在多重金融网络中级联，债务不同

（11c）这里，公式qk=1的产品定义为1，期望值为p1，贷款，pM，loanlMandover p1，LoanlB，下午-1、借用BM-1.（11b）中的表达式等于（11a）中的表达式，因为阈值R>0，所以（11a）中的指标只有在银行对所有k=1，2，…，没有资历k（即bk=0）的负债时才是1，我-1.此外，由于银行的进出度是独立的，等式（11a）中的指标factorstobk=0 K∈{1,2，…，我-1} 1>R（PMα=1lα）。等式（11c）通过对~l求和写出等式（11b）中的期望值∈ {0, 1, 2, . . . }Msuch thatPMα=1lα<1/R。从等式（11b）中观察，jm由线性相关的行组成。因此，jms只有一个非零特征值。因为矩阵的迹等于其特征值之和，所以jm的最大特征值是它的迹，根据等式（11c），它由trjm=MXi=1i给出-1Yk=1pk，loanlx~l:PMα=1lα<1/RMYs=1ps，loanlsli。（12） 因此，我们可以用最底层的度分布和阈值解析地表示λmax（JM）。该表达式立即适用于一阶级联条件，trJM>1。B.区分更高的资历级别可降低大规模级联违约的风险如果我们意识到并非所有贷款都具有相同的资历级别，那么对大规模级联违约的脆弱性如何？为简单起见，我们考虑将一个Erd"osR'enyi随机图“拆分”为M个独立、相同分布的层（如[18]所示）。也就是说，我们比较了一个单层Erd"os-R\"enyi随机图和一个多层Erd"os-R\"enyi随机图的平均输出度z/M。边密度为hlii的M层有向rd"os-R"enyi随机图的雅可比矩阵JM∈ {1，2，…，M}是，来自等式。

（11） ，JM ERij=hliiΓ（d1/Re- 1，PMi=1hlii）Γ（d1/Re- 1） 经验“-J-1Xk=1hlki#，（13）其中不完全伽马函数Γ（x，y）≡R∞是的-1e-udu与伽马函数Γ（x）≡ Γ（x，0）。图5显示了M的最终级联区域（即满足trJM ER>1的参数）∈ {1,2,3,4}许多Erd"os-R\"enyi层，每个层的平均出度Lii=z/M。在这里，参数是最初级层（水平轴）的默认阈值Rf和平均总出度z（垂直轴）。-   =    =    =    =   0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35051015202530           = 图5。区分更多类型的资历会减少级联区域的大小。换句话说，随着福利类型的增加，违约级联的预期规模可以忽略不计，因为有更多的阈值对，每个银行的预期贷款数量z=PMi=1hlii。在这里，我们考虑将一个定向Erd"os-R"enyi网络拆分为M∈ {1,2,3,4}许多独立的、相同分布的层，每个层都具有相同的程度hlii=z/M。请注意，在图5中，层叠区域随着资历级别的数量M而缩小，这意味着系统不太容易受到大规模违约层叠的影响。（相比之下，在[18]中的模型中，级联区域随着M的增长而增长。）对于某些资本与银行间资产比率R，级联区域甚至随着M的增长而消失（例如，对于M=1，R=0.3）。cascade地区因M而缩小的原因是，提高贷款的优先级会降低cascade早期的重要性。例如，如果M=1，则defaultednode会减少其所有贷方（在相邻节点中）的资产，而如果M>1，则只有第1层的相邻节点失去资产，因此传染发生得更少。

乘性因子Qi反映了更高级层次重要性的下降-1k=1pk，借用式（11c）和式（13）中的指数因子。简言之，区分更多类型的资历会使更多的银行间债务变得无关紧要（危机早期）；因此，不太可能出现系统性危机。这一结果取决于这样一个假设：随着资历级别（M）的增加，银行对破产的抵抗力基本保持不变。有可能的是，如果资历更高，那么银行将削弱其对破产的支持，R，从而将系统推向级联区域，破产可能会在那里广泛传播。四、 重尾度分布银行间的真实贷款网络显示出某种程度的重尾度分布[26–28]。例如，巴西银行网络在2007-2008年[28]中的内外度分布具有近似于幂律的尾部∝ K-带指数γ的γ≈ 2.8，平均进退度均约为8.5。为了捕捉这种重尾度分布，我们使用无标度网络的静态模型[39,40]，它可以调整度分布的平均度和指数γ[41]。由于我们无法获得贷款资历级别的数据，我们首先创建一个具有一定平均值的随机图，然后我们将一组有向边（均匀随机选择）分配为初级，其余为高级。图6显示，在数值模拟和分析近似（6）中，次级贷款的比例可以确定是否会发生大规模级联故障。注意图6中的“谷”：初级贷款比例的“最佳”值范围很窄（图6的水平轴）。

6） 这会缩小平均度数集，从而使级联的大小变大。初级贷款的最佳比例约为0。30，这意味着LSI/hlJi的最佳资历比≈ (1 - 0.30)/0.30 ≈ 2.3，这与图3中针对多重Erd"os-R"enyi网络发现的最佳资历比1.79在质量上相似。请注意，在图6中，无论初级贷款的比例是大还是小，巴西网络中的经验平均程度（约8.5）[28]都会与黑色区域（其中平均级联规模较大）相交。我们强调，我们不知道这些巴西银行的资本水平，这影响了juniordefault，RJ的门槛。然而，图6表明，现实世界网络中贷款的资历水平可能会影响违约是否会广泛传播。五、结论与讨论我们使用多重网络对债务的优先级进行建模，并使用广义级联条件研究破产扩散的可能性。该模型具有有趣的交易效果。虽然自利银行更愿意在最高层发放贷款，但初级债务和高级债务的混合最有效地降低了系统风险，因为它最小化了网络密度集的规模，因此级联可能很大。  -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.046810 φ0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.046810      φ图6。（彩色在线）对于重尾度分布，如巴西银行间借贷网络[28]中的分布，具有≈ 30%的贷款是初级贷款（而剩余的贷款是高级贷款）可以降低系统性风险，因为它可以将平均总损失程度的大小降至最低，从而使破产广泛传播。

在2400家银行的模拟中，灰色背景显示了处于初级违约（上图）和非高级违约（下图）的银行的平均比例，从最初处于高级违约的10家银行开始，平均为30家。绿线标记级联区域的边界[λmax（J）=1，其中J由等式（C4）计算得出]。每家银行的次级违约阈值isRJ=0.18，如图3所示。有向图是用静态模型[39,40]生成的，没有带尾行为的度分布∝ K-γ=2.83，近似于巴西银行间借贷网络[28]中的值。一小部分贷款（横轴）是次级贷款，其余是高级贷款。初级贷款的“最佳”比例（使绿线高度最小化）为≈ 0.30. 对于平均出度（垂直轴）≈ 8.5观察到巴西银行[28]，当且仅当中间部分的贷款较低时，预期的级联规模较小。个人利益和系统稳定性之间的这种差异是“监管者的困境”[42]。对于两种类型的资历，以及均匀随机放置的边（即不相关的Erd"os-R"enyi网络）或根据重尾度分布，我们表明，最优多路网络的优先债务比初级债务多50%到100%。然而，要为政策建议提供理论支持，需要考虑我们抽象的其他因素，例如不同资历级别的利率，这会影响银行的激励。传统上，使用Eisenberg-Noe算法[32]研究金融网络中的一连串损失，以计算市场清算支付向量（损失按比例分摊），该算法最近扩展到多个资历级别[31]。

EisenbergNoe算法在正常情况下具有经济意义，但正如Cont等人[28]所指出的，该算法在模拟极端事件（如大型银行违约）时并不合理。相反，我们采用物理学中典型的方法来研究金融网络的集合[1,21]。我们表明，不同资历的网络上的级联可以用物理学中研究的多重阈值级联模型进行分析[18–20]。债务的优先级只是金融网络多重性的一个维度。债务的其他方面包括贷款的到期日以及贷款是否有抵押[8,9]。此外，其他重要的互动包括金融资产交易[43]和共同风险敞口（即持有相同金融资产的多家机构）[9,44]。我们称我们的模型为“多级传染”，因为阳极可以在一个层面上“传染”，而不一定会在另一个层面上传染（例如，银行可以处于初级违约状态，但不处于高级违约状态）。相比之下，在多路网络中的阈值传染的其他模型[18–20]和多路网络上的渗透变体[13–17]中，当一个节点在一层中改变状态时，它必然会在其他层中改变状态。多层次的传染可能会让我们深入了解其他类型的社会传染。例如，如果产品的“粉丝”影响到一种类型的邻居，但“超级粉丝”影响到两种类型的邻居（多级复杂传染模型的多重版本[25]），可以使用它来模拟新产品的采用。我们希望，我们的模型将促进对社会、金融和其他多元化网络中这多种级联类型的进一步研究。致谢。博士学位由詹姆斯·S·麦克唐纳博士后奖学金资助，研究复杂系统。T.K.由KAKENHI 25780203和24243044支持。

作者感谢艾萨克·牛顿数学科学研究所（英国剑桥）在“系统风险：数学建模和跨学科方法”项目期间给予的支持和款待，本论文就是在该项目中开展的。附录A：M级资历的违约阈值我们考虑M级资历的一般情况≥ 1银行间债务的资历级别（而不仅仅是两级，初级和高级），我们用α来标记资历级别∈ {1,2，…，M}。我们选择的惯例是，当α>α时，年资α的债务优先于年资α的债务。从图1中回想一下银行的风格化资产负债表：银行的资产由外部资产e和lα构成，许多银行间贷款的资历为α∈ {1,2，…，M}，而其负债由外部负债d和bα构成，许多银行间负债的年资为α∈ {1,2，…，M}。我们假设对外负债d（例如，可以包括活期存款）的优先级高于对其他金融机构的债务。权益w是资产和负债之间的差异，w=e- d+MXα=1（lα- bα）。现在假设这家银行有一些银行间资产（即PMα=1lα>0），并且它为许多银行间资产（例如α）的mα提供损失补偿∈ {1，2，…，M}），因此其银行间资产现在的总价值为pmα=1（lα）- mα）。然后恰好发生以下事件之一：o当且仅当资本方能够吸收损失时，银行才具有偿付能力，即：≥PMα=1mα银行在α层违约∈ {1,2，…，M}但不在任何层中≥ α+1当且仅当w+α-1Xα=1bα<MXα=1mα≤ w+αXα=1bα。

（A1）o银行完全违约，这意味着如果且仅当MXα=1mα>w+MXα=1bα时，银行无法偿还其任何银行间债务，也无法偿还其对外部债权人的任何负债。这里，我们关注银行间网络中的级联；为此，我们不需要区分最高级别（M）的违约和完全违约，因为两者对向违约银行贷款的银行具有相同的影响。重新排列等式（A1）中的严格不等式，并除以总借出量pmα=1lα>0，得到等式（10）中的响应函数。附录B：与“多级复杂传染病”的关系我们的模型与Melnik等人的“多级复杂传染病”模型有关[25]。在他们的模型中，节点存在于三种状态之一：非活动、活动和超活动。它们的超活动节点是对邻居影响更大的活动节点。为了看到模型之间的共性，考虑我们的模型，每个节点都具有相同的初级阈值RJ，并且多路复用网络由两个相同的层组成（即，所有多路复用边缘“完全重叠”[16,37]）。然后，处于初级违约状态的每个邻居（分别处于高级违约状态）在响应函数的分子中贡献mJ+mS=1（分别为mJ+mS=2）。因此，该模型相当于[25]中模型的一个特例，其中i）“额外影响参数”β（捕捉超活动节点的额外影响）取值1；ii）网络是一个有向单层图；激活和超激活的三个阈值分别为RJ和RJ+bJ/（lJ+lS）=RJ+bJ/（2lJ）。然而，为了模拟真实的金融系统，边缘只应部分重叠，这是一种在[37]中的统计力学和[16]中的渗流背景下研究的现象。

我们的多级传染模型可以推广到这种部分重叠的情况，方法是采用研究具有任意重叠量的多重网络上的相互渗透的技术[16]，这是留给未来工作的一项重要任务。附录C：一阶级联条件的推导现在，我们得到一个简单的表达式，该表达式大致捕捉了一个极小的种子导致级联的参数，该级联导致一小部分银行发生初级或高级违约。注意，如果阈值RJ>0，那么（0，0）是递归（4）的固定点[因为Bkm（0）≡m=0和Fα（~l，~b，~0）≡ 0，前提是RJ>0]。一阶级联条件是方程（4）在原点（φJt，φSt）=（0，0）处的线性不稳定性，在双极限φJ中→ 0和φS→ 0.这种线性不稳定性为初级和高级违约银行的数量增长（至少在最初）提供了充分的条件。式（4）isJ右侧的雅可比矩阵=JJJJ SJSJS（C1）=E[lJ（1>RJ（lJ+lS）-0>RJ]E[lS（1>RJ（lJ+lS）-0>RJ]E[lJ（1-bJ>RJ（lJ+lS）--bJ>RJ（lJ+lS））]E[lS（1-bJ>RJ（lJ+lS）--bJ>RJ（lJ+lS））]（C2）（期望值E高于学位分布pJ、loanlJ、pS、loanlS、pJ、borrowbJ。）假设RJ>0，那么（C2）最上面一行中的因子0>RJ消失。另外，请注意，bJ≥ RJ>0和lJ+lS≥ 0，那么其他因素呢-式（C2）最下面一行中的bJ>RJ（lJ+lS）消失。最后，另一个指标位于ofEq最下面一行。（C2），名称1-bJ>RJ（lJ+lS），简化tobJ=01>RJ（lJ+lS），因为bJ∈ {0, 1, 2, . . . }. 因为每个节点的sin度和out度（lJ、bJ、lS、bS）都是独立的，所以我们可以考虑期望值ElαbJ=01>RJ（lJ+lS）=pJ，借用lα1>RJ（lJ+lS）对于两个α∈ {J，S}（即，对于等式（C2）的左下和右下条目）。

接下来就是J=E【lJ1>RJ（lJ+lS）】E【lS1>RJ（lJ+lS）】pJ，borrowE【lJ1>RJ（lJ+lS）】pJ，borrowE【lS1>RJ（lJ+lS）】（C3）=E[lJ1>RJ（lJ+lS）]10PJ，借用+ E[lS1>RJ（lJ+lS）]0 10 pJ，借. （C4）注意det J=0。因此，根据式（6），雅可比矩阵的最大特征值为λmax（J）=trJ=JJJ+JSS。应该指出的是，这个等式λmax（J）=trJ在多重传染模型的其他变体中不一定成立。例如，在具有（独立）无向网络和/或非异源高级默认阈值RS的多路复用模型中，通常会有λmax（J）6=trJ。附录E给出了更详细的解释。附录D：一阶级联条件与递归方程固定点和数值模拟之间的比较图7显示，一阶级联条件[满足式（6）的参数，由图7中的实心蓝线包围]与固定点（φJ）非常一致∞, φS∞) 递归方程（4）[图7（a）和7（b）]，并与数值模拟的结果相当接近[图7（c）和7（d）]。在递归方程和模拟中，我们使用相同的初始条件，φJ=φS=5×10-4.初级违约isRJ的阈值=0.18，如图3所示。请注意，在图7中，当一个大的级联发生时，许多节点处于初级默认状态，但许多节点处于非高级默认状态，当且仅当（粗略地说）有比初级贷款更多的高级贷款时。[看看图7（b）和图7（d）左侧的黑暗区。]在实践中，我们最关心的是任何类型的破产数量是否很大。因此，我们对Sec最佳资历比的定义。