考虑交易对手风险和抵押的衍生品定价：A

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英文标题：
《Pricing Derivatives with Counterparty Risk and Collateralization: A
  Fixed Point Approach》
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作者：
Jinbeom Kim, Tim Leung
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies a valuation framework for financial contracts subject to reference and counterparty default risks with collateralization requirement. We propose a fixed point approach to analyze the mark-to-market contract value with counterparty risk provision, and show that it is a unique bounded and continuous fixed point via contraction mapping. This leads us to develop an accurate iterative numerical scheme for valuation. Specifically, we solve a sequence of linear inhomogeneous PDEs, whose solutions converge to the fixed point price function. We apply our methodology to compute the bid and ask prices for both defaultable equity and fixed-income derivatives, and illustrate the non-trivial effects of counterparty risk, collateralization ratio and liquidation convention on the bid-ask spreads.
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中文摘要：
本文研究了具有参考和交易对手违约风险的金融合同的价值评估框架。我们提出了一种不动点方法来分析带有交易对手风险准备金的按市值计价合同价值，并通过收缩映射证明了它是唯一有界的连续不动点。这导致我们开发了一个精确的迭代数值估值方案。具体来说，我们求解一系列线性非齐次偏微分方程，其解收敛于不动点价格函数。我们应用我们的方法来计算可违约股票和固定收益衍生品的买入和卖出价格，并说明交易对手风险、抵押比率和清算惯例对买卖价差的非平凡影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_Derivatives_with_Counterparty_Risk_and_Collateralization:_A_Fixed_Point_.pdf (549.91 KB)

2022-5-7 09:37:52 上传

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关键词：衍生品定价 衍生品 counterparty fixed-income Quantitative

具有交易对手风险和抵押的衍生产品定价：一种定点方法Jinbeom Kim*Tim Leung+2015年1月25日摘要本文研究了金融合同的估值框架，该框架受参考和交易对手违约风险以及抵押要求的影响。我们提出了一种固定点方法来分析按市值计价的合同价值和交易对手风险准备金，并通过收缩映射证明这是一个唯一的有界和连续的固定点。这导致我们开发出精确的迭代数值估值方案。具体来说，我们求解一系列线性齐次偏微分方程，其解收敛于定点价格函数。我们运用我们的方法计算了可违约权益和固定收益的买入和卖出价格，并说明了交易对手风险、抵押比率和清算惯例对买卖价差的非平凡影响。关键词：双边交易对手风险、抵押、信用估值调整、定点法、收缩映射JEL分类：G12、G13、G23、C63内容1简介22模型公式42.1按市值计提交易对手风险准备金。42.2投标报价。73固定点法83.1收缩映射。93.2数字实现。114交易对手风险为134.1看涨息差的可违约股票衍生品。134.2股票远期。164.3正赔付索赔。

。185具有交易对手风险的可违约固定收益衍生品205.1信用违约掉期（CDS）。215.2总回报掉期（TRS）。22*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约NY 10027。电子邮件：jk3071@columbia.edu.+相应的作者。哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027。电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.6结论23A附录24A。1定理3.3的证明。24A。2命题4.3的证明。24A。3命题4.5的证明。26A。4具有OU和CIR参考违约强度的CRF CDS和TRS价格。261引言交易对手风险在2008年金融危机期间发挥了重要作用。根据国际清算银行（BIS）的数据，危机期间三分之二的交易对手风险损失来自MtM估值中的交易对手风险调整，而其他损失则是由于实际失误造成的。为了考虑交易对手风险，最近的监管变化，如Baselii，在计算资本要求时纳入了交易对手风险调整。另一方面，衍生品市场上抵押品的使用急剧增加。根据国际掉期和衍生品协会（ISDA）2013年进行的调查，场外交易（OTC）市场中所有受抵押品协议约束的交易的百分比从2003年的30%增加到2013年的73.7%。

OTC市场参与者继续在各种合同的MtM估值方法中调整抵押和交易对手风险调整，包括远期、总回报掉期、利率掉期和信用违约掉期。当OTC市场参与者与交易对手进行金融债权交易时，交易对手不仅面临标的资产的价格变化和违约风险，还面临交易对手的违约风险。为了反映MtM估值中的交易对手违约风险，除了索赔的交易对手无风险价值外，还计算了三项调整。虽然信用估值调整（CVA）考虑了交易对手违约的可能性，但债务估值调整（DVA）的计算是为了调整参与者自身的违约风险。此外，抵押利息支付和借款成本会产生融资估值调整（FVA）。在行业中，将CVA、DVA、FVA和抵押结合起来的估值调整称为总估值调整（XVA）。在本文中，我们研究了XVA财务合同的估值框架。我们考虑两种当前的市场惯例来计算价格。这两种惯例的主要差异在于违约时清算价值的假设——无交易对手风险价值或有交易对手风险准备金的MtM价值。Brigo等人（2012年）和Brigo andMorini（2011年）表明，两个公约下的价值存在显著差异，并对净债务人和债权人产生重大影响。根据交易对手风险准备金，MtM价值通过风险中性预期隐含定义。这给分析和计算合同价值带来了重大挑战。我们提出了一种新的定点方法来分析MtM值。

我们的方法涉及求解一系列非齐次线性偏微分方程，其经典解通过收缩映射显示见BIS新闻稿http://www.bis.org/press/p110601.pdfSurvey可在http://www2.isda.org/functional-areas/research/surveys/margin-surveys/The术语可以在卡弗（2013）和卡波尼（2013）等著作中找到。参数收敛到唯一的定点价格函数。这种方法还促使我们开发一种迭代数值方案，以计算不同市场惯例下各种金融债权的价值。在相关研究中，Fujii和Takahashi（2013）结合了BCVA和抵押不足/过度，并通过模拟计算了MtM值。Henry Labord`ere（2012）通过模拟显著的分支效应，数值求解相关的非线性偏微分方程，从而近似MTM值，并提供了避免模拟解“爆炸”的条件。Burgard和Kjaer（2011）在研究对冲策略时也考虑了类似的非线性偏微分方程，包括融资成本，并考虑了合同任何一方违约时交换的收尾付款。相比之下，我们的定点方法直接根据递归预期进行价格定义，而不是启发式地陈述和求解非线性偏微分方程。我们的压缩映射结果允许我们用有界经典解来解决一系列线性偏微分方程问题，并获得唯一的有界连续MtM值。我们的模型还提供了各种金融合同的买卖价格。对于买方和卖方来说，XVAI是不对称的。因此，对单边或双边交易对手风险进行调整会导致非零买卖价差。换句话说，交易对手风险表现为市场摩擦，导致场外交易的交易成本。

此外，我们还将检查各种参数的影响，如违约率、回收率、抵押比率和有效抵押利率。我们发现，较高的交易对手违约率和融资成本会降低MtM价值，而市场参与者自身的违约率和抵押率会产生正向价格效应。对于具有正收益的债权，如看涨期权和看跌期权，我们建立了许多价格主导关系。特别是，当抵押品利率较低时，投标报价主要由交易对手的无风险价值决定。此外，当我们使用MtM价值而不是交易对手无风险价值作为清算价值时，买卖价格会下降。最近的监管变化和危机后对交易对手风险的感知推动了对XVA分析的研究。Brigo等人（2014年）考虑一个无套利估值框架，该框架包含双边交易对手风险和可能再抵押的抵押品。Capponi（2013）研究了交易对手风险的无套利估值，并分析了违约相关性、抵押品迁移频率和抵押品再抵押对抵押CVA的影响。汤普森（2010）分析了交易对手风险对保险合同的影响，并考察了保险公司的道德风险。Brigo and Chourdakis（2009）专注于CDS的估值，其交易对手风险与参考违约相关。Hull and White（2012）研究了错误方向风险——由投资组合回报和交易对手违约风险之间的相关性产生的额外风险。让我们概述一下论文的其余部分。在门派里。2.我们制定了抵押下具有违约风险和交易对手违约风险的一般金融债权的MtM估值。昆虫3.我们提供了一个不动点定理和一个用于估值的递归算法。在门派里。

4.我们计算各种可违约权益索赔的MtM值，并得出其买卖价格。昆虫5.我们应用我们的模型为许多可违约的固定收益索赔定价。门派6.总结这篇论文，附录中有一些较长的证据。2模型公式在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 Q），其中Q是风险中性定价度量。在我们的模型中，有三个可违约方：参考实体、市场参与者和合作伙伴经销商。我们将它们分别表示为第0、1和2方。partyi的默认时间τiof∈ {0,1,2}由外生双随机泊松过程的第一跳时间建模。准确地说，我们定义了τi=infT≥ 0:Ztλ（i）udu>Ei, （2.1）其中{Ei}i=0,1,2是独立于强度过程（λ（i）t）t的单位指数随机变量≥0，我∈ {0, 1, 2}. 自始至终，每个强度过程都被假定为马氏形式λ（i）t≡ λ（i）（t，St，Xt）对于某些有界正函数λ（i）（t，s，x），由违约前股票价格s和满足SDEsdSt=（r（t，Xt）+λ（0）（t，St，Xt））Stdt+σ（t，St）StdWt，（2.2）dXt=b（t，Xt）dt+η（t，Xt）d＠Wt（2.3）这里，（Wt）t≥0和（Wt）t≥0是Q下具有瞬时相关参数ρ的标准布朗运动∈ (-1, 1). 无风险利率用rt表示≡ 一类有界正函数的r（t，Xt）。在默认时间τ，股票价格将跳至零值，然后保持一文不值。

S的这种“跳转到违约模型”是默顿（1976）、卡兰·莱恩茨基（2006）和门多萨·阿里加和莱恩茨基（2011）的模型的一个变体。2.1按市值计价并提供交易对手风险准备金可违约索赔由三元组（g，h，l）描述，其中g（ST，XT）是到期时的支付，（h（ST，XT））0≤T≤这是分红过程，l（τ，Xτ）是参考实体在默认时间τ的支付。我们假设持续抵押是当前市场的合理替代品，在当前市场中，每日或日内追加保证金很常见（见Fujii和Takahashi，2013）。为partyi∈ {1，2}，我们用δ表示索赔MtM价值的抵押品覆盖率。我们使用range0≤ δi≤ 120%，因为交易商通常要求信用或股权相关票据的过度抵押高达120%（见Ramaswamy，2011年，表1）。我们首先考虑无双边交易对手风险的可违约索赔的定价。我们称之为交易对手无风险（CRF）价值。准确地说，带有（g，h，l）的可违约索赔的除息违约前时间t CRF值由∏（t，s，x）：=Et，s，x给出E-RTt（ru+λ（0）u）挖（ST，XT）+ZTte-车辙（rv+λ（0）v）dvh（Su，Xu）+λ（0）ul（u，Xu）杜.（2.4）简写符号Et，s，x[·]：=E[·| St=s，Xt=x]表示给定St=s，Xt=x的Q下的条件预期。考虑交易对手风险，我们假设τ=min{τ，τ，τ，τ}，这是强度函数λ（t，s，x）=Pk=0λ（k）（t，s，x）的三方之间的第一次违约时间。相应的三个默认事件{τ=τ}、{τ=τ}和{τ=τ}是互斥的。如果参考实体在第一方和第二方之前违约，即τ=τ，则合同终止，且第一方在τ时间从第二方收到SL（τ，Xτ）。当市场参与者或交易对手首次违约时，即τ<τ，剩余方获得的金额取决于违约时的平仓机制。

我们采用了市场惯例，即使用带有交易对手风险准备金的MtM价值（用P表示）来计算参与者违约时的价值（见Fujii and Takahashi，2013年；Henry Labord`ere，2012年）。自始至终，我们使用符号x+=X11{x≥0}和x-= -x11{x<0}。假设第二方先假设，即τ=τ。如果默认情况下的MtM值为正（Pτ≥ 0），则只有当合同由乙方担保（δ<1）时，甲方才会产生损失，因为δP+τ的金额被担保为抵押品。因此，如果第2方的损失率为L（即1-恢复率），则第1方在τ处的总损失为L（1）- δ） +P+τ。另一方面，假设MtM值为负（Pτ<0）。只有当甲方提供的抵押物超过MtM价值Pτ，即合同抵押过度（δ），甲方才有损失≥ 1). 在这种情况下，甲方的总损失是乙方的损失率和风险敞口的乘积，即L（δ- 1） +P-τ. 因此，第1方在默认时间的剩余位置值τisPτ- L（1）- δ） +P+τ- L（δ）- 1） +P-τ. （2.5）接下来，我们考虑第一方违约的情况，即τ=τ。我们用一方的损失率表示。如果甲方违约头寸的MtM值为负值（Pτ<0），且合同处于抵押状态（δ<1），则乙方的损失为L（1-δ） +P-τ. 类似地，当MTM值为正时（Pτ≥ 0）且合同过度抵押（δ）≥ 1） ，第二方遭受的损失金额为L（δ- 1） +P+τ。由于本合同的双边性质，乙方的损失即为甲方的收益。因此，在默认时间τ，第1方位置的值isPτ+L（1- δ） +P-τ+L（δ）- 1） +P+τ。

（2.6）此外，由于抵押利率和融资利率与无风险利率不一致，市场参与者在该期间面临与抵押相关的融资成本。当合同PTI的清算价值在时间t对甲方为正值时，乙方向甲方提供抵押品δP+t。为了保留抵押品，甲方持续按照乙方的利率支付抵押品利息，直至任何违约时间或到期。另一方面，当PTI对1方不利时，1方将承受δP-向第二方提供担保品。因此，甲方按担保金额的比例收取利息。我们称之为第一方的有效抵押利率（i=1，2），即名义抵押利率减去第一方的融资成本率。如果融资成本较高，利率和ccanbe在实践中均为负值。因此，甲方有以下由抵押品和有效抵押品利率产生的现金流：{t<τ}cδP-T- cδP+t, 0≤ T≤ T（2.7）上述现金流分析表明，违约前的MtM价值（含交易对手风险（CR）准备金）由p（t，s，x）=Et，s，x给出E-RTt（ru+λu）挖（ST，XT）+ZTte-车辙（rv+λv）dvh（Su，Xu）+λ（0）ul（t，Xu）du+ZTtλ（2）ue-车辙（rv+λv）dv(1 - L（1）- δ） +）P+u- （1+L（δ）- 1） +）P-Udu+ZTtλ（1）ue-车辙（rv+λv）dv（1+L（δ）- 1） +）P+u- (1 -L（1）- δ） +）P-Udu+ZTte-车辙（rv+λv）dvcδP-U- cδP+u杜. （2.8）在参考集合的默认值（τ=τ）下，第一行记录终端现金流、股息和支付。第二行和第三行分别是（2.5）中第二方违约（τ=τ）和（2.6）中第一方违约（τ=τ）时的现金流。最后一行来自（2.7）中的共同和有效抵押品利率。