波动率聚类对期权无差异定价的影响

（25）3.1.3订单条款利用u的渐近展开在（9）和收集条件的O(), 我们得到τu=^Lu+Lu+Bu+γ（1- ρ)σ(于）。因此，是泊松方程的解Bu=τu-^Lu- 鲁-γ(1 - ρ)σ(yu），（26），前提是以下对中条件成立：τu-^Lu- 鲁-γ(1 - ρ)σ(于）=0。（27）（20）中的未知函数F（τ，x）由上述方程（27）确定。3.2修正的渐近价格公式的精度定理1。让P表示（10）中给出的看跌期权价格，并分别在（15）和（25）中定义Pand Pbe。然后，在假设2.1下，|P（τ，x，y）- （P（τ，x）+√P（τ，x））|≤ O(- 日志).证据我们使用最大值/比较原理参数来证明这个结果。定义ψ（y） =（y）- m） +D, （28）其中D> 0是一个常数，它的选择使得ψ（y） >|u（τ，x，y）|+√ |u（τ，x，y）|（29）表示所有（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R。有可能找到这样一个D, as和uhave atmost在y中的对数增长（见（16）、（24）、（19）、（17）和引理A.1），是τ和x的有界函数（见（19）和（16））。检查D是很容易的= O(-日志), 见Lemma。2在附录中。选择一个足够大的常数C>0，使C+2（y- m） >τU-^LU- 鲁。（30）选择这样一个C是可能的，因为τ和x的有界函数在y中最多有对数增长（见（16）、（24）、（19）、（17）和引理a.1）。德涅乌（τ，x，y）：=u（τ，x）+√u（τ，x）+U（τ，x，y）+3/2u（τ，x，y）- ψ（y）- （C+’C）τ，andu（τ，x，y）：=u（τ，x）+√u（τ，x）+U（τ，x，y）+3/2u（τ，x，y）+ψ（y） +（C+’C）τ，其中‘cis’是假设2.1中σ的上界，u，u，uan和ψ分别在（16）、（24）、（19）和（28）中定义。我们计算τu- LU=τu+√τu+τU+3/2τu- （C+’C）- 鲁-√^Lu- ^LU- 3/2^Lu-√鲁+√Lψ- 鲁- 日分-√Bu+Bψ- γ(1 - ρ） σ（y）于+√于- yψ,我们在UAN和uto中使用了y的独立性来消除一些术语。

使用备注3.1、（13）、（17）和Bψ< -2（y）- m） +“c，我们得到了τu- LU< - （C+2（y）- m） ）+3/2-2（ρ+ηp1）- ρ） b（y）σ（y）σ（y）（y）- m） +τu-^Lu+ HτU-^LU- 鲁-γ(1 - ρ） σ（y）于+√于- 2（y）- m）i、 术语-（C+2（y）-m） ）均匀地支配上述等式右侧的其他项，因为它们足够小. 要了解这一点，首先看看O的术语(3/2). 当b和σ有界且σ有界远离0时，第一项在y中线性增长。在y中最多对数依赖于ugrow的项，在τ和x中有界。这可以从（16）、（24）、（17）、（20）和引理A.1中看出。因此，O(3/2）术语主要由（C+2（y）-m） ）对于所有τ，x，y，对于足够小的. 现在我们来看O的剩余术语() 在上述不平等的第三行。通过在（30）中选择C，这个术语主要由（C+2（y）-m） ）。因此-（C+2（y）-m） ）在“足够小”的其他术语中占主导地位 使上述不等式的右边为负。因此τu（τ，x，y）- LU（τ，x，y）<0，（τ，x，y）∈ （0，T）×R×R，（31）对于足够小的. 同样，可以证明τu（τ，x，y）- LU（τ，x，y）>0，（τ，x，y）∈ （0，T）×R×R，（32）对于足够小的.根据最大值原理，我们可以证明≤ U≤ U, 如下。我们的目标是在u最大值时证明这一点- U我们有你≤ U. 为此，我们首先需要确保- U为此，我们首先扰乱了我们的功能轻微地defineuδ= U- δ√1+x+T- τ,其中0<δ 1.请注意√1+X是有界的。因此，如果u替换为uδ, 对于足够小的δ。因为这个词-ψ（y） 在美国这主导了y，u的增长→ -∞当| y |→ ∞. 还要注意的是在τ和x上有界，所以u的扰动通过-δ√1+x+T-τ确保uδ→ -∞ 当| x |→ ∞ 或τ→ T

自从你是有界的，我们看到uδ- U→ -∞ 当| y |→ ∞, |x|→ ∞ 或τ→ T因此，uδ- U必须在域[0，T）×R×R中的某个特定点（τ，x，y）达到其最大值。对于（τ，x，y）在（0，T）×R×R的内部，我们有0=τu（τ，x，y）- LU（τ，x，y）≤ τuδ（τ，x，y）- Luδ<x，τ；（33）这是一个矛盾。因此，最大点必须出现在边界τ=0处。回想一下，在τ=0时，u（0，x）=u（0，x，y）=-[K]- Kex]+和u（0，x）=0（24）。然后，由D选择在ψ的定义中i、 e.（29），我们得到uδ（0，x，y）<u（0，x，y），对于所有（x，y）∈ R×R和uδ< U到处都是 1.在δ处取极限→ 0，我们有所需的比较菜单（τ，x，y）≤ U（τ，x，y），（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.（34）通过类似的论证，我们得到≥ U（τ，x，y），（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.（35）把不等式（34）和（35）放在一起，使用（29），我们得到| u（t，x，y）- （u（τ，x）+√u（τ，x））|≤ψ（y） +（C+？-C）τ，对于所有（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.回想一下常数D在ψ的定义中一切正常-日志() 那ψ在y中有一个二次增长的项，它给我们| u（t，x，y）- （u（τ，x）+√u（τ，x））|≤ O(- 日志) + O()y、 我们可以重复同样的论点, 这会导致期望的结果| P（t，x，y）- （P（τ，x）+√P（τ，x））|≤ O(- 日志) + O()y、 对于所有（τ，x，y）∈ [0，T]×R×R.4隐含波动率理论上，我们可以使用修正后的期权价格公式进行校准。然而，期权价格通常是根据其隐含波动率来报价的，因此推导出与修正期权价格相对应的修正隐含波动率公式是有用的。让我表示与看跌期权价格P对应的隐含波动率.

回想一下，x=ln（S/K）和波动率为σ的看跌期权价格的Black-Scholes公式由公式PBS（τ，x；σ）=KN给出(-d）- KexN(-d） ，其中N（z）=√2πRz-∞E-y/2dy，d=x+στσ√τ和d=x-στσ√τ.根据定义，隐含波动率I通过设置pBS（τ，x；I（τ，x，y））=P（τ，x，y）。（36）从（15）中，我们知道看跌期权价格P（τ，x）=PBS（τ，x；σ）的前序项。因此，隐含波动率的前导项仅为σ。为了获得渐近隐含波动率的修正项，我们将展开I关于σ的幂√ 阿斯福洛西（τ，x，y）=σ+√I（τ，x，y）+I（τ，x，y）+·。（37）使用I的展开式在（36）中，我们得到了pbs（τ，x；σ）+√我美国公共广播电视公司σ（τ，x；σ）+··=P（τ，x）+√P（τ，x，y）+·。（38）因此，隐含波动率的修正项isI=P（τ，x，y）美国公共广播电视公司σ（τ，x；σ）-1.（39）区分布莱克-斯科尔斯公式，我们得到美国公共广播电视公司σ=Ke-d/2√τ√2π.用公式代替Pin（39），我们可以重写（37）asI=σ-√√2πK√τe-d/2τ-A.xxxP（τ，x）+（A+B）xxP（τ，x）- BxP（τ，x）+ o(√),（40）其中A和B分别在（21）和（23）中定义。常数A和B可以简化为：A=Z∞-∞ρσ（y）σ（y）Zy-∞(σ- σ） π（dy）dy，（41）和b=Z∞-∞（ρ+ηp1）- ρ） b（y）σ（y）σ（y）Zy-∞(σ- σ） π（dy）dy.（42）代入Pin（40）的导数，我们得到= σ+√Adσ√τ+Bσ+ o(√)= σ+√Axστ+B- A/2σ+ o(√).（43）我们发现，与无套利定价案例（见[4]）一样，修正后的隐含波动率是对数货币到期率（LMMR）的一个有效函数，其中LMMR=ln（执行价格/资产价格）到期时间=-xτ。出于校准目的，可以方便地重写隐含波动率公式，即,阿西= a（LMMR）+d+o(√), （44）凡=-√Aσ，d=σ+√σB-A..

根据市场化波动率数据校准a和d后，我们可以根据公式a确定a和B=-σa√andB=√（d）- σ)σ-σa.在[4]中，LMMR的一个有效函数适用于标准普尔500欧洲看涨期权隐含可用性数据，a和d估计分别为-0.154和0.149。利用这些估计值，我们绘制了（44）给出的隐含波动率曲面，见图1。假设YT是一个OU过程，σ（y）是一个反正切波动率函数，我们根据定理1中修正的渐近期权价格公式计算隐含波动率。取π=0.2，取ρ=0.5-0.2在我们的随机波动率模型（1）中。我们假设xτ=0.25 = 0.004. 图2给出了作为对数货币性函数的隐含波动率，即。-x=对数K/S，用于风险参数η的三个不同值。隐含波动率函数的偏差显而易见。观察到，随着η值的增加，隐含波动率下降。[12]中也观察到了这一点（参见[12]中的图3]）。在图2中，隐含波动率似乎是对数货币性的最线性递减函数。这与（44）中正式推导的修正渐近隐含波动率公式一致。备注4.1。修正后的隐含波动率公式仅依赖于波动率风险参数η和相关项ρ，不依赖于风险规避参数γ。通过校准，相关系数ρ和风险参数η可从（41）和（42）中获得。参考文献[1]Buckdahn，R.，Hu，Y.，Peng，S.，抛物型偏微分方程粘性解均匀化的概率方法，NoDEA，非线性微分方程。Equ。阿普尔。6，N.4，第395 411页，[2]Barrieu，P.和El Karoui，N.，定价、对冲和设计具有风险度量的衍生品。独立定价编辑R.Carmona。

理论与应用，第75146页。普林斯顿大学出版社，2009年。[3] O.A.拉迪琴斯卡亚、V.A.索朗尼科夫和N.N.乌拉尔塞瓦。抛物线型线性和准线性方程，由S.Smith从俄语翻译而来。数学专著的翻译，第23卷。美国数学学会，普罗维登斯，R.I.，[4]福克，J.-P.，帕帕尼科劳，G.和瑟卡尔，R.K.，金融市场中具有短期波动性的衍生品，剑桥大学出版社，剑桥，2000.0.80.911.11.21.300.20.40.60.81-0.100.10.20.30.4 MoneyNeisestime to Expiration隐含挥发性学生版Matlab图1：隐含挥发性表面由（44）给出，a=-0.154，d=0.149。图2：当η=-0.25, 0, 0.25.[5] Fouque，J.-P.，Papanicolaou，G.，Sircar，R.K.和Solna，K.，多尺度随机波动渐近，多尺度模型。Simul。2003年第2期，第1期，第22-42页。[6] Hodges，S.D.，Neuberger，A.，交易成本下或有权益的最佳复制，期货市场评论8222-239（1989）。[7] Hu，Y.和Peng，S.，倒向随机微分方程的稳定性定理及其应用，C.R.Acad。Sci。巴黎S\'er。我喜欢数学。324（1997），第10591064页[8]S.Karlin和H.M.Taylor，随机过程第二课程，学术出版社。[Harcourt Brace Jovanovich Publishers]，1981年，纽约[9]Musiela，M.，Zariphopoulou，T.：不完全市场中差异价格的估值算法，《金融与随机》8399-414（2004）。[10] 帕杜，E。

彭，S.，倒向随机微分方程和拟线性抛物偏微分方程，控制与信息科学课堂讲稿，柏林斯普林格/海德堡（1992），第176卷，200-217页。[11] R.Rouge，El Karoui，N.：通过效用最大化和熵定价，Mathematical Finance 10259-276（2000）[12]瑟卡尔，R.K.和Sturm，S.，从微笑渐近到市场风险度量，arXiv:1107.4632v1[q-fin.GN]A附录A.1。假设f∈ Cb（R）是一个有界连续函数，它以不变分布π为中心，即Rfdπ=0。然后，泊松方程bv=f，有一个最多对数增长的解，并且有界导数v证明。我们构建了一个满足所需生长条件的解决方案。假设f是有界的，v是Bv=f的解。回想一下（2）中微分算子B的定义。将方程Bv=f乘以积分因子xp{Rym2（m-z） σ（z）dz}，我们得到eRym2（m-z） σ（z）dzv（y）=2f（y）σ（y）eRym2（m）-z） σ（z）dz在不丧失一般性的情况下，我们可以假设m=0，所以呃-2zσ（z）dzv（y）=2f（y）σ（y）eRy-2zσ（z）dzy积分，我们得到v（y）=eRy2zσ（z）dzy-∞2f（u）σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu，（A.1）假设limy→-∞胡说八道-2zσ（z）dzv（y）为0。让我们用函数G（y）表示（A.1）的右侧，即G（y）：=eRy2zσ（z）dzy-∞2f（u）σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu。使用l\'h^opital规则作为|y |→ ∞ 关于f和σ的有界性，我们看到G是富足函数。然后v（y）：=RyG（u）du给出了泊松方程的一个解bv=f。我们将证明泊松方程的这个解v最多有对数增长。回想一下（3）中给出的不变度量π。利用定心条件rfdπ，我们得到v（y）=eRy2zσ（z）dzZ∞y2f（u）σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu。让y>1。

通过f和σ的有界性，我们可以将| v（y）|≤ ceRy2zσ（z）dzZ∞yσ（u）eRu-2zσ（z）dzdu（对于某些常数c>0）=ceRy2zσ（z）dzZ∞Y-U-2uσ（u）eRu-2zσ（z）dzdu，通过部分积分得出=ceRy2zσ（z）dz耶-Ry2zσ（z）dz-Z∞月如-2zσ（z）dzdu≤cy（A.2）对于某些c>0。让y<-1.我们使用界| v（y）|重复相同的论点≤ eRy2zσ（z）dzy-∞2 | f（u）|σ（u）eRu-2zσ（z）dzdu=ceRy2zσ（z）dz-耶-Ry2zσ（z）dz-Zy-∞乌鲁-2zσ（z）dzdu≤C-y（A.3）表示某些c>0。|v（y）|对所有y的有界性，以及当|y |>1给出|v（y）|时的界（A.2）和（A.3）≤ 阻塞（1+| y |）+C，Y∈ R、 对于某些C，C>0。引理A.2。D= O(-日志).证据回想一下D被选为正数，比如> |u（τ，x，y）|+√ |u（τ，x，y）|- （y）- m） ，对于所有τ，x，y。由于uand uare在τ和x中有界，并且最多有对数增长，我们可以写| u（τ，x，y）|+√ |u（τ，x，y）|≤ 阻塞（1+（y）- m） ）+c对于所有τ，x，y，对于某些正常数c，因此必须选择D就这样> 阻塞（1+（y）- m） ）+c- （y）- m） ，（A.4）对于所有τ，x，y.二次项（y- m） 增长速度超过对数（1+（y- m） ）对于较大的| y |，因此（A.4）中右手边的最大值是在有限的y值下获得的。我们将确定（A.4）右手边的最大值，并选择D比那还要大。让我们注意（a.4）右侧的最大点，然后是Ddy阻塞（1+（y）- m） ）+c- （y）- m）|y=y=0，即c2（y- m） 1+（y）- m）- 2（y）- m） =0。求解ywe-get，y=m，在这种情况下选择D> cor（y）- m） =c- 1，而（A.4）的右侧变成了（c) + C- c+.因此，对于足够小的, 必须选择D= -2日志.