股票价格中的信息及其后果：一种无模型方法

最重要的是，A4允许显示当前和St=St时，然后是VT-t=ln（ST/EST），Q决定P*对于ST.4.3，VT的Q-d分布-tAssumption A3还暗示，在{Ptr，n}和{Pbu，n}下，Ppknj=1Yn，jare的分布序列相对紧凑。因此，我们可以选择一个子序列{kn′}，对于该子序列，Pkn′j=1Yn′，jc分别在Ptr，n′和Pbu，n′下弱地转换为不完全可分分布。在不丧失一般性的情况下，我们用{n}和{kn}代替{n′}和{kn′}。如果有两个或更多具有不同弱极限的子序列，则股票价格支持多个风险中性概率和P*可以将其建模为独立分布的混合物。VT公司-概率近似为Pknj=1Yn的线性函数，jand的概率低于Tr，nas限制了不完全可分分布Q。通常需要对QI进行转换才能获得令人满意的Q（5）。二元实验（10）的下一个建议是使用Le Cam（1986年，命题2，第46 2页）的一个结果，该结果适用于形成概率比的两个乘积概率。命题4.1假设A1- A3保持，且Pknj=1Yn，在Ptr下为jhas，不适用于L’evy三[u，σ，Ltr]的弱限制。在Ptr下，n，∧kn=ln∏knj=1ptnjptnj-1每个s的c.d.f.Qand分布在∧上∈ （0，1）其矩母函数ψQ（s）=ln EQes∧=u[t，t]s+σ[t，t]s+Z[-1,0)∪(0,∞)[（1+y）2s- 1.- 2sy]Ltr（dy）；（12） u[t，t]=2u- σ<0，σ[t，t]=4σ，以及u，σ，ltr均在备注4.1中确定。A1项下的备注4.1，在（12）Ltr中(-1) = 0. 模型参数u[t，t]=2u- σ= (2u- σ） （T）- t） ，σ[t，t]=4σ=4σ（t- t） )；u和σ由长度单位的区间确定，u=limn→∞knXj=1EPtnj-1Yn，j<0，σ=limτ→0limn→∞knXj=1EPtnj-1Yn，jI（|Yn，j|）≤ τ). （13） 长度单位为isLtr（y）=limn的区间内的L'evy测度→∞knXj=1EPtnj-1Yn，jI（Yn，j≤ y） 。

（14） 来自列维·钦钦定理（参见，例如，Kypriano u，2006，定理2.1，第35页），VT-t可以被视为L’evy过程，因此（2）中的条件期望值是一个期望值；另见附录中的引理6.1。下一个命题是Q和Q*（通过Q）以及获得Q的必要和有效条件（15），Q相当于序列{Ptr，n}和{Pbu，n}的连续性。I表示指示器功能。命题4.2 a）命题4.1满足（5），当且仅当u[t，t]+.5σ[t，t]+ELtrYI（y6=0）=2u+σ+ELtrYI（y6=0）=0。（15） b）Q满足（5）有L’evy三重[-.5σ[t，t]- ELtrYI（y6=0），σ[t，t]，Ltr]，Q（v）=ZΦ（v+.5σ[t，t]+ELtrYI（y6=0）- yσ[t，t]）Ltr，P ois（dy）；（16） Φ表示标准正态随机变量的c.d.f.Ltr，P ois是泊松分量的概率。可使用备注4.1估算三元组的参数。c） 设Qbube∧knunder Pbu，n.{Ptr，n}和{Pbu，n}的极限分布是连续的（因此Q，Qbuin命题4.1是相互绝对连续的），如果且仅当（15）成立。然后，Qbu有L′evy三元组[.5σ[t，t]+ELtrYI（y6=0），σ[t，t]，Lbu]，Qbu（v）=ZΦ（v- .5σ[t，t]- 埃尔特里（Y 6=0）- yσ[t，t]）Lbu，P ois（dy）；（17） Lbu，P ois是泊松分量的概率。d） 对于b）中的Q，dQbu（v）=evdQ，（18）Z{v:v>x}evdQ（v）=1- Qbu（x），十、∈ R.（19）e）Q*使用b）和（6）中的Q获得。（15）中的备注4.2，当漂移u等于-.5σ-.5ELtrYI（y6=0）。（15）中有几个可能的σ值和L `evy度量值，但由股票价格（单位时间长度）支持的，由（13）和（14）给出n。这与股票价格的波动性不同有关。结果允许获得P*下面是STvia Q。命题4.3假设A1- 持有股票价格{St，t<t≤ T}。

现在，St=St，4.2号提案代表VT-t=ln（ST/EST）和Q，Q*, P*获得了。4.4 VT的Q-d分布-t对于Calm stock，Calm stock的价格密度pt+δ，pt（见（8））通常与较小δ值的P相差不大。定义4.1让tn<…<tnkn-1为（t=tn，t=tnkn）的分区，网格尺寸δn=sup{tnj- tnj-1，j=1，kn}。如果对于任何（>0）和任何分区limδn，{St}在[t，t]中是平静的→0knXj=1EPtnj-1（sptnjptnj）-1.- 1） I（| sptnjptnj）-1.- 1 |>）=limδn→0knXj=1EPtnj-1Yn，jI（|Yn，j |>）=0；（20） I是指示函数。当A3（i）成立时，平稳库存条件f或随机变量Yn，j，j=1，knguarantees认为pknj=1Yn，jhas渐近正态分布（LeCam，1986，第470页），对于∧kn=2knXj=1ln（1+Yn，j），也就是说，对于VT，同样适用-t、 推论4.1当A1、A2和A3（i）在[0，t]中保持平稳库存时，对于电动收敛子序列kn′j=1Yn′，j这里是σ[t，t]>0，使得（i）Q（v）=Φ（v+σ[t，t]σ[t，t]），（21）（ii）Qbu（v）=Φ（v）-σ[t，t]σ[t，t]）。（22）此外，当Pknj=1EPtnj时-1Yn，当n增加到单位时，则为Q和soP*是唯一确定的。命题4.4表明，假设A3适用于平静的几何布朗运动模型。关于几何布朗运动的price-d灵敏度的命题4.4（7）：a）假设A3成立，且limδn→0knXj=1EPtnj-1Yn，j=limδn→0knXj=1[Z(√ptj-√ptj-1） dP=.25σ（T- t） ，（23）b）平静的库存状况（20）也成立。5应用和结果5。1欧盟欧佩恩赎回期权对于假设的交易员和买家，通常会做出以下假设：（A5）市场由股票和无风险债券组成，债券在到期时升值，没有股息或交易成本。选择权是欧洲的。

买方指的是多付少付。P*-欧式看涨期权的价格是从一个弱收敛的子序列pknj=1Yn，j中得到的。当npknj=1Yn，j作为几个聚类点时，公平价格是相应的P的加权和*-价格。命题5.1假设A1- 等一下。THE P*-欧式看涨期权att的价格C，在出口价格T时的履约价格X，isC=stRbu- Xe-r（T）-t） Rtr，（24）Rbu=1- Qbu[ln（X/st）-0) - r（T）- t） [25）=ZΦ（ln（st/X）+r（t- t） +5σ[t，t]+ELtrYI（y6=0）+Yσ[t，t]）Lbu，pois（dy）Rtr=ZΦ（ln（st/X）+r（t- （t）- .5σ[t，t]- ELtrYI（y6=0）+Yσ[t，t]）Ltr，pois（dy）。对于平静的股票，B-S-M价格是在没有模型假设的情况下获得的，因此证明了其普遍性和频繁报价的合理性。推论5.1对于平静股票，在假设A1、A2、A3（ii）、A4、A5的情况下，系数Rbuan和Rtrin（24）areRbu=Φ（ln（st/X）+r（T- t） +5σ[t，t]σ[t，t]），Rtr=Φ（ln（st/X）+r（t- （t）- .5σ[t，t]σ[t，t]）。5.2二元统计实验、信息、市场效率和P*我们将这项工作中的方法与信息的概念联系起来。假设投资者和/或监管机构不知道股票的价格模型，价格的连续收益为P提供信息*以及交易者和买家的信念。定义5.1（例如，见Cover和Thomas，2005，第19页）两种密度f和g i sD（f | | g）=-Eflng（X）f（X）。（26）在本文中，我们使用液化天然气（X）f（X）在f下的分布，而不是其预期值（26）。在我们的符号f中，g分别是Ptr、n、Pbu或Q、Qbu。在每一个二元实验En={Ptr，n，Pbu，n}和{Q，Qbu}中，ST分布的信念概率分别是交易者和购买者的信念概率。P*通过Q确定满足（5）当且仅当（15）成立。

后一个方程等价于序列{Ptr，n}a和{Pbu，n}的连续性；见提案4.2 c）。因此，他得到了P*isrisk neutral，当且仅当，{Ptr，n}和{Pbu，n}是连续的。要了解这对交易者和买家意味着什么，请注意，对于每个n、Ptr、nand和Pbu，NAR都是绝对连续的，并且是基于T之前knstock价格的信息来确定T的分布。因此，∧kn，Ptr，n的相应诱导概率o Λ-1K和Pbu，no Λ-1kn，也是相互绝对连续的；关于∧kn，见（9）。命题4.2表明，在信息量有限的情况下，即当n和n增加到完整性时，凝视的（极限）信念分布Q和qbu也相互绝对连续。因此，无论是交易员还是买家，在（t，t）中都没有关于ST价值的私人信息。命题3.1意味着市场对信息集F的反应是有效的*由[t，t]中的股价回报率决定，它提供了P*. 这些结果与资产定价第三基本定理（Jarrow，2012）相一致，该定理描述了经济中存在等价鞅概率测度的条件。回想一下，上述公式适用于每个收敛子序列{En′}（见（10））。交易者信念概率的相互绝对连续性用于金融经济学，例如市场操纵领域。Cherian和Jarrow（1995年，第616页，假设3）提供了两个条件，以避免因“操纵者”信息而进行套利。在交易者和买方的上下文中，用我们的符号，这些条件是：i）交易者的Q和买方的qbu是相互绝对连续的。

andii）对于短时间间隔内的恒定操纵者持股，相对股价相对于信息集为阿马丁格尔。在这项工作中，已经证明，当构造的交易者的信念概率为风险中性时，Q和qbu是相互绝对连续的，即i）成立。5.3二元统计实验与冷静股票通过采用期权定价中的统计实验模型，定量确认了实证结果，并获得了冷静股票的新信息。a） 统计实验理论为波动性在交易中的作用提供了解释。在命题4.1的假设下，从（21）和（22）可以得出，当n时，二元实验En={Ptr，n，Pbu，n}收敛于高斯实验G={P=n（0，1），PT=n（σ[t，t]，1）}→ ∞. 从G的形式可以清楚地看出，波动率σ[t，t]是交易中的决定因素。b） 从（21）和（22）中，对于任何v，Q（v）都大于Qbu（v），因此事件{ST>X}对买方的概率高于对交易者的概率。c） 让P*bube是对应于P的买方的置信概率*, 在Qbu上获得与P相同的翻译*通过Q.买方价格确实具有波动性，交易员价格的系数（24）被steσ[t，t]：EP取代*bue-r（T）-t） （圣- 十） I（ST>X）=steσ[t，t]Φ（ln（ST/X）+r（t- t） +1.5σ[t，t]σ[t，t]）-Xe-r（T）-t） Φ（（ln（st/X）+r（t）- t） +5σ[t，t]σ[t，t]）。Ross（2015）通过重建代理人的效用函数，恢复了股票价格收益、定价内核和市场风险溢价的自然概率。这里是概率P*小熊和小熊*均为nor MAL，具有相同的方差和买方概率的平均值，P*bu，比P大*.

买方价格与期权价格之间的差异（通过推论5.1）是市场风险溢价的一个衡量标准。6附录1：假设A1下的证明MMA 6.1- A4，等式*[exp{VT-t+lna[t，t]}| Ft]=EQ*exp{VT-t+lna[t，t]}。（27）引理6.1的证明：由（0，t）中可数个股票价格生成的FTI。早期时间序列0<tmn<tmn<…<tmnn<t，当9增加到单位时，在[0，t]中变得密集，相应的价格sst，Stmnn，Stmnn-1.stmn提供与test、stmnestmn、Stmnn相同的信息-1EStmnn-1.StmnEStmnor，St/EStStmnn/EStmnn，Stmnn/EStmnnStmnn-1/EStmnn-1.Stmn/EStmnStmn/EStmn，Stmn/EStmn与ST/ESTStmnn/EStmnnST/ESTSt/ESt一致，ST/ESTStmnn-1/EStmnn-第一次/ESTSTNN/EStmnn，ST/ESTSMN/EStmnST/ESTSMN/EStmn，Stmn/EStmnor，通过使用lo garithmsVT-tmnn- VT公司-t、 VT-mnn-1.- VT公司-mnn-2.VT公司-锰- VT公司-mn，Stmn/EStmn。（28）当n较大时，（28）中的最后一项接近于单位，因为分子和分母都收敛于s（从A4开始），剩余项是L’evy过程的增量，因此与VT无关-t=VT-T- VT公司-T） 。命题4.2的证明：a）在命题4.1中，确定了s的矩母函数ψQ（s）∈ (0, 1). ψQ（s）（见（12）），（1+y）2s中的被积函数- 1.- 2yis以y的“某些”倍数（Le Cam，1986，第465页，第18-22行）和假设A3中的Eltry为界。从支配收敛定理，lims→1lnψQ（s）=lnψQ（1）=ln EQeVT-t=u[t，t]+.5σ[t，t]+ELtrYI（y6=0）。（29）（5）仅当（29）中的lnψQ（1）消失时，对Qif成立。b） 从a）开始。c） 因为i）L’evy测度Ltrhas no ma ss a t-1（由A1得出）和i i）命题4.1表明-实验En={Ptr，n，Pbu，n}对实验{Q，Qbu}的收敛性，可以得出{Ptr，n}和{Pbu，n}是连续的，即。

q和qbu是绝对连续的，当且仅当，lims→1ψQ（s）=ψQ（1）=1，（30），从（29）中得出，当且仅当（15）成立。d） 由于连续性，（18）保持不变（参见Le Cam and Yang，1990，第22页，命题）。命题4.3的证明：足以证明A1- 等一下≤ T≤ T.当St=STA时，假设A1、A2、A4仍然成立。对于A3，由于St=St，0≤ Eptin，1=Z(√ptn- 1） dP=2（1）-Z√ptndP）≤ 2.（31）从（31）开始，A3（ii）保持不变。对于A3（i）来说，持有它就足以证明Limn→∞Eptin，1=0或来自（31）thatlimn→∞EP|√ptn- 1| = 0. （32）自|√ptn- 1| ≤ EP | ptn- 1 |拿着就够了→∞EP | ptn- 1| = 0. 引理6.2（Roussas，2005，Lemm a 3，第138页，2014，Lemm a 3，第109页）假设Xn≥0，EXn<∞, N≥ 1.德林→∞E | Xn- X |=0<==> 普林→∞Xn=X和limn→∞EXn=EX<∞.当Xn=ptn时，X=1，因为EPptn=1 N≥ 1和A4可以。推论4.1的证明：根据（16）和（17）以及Le Cam（1986年，第470页）的结果，L’evy度量Lt和Lbuconcentrated y=0。命题4.4的证明：a）从（7）中，用标准布朗运动，我们得到了最=sexp{ut}，pt=e-.5σt+σBt，用于tj-1<tj，自Btj起- Btj-1独立于Btj-1、它保持着J-1（rptjptj）-1.- 1） =E（E）-.25σ（tj）-tj-1） +5σ（Btj）-Btj-1)- 1） e-.5σtj-1+σBtj-1=E（E）-.25σ（tj）-tj-1） +5σ（Btj）-Btj-1)-1） ·Ee-.5σtj-1+σBtj-1=E（E）-.25σ（tj）-tj-1） +5σBtj-tj-1.-1)= 2 (1 - E-.125σ（tj）-tj-1)) ~ .25σ（tj）- tj-1） [1+Cσ（tj- tj-1） ]适用于小型tj-tj-1.价值观；C是一个通用的边界常数，限定了e的二阶导数-.125σ（tj）-tj-1） 在泰勒展开式中，约为零。因此，对于任何分区t，tkn-[t，t]的1个，网目尺寸δnsup{EPtj-1（rptjptj）-1.- 1） ，j=1，kn}≤ .25σδn[1+max{Cj，j=1，…，kn}δn]因此，当δn为零且A3（i）保持不变时，左侧收敛于零。注意max{Cj，j=1。

，kn}由δn确定。对于A3（ii），观察小δn | knXj=1[EPtj-1（rptjptj）-1.- 1)- .25σ（tj）- tj-1） ]|=0.25σknXj=1Cj（tj- tj-1)≤ .25σδnmax{Cj，j=1，…，kn}（T- t） 当δn等于零时，它收敛到零。因此，limδn→0knXj=1EPtj-1（rptjptj）-1.- 1） =2.5σ（T- t） A3（ii）适用。b） a）风险中性概率P*可通过命题4.1和命题4获得。2.自从P*如例2.1的最后一句所证实的，它是唯一的，Q与P重合，因此序列{Ptr，n}和{Pbu，n}是连续的，因为对于eachn，Ptr，和Pbu，nare是相互绝对连续的，所以对于pknj=1Yn，j极限的方差等于方差的极限。从Le Cam（1986年，第470页，第-10至-12行）来看，sumsPknj=1Yn，j具有正态分布的极限，且极限的变化等于变量的极限，当且仅当pknj=1EYn，j转换为极限，且（20）每>0保持一次。

命题5.1的证明：期权价格，EP*E-r（T）-t） （圣- 十） I（ST>X），（34）通过Q和命题4.2,4.3得到。我们分别计算（34）中的两个期望值，不包括常数。EP*I（ST>X）=P*（LNSST>lnXst）=1- Q*（lnXst）- lna[t，t]）=1- Q（lnXst）- r（T）- t） ）=1-ZΦ（lnXst）- r（T）- t） +5σ[t，t]+ELtrYI（y6=0）- yσ[t，t]）Ltr，P ois（dy），（35），倒数第二个等式和最后一个等式分别使用（6）和（16）得到。EP*STI（ST>X）=stEQ*eVT-t+lna[t，t]I（VT-t> lnXst- lna[t，t]）=stZ{v>ln（X/st）-lna[t，t]}ev+lna[t，t]dQ（v+lna[t，t]- r（T）- t） ）=ster（t-t） Z{w>ln（X/st）-r（T）-t） }ewdQ（w）=ster（t）-t） Z{w>ln（X/st）-r（T）-t） }dQbu（w）=ster（t）-t） [1- Qbu（ln（X/st）- r（T）- t） ）]=ster（t-t） [1-ZΦ（ln（X/st）- r（T）- （t）- .5σ[t，t]- 埃尔特里（Y 6=0）- yσ[t，t]）Lbu，P ois（dy）]，（36），第二个等式、倒数第二个等式和最后一个等式分别使用（6）、（18）和（17）得到。替换（34）中的（35）、（36），P*-获得价格（24）。7附录2：假设A3到HOLD的条件二次平均可微性条件对于A3到HOLD是有效的。二次均值可微性在参数统计模型中经常存在，例如正态和对数正态模型；见勒坎（1970年）和鲁萨（1972年，第2章）。让(Ohm, F、 P）是概率空间，设ρ（t），t∈ [0，T]是一个由T定义的过程。7.1过程ρ在T处可在P-二次平均值中区分，如果T处有Ut，其导数，使得δZ[ρ（T+δ）- ρ（t）- δUt]dPδ→0-→ 0.（37）当t=0（分别为t）时，（37）中的极限取δ正（分别为负）。对于{pt，t∈ [0，T]}，设ξ（T）=√pt，t∈ [0，T]。（38）命题7.1假设ξ（t）在[t，t]中是P-二次平均可微的，且具有导数Ut，并且∈[t，t]EPUt<∞.