短缺风险约束下的投资组合优化

[16].在本文中，我们提到了一种特殊的风险度量，它是由F¨ollmer和Schied[11]首先引入的，并通过损失函数定义。定义2.7（损失函数）A函数L：(-∞, 0) → 如果R是严格凸函数，且满足下列性质，则称为损失函数。（i） L是连续可微的(-∞, 0).（ii）limx→0L′（x）>-∞ 还有limx→-∞L′（x）=0。通过该损失函数，我们可以将基于效用的短缺风险度量定义为最小资本金额m∈ R必须添加到位置X中，这样，如果存在根据定义2定义的损失函数，则其stay的预期损失函数低于给定值X。定义和引理2.8（基于效用的短缺风险）（[11]，第8-9页）风险度量ρlis称为基于效用的短缺风险。7，使得ρlca可以写成ρL（X）=inf{m的形式∈ R|E[L(-十、- m） ]≤ x} 。然后要求ρL（X）≤ 0相当于要求E[L(-十） ]≤ x、 证据。如果部分：设ρL（X）≤ 0.由于L thatx的严格增加，它成立≥ E[L(-十、- ρL（X））]=E[L(-（X+ρL（X））|{z}≥-十） ]≥ E[L(-十） ]。只有部分：让E[L](-十） ]≤ x、 那么ρL（x）=0满足E[L(-十、- ρL（X））]≤ x、 所以ρL（x）=inf{m∈ R|E[L(-十、- m） ]≤ x}≤ 0例2.9（熵风险度量）如果我们考虑一个指数形式的函数L（x）=exp{γx}，其中γ>0代表投资者的风险厌恶，那么定义2中的所有属性。7满足，所以L是损失函数。相关风险度量eγ，给定yγ（X）：=γ（ln e[exp{-γX}]- Lnx），（6）被称为熵风险度量（参见[33]）。评论Weber[34]在一些监管条件下，在不假设损失函数L为凸函数的情况下，首次证明了Lecticab-lerisk测度ρ是s hortfall的结果。Bellini和Bignozzi[5]在评分函数的弱假设下证明了这一说法。

他们证明，如果ρ是可导的且凸的，则L也是凸的。此外，如果ρ是额外正同调的，即ρ（λX）=λρ（X）表示X∈ X和λ≥ 0，那么L的形式为L（x）=L+αx+-βx-对于α≥ β > 0. 这种风险度量被称为期望值，参见[30]。Delbaen等人[9]也扩展了[34]中的结果，证明了凸律不变风险度量对应于广义短缺，其中损失函数也可以取完整值。2.4风险约束下的投资组合优化T x>0为初始资本。给出了效用函数U和损失函数L。本文旨在解决基于效用的短缺风险约束下的投资组合优化问题。问题2.10找到一个达到最大预期效用的最优财富过程X:=supX∈A（x）E[U（x（T））]。（7） 对于给定的基准x，setA（x）：={x∈ X（X）| E[L(-X（T））]≤ x} （8）是满足基于效用的短缺风险约束的可容许财富过程集。函数u（·）被称为该优化问题的“值函数”。为了排除琐碎的情况，我们在整篇论文中假设∈X（X）E[U（X（T））]+∞, 对于某些x>0；infX∈X（X）E[L(-X（T））]>-∞, 对于所有x>0。（9） 很容易想象，对于所有x，这个优化问题不会有一个解决方案。一方面，限制可能太强，以至于没有交易策略，使得相应的终端财富x（T）对应于x∈ X（X）满足风险约束。另一方面，限制也可能太弱，以至于风险约束没有约束力。更准确地说，让我们定义一下：=infX∈X（X）{E[L(-X（T））]}和rmax:=supX∈X（X）nE[L(-X（T））]E[U（X（T））]≥ E[U（X#（T））]对于任何X#∈ 在特殊情况下，我们可以显式地表示rmin和rmax（参见。

[19] 引理6.1）。从现在开始，对于给定的x>0，我们选择xsuch，即rmin≤ 十、≤ rmax。如果存在评分函数S:R，则称为定律不变的风险度量ρ为可导出的→ R使得ρ（F）=arg minx∈R上任何概率测度F的RS（x，y）dF（y），参见[5]。由于这是一个约束条件下的优化问题，我们需要引入GA-Lagrange乘子λ来重新表述它≥ 0（参见[31]）。让我们定义这个新函数Wλ：（0+∞) → R∪ {-∞}byWλ（X）：=U（X）- λL(-十） ，λ>0。（10） 通过U和L的定义，我们得到了Wλ的以下性质。命题2.11设Wλ为（10）中定义的函数。然后（a）Wλ严格递增，严格凹，并且在（0+∞);（b） Wλ满足INDA条件SW′λ(+∞) := 利克斯→∞W′λ（x）=0和W′λ（0）：=limx0W′λ（x）=+∞.证据（a） 如果λ=0，证明就显而易见了。现在假设λ>0。因为L（x）在x上是严格凸的，并且是严格递增的，-λL（x）严格递减且严格凸且-λL(-x） 对于任意λ>0，x是严格递增且严格凹的。此外-L(-x） 在（0+∞), 因为L是连续可微的(-∞, 0). 因此，U（x）之和- λL(-x） 是一个严格的递增凹函数，在（0+∞) 对于任何λ>0的情况。（b） 由于（a）部分以及U和L的假设，它适用于任何λ>0的情况→∞W′λ（x）=limx→∞（U′（x）+λL′的(-x） ）=0，limx0W′λ（x）=limx0（U′（x）+λL′(-x） ）=+∞. Wλ与定义2.4中定义的美国效用函数具有相同的性质。因此，我们可以利用性质2.5，引入WλbyZλ（y）的共轭函数Zλ：=supx>0{Wλ（x）- xy}，y>0，（11）这是-Wλ(-x） 。

双对偶关系由wλ（x）=infy>0{Zλ（y）+xy}，x>0给出。根据性质2.5，Zλ连续可微、递减、严格凸且满足Zλ（0）=Wλ(+∞) d Zλ(+∞) = Wλ（0）。（12） 此外，根据Wλ的性质，其一阶导数的反函数Hλ存在，且满足λ：=（W′λ）-1= -Z′λ。（13） 在第3节和第4节中，我们将展示问题2.10的最优财富过程是以下无约束效用最大化问题的一个过程，并适当选择拉格朗日乘子λ。问题2.12让Wλ扮演效用函数的角色。找到一个达到最大预期效用Wλ（X）：=supX的最优财富过程Xλ∈X（X）E[Wλ（X（T））]。（14） 引理2.13让（9）和（10）成立。然后存在一个x>0，使得wλ（x）<+∞, 总而言之λ≥ 0.证明。设x>0为supX∈X（X）E[U（X（T））]+∞ 如（9）所示。通过方程（9）和（10），我们得到了wλ（x）=supX的值函数∈X（X）E[Wλ（X（T））]≤ 好的∈X（X）E[U（X（T））]- λinfX∈X（X）E[L(-X（T））]+∞. 引理2.14（11）和（13）中定义的函数Zλ和Hλ具有以下性质。（i） 解决任何问题∈ (0, ∞), 量Hλ（y）是方程u′（x）+λL′的唯一解(-x） =Y在间隔x上∈ (0, ∞).（ii）假设L为正值（分别为非负值）且V为（4）中定义的勒让德变换，则比较λ（y）<V（y）（分别为Zλ（y）≤ V（y）代表所有y∈ (0, +∞).证据（i） 根据（13）中Hλ的定义，Hλ（y）解方程W′λ（x）=y。根据Wλ的定义（参见（10）），Hλ也解U′（x）+λL′(-x） =y。唯一性源于Wλ的严格单调性，参见P位置2.11。（ii）由于Wλ是一个效用函数，我们可以利用性质2.5推导Wλ的共轭函数Zλ。

通过方程（10）和（11），我们知道zλ（y）=supx>0{Wλ（x）- xy}=supx>0{U（x）- λL(-十）- xy}，y>0。另一方面，V是U的共轭函数，它保持V（y）=supx>0{U（x）- xy}，y>0。因为假设L是正的（尤其是非负的），所以- λL(-十）- xy<U（x）- xy（分别为U（x）- λL(-十）- xy<U（x）- xy）（16）适用于所有x>0、y>0和λ>0。表达式（4）、（16）和（16）表示zλ（y）≤ V（y）。如果L是严格正的，则严格不等式Zλ（y）<V（y）成立，因为方程（4）和（16）中的上界已得到。3不完全市场的解决方案在不完全市场的情况下，即| Q |>1，遵循[10,25]的思想，我们必须将问题2.12化。因此，我们定义（y）：={y≥ 0 | Y（0）=Y，XY=（XtYt）0≤T≤这是一部超级电影∈ X（1）}作为Y（0）=Y的非负半鞅集，使得过程XY对任何X都是可分的∈ X（1）。特别是，由于X≡ 1属于X（1），任何Y∈ Y（Y）是一个超级艺术家。我们注意到密度过程dQ/dP是所有等价的可度量Q∈ Q也属于Y（1）。根据假设2.2，Q中至少有一个元素的存在意味着Y是非空的。现在让我们用zλ（y）=infY定义对偶问题的值函数∈Y（Y）E[Zλ（YT）]。（17） 3.1关于渐近弹性的条件正如[25]所指出的，不完全市场中无约束效用最大化问题存在最优解的一个有效条件是效用函数的渐近弹性小于1。经济上，弹性e（x）描述了产出的相对变化和投入的相对变化之间的关系。

定义为ase（x）：=xU′（x）U（x）=lim十、→0UUxx=lim十、→0xU徐。渐近弹性是x趋于一致时弹性的上限。定义3.1（渐近弹性）让定义2.4中定义的效用函数U开始。U的渐近弹性AE（U）由AE（U）：=lim supx定义→+∞许′（x）U（x）。类似地，渐近弹性-（五十） AE给出了定义2.7中定义的给定损失函数的负完整性-（五十） ：=lim supx→-∞xL′（x）L（x）=lim supx→+∞-xL′型(-x） L(-x） 。关于依赖于U的渐近弹性的范围，我们有一个很好的性质(+∞).引理3.2（[25]，引理6.1）对于严格凹增实值函数U，很好地定义了交变弹性AE（U）。AE（U）的范围根据U(+∞) :=利克斯→∞U（x）。（i） 如果你(∞) = +∞, 它认为AE（U）∈ [0, 1].（ii）如果你(∞) ∈ (0, +∞), 它认为AE（U）=0。（iii）如果你(∞) ∈ (-∞, 它认为AE（U）∈ [-∞, 0].此外，效用函数的有效变换不会改变渐近效用。这个结果是在[25]中建立的，证明很容易验证。引理3.3设U为定义2.4中定义的效用函数，并设其有效转换函数为ByU（x）=c+cU（x），其中c，c∈ R和c>0。如果你(+∞) > 0和U(+∞) > 0，那么它认为AE（U）=AE（~U）∈ [0, 1].对于我们的约束问题，这意味着函数Wλmus t的渐近弹性小于1。

下一个引理告诉我们U和L上的条件，在这个条件下，这将成立。关于Wλ（x）的渐近弹性AE（Wλ）：=U（x）的引理3.4- λL(-x） ，λ≥ 0，我们得到了以下结果。（a） 如果limx→∞Wλ<+∞, 如果U(+∞) < +∞ 我呢(-∞) > -∞, 然后AE（Wλ）<1。（b） 对于limx→∞Wλ=+∞ 如果以下三种情况之一成立，我们的AE（Wλ）<1U+∞ ) = +∞, L(-∞) > -∞ 和AE（U）<1；oU+∞ ) = +∞, L(-∞) = -∞, AE（U）<1和AE-（五十） <1；oU+∞ ) < +∞, L(-∞) = -∞ 还有AE-（五十） <1。证据（a） 由于引理3.2，它成立。（b） 由于U′（x）的性质≥ 0，limx→∞U′（x）=0，L′（x）≥ 0和limx→-∞L′（x）=0，我们可以区分三种情况。案例1：美国(+∞) = +∞ 我呢(-∞) > -∞. 然后它适用于任意λ>0，即Ae（Wλ）=lim supx→∞xW′λ（x）Wλ（x）=lim supx→∞x（U′（x）+λL′(-x） ）U（x）- λL(-十）≤ lim supx→∞xU′（x）U（x）- λL(-x） +lim supx→∞xλL′(-x） U（x）- λL(-十）≤ lim supx→∞xU′（x）U（x）+lim-su-px→∞xλL′(-x） U（x）|{z}=0≤ AE（U）。案例2：美国(+∞) = +∞ 我呢(-∞) = -∞. 对于任何ε∈ (0, 1 - max{AE（U），AE-（五十） }），存在x∈ (0, +∞) 因此，对于所有的x>\'x，它都认为-L(-x） >0；U（x）>0；xU′（x）U（x）<AE（U）+ε；-xL′型(-x） L(-x） <AE-（五十） +ε。有了这个，所有的x>\'xxU′（x）<（max{AE（U），AE-（五十） }+ε）U（x）；xL′型(-x） <-（max{AE（U），AE-（五十） }+ε）L(-x） 。此外，我们得到了所有x>\'x thatxW′λ（x）Wλ（x）=xU′（x）+λxL′的结果(-x） U（x）- λL(-x） <max{AE（U），AE-（五十） }+ε<1，通过lim sup的定义，它认为ae（Wλ）=lim supx→∞xW′λ（x）Wλ（x）≤ max{AE（U），AE-（五十） }+ε<1。案例3：美国(+∞) < +∞ 我呢(-∞) = -∞. 然后它适用于任意λ>0的Ae（Wλ）≤ lim supx→∞xU′（x）U（x）- λL(-x） +lim su px→∞xλL′(-x） U（x）- λL(-十）≤ lim supx→∞许′（x）-L（x）|{z}=0+lim-supx→∞xλL′(-十）-λL(-十）≤ AE-（五十） 。让我们考虑一个特殊的损失函数作为Wλ渐近弹性的例子。例3.5如果损失函数为指数形式，即。

L（x）=eγx，γ>0，那么对于AE（U）<1的任何效用函数U，它保持lim supx→∞x（U（x）- λL(-x） ）\'U（x）- λL(-x） =lim supx→∞x（U′（x）+λγe-γx）U（x）- λeγx≤ lim supx→∞xU′（x）U（x）- λe-γx+lim-su-px→∞λe-γxU（x）- λeγxL(-∞)=0≤ lim supx→∞xU′（x）U（x）<1，对于任何λ>0.3.2的主定理，我们求解辅助问题2.12，并导出其唯一的最优解。此外，我们还证明了λ的存在*≥ 0表示风险约束完全满足。通过连接值函数wλ，我们解决了问题2.10*我们证明了u也是一个效用函数，满足定义2.4的所有条件，渐近弹性严格小于1。定理3.6假设2.2、（9）和（10）成立。进一步假设Wλ的渐近弹性严格小于1。然后我们得到以下结果。（i） 设∧Xλ为问题2.12和λ的最优解*≥ 0使E[L](-~Xλ*（T））]=x。设y=u′（x）和yλ*∈ Y（Y）是λ=λ的（17）的唯一最优解*. 唯一最优解X∈ 问题2.10的A（x）由＠x（T）：=＠xλ给出*（T）=Hλ*（~Yλ）*（T））。~X~Y是[0，T]上的一致可积鞅。此外，函数u和wλ*分别在（7）和（14）中定义的，以u（x）=wλ的方式不同于一个常数*（x） +λ*x、 （18）（ii）u（x）<+∞ 对于所有x>0。函数u在（0+∞).

u和zλ*+ λ*xare共轭，即它保持zλ*（y） +λ*x=supx>0{u（x）- xy}，y>0；u（x）=infy≥0{zλ*（y） +λ*x+xy}，x>0。此外，u satis fiesu′（0）：=limx0u′（x）=+∞ 还有你(+∞) := 利克斯→∞u′（x）=0。（iii）当x>0时，它认为xu′（x）=Ehx（T）U′（~x（T））i+λ*EhX（T）L′(-~X（T））i（iv）它适用于u thatAE（u）的渐近弹性+≤ AE（U）- λ*五十） +<1。这个定理的证明需要一些辅助结果，这些结果是首先陈述的。引理3.7假设2.2、（9）和（10）成立。那么对于任何λ≥ 我们有以下结果。（a） wλ（x）<+∞ 对于所有x>0。存在y>0，使得zλ（y）<+∞ 对于任何y>y，函数w和z是共轭的，即它保持zλ（y）=supx>0{wλ（x）- xy}，y>0；wλ（x）=infy≥0{zλ（y）+xy}，x>0。函数wλ在增加，在（0+∞) 函数zλ在（y）上是严格凸的+∞). 函数w′λ和z′λ满足w′λ（0）：=limx0w′λ（x）=+∞ 和z′λ(+∞) := 酸橙→∞z′λ（y）=0。（b） 如果zλ（y）<+∞ , 然后是最优解≈Yλ∈ Y（Y）表示问题存在且唯一。证据利用Wλ是任意λ的效用函数的性质≥ 0（参见命题2.11）和bywλ（x）<+∞ 对于一些x（参见引理2.13），结果来自于[25]中的定理2.1。引理3.8假设2.2、（9）和（10）成立。此外，对于所有λ，设AE（Wλ）<1≥ 0.然后我们得到以下结果。（a） zλ（y）<+∞ 对于所有y>0。函数wλ和zλ在（0+∞) 函数w′λ和-z′λ是严格递减的。它们满足λ′(+∞) := 利克斯→∞w′λ（x）=0和-z′λ（0）：=limy→0-z′λ（y）=+∞.（b） 最优解∧Yλ∈ Y（Y）到问题（17）存在并且是唯一的。（c） 最优解∧Xλ∈ 问题2.12的X（X）存在且唯一。

如果Yλ∈ Y（Y）是问题（17）的最优解，Y=w′λ（x），那么对偶关系就产生了∧xλ（T）=Hλ（∧Yλ（T））和∧Yλ（T）=w′λ（∧xλ（T））。过程XλYλ是[0，T]上的一致可积鞅。（d） 它适用于w′λ和z′λ，即w′λ（x）=E“~xλ（T）w′λ（~xλ（T））x#和z′λ（y）=E“~yλ（T）z′λ（~yλ（T））y#。（e） 值函数zλ也可以用zλ（y）=infQ表示∈量化宽松ZλydQdP, （19） 式中，dQ/dP表示Q对P的Radon-Nikodym导数(Ohm, （英国《金融时报》）。证据[25]中的定理2.2证明了这一点。引理3.9假设2.2、（9）和（10）成立。此外，对于所有λ，设AE（Wλ）<1≥ 然后存在λ*≥ 这样的话-Hλ*（~Yλ）*（T）i=x.证明。首先，假设对于某些Q，Yλ（T）/Y=dQ/dP∈ Q.那么它适用于任何λ≥ 0带Xλ（T）=Hλ的XλydQdP是Q（参见[25]，定理2.2（iii））下的一致可积鞅，即x=~xλ（0）=EQh~xλ（T）i=EQHλydQdP.因此我们得到了HλydQdP∈ 中尉(Ohm, F、 Q），并且通过鞅表示，eoremit适用于任何t∈ [0，T]即∧Xλ（T）=Xλ（0）+Ztπ′udSu=X+Ztπ′udSu。因此，它认为∧Xλ∈ X（X）。此外，它由（9）和U thatu（x）=supX的凹度决定∈A（x）E[U（x（T））]+∞对于所有x>0，这意味着UHλydQdP∈ 中尉(Ohm, F、 P）。最后，我们证明了-HλydQdP∈ 中尉(Ohm, F、 P）。事实上，让我们假设L-HλydQdP= +∞.然后我们离开WλHλydQdP= EUHλydQdP- λL-HλydQdP= EUHλydQdP| {z}<+∞-λEL-HλydQdP| {z}=+∞= -∞.但通过（e），~Xλ（T）=HλydQdP是supX的最佳解决方案∈X（X）E[Wλ（X（T））]——一个矛盾。因此，它认为EhL-HλydQdP我+∞. λ的存在性*> 0苏克那L-Hλ*ydQdP= x、 然后由[18]中的引理6.1表示。现在，让我们假设Yλ/Y∈ Y（1）\\D（Q）。我们遵循[25]的思想。集合^S:=（1,1/＠Xλ，S/＠Xλ。