流动性成本：一种新的数值方法与实证研究

假设（A1）函数α7→ E[S（W（α））]是严格凹的或凸的，（A2）Pγργ=∞,Pγργ<∞,（A3）函数α7→ E[k]αS（W（α））k]在紧集上有界。然后序列（αγ，γ≥ 1） 收敛到唯一最优参数α*这样的话∈RpEsW（α）= EsW（α）*).假设3和（15）意味着（A3）已满足。在给出（A1）已满的情况示例之前，让我们检查一下W（α）是α的凹函数。提议5。终端财富W（α）是参数α的凹函数。证据回想一下，终端财富由（11）给出。交换的收益（N）不依赖于α。我们只需要处理在Ti时购买的到期日为tn的零息债券的数量π（i，N）。它们满足自融资方程（5），因此π（i，N）=ψ(-1） i，NXj<iπ（j，i）-Xi<j<Nψi，j（π（i，j））+P（i）！，（19） ψ在哪里(-1） i，Nis是价格函数ψi，N的倒数（见（4））。此外，量π（i，j），i<j≤ N- 1在α中呈线性（见（9））。回想一下，ψi，jis凸-ψi，jis凹，并且（19）中的参数是α的函数。最后ψ(-1） i，Nis是一个递增凹函数，其中π（i，N）是α的凹函数。前面的观察表明，当S是一个效用函数（并因此增加和凹）且满足S（0）=0时，（A1）是满足的。请注意，优化问题（12）会惩罚损失，促进收益。在第4和第5节中，我们将看到定理4适用的另一种情况。在给定合适的函数S的情况下，定理4保证了我们的算法收敛到最优参数。以下定理提供了收敛速度（勒龙，2013）。定理6。设ργ：=v（v+γ）β，（20）对于某些正v，vandβ∈ (1/2, 1).

表示为γ归一化中心误差γ=αγ- α*√ργ.假设（A1）函数α7→ E[S（W（α））]是凹的或凸的。（A4）对于任何q>0，级数为γργ+1δMγ+1{|αγ-α*|≤q} 几乎可以肯定地说，这两种观点是一致的。（A5）存在两个实数A>0和A>0，因此supγE|δMγ| 2+A{124;αγ-α*|≤A}< ∞.（A6）存在一个对称的正定义矩阵∑，使得δMγδMtγFγ-1.{|αγ-1.-α*|≤A} P-→γ→∞Σ.（A7）存在u>0，因此N≥ 0，d（α）*, （千牛）≥ 在哪里Kn是Kn的边界。然后是序列(γ, γ ≥ 1） 收敛于均值为0且协方差矩阵线性依赖于∑的正态随机变量。备注7。如乐隆（2013年，第2.4节）中详细解释的，只要存在A>0，第6项的假设就满足，从而C>0，E“sup |α|≤CsW（α）2+A#∞.o α7函数→ E[S（W（α）]是严格凹的或凸的。第一个条件通常很容易满足，例如，当S的多项式增长，因为财富过程的时刻通常是有限的。这两个属性都是。

通过第4节和第5节中研究的示例（参见这些章节开头的讨论）完成。3.5无流动性成本的最优截断策略的性能当∧（j）趋于N`（j）+1时，最优财富的数值误差减小。在本小节中，我们提供了在无流动性成本和一般高斯模型（Dai和Singleton，2000）的理想背景下，对（9）中的计算所产生的误差的理论估计。在Dai和Singleton（2000）中，引入了一般的高斯函数模型，对于任意两次s<t，存在标准的独立高斯随机变量G（0），····，G（M）和实数u，λ，····，λM，因此零息票债券的价格具有形式b（s，t）=exp-u - λG（0）- ··· - λMG（M）.下面的命题给出了截断误差的控制。提议8。在上述情况下，如果（10）中定义的截断集为∧（j）：={n+·n`（j）≤ d} 那么W（α）*)6 CCd+1（d+1）！，（21）这里有一些正常数。这个命题是（11）的直接推论，下一个引理适用于X=π（α）*). 这个引理还允许我们精确计算CandC的值。引理9。考虑随机变量x:=expu+MXm=0λmG（m）！，其中u，λ，··，λMare实数和G（0），··，G（M）是独立的标准高斯随机变量。考虑xdx在由mym=0Hnm（G（M））生成的L（G（0），···，G（M））子空间上的投影√nm！，n+··+nM≤ D我们有- Xdk6 expu+λ+·λM（λ+··+λM）d+1p（d+1）！。（22）我们把这个引理的证明推迟到附录中。4优化程序的数值验证：一个没有流动性成本的例子在本节中，我们研究了在已知完美复制策略的无流动性成本情况下我们算法的准确性（见第2.1节）。

我们最小化套期保值误差的二次风险度量。债券市场模型是Vasicek模型，它是最简单的高斯模型：dRθ=A（r∞- Rθ）dθ+σdBθ，（23）其中A是平均回复率，R∞是均衡测度的平均值，σ是波动率和（Bθ，θ）≥ 0）是一维布朗运动。注意u<v，Rv=r∞+ （如- R∞)E-A（v）-u） +σe-A（v）-u） ZvueA（θ）-u） dBθ。（24）因此，存在N（0，1）个高斯随机变量的i.i.d.序列（G（0），G（1），······，G（N）），使得k=0，··，N，RTk=Φ（Tk- Tk-1、RTk-其中Φ（η，r，G）=r∞+ E-Aη（r）- R∞) + Gσr1- E-2Aη2A。在我们的数值实验中，我们选择了以下参数的典型值A=10%，r∞= 5%, σ = 5%. 在这种参数选择下，到期时间小于10年的平均年零利率取值在3%到5%之间。我们的数值研究关注的是与选择S（x）=xin（12）相对应的二次平均Hedging误差的最小化。这种选择以对称的方式惩罚得失，旨在构建一种尽可能接近精确复制策略的策略。在无流动性成本的情况下，终端财富W（α）是参数α的线性函数，因此定理4的假设（A1）显然是满足的。给定一定程度的截断d，集合∧（j）被选择为∧（j）d:={n（j）=（n，··，nj）∈ Nj+1，n+·+Nj≤ d} 。（26）对于j<i和n（j），我们必须优化实值参数αn（j）（j，i）∈ ∧（j）d.可交换的零息债券的数量由（10）给出。序列（ργ，γ）的选择≥ 1） 第（13）条是至关重要的。选择第（20）项中的选项。我们在第4.2.2节中讨论了该方法对参数v、v、β的敏感性。

我们还讨论了结果对步数的敏感性。在所有续集中，我们使用以下符号。所有向量α=（αn（j）（j，i）的符号，-1.≤ j<i≤ N- 1） ，我们设置v（α）：=EW（α）, （27）如果仅针对高斯分布（G（0），··，G（`（N）））计算期望值。4.1截断误差的实证研究（步骤1）在本小节中，我们对第3.1节中给出的投影步骤进行了实证验证。我们观察到，当截断程度增加时，二次平均对冲误差会快速下降到0。对于名义值等于1的情况，对于d=3度和少量日期N，对于d=4和较大值N，误差为一个基点（百分之一）。下面的图1显示了v（α）*,d） ，具有最佳参数α*,与截断集（26）相关的数据。我们使用了明确已知的无流动性成本的最优策略的有限维投影来获得α*,d、 表1显示了用于绘制图1.2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 1e-20 1e-18 1e-16 1e-14 1e-12 1e-10 1e-08 1e-06 0.0001 0.01v（α*，d）1e-05 1e-10 1e-15ND图14.2优化步骤的实证研究（步骤2）随机算法几乎肯定会收敛到最优系数α*. 在这一部分，我们实证研究了步数Γ和序列选择（ργ）的收敛速度。学位d N=2 N=30 5.2 E-6 3.0 E-51 5.4 E-9 3.1 E-82 3.7 E-12 2.0 E-113 1.9 E-15 1.9 E-144 2.2 E-18 3.9 E-15表1：v（α*,d） 4.2.1（αγ）的典型演变在本小节中，我们考虑两个付款日期（N=2）的掉期。我们考虑截断集∧（0）={0，1}。目标是近似α*=(α0,*(-1, 0), α0,*(-1, 1), α0,*(0, 1), α1,*(0, 1)).

在图2中，四个参数α=（α(-1, 0), α(-1,1），α（0,1），α（0,1））根据（13）进化，其中序列（ργ，γ≥ 1） 定义为（20），v=10、v=1和β=1。正如所料，序列（αγ）收敛到α*. 然而，尽管我们已经以一种可以避免的方式经验地选择了参数v，vandβ，但演化过程相当缓慢。在图3中，我们绘制了（紫色）v（α）(-1, 0), α(-1, 1), α0,*(0, 1), α1,*（0，1））作为α的函数(-1,0）和α(-1, 1). 我们还以绿色绘制路径（v（αγ），0≤γ ≤ Γ). 图中显示，在Γ=10000步之后，套期保值误差很小，尽管最佳参数尚未精确逼近（请注意，紫色表面为FLAT）-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1 10 100 1000 10000 1000000参数值α0γ（-1,0）α0γ（-1,1）α0γ（0,1）α1γ（0,1）α1γ（0,1）算法的步数γ图2：参数αγ的演变(-1, 0), αγ(-1,1），αγ（0,1），αγ（0,1）在γ的中间-图3：紫色表面：-五(, , α0,*(0, 1), α1,*(0, 1)). 绿色曲线：αγ的演化(-1, 0), αγ(-1, 1), -v（αγ）(-1, 0), αγ(-1, 1), α0,*(0, 1), α1,*（0，1）关于γ=1，··，10000（v=10，v=1和β=0.6）。4.2.2序列选择的敏感性（ργ）定理4说明了满足（A2）的所有序列（ργ）的优化方法的收敛性。我们在这里研究了结果对（20）型序列的参数v、v、β和总步数Γ的敏感性。表2和表3显示了Γ=10E4、10E5和10E6步骤后获得的期望值函数。期望值函数用经典蒙特卡罗方法估计。

表4显示了不满足条件（A2）的序列ργ=vWh的相同结果。HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHvvvv1 1 1 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.HHHΓv1 10 100 1000 10 000 13 000 2E410E4 8.8 E-3 1.0 E-3 7.8 E-6 9.8 E-7 8.8 E-7 1.7 E-6 9.7 E-710E5 6.6 E-3 1.17.8 E-7 6.5 E-6 6 6.8 E-7 6 6.8 E-7 6 6 6 6 6 6 10 E6 10 E6 1.3 E-2 7 7 E-3 3 1.8 E-7 7 7 7 7 E 7.3 E-7 7 7 7 E-7 7 7 7 7 7 7 7 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 E-7 7 7 7 7 5.7 E-7 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5.1 E-7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5 5 5 110E6 6.8 E-8 1.1 E-10 5.3 E-12 7.4 E-12 7.0 E-12 2.6 E-5 1.5 E-6表3:v（αΓ）（v=1000，β=0.9）HHHHHΓv1 2 4 6 8 10 12 2010E4 7.6 E-76.9 E-7 2.5 E-7 2.9 E-7 1.4 E-6 1.9 E-7 7.6 E-7 6.1 E-610E5 6.9 E-7 6.8 E-7 4.1 E-7 1.3 E-7 2.9 E-7 3.2 E-7 3.9 E-7 3.9 E-6 3.2 E-410E6 3.0 E-8 5.1 E-12 4.3 E-12 4.3.3 E-12 5.1 E-12 4.2 E-12 4.2 E-12 5.2 E-12 5.8 E-7.8 E-4.8 E-4:v（对于一个常数序列，观察γ=6V的选择取决于算法的效率，观察γ=6V的常数序列，β，当总步数Γ很小时，β对它非常敏感。当Γ变大（例如Γ=10E6）时，如果不小心选择了β，则算法可能会出现偏差。实际上，作为序列（ργ，γ≥ 1） 满足定理4的假设（A2），该算法收敛到最优参数，但与α相去甚远*10步6后。

然而，对于每一个值β，一些Vr将均方套期保值误差减少到5e-12。5买卖价差成本的实证研究Simpactwe在这里给出了与两个分段线性流动性成本函数ψ相对应的数值结果：ψλ（T，U，π）=（1+λ符号（π））B（T，U）π（28）ψλ，C（T，U，π）=B（T，U）π表示|π|≤ CB（T，U）（C+（1+λ）（π）- C） 对于π>CB（T，U）(-C+（1）- λ） （π+C）表示π<-C.（29）尽管我们知道在这种情况下不存在完美的对冲策略，但我们假设持有人在t时收到零现金（这是无流动性成本市场中的掉期价格）。现在，我们简短地检查算法的收敛性。给定分段线性成本函数ψ，很容易证明终端财富W（α）在α中是分段线性的（见命题5的证明）。因此，定理4的假设（A1）。然而，定理4不适用于我们的上下文，因为ψλ和ψλ是分段线性的，因此并非在任何地方都是连续可微的。将ψλ和ψλ替换为1型核卷积得到的光滑近似/√2πεexp(-x/（2ε）），ε小。让α*ε是对应于新代价函数（α的存在性和唯一性）的唯一最优性参数*ε由定理4）提供。

鉴于Rockafellar和Wets（1998，Th 7.33）（α*ε） 倾向于α*当ε趋于0时。上述证明收敛性的考虑更多地是理论上的，而不是实际的：在实践中，当ε很小或ε为空时，数值结果不会发生变化。最后，请注意，W（α）的α中的分段线性意味着注释7中的条件是满足的，因此定理6精确了收敛速度。5.1考虑流动性成本确实有必要考虑两种不同的策略：（i）与理想模型中无流动性成本的最优参数α对应的策略，以及（ii）定义为δn（j）（j，i）=0的零策略- 1.≤ j<i≤ N- 1和n（j）∈ ∧（j）。为了满足自我融资假设（5），在时间tj，掉期（2）的支付P（j）用于购买到期日为TN的零息债券。图4显示-v（α）和-v（δ）表示参数λ，其中costfunctionψ如（28）所示。当存在流动性成本时，交易者在无流动性成本的情况下使用等时策略时，均方套期保值误差显著增加。

当流动性成本λ大于4%时，使用该策略比使用δ策略更糟糕-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09λ-v（α0）-v（δ0）图4：（短划线）-v（δ）（长破折号）-v（α）根据流动性成本λ5.2套期保值误差的概率分布，在本节（28）中，流动性成本函数ψ的选择如（28）所示。在随机优化过程的Γ步之后，用高斯向量的样本ω（（G（0）γ，··，G（N）γ），γ=1，···，Γ）得到最优参数α的随机近似值αΓ（ω）*.图5显示了随机变量v（αΓ（ω））在Γ=10000时的概率分布，表5显示了不同λ值的平均值和标准偏差。λ0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09平均值2.5E-32 0.0031 0.012 0.024 0.038 0.049 0.058 0.065 0.11 0.12标准偏差6.7E-33 4.2E-5 2.8E-4 1.7E-3 0.016 0.017 0.046 0.081 1 1.1.3表5：v（α）的经验平均值和标准偏差0.10 20 30-40-60-80-0.1-0.08-0.0-0.08-0.0-0-0.05密度的经验平均值-v（αΓ（ω））（v=v=β=1，Γ=10000，λ=0.04）。垂直线对应于v（α*).5.3套期保值误差在本节（29）中，流动性成本函数ψ的选择如（29）所示。图6显示-v（αΓ）表示Γ=0（绿色）和Γ=10E6（紫色）。初始参数α是无流动性成本市场的最优参数。我们观察到，由于优化过程，损失的主要部分得以节省。在图7中，我们放大了优化过程产生的曲面。请注意，在特定情况下，成本函数（28）等于成本函数（29）。