特例。线性成本下最优交易的研究由来已久。我们不会在这里回顾所有文献，而是让读者阅读以下文献：[1]。以前的工作主要集中在最优投资的情况下，即代理人可以选择风险资产和储蓄账户，或者在最优消费的情况下（参见[2,3]）。此外，最流行的设置是有限时间范围内的随机控制优化。这些研究都证实，最佳策略包括在以马科维茨投资组合为中心的非交易区（NT）边界进行即时交易。顾名思义，在这个区域内，代理商不交易。许多作者使用不同的近似方法（参见[4,5,6]）估算了该区域的宽度。然而，没有已知的封闭形式的解决方案。事实上，完全优化问题是相当棘手的。关于线性成本的大多数文献没有考虑风险资产的可预测性（除了漂移）。值得注意的例外是：[7,8,9]。在这些论文中，NT区域的显式宽度是在小线性成本和均值回复预测因子的限制下估计的。价格下滑的另一个原因是价格影响，参见[10]。这一影响只有在我们对每日量的一小部分进行权衡时才重要。众所周知，影响可分为暂时性影响和暂时性影响。从经验上看，我们发现暂时性影响会导致总成本，它是总交易量Q:C（Q）的幂~ 第三季度/第二季度。为了数学上的简单性，许多关于优化的论文用一个更简单的二次成本模型来简化这种幂律行为：C（Q）~ Q

事实上，用二次成本交易均值回复阿尔法预测值的问题可以在封闭形式下解决[11]。[12]最近研究了暂时冲击下的最优清算问题。文献[13]研究了线性成本和二次成本同时存在时的最优投资问题。另一个相对独立的文献流研究了限制指令在流动[14,15]和做市[16]-[20]中的使用。[21,22,23]研究了在部分执行的可能性下，市场订单与限制订单的最优分配问题。对于做市商而言，主要问题是限价订单的最优价格和库存风险。如果我们忽略部分执行，可以得到HJB方程的显式解[14,18]。这些文章中缺少的一点是添加了一般阿尔法预测因子，因为重点主要是做市或清算。[20]在价格过程中引入了一些基本的可预测性。限价订单的另一个问题是，与线性成本（市场订单）的情况相比，优化问题可能更加棘手。在本文中，我们试图将所有这些工作的成分结合起来，为一般阿尔法交易者制定一个优化问题。我们在有限的时间范围内做到这一点。这种边界条件的选择是基于交易的现实。除外汇市场外，大多数资产在特定的交易时间内进行交易，并在交易日结束时按市值计价。事实上，标准会计惯例是将每日损益总额分为交易部分（交易至收盘）和未平仓部分（收盘至收盘）。作为交易者，我们只能控制今天的交易，也可能控制我们希望在下一天保留的隔夜风险。

这对高频交易者和做市商尤为重要，因为他们必须限制隔夜风险的水平。关于交易的另一个重要事实是，我们经常使用每日数据计算的信号，这些数据通常只有在市场收盘时间之后才可用。这可能是由于操作原因或数据的性质。在这种情况下，直觉告诉我们，为了最大限度地利用每日信号的阿尔法（或尽量减少时间延迟），第二天就应该尽快交易。我们的优化结果确实导致了这种行为。直觉也告诉我们，高频信号对于交易日常或缓慢移动的目标应该是有用的。事实上，我们将把我们的优化写为一个跟踪问题，寻求最小化我们的投资组合和每日马科维茨投资组合之间的剩余风险。与大多数工作不同的是，我们不寻求HJB方程的精确或数值解（除了一些简单的情况）。相反，利用解的一般性质，我们将学习如何构造简单的近似，以便在实践中使用。虽然我们允许存在暂时的市场影响，但我们对线性成本更感兴趣。因此，重点将是寻找NT或做市商区域边界的简单表达。对于限价订单，我们不考虑部分执行。我们发现，在阿尔法预测因子的存在下，一个人可能处于发送市场订单的最佳区域。此外，一旦我们接近NT区（在本例中为做市区），使用定向限价指令就更为可取。在本文中，我们没有详细研究超限价订单（即其价格）的优化问题。然而，我们指出，这可以很容易地包含在我们的形式主义中。

为了测试我们的算法，我们使用由均值回复信号源驱动的简单蒙特卡罗模拟。我们发现，与使用市场订单对每日马科维茨投资组合进行暗示交易相比，我们的策略提高了损益的全球夏普。在本节的剩余部分中，我们将介绍我们的符号，并介绍一些将在下文中使用的定义。在第2节中，我们只描述了市场订单的优化问题。引入目标函数，推导出相关的HJB方程。我们提出了HJB方程的近似解，并讨论了近似解的有效性。利用蒙特卡罗模拟对从HJB近似解得到的交易策略进行了测试。在第3节中，我们将重新讨论优化问题，同时考虑限额和市场订单。同样对于这种情况，我们推导了相关HJB方程的近似解，并使用蒙特卡罗模拟测试了相关的交易策略。附录A包含关于Ornstein-Uhlenbeck过程的基本事实，该过程用于对预测值进行建模。附录B描述了一般瞬态冲击函数情况下的HJB方程。附录C、D和E考虑了简化优化问题的不同制度。特别是，在附录C中，我们展示了在零波动信号的情况下，可以使用Euler-Lagrange变分原理精确地解决优化问题。在附录D中，HJB方程在二次影响和零线性成本的情况下精确求解。

在附录E中，我们重点讨论了价格影响较大的情况，并定义了一种微扰方案，以递归求解HJB方程。1.1注：我们可以从今天的开盘时间到今天的收盘时间T进行交易。后续市场日收盘之间的时间间隔等于T，因此昨天的收盘时间为0，明天的收盘时间为2T。我们将从今天交易时间内的某个时间t开始优化综合损益，即t∈ [topen，T]，直到明天的关门时间，也就是2T。相关时间如图1中的时间箭头所示。图1：交易时间箭头。我们将今天的开放时间表示为topenan，将今天的闭幕时间表示为T。前一天的收盘时间为0，第二天的收盘时间为2T。为简单起见，我们将考虑价格为Pt的单一资产。价格动态由dpt=αtdt给出+√νdWt（1），其中dt是我们交易决策的时间尺度，wt是标准的维纳过程。时间上的随机依赖性将用下标表示，如dPt。在不丧失普遍性的情况下，我们将漂移αtinto分解为一个常数α和日内分量xt0，平均值为零：αt:=\'\'α+xt，E[xt]=0（2），其中通常，E[…]表示无条件期望，条件期望表示为E[…|条件]。我们可以将“α”视为来自每日预测值的α，而XT则来自日内或高频信号。在这一点上，我们让xt的动力学变得非常一般：dxt=u（t，xt）dt+pη（t，xt）dZt（3），其中漂移u（t，xt）和方差η（t，xt）允许依赖于时间t和信号xt。我们通常将快速信号建模为Ornstein-Uhlenbeck过程，即具有恒定波动性的均值回复过程：dxt=-κxtdt+√ηdZt。

附录A中收集了关于Ornstein-Uhlenbeck均值回复过程的基本结果。为方便起见，我们引入了以下微分算子：^Dt，x：=t+u（t，x）x+η（t，x）x（4）是时间转换的最小生成器，它对（3）中描述的过程有影响。我们将高频信号的综合增益定义为：g（t，x）：=Z2TtE[xs | xt=x]ds（5），它对从今天交易小时的时间t到明天交易结束的日内信号相关增益进行编码。利用费曼-卡克公式，我们可以证明综合收益与以下关系：^Dt，x·g（t，x）+x=0（6）我们头寸qt的演变由：dqt=utdt（7）给出，其中uti是时间t的交易率。优化问题归结为找到使某个目标函数最小化的最优交易率。总的来说，我们预计场外交易率是时间、我们当前头寸和我们的预测值的局部函数：ut:=u（t，xt，qt）。在下文中，我们将利用正部分函数（x）+，定义为（x）+:=xθ（x）（8），其中θ（x）是θ（0）=0.2优化的重阶梯函数，在本节中，我们研究了使用市场指令进行交易的情况。为了便于记法，我们假定一半的排列是恒定的。然而，放松这一限制非常简单，无论传播的动态如何，我们的最终（近似）结果都是有效的。我们专注于一天的交易。因此，我们被允许在公开市场时间内的某个时间t进行交易，直到今天收盘，也就是时间t。

然而，为了考虑夜间风险和可能的阿尔法，我们将优化综合损益，从今天的某个时间t到下一个交易日的收盘，即2T。在我们的假设下，相关目标函数如下所示：Ohm（t，x，q）=min{us|s∈（t，t）}EZTtC | us | ds+KZTtusds-Z2Ttαsqsds+λνZ2Ttqsdsqt=q，xt=x（9） 其中，最佳交易策略是为交易提供最小可能价值的策略Ohm（t，x，q）。（9）中RHS的第一项是市场订单的成本，其中C是投标报价的一半，假定为常数。第二任期是对交易规模的控制或监管。特别是，常数K的大值意味着平均贸易规模小，反之亦然。然而，它也可以被解释为来自暂时的市场影响。事实上，我们也可以为一般指数p建立一般影响函数KR | us | pds的模型。为了简单起见，在正文中我们将重点讨论二次影响函数。一般指数p的情况在附录B中讨论。鉴于我们在一天内优化交易，因此（9）中的第一项和第二项编码了与交易相关的贡献，因此在从初始时间到今天收盘之间进行了整合。第三项是来自资产阿尔法的收益。这包括每日α的贡献（在所考虑的交易日内保持不变）和高频分量XT。（9）中的最后一项是风险控制，它与损益的方差成正比。常数λ是一个风险规避参数。

我们注意到，第三项和第四项都是在下一个交易日结束前进行积分的，以便对隔夜风险和α进行建模。利用汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）原理，我们可以写出目标函数的下列关系式Ohm（t，x，q）定义在（9）中：Ohm（t，x，q）=min{us|s∈（t，t）}E（C | u |+Ku）- （？α+x）q+λνq）dt+Ohm（t+dt，x+dx，q+dq）qt=q，xt=x（10） 应用它的o引理，从关系式（10）中，我们可以推导出以下目标函数的HJB方程：^Dt，x·Ohm（t，x，q）- （？α+x）q+λνq+分钟C | u |+Ku+Ohm曲= 0（11），其中微分算子^Dt，xis在（4）中定义。为了对优化问题有更好的直觉，可以方便地使用稍微不同版本的目标函数（9）。事实上，正如我们将要展示的，我们可以把优化写成一个投资组合跟踪问题。为此，我们引入了每日马科维茨投资组合：\'q:=\'αλν（12）和一个新的目标函数：V（t，x，q）：=Ohm（t，x，q）+g（t，x）q+λν\'q（2T）- t） （13）其中g（t，x）是与HF信号相关的增益，如等式（5）所定义。两个函数sv（t，x，q）和Ohm（t，x，q）不同于不依赖于交易率us的术语，这意味着它们正在建模相同的优化问题。也就是说，我们可以模糊地使用两个目标函数中的一个来计算最优交易率。在下文中，我们将始终使用v（t，x，q）。为了理解目标函数V的意义，将其写成V（t，x，q）=min{us|s是很有用的∈（t，t）}EZTt（美国）- g（s，xs）us）ds+KZTtusds+λνZ2Tt（qs）- q）dsqt=q，xt=x（14） 第一项是市场秩序的有效成本，一旦我们考虑到高频预测因素。因此，日内信号可以用来降低交易成本，原则上也可以是负值。