波动率聚类对期权无差异定价的影响

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英文标题：
《Effect of Volatility Clustering on Indifference Pricing of Options by
  Convex Risk Measures》
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作者：
Rohini Kumar
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this article, we look at the effect of volatility clustering on the risk indifference price of options described by Sircar and Sturm in their paper (Sircar, R., & Sturm, S. (2012). From smile asymptotics to market risk measures. Mathematical Finance. Advance online publication. doi:10.1111/mafi.12015). The indifference price in their article is obtained by using dynamic convex risk measures given by backward stochastic differential equations. Volatility clustering is modelled by a fast mean-reverting volatility in a stochastic volatility model for stock price. Asymptotics of the indifference price of options and their corresponding implied volatility are obtained in this article, as the mean-reversion time approaches zero. Correction terms to the asymptotic option price and implied volatility are also obtained.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了波动率聚类对Sircar和Sturm在其论文（Sircar，R.，和Sturm，S.（2012））中描述的期权风险无差异价格的影响。从微笑渐近线到市场风险度量。数学金融。提前在线出版。内政部：10.1111/mafi。12015). 本文中的无差异价格是通过使用倒向随机微分方程给出的动态凸风险测度得到的。在股票价格的随机波动率模型中，波动率聚类由快速均值回复波动率建模。当平均回归时间接近零时，本文得到了期权的无差异价格及其相应的隐含波动率的渐近性。得到了渐近期权价格和隐含波动率的修正项。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Effect_of_Volatility_Clustering_on_Indifference_Pricing_of_Options_by_Convex_Ris.pdf (406.6 KB)

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关键词：差异定价 波动率 Indifference Mathematical Quantitative

波动率聚类对凸风险度量期权独立定价的影响Rohini Kumar*+2018年8月8日摘要在本文中，我们研究了波动率聚类对Sircar和Sturm在《从微笑无症状到市场风险度量》一文中描述的期权风险差异的影响[12]。[12]中的差异价格是通过使用反向随机微分方程（BSDE）给出的动态凸风险度量来获得的。在股票价格的随机波动率模型中，波动率聚类由快速均值回复波动率建模。本文得到了当平均反转时间接近零时，期权的差异价格及其相应的隐含波动率的渐近性。还得到了渐近期权价格和隐含效用的修正项。关键词：风险度量、差异价格、隐含波动率、波动率聚类、比较原则。1简介在一个不完整的市场中，期权的定价有几种方法。期权定价的无套利方法，即期权价格由风险中性等价鞅测度下贴现付款的预期值给出，已被广泛了解和研究（参见示例[4]）。另一种方法是差异定价法。[6]、[9]、[11]等对使用效用函数的期权的差异定价进行了广泛研究。后来发现，差异定价的相同概念可以从效用函数扩展到动态凸风险度量，见[2]。Sircar和Sturm在[12]中推导了一个非线性部分微分方程（PDE），描述了给定看跌期权的差异价格*密歇根州底特律韦恩州立大学数学系，邮编：48202(rkumar@math.wayne.edu)+部分工作由国家科学基金会DMS 1209363资助。通过动态凸风险度量。

在他们的论文中，他们对期权定价使用了套期保值后的剩余风险度量；剩余风险度量是根据BSDE给出的。他们也得到了隐含波动率，对应于这种差异期权价格，作为非线性偏微分方程的粘性解。[12]中结果的意义在于，通过差异定价方案，隐含波动率偏差反映的市场风险可以与凸风险度量理论相关。通常，凸风险度量是通过BSDE抽象定义的（见[2]）。因此，很难确定BSDE中给出良好风险度量的正确驱动因素。使用Sircar和Sturm的差异定价，我们可以根据市场隐含的可用性数据校准驱动程序。在他们的论文[12]中，隐含挥发物的小成熟度渐近性屏蔽了简单公式。然而，一般来说，非线性PDEin[12]的封闭形式解决方案很难找到，如果不是不可能的话。本文通过考虑波动率聚类的影响，给出了一些有意义的、简化的隐含波动率面公式。人们认为，市场波动经常在高峰和低谷之间波动。虽然无法直接观察到波动性，但这种“聚集”行为是通过观察到的股价来估计的。为了根据这种波动性的聚类行为对股票价格进行建模，我们使用随机波动性模型，其中波动性是一个快速均值回复遍历过程。这种具有快速均值回复波动率的随机波动率模型被认为是股票价格数据的良好工具（见[4]第4章）。

本文感兴趣的问题是，快速波动意味着如何逆转对期权价格的影响？随着均值回归率的增加，遍历波动过程的长期行为表现出来。因此，根据遍历波动过程的不变分布，对波动的影响进行平均。在无套利定价的情况下，研究了期权价格波动率的快速均值回归分析，见[4]第5章。在本文中，我们将研究波动率的快速均值回归对[12]中给出的期权的不同价格的影响。在无套利定价的情况下，期权价格作为线性偏微分方程的解给出。对于较小的平均回复时间，由参数表示, 这导致了一个奇异摄动问题。在[4]中，假设波动过程是一个Ornstein-Uhlenbeck过程，期权价格以 以及渐近期权价格，当 → 0，与顺序修正项一起获得√. 得到了相应的修正隐含挥发度。在本文中，与无套利情况不同，期权价格不是线性模型的解。事实上，解决方案的价格是不同的。最初，确定渐近差异价格似乎涉及平均BSDE。然而，存在一个困难：Sircar和Sturm在其BSDE中使用二次驱动程序，这不是Lipschitz，因此我们无法使用BSDE的已建立稳定性结果（例如[7]）。

相反，我们利用了Pardoux和Peng在[10]中推导的非线性Feynman-Kac公式，并用非线性偏微分方程的解来表示期权价格；从而将其转化为一个平均非线性偏微分方程的问题。第3.1节和第4节中修正后的期权价格和隐含波动率的形式推导遵循了[4]中的相同推理。方法的不同之处在于第3.2节对修正的渐近公式的准确性进行了严格的证明。为了得到严格的证明，我们使用最大值原理将非线性模型的解（给出期权价格）限制在o(√) 修正的渐近期权价格公式的距离。我们观察这一现象的目的是两方面的。，波动性聚类，期权定价；其次，波动率的平均值导致隐含波动率的一个更简单的公式，这使得校准更容易。修正后的隐含波动率公式对风险参数的依赖性可以潜在地用于根据市场隐含波动率数据校准风险度量。有趣的是，看看这项工作是否扩展到了BSDE之外的其他风险措施。然而，这超出了本文的范围，将在未来的工作中加以考虑。一般来说，无论使用何种风险度量，如果证券价格可以表示为偏微分方程的解，我们可以潜在地使用本文中的方法来平均快速均值回复波动率的影响。论文的结构如下。在第2节中，我们回顾了[12]中期权的差异定价，并介绍了给出看跌期权差异价格的非线性PDEthat。第3.1节给出了修正渐近期权价格的启发式计算。

修正后的渐近期权价格公式的主要结果和精确性的严格证明见第3.2节。修正后的隐含波动率公式见第4.2节的预备内容。我们首先介绍股票价格的随机波动率模型。2.1随机波动率模型。让我们,t时间t的tdenote股价，其中 指波动性的平均反转时间尺度。像 接近0，均值回复的速度，1/, 增加。让(Ohm, F、 P）表示S所在的概率空间,tsatis建立了以下随机波动模型。dS,t=b（Y）,t） S,tdt+σ（Y）,t） S,tdW（1）t，0≤ T≤ T、 （1a）dY,t=m- Y,Tdt+σ（Y）,（t）√（ρdW（1）t+p1- ρdW（2）t），0≤ T≤ T、 （1b）（S）,0，Y,0）=（s，y），（1c）其中|ρ|<1，W（1）和W（2）是平面上的独立布朗运动(Ohm, F、 P）。我们对随机波动率模型做出了与[12]相同的假设。为了方便读者，我们回忆一下这些假设。假设2.1。我们假设1。σ, σ∈ C1+βloc（R），其中C1+βloc（R）是可微分函数的空间，其局部连续导数的H¨older指数β>0.2。σ和σ都有界且远离零：0<c<σ<c<∞, 0<c<σ<c<∞,3.b∈ C0+βloc，b有界。当 = 1.那么，对于f∈C（R），Bf（y）：=（m）- y）yf（y）+σ（y）yyf（y）。（2） 根据一维微分的一般理论（见Karlin和Taylor[8]，第221页），很容易看出存在唯一的概率测度π（dy）=Z-1expnRy2（m）-z） σ（z）dzoσ（y）dy，（3）使得所有f的rbf（y）π（dy）=0∈ Cc（R）；π=1，所以Z=dy。由（3）给出的Y的不变分布在下面的分析中起着重要作用。2.2差异期权价格。我们考虑一个到期时间为T，执行价格为K的欧式看跌期权。

该欧洲看跌期权在时间t，P（t，x，y），在[12]中给出了以下风险度量。P（t，x，y）=R,T- R,t、 （4）式中，（~R·，~Z·）和（R·，Z·）分别是下列BSDER的解,t=-ZTtf（~Z（1）,s、 ~Z（2）,s） ds-ZTt~Z（1）,sdW（1）s-ZTt~Z（2）,sdW（2）s；（5） 安德烈,t=-（K）- s,（T）+-ZTtf（Z（1）,s、 Z（2）,s） ds-ZTtZ（1）,sdW（1）s-ZTtZ（2）,sdW（2）s.（6）上述BSDEs中的函数f满足允许驾驶员的标准（见[12]中的定义2.3]），以确保BSDEs的可解性。在本文中，我们将考虑[12]中介绍的一种称为扭曲熵风险度量的特定可接受驱动因素（见[12]第3.1节）。这类驱动器的形式如下：gη，γ（z，z）：=γ（z+ηz）+z,并由两个参数进行参数化：风险规避参数γ>0和波动风险溢价η。当η=0时，驱动因素降低到经典熵风险度量，其水平曲线是半径取决于风险规避参数γ的圆。通过引入η，我们把这个圆扭曲成一个椭圆（如果|η|<1）。在套期保值下，风险度量得到调整，现在由BSDE给出，其中驱动因素gη，γ被转换为gη，γ（z，z）=infν∈R（gη，γ（z+σ（y）ν，z）+b（y）ν）=zb（y）σ（y）+b（y）2γσ（y）-γz+ηb（y）zσ（y）。从今往后，我们将以此为驱动力，即定义（z，z）：=zb（y）σ（y）+b（y）2γσ（y）-γz+ηb（y）zσ（y）。需要注意的是，这个驱动因素不是利普希茨，因为它是二次的，而不是股价,t、 我们将使用执行价标准化的股价对数：X,t:=lns,tK. 随着变量的变化，（1）变成,t=b（Y）,（t）-σ（Y）,（t）dt+σ（Y）,t） dW（1）t，0≤ T≤ T、 （7a）dY,t=m- Y,Tdt+σ（Y）,（t）√（ρdW（1）t+p1- ρdW（2）t），0≤ T≤ T、 （7b）（X）,0，Y,0）=（x，y）。

（7c）[12]中的Sircar和Sturm使用Pardouxand Peng在[10]中给出的广义Feynman-Kac公式来描述前向-后向SDE的解，~R,坦德尔,t、 下面是非线性偏微分方程（9）的解。在引入此偏微分方程之前，我们首先对变量τ：=T进行另一次更改- t、 这给了成熟的时间。微分算子L的定义拜尔g:=σ（y）xxg+2σ（y）yyg+ρ√σ（y）σ（y）xyg+（m）- y）-ρ√b（y）σ（y）σ（y）yg-σ（y）xg-b（y）2γσ（y）+γ（1）- ρ)2σ（y）(yg）-ηp1- ρ√b（y）σ（y）ygσ（y），（8）表示g∈ C（R）。让我们你呢表示PDE的解决方案τu=Lu、 （9）初始条件为u（0，x，y）=0和u（0，x，y）=-[K]- 分别为Kex]+。根据[12]中的定理2.9，我们得到了看跌期权价格（τ，x，y）=u（τ，y）- U（τ，x，y）。（10） 正如Ladyshenskaya等人[3，定理V.8.1]在[12]中提到的，u和▄u是半线性抛物方程（9）的唯一有界经典解，其导数为[0，T]×R×R。注2.1。由于（9）中的偏微分方程的系数和u是x独立的初始条件，我们得到u是x独立的。备注2.2。虽然我们只考虑欧式看跌期权，但本文的结果推广到了任何其他具有有界和连续支付的期权。3渐近期权价格我们将从获得渐近期权价格的启发式参数和渐近价格的修正项开始。启发式计算遵循与无套利期权定价相同的路线，如[4]3.1启发式中所示, ~u和P以…的力量√:U= u+√u+u+3/2u+，（11a）~u= ~u+√~u+~u+3/2u+，（11b）P= P+√P+P+。

（11c）我们定义了以下不同的运算符：对于g∈ C（R×R），Lg（x，y）：=σ（y）xxg（x，y）-σ（y）xg（x，y）-b（y）2γσ（y），Lg（x，y）：=ρσ（y）σ（y）xyg（x，y）-ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）yg（x，y），LNLg（x，y）：=Bg（x，y）+γ（1）- ρ） σ（y）(yg（x，y））。请注意，运算符LNLis是非线性的。等式（9）可以改写为τu= LU= 鲁+√鲁+LNLu. （12） 3.1.1使用（12）中的扩展（11a）和订单1的收集条款的前置订单条款/ 我们得到BU=-γ(1 - ρ） σ（y）(yu），如果uis是独立的，这是令人满意的。因此，我们将假设u（τ，x）独立于y。使用此项并收集1阶项/√ 我们得到bu=0，这可以通过取y的依赖项来满足。由于u（τ，x）和u（τ，x）都与y无关，方程（9）中的O（1）项满足τu（τ，x）=Lu（τ，x）+Bu。因此，Um必须满足泊松方程Bu=τu（τ，x）- Lu，（13）有一个解决方案，前提是以下定心条件成立：τu=σxxu-σ（y）徐-2γb（y）σ（y）。（14） 这里σ和b（y）σ（y）分别表示σ（y）和b（y）σ（y）项的平均值，与y过程的不变分布π有关。类似地，usatis fies方程（14）。u的初始条件和▄u分别给出u和u的初始条件，即u（0）=0（u独立于x和y，因此只有τ的函数）和u（0，x）=-[K]-Kex]+。观察期权价格的一阶近似项P（τ，x）=u（τ）- u（τ，x）满足方程tP=σxxP-σ（y）xP，P（0，x）=[K- Kex]+，这是Black-Scholes看跌期权价格的简单方程，PBS（τ，x；σ），带有波动率参数σ。因此，P（τ，x）=PBS（τ，x；σ）=KN(-d）- KexN(-d） ，（15）式中N（z）=√2πRz-∞E-y/2dy，d=x+στσ√τ和d=x-στσ√τ. 观察u（τ，x）=P（τ，x）-2γb（y）σ（y）τ。（16） 3.1.2高阶项定义L:=L+b2γσ=σxx-σx、 所以^Lis是一个线性算子。

等价序项√ 在（9）中给出了方程式τu=^Lu+Lu+Bu。因此，是泊松方程的解Bu=τu-^Lu- 鲁。（17） 只要满足以下对中条件：τu=^Lu+Lu。此后，任何项上的一条线表示该项相对于（3）中给出的Y过程的不变量分布的平均值。由于uis独立于y，上述等式变得τu=σxxu-σ徐路。（18） 为了简化上面的右侧，回想一下，UI是（13）中泊松方程的解。与（14）一起，我们看到Ui是以下方程的解，Bu（τ，x，y）=b（y）2γσ（y）-b（y）2γσ（y）+σ（y）- σxu（τ，x）- xxu（τ，x）.设φ（y）和φ（y）表示bφ（y）=b（y）2γσ（y）的解-b（y）2γσ（y）和bφ（y）=σ（y）- σ分别地定义（τ，x，y）：=φ（y）+φ（y）xu（τ，x）- xxu（τ，x）. （19） 然后U（τ，x，y）=U（τ，x，y）+F（τ，x）（20），其中F（τ，x）将在稍后确定，见（27）。备注3.1。注意，函数U（τ，x，y）满足方程（13）和（17）。我们计算u=ρσ（y）σ（y）φ（y）xxu（τ，x）- xxxu（τ，x）-ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）xu（τ，x）- xxu（τ，x）-ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）。在（18）中替换此，我们得到τu=σxxu-σ（y）徐- A.xxxu（τ，x）+（A+B）xxu（τ，x）- Bxu（τ，x）-~A，式中=ρσ（y）σ（y）φ（y），（21）~A=ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）（22）和b=ρ+ηp1- ρb（y）σ（y）σ（y）φ（y）。（23）很容易验证上述方程的解isu（τ，x）=τh-A.xxxu（τ，x）+（A+B）xxu（τ，x）- Bxu（τ，x）-~Ai。（24）通过一个类似的论证，我们得到了∧u（τ）=τh-A.xxx~u（τ）+（A+B）xx~u（τ）- Bx~u（τ）-~Ai=-~Aτ。因此，P（τ，x）=τ-A.xxxP（τ，x）+（A+B）xxP（τ，x）- BxP（τ，x）.