在多重金融网络中级联，债务不同

然而，A银行没有发生高级违约，因为它仍然可以支付其高级债务（即，因为mJ+mS）≤ w+bJ）。在小组（b）中，A银行承担了太多损失（mJ+mS=5），无法偿还其初级债权人或高级债权人，因此A银行陷入了高级违约。首先，将每一层建模为一个独立的、局部树状的、随机定向的网络，该网络由配置模型生成。各层的稀疏性和独立性意味着，对于足够大的网络来说，“重叠边缘”（即同一银行之间的初级和高级贷款）的数量小得可以忽略[37]。其次，根据之前的研究[1-3]，我们假设每家银行都有相同的初级违约阈值rj=w/（lJ+lS）。这一假设意味着所有银行的资本与银行间总资产的比率相同。当然，在现实世界中，银行的资本与资产比率并不相同，但它们有些相似[38]。通过考虑异质阈值，可以直接考虑异质资本与资产比率[3,22]。A.解析近似让φJandφs注意节点初始处于初级违约或高级违约的概率，其中0<φJ 1和φS∈ [0，φJ]。接下来，我们将该模型应用于计算级联是否可能广泛传播的技术，级联条件在[21,22]中介绍，并在[18–20]中推广到其他多路网络模型中。递归方程考虑一个均匀随机选择的银行，通过沿边缘方向进行广度优先搜索，让网络像树一样从这个根节点垂下。我们将φαt+1定义为节点t+1从树的底部跳跃的概率为α-违约，因为它的许多债务人（即，其外部邻居）都违约。树底部的节点最初处于α默认状态，概率为φα。

为了从φαt计算φαt+1，我们假设一个位于t+1跳树叶子上方的节点最初是否处于α-default状态，这与概率φα无关。如果该节点最初不是处于α-违约状态，那么我们将对该节点中已违约的债务人的数量设置条件。对于一个足够大的图，在级联结束时，初级和高级默认节点的分数很好地近似于一个固定点（φJ）∞, φS∞) 方程组φαt+1=g（α）（φJt，φSt）≡ φα+ (1 - φα）XlJ+lS≥1XbJpJ，loanlJpS，loanlSpJ，loanlbj×lJXmJ=0lSXmS=0BlJmJ（φJt）BlSmS（φSt）Fα（~l，~b，~m），（3）表示α∈ {J，S}，其中pα，bα和pα，loanlα分别表示α层上的内外度分布∈ {J，S}。在式（3）中，我们将初级和高级违约中的邻居数近似为独立的二项式随机变量，其概率质量函数用简写符号BLM（φ）表示≡lmφm（1）- φ） l-m] 。当网络层是独立的，并且重叠边的数量可以忽略不计时，这种近似很好地工作[37]。（如果重叠很重要，那么可以将相互渗透研究[16]中引入的技术应用于该阈值模型。）等式3的变体出现在该阈值模型的多个研究中；例如，参见[22，等式（1）-（3）]，[23，等式（1）和（4）]，[18，等式（1）-（3）]，[19，等式（11）-（13）]，[25，等式（A9）-（A11）]，[20，等式（1）-（3）]，以及严格的治疗[7，理论1]；最接近的变体是对定向（但不是多路）网络的研究[24，等式（14）和（15）]。简而言之，根据输出边，我们将多重图近似为一棵树，φαt+1是指银行（位于树叶上的t+1跳）进入α-违约的概率，因为它最初处于α-违约状态，或者由于债务人违约。等式中的注释。

（2） 由于违约债务人而进入高级违约意味着由于违约债务人而进入初级违约[即，FS（~l，~b，~m）=1意味着FJ（~l，~b，~m）=1]，因此高级违约中的分数永远不会超过初级违约中的细分[即φSt]≤ φjtt≥ 0].为了方便起见，我们将递归（3）重写为φJt+1φSt+1=g（J）（φJt，φSt）g（S）（φJt，φSt）. （4） 将等式（4）迭代到一个固定点（φJ∞, φS∞) 在级联结束时，分别给出初级违约和高级违约银行的预期分数。2.多重级联条件现在，我们得到了一个简单的表达式，在网络规模接近完整性的限制下，该表达式近似适用，对于该参数，一个非常小的种子会触发acascade，从而导致junioror高级违约银行的一小部分。一阶级联条件是等式（4）在原点（0，0）处的线性不稳定性，这为初级和高级违约银行的数量增长提供了充分的条件。式（4）右侧的雅可比矩阵用j表示≡JJJJ SJSJS. （5） 一阶级联条件是雅可比矩阵的最大特征值λmax（J）超过1:λmax（J）≡JJJ+JSS+p（JJJ- JSS）+4JJSJ>1。（6） 在附录C中，我们简化了雅可比矩阵，并证明了对于该模型，其最大特征值等于其轨迹。B.级联区域如果许多银行处于初级违约状态，高级违约银行的比例可能很大，也可能很小。因此，还有另外两个级联条件：一个用于juniordefaults，另一个用于高级默认。接下来，我们在一定程度上导出了这些条件（对于具有独立层的多路复用网络的集合，这些层由它们的度分布指定）。

我们还举例说明了一个特殊情况下的所有三种级联条件（初级、高级和多重）：分别由两个平均度数为lji和hlSi的不相关Erd"os-R"enyi网络组成的多重网络。1.次级违约的级联（忽略高级违约）首先考虑仅对次级贷款的传染。“仅初级”级联条件是，初级违约平均导致至少一个以上初级违约，或者等效地，雅可比矩阵左上角的条目JJJ超过1。在附录C中，我们证明了这个仅初级的级联条件是不等式jjj=E[lJ（1>RJ（lJ+lS））]>1。（7） 在图3（a）中，图3（a）以橙色显示了满足这一初级级联条件（7）的一组参数，用于平均度HLJ和hlSi的不相关Erd"os-R"enyi网络。如果高级层是空图（即ifhlSi=0），那么我们在单层网络上恢复标准级联模型[1-3,21,22,24]。创造更多高级贷款（即增加hlSi）会缩小“仅初级”级联区域。出现这种收缩是因为银行的sequity w=RJ（lJ+lS）随着其高级贷款lS的数量而增加[回想等式（1）]。因此，随着每家银行高级贷款的预期数量LSI增加，一家典型的银行对初级违约的抵抗力（w）增加，这使得初级违约导致其他初级违约的可能性降低。2.高级违约的级联（忽略初级违约）以类似的方式，考虑高级贷款的传染。“仅高级”级联条件是，一个高级默认值平均会导致至少一个以上的高级默认值，或者等效地，雅可比矩阵的右下角条目JSS超过1。在附录C中，weshow证明了这个高级级联条件是jss=E[lS（1-bJ>RJ（lJ+lS））]=pJ，借用[lS1>RJ（lJ+lS）]>1。

（8） 一阶级联条件考虑了仅一个输出邻居的默认触发的默认（即，由于mJ+mS=1导致的默认）；因此，它捕获了缺乏初级债务（bJ=0）的银行的高级违约，这在等式（8）中解释了因子pJ。我们发现，如附录D和图6所示，捕捉两个破产债权人（使用二阶级联条件）导致的违约对于模拟结果的近似是不必要的。图3（a）中，对于平均度为hlJi和hlSi的非相关"os-R"enyi网络，满足该高级级联条件（8）的参数以绿色显示。该区域随着初级贷款hlJi的密度而缩小，原因与仅初级贷款的级联区域随着hlSi而缩小相同。3.多重级联图3（a）中的蓝色区域是多重级联区域，即满足一阶级联条件[不等式（6）]的平均输出度集（hlJi，hlSi）。请注意，如[18，第3页]所述，我们有λmax（J）≥ 麦克斯{JJJ，JSS}。因此，多重级联条件保持的一个有效条件是至少一种默认α∈ {J，S}是超临界的（意味着Jα>1），即使在没有其他类型的缺省情况下也是如此。因此，图3（a）中的蓝色区域包含橙色和绿色区域。然而，重要的是，蓝色区域包含在纯初级和纯高级级联区域之外的中间边缘密度对（hlJi，hlSi）。在这部分参数空间中，初级默认值和高级默认值都不能导致全局级联（即JJJ<1和JSS<1），但仍可能出现大量的默认值级联。这些级联类似于[18,20]中的“多重激励级联”，是初级和高级违约相互作用的结果。C.多重级联区域的最佳优先权，如图中蓝色所示。

3（a），就两层hlJi和hlSi的平均出度而言是不对称的。这种级联区域的不对称性源于初级和高级贷款在响应函数中所起的不对称作用[Eq.（1）]。考虑到这种不对称性，在某种意义上，初级贷款和高级贷款的比例是最优的？假设平均总度数hlJi+hlSi保持不变，我们调整次级贷款的比例。对于某些贷款密度hlJi+hlSi，无论初级贷款的比例如何，多重级联条件（6）都成立。例如，线段{（hlJi，hlSi）：4=hlJi+hlSi}包含在图3（a）中的多重级联区域内，因此无论资历级别的构成如何，默认值都广泛存在。在其他情况下，例如平均度数的线段   λ() > -  > -  > 0 1 2 3 4 5 6 701234567       =        =  = ≈ 0 2 4 6 80246   /   ≈ ()()图3。（彩色在线）（a）多重级联区域[满足等式（6）的边缘密度参数（hlJi，hlSi），绘制为带厚固体边界的蓝色区域]包含等式给出的仅初级和仅高级级联条件。（7） 和（8），并分别绘制为橙色区域（带有经过修饰的边界）和绿色区域（带有虚线边界）。此外，多重级联区域在初级和高级贷款（hlJi，hlSi）的密度上是不对称的。等式（9）中定义的最佳资历比被绘制为一条后退线。该比率为hlSi/hlJi≈ 1.79最小化级联窗口，即满足一阶级联条件的平均度数集，公式（6）。

同样多的初级和高级贷款（平均）用虚线表示，其中有一个略大的级联窗口。（b） 作为高级贷款与初级贷款比率hlSi/hlJi函数的级联窗口在≈ 1.79.满足图3（a）中的7=hlJi+hlSi时，级联条件（6）成立，当且仅当初级贷款的比例非常小或稍大时。在这种情况下，拥有中等比例的次级债务可以防止债务的广泛传播。现在假设我们可以设置每家银行的高级和初级贷款的平均数量的比率hlSi/hlJi，但是贷款的总密度hlSi+hlSi可以变化。例如，在经济繁荣时期，贷款数量可能会增加，而在经济衰退时期，贷款数量可能会减少，但高级贷款的比例不会改变。因此，我们正在考虑图3（a）中通过原点的光线。对于“资历比率”σ≥ 0，将级联窗口定义为一组平均度数（hlSi，hlJi），使得hlSi/hlJi=σ，并且一阶级联条件（6）保持不变。图3（b）显示了该级联窗口作为资历比hlSi/hlJi的函数。请注意，级联窗口的大小在唯一值hlSi/hlJi时最小化，该值在图3中约为1.79。我们将最佳资历比定义为最小值，或者更准确地说，hlSihlJioptimal:=arg minσ≥0 |{r≥ 0：λmax（J）≥ 1} |（9a）式中，r是距离原点的距离，|·|表示r上的slebesgue度量，λmax（J）的计算结果为lji=r√1+σ，hlSi=rσ√1+σ，（9b），其中我们通过（r，arctanσ）7从极坐标转换为笛卡尔坐标→ （hlJi，hlSi）。如果该最佳资历比（hlSi/hlJi）大于1（如图。

3） 然后，为了最大限度地减小网络密度，使破产广泛传播，优先债务应该比初级债务（平均）发行得更多。也就是说，如果金融网络保持大致相同的高级贷款与初级贷款比率（hlSi/hlJi），但改变了贷款总数（比如，在一个商业周期内），那么高级贷款应该比初级贷款更多，以便将大规模违约风险降到最低。直观地说，高级贷款正在稳定下来，因为它们在级联的早期不那么重要：初级违约中的节点只会在初级层为其贷款人（在邻居中）造成损失（资产）。因此，将一些贷款从初级贷款改为高级贷款会降低大规模级联的可能性，而henceit会缩小级联窗口。然而，并不是所有贷款都应该是高级的，因为这种情况与所有初级贷款相同，后者有一个危险的大级联窗口[看看图3（a）中的水平轴和垂直轴]。在这两个极端之间存在一个最优的高级贷款和初级贷款比率。这一最佳比率超过了一个（图3（a）中的黑色45度虚线），因为较低的贷款传染力较小，也就是说，处于初级违约状态的节点仍然可以偿还其高级债务。在附录D的图7中，我们表明，图3（a）中所示的三种级联区域（仅初级、仅高级和多路）与递归方程（4）的执行点以及不相关Erd"os-R"ENYI多路网络模型的数值模拟非常一致。这些比较还表明，在多重级联区域内，许多节点最终处于初级违约状态，但只有当高级贷款的数量远远超过初级贷款时，许多节点才处于高级违约状态。在实践中，任何类型的违约数量都是首要问题，因此我们对Eq中最佳资历比率的定义。

（9） 忽略默认值的类型。D.改变阈值（股权与银行间资产的比率）的影响随着银行阈值的变化，级联区域（及其最佳资历比率）如何变化？在这里，我们假设所有银行都有相同的初级违约阈值RJ，但我们会改变RJ。多重网络仍然是一对具有平均度hlJi和hlSi的不相关Erd"osR"enyi随机图。如果银行的资本比率RJ较小，那么违约的可能性就更大，因此多重级联区域会增加，如图4（a）所示。相反，随着RJ的增加，囊壁区域缩小，甚至可以分裂成两个区域[参见图4（a）中RJ=0.25的紫色区域]。在这种具有两个不相交级联区域的情况下，等式（9）中定义的最佳比率不存在，因为集合{r≥ 0：λmax（J）≥ 1} 空了一段时间。【最佳资历比的合理定义可以是最大化从射线穿过原点（具有该斜率）到两个区域的距离的斜率。】初级贷款和高级贷款之间的不对称性也随着初级违约阈值RJ而变化。特别是，最佳资历比随着RJ的减少而增加，如图4（b）所示。在一些金融危机中，许多银行发现自己陷入了财务困境，例如，因为外部资产的损失。本文研究的模型将这种情况近似为每个银行（以及一小部分最初违约的银行）的一个小的初级违约阈值。如图4（a）所示，减小RJ会扩大级联区域。然而，如果银行平均增加优先债务的比例，就可以降低系统风险。图4（b）显示了增加的最佳数量。三、

两个以上的资历级别我们表明，多个资历级别的混合可以进一步降低系统性风险（在缩小级联区域的意义上）。我们将模型推广到M≥ 1.资历级别。让（1，2，…，M）以资历的递增顺序表示资历级别的指数，并让Rdenote表示最低级层的默认阈值。附录A中导出的i级违约响应函数isFi（~l，~b，~m）=（1 ifPMs=1ms-圆周率-1k=1bk>RPM=1ls0，否则。(10)2 4 6 8 10 12 142468101214       =        = -  = = = = 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.241.61.71.81.92.02.12.22.3-    / ()()图4。（彩色在线）如果银行持有的与银行间资产lJ+lS相关的资本（权益）减少（即，如果初级违约阈值RJ降低），那么（a）级联区域（满足一阶级联条件（6）的参数集）扩大，以及（b）高级贷款与初级贷款的最佳比率增加。一阶级联条件（6）考虑了由于一个默认邻居而发生的默认情况（详情见附录C）。因此，当RJ低于整数的倒数1/k时，总度数为k且有一个默认邻居的节点将默认，因此级联区域在RJ=1/k时发生变化，因此在RJ=1/k时的最佳比率jumpsup。按照惯例，形式pk=1的和为零。A.一阶级联条件级联条件，是M=2层的直接推广。是雅可比矩阵JM吗∈ RM×Mhas最大特征值超过1。JMisJMij=EMhlj1的（i，j）项-圆周率-1k=1bk>R（PMα=1lα）i（11a）=i-1Yk=1pk，emhlj1>R（PMα=1lα）i（11b）=i-1Yk=1pk，loanlx~l:PMα=1lα<1/RMYs=1ps，loanlslj。