考虑交易对手风险和抵押的衍生品定价：A

对于所有三个合同，算法都在n=5处停止。= = 2.= = 1.= = 0.01P（n）（0,10） P（n）（0,10） P（n）（0,10）n=0.0-0-0 n=1-0.1197 0.9048-0.1293 0.9048-0.1326 0.9048n=2-0.1387 0.0992-0.1490 0.0992-0.1526 0.0992n=3-0.1377 0.0060-0.1479 0.0060-0.1515 0.0060n=4-0.1377 0.0002-0.1480.0002-0.1516 0.0002n=5-0.1377<10-5-0.1480 < 10-5-0.1516 < 10-5表2:MtM值与即期价格s=10（按货币计算）和m=m=1的看涨期权价差合同条款P（0，s）的收敛性。参数：K=10，T=2，T=0，r=2%，σ=25%，λ（0）=3%，λ（1）=5%，λ（2）=15%，r=40%，r=40%，δ=δ=0 = 10-5，\'S=40，S=0.01，t=1/1000。让我们想象一下图1（左）中MtM值与CR规定P（n）（0，s）的收敛情况。使用“公差级别” = 10-5对于每次迭代的最大差异，算法在4次迭代后停止。我们可以看到，价格函数P（3）（0，s）和P（4）（0，s）在0上≤ s≤“\'S=40”无法明显区分。10 11 12 13 14 15 16 17 18-0.2-0.100.10.20.30.40.50.60.7现货价格合同价值n=4n=3n=2n=16 7 8 9 10 11 13 14-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6现货价格合同价值CRF值无备付条款图1：（左）MtM值与s的看涨差价P（0，s）的收敛性∈ [10, 18].（右）买入价差{∏（0，s），bP（0，s），P（0，s）}的三个MtM值与现货价格的比较。参数如表2所示。在图1（右）中，我们绘制了0的三个不同值∏（0，s）、bP（0，s）和P（0，s）≤ s≤如我们所见，这三个值的顺序可能会完全取决于现货价格。例如，对于较大的现货价格，我们观察到CRF值主导其他两个MTM值，但当现货价格较小时，CRF值最低。

此外，无准备金的价值在高现货价格准备金的价值中占主导地位，而低现货价格准备金的价值则相反。接下来，我们将研究MtM值对交易对手或自身违约风险、抵押比率和有效抵押率的敏感性。在图2中，MtM值在交易对手违约率（左）中下降，在参与者自身违约率（右）中上升，这是直观的。请注意，有准备金的MtM值相对于交易对手违约率的变化更快，但无准备金的MtM值对交易对手自身的违约率更为敏感。在图3（左）中，δ的增加减少了交易对手的风险敞口，因此增加了有无交易对手风险准备金的MtM值。当抵押比率超过1时，合同价值的增长速度减慢。在过度抵押范围[1,1.2]中，第1方不再面临交易对手的违约风险。合同价值的增加（从甲方的角度来看）是由于在甲方违约时收取超额抵押品的可能性造成的。在实践中，如果参与者的融资成本率很高，有效抵押品利率可能会带来好处（见Burgard and Kjaer（2011））。这意味着参与者因抵押而对多头头寸支付净利息。

随着有效抵押品利率变得更为负，我们在图3的右面板上观察到，有准备金和无准备金的合同价值都会下降。0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.360.380.40.420.440.460.480.5λ（2）无准备金的合同价值CRF值有准备金的合同价值0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20.390.40.410.420.430.440.450.460.470.480.49λ（1）无准备金的合同价值有准备金的合同价值图2：（左）有准备金和无准备金的合同价值CRF中的MtM值均在违约率中下降λ（2）与λ（1）=15%。（右）MtM值在λ（1）中增加，λ（2）=15%。随着λ（2）或λ（1）的变化，CRF值保持不变。参数：= = 0.01，m=m=1，s=15，K=10，T=2，T=0，r=2%，σ=25%，λ（0）=3%，r=r=40%，δ=δ=0%，c=c=1% = 10-5.S=0.05，t=1/250。我们在图4中展示了看涨差价的买入卖出价格PBPSO。在假设参与者无违约的左侧面板上，我们观察到三种价格的主导地位：Ps≥ Π ≥ PB然而，在双边交易对手风险的情况下，价格的顺序在货币内（ITM）和货币外（OTM）范围内是不同的。我们看到∏≥ 附言≥ PBM在ITM范围内，但Ps≥ PB≥ 在OTM范围内。0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20.390.40.410.420.430.440.450.460.470.480.49δ（2）有准备金但无准备金的合同价值-0.05-0.04-0.03-0.02-0.01 00.4640.4660.4680.470.4720.4740.4760.4780.480.4820.484有备付无备付的合同价值图3：（左）有备付和无备付的看涨期权价差的MtM值在交易对手的违约率δ中降低。（右）在参与者的有效共同利率c中，通话价差的MtM值正在增加∈ [-5%, 0%].

参数：= = 0.01，m=m=1，s=15，K=10，T=2，T=0，r=2%，σ=25%，λ（0）=3%，λ（1）=5%，λ（2）=15%，r=r=40%，δ∈ {0%（左），100%（右）}，δ=100%，c=c=1%，\' = 10-5.S=0.05，t=1/250.6810141618-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8现货价格合同价值CRF价值投标价格要价6 8 10 12 14 16 18-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8即期价格合同价值CRF值买入价卖出价图4：在（左）单边交易对手风险λ（1）=0%，λ（2）=15%和（右）双边交易对手风险λ（1）=5%，λ（2）=15%下，有交易对手风险准备金的买入价差买入价和卖出价。其他参数与图2.4.2所示相同。股票远期合约通常在场外市场交易。以股票S为基础资产，我们考虑到期日为T的远期合约。初始远期价格Fis的设定使合同在开始时为零值。当标的股票违约时，股价为零，买方必须支付贴现价值e-r（T）-τ） 默认时间。合同现金流由三元组（g、h、l）=（ST）描述- F、 0，-E-r（T）-τ） F）。随着基础股价随时间变化，MtM价值也会变化。有准备金（见（4.5））的长期远期合同P（t，s）的MtM值使用算法1计算。在表3中，我们展示了当股票价格S=20，初始远期价格F=10时，t=1时MtM值的收敛结果。每个案例的第一列显示了每一步的远期合约价值n∈ {1, ..., 6}. 每种情况的第二列显示了关于上确界范数kP（n）的误差-P（n）-1） k∞在整个域[0，T]×D上，且公差为\' = 10-5在这两种情况下，算法都停止在n=6。迭代次数可能取决于初始值P（0），阈值\' 和上限。

正如我们所观察到的，对于足够大的上界∈ {30,40}，收敛价格是相同的。S=20’S=30’S=40数值 价值n=0.0-0 n=18.6900 17.5592 8.6900 26.4284n=27.6124 2.13917.6124 3.2034n=37.6777 0.1289 7.6777 0.1927n=47.6751 0.0052 7.6751 0.0077n=57.6752 0.0002 7.6752 0.0002n=67.6752<10-57.6752 < 10-5表3:t=1时现货价格S=20时远期合约价值与最大股价的收敛性∈ {30（左栏），40（右栏）}。其他常见参数：F=10，T=3，r=2%，σ=25%，λ（0）=3%，λ（1）=5%，λ（2）=15%，r=40%，r=40%，δ=0，\'\' = 10-5.S=0.05，t=1/500。在时间t，当股票价格为s时，远期合约的CRF值由∏（t，s）=（s）给出- E-r（T）-t） F）。（4.6）为了计算无交易对手风险准备金的长期远期合同BPB的MTM值，我们将（4.6）应用于（2.14）并获得BPB（t，s）=∏（t，s）+Et，s中兴通讯-（r+λ）（u）-（t）(β - α） π+（u，Su）- β∏（u，Su）du= π（t，s）+Et，s中兴通讯-（r+λ）（u）-（t）(β - α） （苏- E-r（T）-u） F）+- β（Su- E-r（T）-u） F）杜= π（t，s）+ZTte-λ（u）-（t）(β - α） 呃，她-r（u）-t） （苏- E-r（T）-u） F）+i- β（s）- E-r（T）-u） F）杜。为了简化上述等式，我们注意到-r（u）-t） （苏- E-r（T）-u） F）+i=CBS（t，s；t，e）-r（T）-u） F，r+λ（0），σ）。我们对卖方的MtM价值采用类似的论点，并总结如下。提议4.1。无交易对手风险准备金的股票期货的无交易对手风险准备金的买卖价格bPb（t，s）和BPS（t，s）由bPb（t，s）=∏（t，s）+ZTte给出-λ（u）-（t）(β - α） 哥伦比亚广播公司（u，s；T，e）-r（T）-u） F，r+λ（0），σ）- β（s）- E-r（T）-t） F）du，bPs（t，s）=∏（t，s）+ZTte-λ（u）-（t）(α - β） 哥伦比亚广播公司（u，s；T，e）-r（T）-u） F，r+λ（0），σ）- α（s）-E-r（T）-t） F）du，其中∏（t，s）满足（4.6）。公平远期价格使合同的MtM价值在合同开始时等于零。（4.6）中的CRF值意味着F=er TS。

然而，存在双边交易对手风险的公平远期价格是隐含的。准确地说，公平远期价格F*持有多头（或空头）头寸，交易对手风险准备金满足的MtM值为esPb（0，S；Fb）=0（或Ps（0，S；Fs）=0）。在图5中，我们绘制了带有交易对手风险准备金的远期合同的买入卖出价格PBP和PSO以及CRF值。在左边的面板上，这三个值都随着基础股价的上涨而增加。与看涨差价情况类似，价格顺序从∏变为∏≥ 附言≥ PBM在ITM至Ps范围内≥ PB≥ 在OTM范围内。在右图中，随着交易对手违约率的增加，两个MtM值都显著下降。然而，与图2.6 8 10 12 16 18类似，有准备金的MtM移动更快-4.-202468即期价格合同价值CRF价值带准备金投标带准备金0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.23.43.63.844.24.44.64.8λ（2）合同价值CRF价值不带准备金图5：（左）时间0的股票远期价值在即期价格中增加。公平远期价格是合同价值为零的现货价格。（右）当F=10、t=1和t=3时，期货交易对手的违约率λ（2）中的MtM远期合约价值正在下降。参数：r=2%，σ=25%，λ（0）=3%，λ（1）=5%，r=40%，λ（2）=15%，r=40%，δ=0，\' = 10-5.S=0.05，t=1/500。备注4.2（总回报掉期）。总回报掉期（TRS）也作为股票远期的替代品在场外交易。掉期买方将在掉期到期日T，ST收到股权价值的增加- 另一方面，买方持续支付溢价≥ r直至到期日，并向掉期卖方支付到期日股权价值的减少额。

TRS表示为三重态（ST- s-P-硒-r（T）-τ） ）.4.3具有正收益的索赔有些衍生品具有正收益，即三重态g、h、l≥ 0，包括看涨期权、看跌期权和数字期权。对于这两种约定，价格函数的非线性性质消失了，因为我们可以用线性函数sp（t，s）和∏（t，s）代替（3.6）和（3.8）中的非线性函数P+（t，s）和∏（t，s）。根据这一观察结果，我们推导出了具有正支付的导数的买卖价格公式。命题4.3。对于g，h，l的任何索赔≥ 0，交易对手风险准备金满足YPB（t，s）=Et，s的买卖价格E-（r+α+λ（0））（T-t） g（ST）+ZTte-（r+α+λ（0））（u-t） （h（Su）+λ（0）l（u，Su））du, （4.7）Ps（t，s）=Et，sE-（r+β+λ（0））（T-t） g（ST）+ZTte-（r+β+λ（0））（u-t） （h（Su）+λ（0）l（u，Su））du. （4.8）在没有交易对手风险规定（见备注2.1）的情况下，买卖价格满足ybpb（t，s）=∏（t，s）- Et，sZTtαe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du, （4.9）bPs（t，s）=∏（t，s）- Et，sZTtβe-（r+λ）（u）-t） π（u，Su）du. （4.10）我们将这些结果应用于可违约股票的看涨期权。例4.4。有准备金的欧式看涨期权的投标价格由PB（t，s）=e给出-α（T）-t） CBS（t，s；t，K，r+λ（0），σ）。（4.11）此外，无准备金的欧洲看涨期权的投标价格由BPB（t，s）给出=1.-αλ(1)+ λ(2)1.- E-（λ（1）+λ（2））（T-（t）CBS（t，s；t，K，r+λ（0），σ）。（4.12）在（4.11）和（4.12）中，投标价格有两个组成部分：看涨期权的CRF值，即Black-Scholes价格，以及取决于参数α的乘数（见（4.2））。首先，假设α=0。例如，当合同完全抵押且有效的共同利率为零，即δ=c=0时，就会发生这种情况。在这种情况下，两个投标价格都与CRF值∏（t，s）=CBS（t，s；t，K，r+λ（0），σ）相同。

当合同被乙方欠抵押时，参数α为正，即δ<1。在这种情况下，看涨期权买方面临交易对手违约风险，因此，投标价格低于CRF值∏（t，s）。另一方面，当合同被第二方过度抵押且抵押率可忽略时，α变为负值，即δ>1且c=0。由于买方只返回一小部分，因此买方从ExcepsCollateral获得额外的财务收益- 买方违约时，支付超额抵押金额。因此，投标价格高于CRF值。图6显示了不同到期日和现货价格的两个投标价格（有准备金和无准备金）。我们观察到无准备金价格对有准备金价格的主导作用。此外，两种价格的差异随着到期日或现货价格的增加而增加。这种更大程度的差异是由于交易对手风险敞口的差异随着到期日的增加而增加。下一个我们推导出了买入-卖出价格和正支付索赔的CRFv价值的价格主导关系。5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150123456无准备金的股票价格买入期权价格无准备金0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.511.522.53到期无准备金的买入期权价格图6：有和无交易对手风险的买入期权的买入价格股票价格上涨∈ [5,15]（左）和成熟期∈ [0,5]（右）。参数：λ（0）=5%，λ（2）=10%，S=10，T=1，T=0，r=2%，σ=25%，r=r=40%，K=S=10，δ=δ=0。提案4.5。考虑任何关于三元组g，h，l的声明≥ 0.如果α，β≥ 0，则以下价格优势关系成立：bPb（t，s），bPs（t，s）≤ π（t，s）和Pb（t，s），Ps（t，s）≤ π（t，s）。

（4.13）此外，如果λ（1）+λ（2）≥ α, β ≥ 0，那么我们有pb（t，s）≤bPb（t，s）≤ π（t，s）和Ps（t，s）≤bPs（t，s）≤ π（t，s）。（4.14）我们在附录a.3中提供了证据。在有效抵押品利率c、care远低于交易对手/自身违约率λ（1）、λ（2）的市场条件下，满足（4.13）和（4.14）的条件。反过来，由于买方（和卖方）的MtM价值（以备付金假设B（和Ps）作为清算价值，在没有（4.13）备付金的情况下低于清算价值∏，这意味着（4.14）中的价格主导关系，如图6.5所示，具有交易对手风险的可违约固定收益衍生品。我们现在考虑双边交易对手风险设置下的可违约固定收益索赔。我们通过两种不同的方法对

从（2.13）中，带有交易对手风险准备金的MTM值由p（t，x）=Et，x给出E-RTt（r（u）+λ（u，Xu））dug（XT）+ZTte-Rut（r（v）+λ（v，Xv））dvf（u，Xu，Pu）du, 其中f（t，x，y）=h（x）+λ（0）（t，x）l（t，x）+（λ（1）（t，x）+λ（2）（t，x）- β（t，x））y+（β（t，x）- α（t，x））y+。参数α（t，x）和β（t，x）的定义与定义（2.10）和（2.11）类似。注意到（5.1）中的P（t，x）是（2.13）中P（t，s，x）的特例，我们使用算法1通过迭代求解以下PDE来确定MTM值：P（n）t+LXP（n）- （r（t）+λ（t，x））P（n）+f（t，x，P（n）-1） ）=0，（5.2）表示（t，x）∈ [0，T）×R，其中P（n）（T，x）=g（x）表示x∈ R（x）∈ R+代表CIR案例）。无交易对手风险准备金的MTM值BP（t，x）类似地通过将（5.1）右侧的P（u，Xu）替换为∏（u，Xu）获得。对于数值例子，我们假设利率r为常数，违约率λ（1）和λ（2）为常数。参考默认强度由λ（0）t=（Xt）建模+∧ 换句话说，我们在参考默认强度上施加一个上界X和一个下界X=0，这允许我们在定理3中应用我们的收缩映射结果。3.为了实施，我们应用FDM和第3.2节至第（5.2）节中的算法1，以获得带有交易对手风险准备金的MTM值。5.1信用违约互换（CDS）2008年金融危机后，CDS合同以一种新的标准化方式进行交易，保护买方按照固定的溢价率支付，并在合同开始时支付非零（正/负）预付款。违约事件{τ}上写的CDS合约的多头头寸≤ T}用三重态表示法（0，-p、 1）。在表4中，我们展示了CDS MtM值的收敛性。每个模型的第一列和第二列分别显示了x=2%和x=8%时的CDS值。