考虑交易对手风险和抵押的衍生品定价：A

为了简化，我们引入了以下符号r（t，s，x）=r（t，x）+λ（t，s，x），（2.9）α（t，s，x）=Lλ（2）（t，s，x）（1）- δ)+- Lλ（1）（t，s，x）（δ）- 1） ++cδ，（2.10）β（t，s，x）=Lλ（1）（t，s，x）（1）- δ)+- Lλ（2）（t，s，x）（δ）- 1） ++cδ，（2.11）f（t，s，x，y）=h（s，x）+λ（0）（t，s，x）l（t，x）+（λ（1）+λ（2）- β） （t，s，x）y+（β- α） （t，s，x）y+。（2.12）这允许用等效但简化的形式表示（2.8）：P（t，s，x）=Et，s，xE-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-车辙rvdvf（u、Su、Xu、Pu）du, （2.13）其中rt≡ §r（t，St，Xt）如（2.9）所定义。备注2.1。作为带有CR条款的MtM价值的替代方案，违约时的清算价值可以评估为索赔的CRF价值。换句话说，在默认时间τ<τ时，清算值被评估为∏τ，而不是Pτ。将Puin（2.13）替换为∏ufort≤ U≤ T给出了无CR规定的MtM值（见Henry Labord`ere（2012））：bP（T，s，x）=Et，s，xE-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-车辙rvdvf（u，苏，许，u）杜. （2.14）为了结束本节，我们总结了表1中的符号及其财务含义，我们将在本文中经常使用这些符号。符号定义第一方的符号定义∈ {1,2}P有CR准备金的MtM值Ri回收率BP无CR准备金的MtM值有效抵押率∏CRF值δi抵押比率τ参考资产违约时间τ理想故障时间λ（0）参考资产违约强度λ（i）违约强度表1：注释汇总。2.2买卖价格在场外交易中，市场参与者，如交易商，可以作为买方多头仓位，也可以作为卖方空头仓位。在没有交易对手风险的情况下，买方的CRF投标价格∏b（t，s，x）为带payoff（g，h，l）的索赔，由（2.4）给出。通过将（g、h、l）替换为(-G-H-l） ，其负值给出卖方的CRF要价∏s（t，s，x）。

实际上，买卖价格是相同的，即∏b（t，s，x）=∏s（t，s，x）。与交易对手风险准备金的情况类似，买方的投标价格为Pb（t，s，x）=P（t，s，x），如（2.13）所示。卖方的要价由ps（t，s，x）=Et，s，x给出E-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-车辙rvdv f（u、Su、Xu、Psu）du, 其中f（t，s，x，y）=h（s，x）+λ（0）（t，s，x）l（t，x）+（λ（1）+λ（2）- β） （t，s，x）y- (β - α） （t，s，x）y-. （2.16）由于f（t，s，x，y）不同于（2.12）中的f（t，s，x，y），在存在双边交易对手风险的情况下，CRF价格中观察到的对称性通常不再成立。最重要的是，这种不对称产生了可违约索赔的买卖价差。对于任何带有反对方风险条款的合同，参与者可以报价两种价格：作为买方的Pb（t，s，x）或作为卖方的Ps（t，s，x）。此外，由于支付成分（g、h、l）可能为负，因此出价和/或要价也可能为负（见图4）。总估值调整（XVA）定义为MtM值与CRFv值的偏差，即∏- PBP用于长位置和Ps- 对于空头仓位∏。包含CR条款的XVA的投标报价定义为S（t，S，x）=Ps（t，S，x）- Pb（t，s，x）。（2.10）和（2.11）中出现在f和f中的两个因素α和β总结了反对党风险和抵押对买卖价格的影响。具体而言，α解释了MtM值P+U的正面交易对手风险敞口的影响，而β解释了负面风险敞口的影响-u、 当两个参数具有相同的值（α=β）时，（2.12）和（2.16）中的两个函数f和f是相同的。因此，买卖价格PBP和PSA是相等的。

这种价格对称性也出现在许多其他情况下：（i）当双方都有完美的抵押比率（δ=δ=1）和相同的有效抵押率（c=c）；（ii）当双方具有相同有效违约率（Lλ（1）=Lλ（2））的零抵押比率（δ=δ=0）时，以及（iii）当双方具有相同有效违约率和抵押比率（Lλ（1）=Lλ（2），δ=δ）的相同有效抵押比率（c=c）时。备注2.2。当交易对手的无风险价值∏用于估算清算价值时，卖方的投标价格由bps（t，s，x）=Et，s，x给出E-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-车辙rvdvf（u，苏，许，∏u）杜, （2.17）其中（2.16）中定义了f。与（2.13）相反，LHS上的价格函数不出现在RHS上。3定点法定义方程（2.13）具有递归形式，其中价格函数P出现在两侧。用D表示空间域：=R+×R。对于任何函数w∈ Cb（[0，T]×D，R），我们通过（Mw）（T，s，x）=Et，s，x来定义运算符ME-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-车辙rvdvf（u，苏，徐，w（u，苏，徐））杜. （3.1）然后，我们从（2.13）中认识到，有交易对手风险准备金的MtM值满足P=MP。这促使我们证明算子M有唯一的固定点，因此保证了MtM值P的存在性和唯一性。我们首先说明（3.1）中定义的算子保持有界性和连续性，以此讨论我们的定点方法。为此，我们根据Heath和Schweizer（2000）概述了一些情况。（C1）我们定义Γ（t，s，x）=“r（t，x）+λ（0）（t，s，x）b（t，x）#和∑（t，s，x）=”σ（t，s）s0ρη（t，x）p1- ρη（t，x）#。系数Γ和∑在s和x中是局部Lipschitz连续的，在t中是一致的。

也就是说，对于D的每个紧致子集F，都有一个常数KF<∞ 对于ψ∈ {Γ，∑}，|ψ（t，s，x）- ψ（t，s，x）|≤ KF | |（s，x）- （s，x）|T∈ [0，T]，（s，x），（s，x）∈ F、 其中k·k是R.（C2）中所有（t，s，x）的欧氏范数∈ [0，T）×D，溶液（S，X）在T之前既不爆炸也不离开D，即Qsupt≤U≤Tk（苏，徐）k<∞!= 1和Q（苏旭）∈ DU∈ [t，t]= 1.（C3）函数h和g是有界连续的，r，l和λ（i），i∈ {0,1,2}是正的、连续的和有界的。引理3.1。给定任意函数w∈ Cb（[0，T]×D，R），因此v:=Mw∈ Cb（[0，T]×D，R）。证据v的有界性直接来自于w、h、g、r和λ（i）（见条件（C3））。为了证明v的连续性，我们首先观察到（t，s，x）7→ E-RTtrudug（ST，XT）+ZTte-Rutrvdvf（u，Su，Xu，w（u，Su，Xu））du（3.2）是连续的Q-a.s.实际上，（s，X）的连续性意味着映射（t，s，X）7→ g（ST，XT）是连续的Q-a.s.也是（t，s，x，u）7→ ~r（u，Su，Xu）和（t，s，x，u）7→ f（u，Su，Xu，w（u，Su，Xu））在[0，T]×D×[T，T]的紧子集上一致连续且有界。因此，mappingin（3.2）是连续的Q-a.s。回想一下，v=Mw是（3.2）中RHS的期望值，这是有界连续的，因此v对于（t，s，x）也是连续的∈ [0，T]×D由支配收敛定理决定。3.1收缩映射接下来，我们证明映射M是一个收缩。通过α（t，s，x）、β（t，s，x）和λ（i）（t，s，x）对i的有界性∈ {0,1,2}，我们可以定义一个有限的正常数byL=sup（t，s，x）∈[0，T]×Dn |λ（1）（T，s，x）+λ（2）（T，s，x）- β（t，s，x）|+|β（t，s，x）- α（t，s，x）| o.命题3.2。（3.1）中定义的映射是空间Cb（[0，T]×D，R）上关于normkwkγ：=sup（T，s，x）的收缩∈[0，T]×De-γ（T）-t） |w（t，s，x）|，（3.3）表示L<γ<∞. 特别是，M有一个唯一的固定点w*∈ Cb（[0，T]×D，R）。证据

从（2.12）中，我们观察到| f（t，s，x，y）-f（t，s，x，y）|≤ L|y-y |，代表（t，s，x）∈ [0，T]×D。这意味着f在y上是Lipschitz连续的，在（T，s，x）上是一致的。通过引理3.1，算子将Cb（[0，T]×D，R）映射到自身中。对于（t，s，x）∈ [0，T]×D，w，w∈ Cb（[0，T]×D，R）和γ>0，我们有-γ（T）-t） |（Mw）（t、s、x）- （兆瓦）（t，s，x）|=e-γ（T）-（t）Et，s，x中兴通讯-车辙rvdv（f（u，苏，徐，w（u，苏，徐）- f（u，苏，徐，w（u，苏，徐））杜（一）≤ E-γ（T）-t） Et，s，xZTtf（u，苏，徐，w（u，苏，徐）- f（u，苏，徐，w（u，苏，徐））杜（二）≤ E-γ（T）-t） Et，s，x中兴通讯-γ（T）-u） L | w（u、苏、徐）- w（u，Su，Xu）| eγ（T）-u） 杜（三）≤ E-γ（T）-t） Lkw- wkγZTteγ（T-u） 杜≤Lγ千瓦- wkγ。我们使用的条件是≥ 对于（i）为0，而对于（ii）f是y中的Lipschitz。不等式（iii）由（3.3）中的规范隐含。因此，对于任何γ>L≥ 0，M代表牵引力。范数k·kγ等价于上确界范数k·k∞在空间Cb（[0，T]×D，R）上。Becherr和Schweizer（2005年）以及Leung和Sircar（2009年）在研究差异定价引起的反应差异偏微分方程时使用了相似的标准。利用命题3.2中证明的M是一个收缩的事实，存在一个函数序列（P（n））n≥0满足P（n+1）=MP（n），N≥ 0，序列收敛到执行点P。收敛不依赖于初始函数的选择。实际上，我们可以简单地将任何有界连续函数作为起点，例如P（0）=0（t，s，x），迭代得到一个序列（P（n））n≥存在于Cb中的0（[0，T]×D，R）。此外，我们可以证明，对于每个n≥ 1，P（n）≡ P（n）（t，s，x）是下列非齐次偏微分方程问题的经典解：P（n）t+LP（n）- ~r（t，s，x）P（n）+f（t，s，x，P（n）-1） ）=0，P（n）（T，s，x）=g（s，x），（3.4），其中算子L定义为：=σ（T，s）ss+η（t，x）x+ρη（t，x）σ（t，s）ssx+~r（t，s，x）ss+b（t，x）十、

（3.5）为了证明结果，我们需要以下附加条件，这些条件在我们的注释（A3）中进行了修改- （A3d）的希思和施韦泽（2000年）。（C4）存在一个序列（Dn）n∈带闭包的Nof有界域\'Dn D如此∪∞n=1Dn=D，每个DNC都有一个边界。正如Heath和Schweizer（2000）所说，我们可以采用Dn=[n，n]×[-n、 n] R+×R.对于每一个n，我们要求（C5）b（t，x），a（t，s，x）：=∑（t，s，x）t（t，s，x）和R（t，s，x）在[0，t]×Dn上是一致李普希兹连续的，其中∑t表示∑（C6）a（t，s，x）的转置矩阵在Rfor（t，s，x）上是一致椭圆的∈ [0，T）×Dn，即存在δn>0使得yta（T，s，x）y≥ Δnkyky∈ R、 （C7）f（t，s，x，y）在[0，t]×Dn×R上是一致H¨older连续的。条件（C1）–（C7）是相当一般的，它们允许各种模型，包括Heston、CEV和几何布朗运动模型，以及随机因子x的Ornstein-Uhlenbeck和Cox-Ingersoll-Ross模型（Heath和Schweizer，2000年，第2节）。三元组（g，h，l）、违约强度λ（i）和利率r可以很容易地选择，以满足（C3）中的有界性和连续性条件，我们将在第4节和第5节的示例中这样做。定理3.3。条件下（C1）-（C7），存在一系列有界经典解（P（n）） 收敛于固定点P的偏微分方程问题（3.4）的C1,2b（[0，T）×D，R）∈ 算子M的Cb（[0，T）×D，R）。我们在附录A.1中提供了证明。命题3.2和定理3.3的洞见是，我们可以构造和求解一系列非齐次但线性的偏微分方程，其经典解收敛到唯一的定点价格函数P，如（2.13）所示。

Burgard and Kjaer（2011年）和Henry Labord`ere（2012年）最近的研究通过以下形式的关联非线性偏微分方程来评估MtM值P（t，s，x）：Pt+LP- 对于（t，s，x）r（t，s，x）P+f（t，s，x，P）=0，（3.6）∈ [0，T）×D，终端条件P（T，s，x）=g（s，x），对于（s，x）∈ （3.6）的非线性对P的分析和数值求解提出了重大挑战。Henry Labord`ere（2012）提供了一种近似解决方案的方法，该方法涉及用非多项式替换非线性项f，并模拟显著的分支扩散。然而，这种方法不能保证模拟得到的解与非线性偏微分方程的解相似，也不能保证任一解的任何规律性，如连续性或有界性。Henry Labord`ere（2012）提供了所选多项式的条件，以避免模拟算法的“爆炸”。相比之下，我们的定点方法通过确定（2.13）中的pricingde定义是一种收缩映射，而不是使用非线性偏微分方程，从而绕过了这个问题。因此，我们用有界经典解解决了一系列线性偏微分方程问题。在极限条件下，得到了一个唯一有界的连续MtM值P。3.2数值实现我们的收缩映射方法适用于递归数值算法。如前一节所述，我们迭代求解一系列线性非齐次偏微分方程（3.4）。在每次迭代中，误差是根据两个连续解P（n）和P（n）之间的最大差值来测量的-1） 在整个域[0，T]×D上。我们继续迭代过程，直到误差小于预先定义的公差水平.在实施过程中，我们使用标准的Crank-Nicolson有限差分法（FDM）来获得数值（见Wilmott等人（1995）和Strikwerda（2007））。

我们将域[0，T]×D限制为一个有限的域\'D={（T，s，x）：0≤ T≤ T、 X≤ 十、≤\'X，0≤ s≤\'S}。参数S、X和X足够大，足以保持数值解的准确性。我们将函数P（n）（t，s，x）离散为P（n）（ti，sj，xk），其中i∈ {0，…，N}，j∈ {0，…，M}和k∈ {0，…，L}与t=t/N，s=\'s/M，x=（`x）- 十） /L和ti=it、 sj=js、 xk=kx、 算法1总结了我们的数值计算过程。算法1计算MtM值Pset n=1，P+=P（0）的定点算法从PDE（3.4）集中求解P（1） = kP（1）- P（0）k∞虽然 >  doset n=n+1，P+=P（n-1） 从PDE（3.4）集合求解P（n） = kP（n）- P（n）-1） k∞结束时返回P（n）对于CRF值，我们求解与∏相关的线性偏微分方程≡ （2.4）中的∏（t，s，x），即，Πt+L∏- 对于（t，s，x），r（t，s，x）π（t，s，x）+h（s，x）+λ（0）（t，s，x）l（t，x）=0，（3.7）∈ [0，T）×D，终端条件∏（T，s，x）=g（s，x），对于（s，x）∈ D.CRF值成为MtM值的PDE问题的输入，无需提供，由英国石油公司t+LbP- 对于（t，s，x），r（t，s，x）bP+f（t，s，x，∏（t，s，x））=0，（3.8）∈ [0，T）×D，bp（T，s，x）=g（s，x），对于（s，x）∈ D.我们再次应用Crank-NicolsonFDM方法来计算它们的值。备注3.4。关于默认强度有界性的假设并不封装局部强度模型，其中参考默认强度函数的形式为：λ（t，s）=cs-p、 对于某些p，c>0。参见Carr和Linetsky（2006）；卡尔和马丹（2010）；莱恩茨基（2006）；马达南德·乌纳尔（1998年）等。作为一个接近的替代方案，可以限制爆炸强度并设置λ（t，s）=cs-P∧ 对于一些任意选择的大常数M，我们的模型和合同映射结果仍然适用。

由于默认强度函数为FITE EXPTAT s=0，在使用FINITE DIFFENCE的数值实现中，可以将层s=0的默认强度设置为大值M，而不是FINITE值。4.具有交易对手风险的可违约股权衍生工具我们现在应用我们的估值方法对许多可违约股权索赔进行估值。具体而言，我们将推导并比较有无交易对手风险准备金的MtM值以及CRF值。此外，我们将分析和说明买卖价格。作为（2.2）的一个特例，我们通过DST对违约前的股价过程进行建模=r+λ（0）Stdt+σStdWt，（4.1），其中我们假设恒定利率r和违约率λ（i），i∈ {0, 1, 2}. 另外，我们设λ=Pk=0λ（k），并设α=Lλ（2）（1）- δ)+- Lλ（1）（δ）- 1） ++cδ，（4.2）β=Lλ（1）（1）- δ)+- Lλ（2）（δ）- 1） ++cδ。（4.3）4.1话费分摊让我们考虑一种带有终端支付的通用话费分摊：g（ST）=mif ST>K+,（m+m）+（圣- K） 如果K- ≤ 装货单≤ K+,-mif ST<K- ,（4.4）有m，m，, > 0，其中m/= m/=: M.其收益类似于M看涨期权的多头头寸，并带有K点-, 具有K点的M个看涨期权的空头头寸+以及相同期限的零息债券的短期债券。当两名OTC交易员以不同的行使方式买卖看涨期权，加上/减去一些现金时，可以获得类似的头寸。

像和在（4.4）归零中，报酬收敛于Henry Labord`ere（2012）中所述的数字通话头寸。在（4.4）中的终端支付，股息h=0，参考默认值l（τ）=-我-r（T）-τ） ，差价合约的CRF值接受公式∏（t，s）=M哥伦比亚广播公司（t，s；t，K）- , r+λ（0），σ）- 哥伦比亚广播公司（t，s；t，K+, r+λ（0），σ）- E-r（T）-t） 其中CBS（t，s；t，K，r，σ）是t时刻的Black-Scholes看涨期权价格，现货价格s，到期日t，履约价格K，无风险利率r和波动率σ。从（2.13）中，带有反当事人风险准备金的MtM值由p（t，s）=Et，s给出E-（r+λ）（T）-t） g（ST）+ZTte-（r+λ）（u）-t） f（u，Su，Pu）du, （4.5）式中f（t，s，y）：=λ（0）l（t）+（λ（1）+λ（2）- β） y+（β- α） y+。用∏u代替Puin（4.5），同样获得了不含对抗性风险规定的MtM值BP（t，s）。在（4.1）中，s的模型，三重（g，h，l）和其他（常数）系数满足条件（C1）-（C7），域D=R+（另见（Heath和Schweizer，2000年，第2节））。我们通过第3.2节中的算法1计算MtM值P（t，s）。对于迭代PDE（3.4），我们采用本节中的系数和（4.4）中给出的终端支付（ST）。在表2中，我们展示了MtM值与三种不同合同条款的一致性，其中= = {2, 1, 0.01}. 每份合同的第一列显示了每一步在s=10点的合同MtM值≤ N≤ 5.每份合同的第二栏显示了UPREMUM规范 = kP（n）- P（n）-1） k∞每一步0≤ N≤ 5.