流动性成本：一种新的数值方法与实证研究

因此，图7允许比较响应这两个成本函数的价值函数。0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.2 0.30.40.50.6 0.7 0.8 0.9-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0-v（αΓ）-v（α0）λC-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05图6：紫色表面：-v（αΓ）（Γ=10E6，v=v=100，β=0.6）为流动性成本函数（29），根据流动性成本的λ值和契约的大小C。绿色表面：-v（α）。5.4受优化程序初始值α的影响，在图8中，我们绘制了流动性成本λ的两个函数：-v（αΓ）和-v（ΔΓ），其中（αΓ）和（ΔΓ）是在优化程序的Γ步骤后获得的参数，但具有不同的初始值α和δ，如第C小节所述。5.1.Γ=10E6步骤后获得的策略的性能非常相似。0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.2 0.30.40.50.6 0.7 0.8 0.9-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.005 0-v（αΓ）λC-0.035-0.03-0.03-0.025-0.025-0.01-0.01-0.005图7：在图6的紫罗兰表面上进行缩放意味着在经过α=10E6Y步后，对任意参数的灵敏度不可观察到。5.5减少可接受的策略集合调用假设2。到目前为止，我们当时的可接受策略是基于所有过去和现在的利率Rt，RTj。因此，要优化的参数αn（j）（j，i）的数量至少是二项式系数的数量级钕,式中，N是日期数，截断度d的定义如（26）所示。这个数量级是N的一个急剧增加的函数。这一关键缺陷导致我们试图通过减小可容许策略集∏的大小来简化控制问题（6）的复杂性。观察完美流动性假设下的最优策略具有π的性质*（j，i）仅取决于RTj。

这一观察结果表明，通过将一系列控制措施减少到只依赖于少量近期利率RTj、RTj的控制措施，来面对大量的日期-1，··，RTj-q、 -0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09λ-v（αΓ）-v（ΔΓ）图8：（短划线）-v（ΔΓ）（长破折号）-v（αΓ），用流动成本λ表示（Γ=10E6，v=0.1，v=100，β=0.6，d=3）。图9和图10说明了最优控制问题（6）和假设2中定义的可容许策略可以用作解决控制问题的基准。考虑N=5和N=10付款日期的掉期。在这两种情况下，我们研究了选择q=0（即在时间Tj时，可接受策略仅取决于RTj）、q=1（可接受策略取决于RTjand RTj）的影响-1） ，q=2。图9显示了在N=5个支付日期的掉期的优化算法的Γ=10E6步后获得的相应策略的性能。图10显示了N=10个付款日期的掉期的类似数量。我们观察到，当q太大时，最优策略的数值计算非常不稳定，这反映了解决高维优化问题的难度。

所以，我们必须选择q小，以获得属于简化容许策略集的最优策略的精确近似值-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-v（αK）λq=0q=1q=2图9：-v（αΓ），就λ而言，仅取决于最近的利率RTj、····、RTj的策略-q（q=0,1,2，Γ=10E6，v=0.1，v=100，β=0.6，d=3）对于N=5个付款日期的aswap-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09-v（αK）λq=0q=1q=2图10：-v（αΓ）以λ表示，策略仅取决于最近的速率RTj、·RTj-q（q=0,1,2，Γ=10E6，v=0.1，v=100，β=0.6，d=3）用于支付日期为N=10的aswap。6结论随机控制问题通常没有显式解，难以数值求解。在本文中，我们提出了一种有效的算法来逼近最优配置策略，以对冲受流动性成本影响的利率衍生品。如上所述，我们的方法在高斯模型中是有建设性的和有效的。我们将容许分配策略投影到由第一个Hermite多项式生成的空间，并使用经典随机算法来优化投影系数，以优化终端对冲误差的预期函数。我们通过研究存在流动性成本的掉期交易来说明这种一般方法。我们讨论了数值方法在所有算法组件中的性能。我们强调，当所考虑的模型属于高斯空间时，我们的方法可以应用于许多控制问题，例如，差异价格的计算。感谢匿名推荐人的仔细阅读和有用的评论。参考Babbs，S.H.和Nowman，K.B。

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（1998）变分分析，Grundlehrender Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]第317卷（柏林Springer Verlag）。7引理的附录证明9证明。让我们首先证明M=0的结果，即X=exp（u+λG）。X=+∞Xn=0α（n）Hn（G）√N其中α（n）=EXHn（G）√N= exp（u）Eexp（λG）Hn（G）√N.然后我们使用恒等式：eλx-λ/2=Pj>0λjj！Hj（x）并获得α（n）=exp（u+λ/2）E“Xjλjj！Hj（G）Hn（G）√n！#。As（Hj（G）/√JJ≥ 0）是L（G）的正交基，我们有α（n）=exp（u+λ/2）λn√N设Xd是X在H，···，Hd:Xd=dXn=0α（n）Hn（G）生成的子空间上的投影√n！=eu+λ/2dXn=0λn√NHn（G）√N十、- Xd=eu+λ/2∞Xn=d+1λn√NHn（G）√N截断误差为kx- Xdk=e2u+λ∞Xn=d+1λ2nn！≤ e2u+λλ2（d+1）（d+1）！∞Xn=0λ2nn！≤ e2u+2λλ2（d+1）（d+1）！。因此，当M=0时，期望结果成立。设M为正整数。WehavekX- Xdk=e2u+λ+····+λMXn+····+nM>dMYm=0λ2nm（nM）！回想一下经典身份（a+··+aL）NN=Xn+··+nL=NLYm=0anmm（纳米）！。（30）因此，Xn+·nM>dMYm=0λ2nm（nM）=∞XN=d+1Xn+···+nM=NMYm=0λ2nm（nM）=∞XN=d+1（λ+·λ+λM）NN！≤（λ+··+λM）d+1（d+1）！经验λ+···+λM.这就结束了所有正M的证明。