短缺风险约束下的投资组合优化

，Sm/~Xλ），并且由于XλYλ是一个一致可积函数，我们可以将Nt:=~Xλ（t）~Yλ（t）/（xy）定义为密度过程f或概率测度Q，即Nt=dQ/dP。那么Q是S的一个等价的局部m artin gale测度，即Q∈ Q（~S）。同样，我们可以使用与上面相同的参数。总结以上陈述，我们将证明主要定理。定理3.6的证明。（i） 通过（14），引理3.8（c）和引理3.9计算出wλ*（x） =supX∈X（X）E[U（XT）- λ*L(-XT]=EhUHλ*~Yλ*（T）我- λ*弹流润滑-Hλ*~Yλ*（T）i=E[U（Xλ）*（T））]- λ*x、 （20）对于任何x∈ A（x），我们有E[L](-X（T））]≤ 因此它认为e[Wλ*（X（T））]=E[U（X（T））- λ*L(-X（T））]=E[U（X（T））- λ*（L）(-X（T））- x） ]- λ*x=E[U（x（T））]- λ*（E[L](-X（T））]- 十）- λ*十、≥ E[U（X（T））]- λ*x、 第一个身份来源于（10）。因为∧Xλ*是唯一的财富过程，在（20）中，我们有不等式ehu（~Xλ）*（T）我- λ*x=wλ*（x） =EhWλ*（~Xλ）*（T）我≥ E[Wλ*（X（T））]≥ E[U（X（T））]- λ*x、 当且仅当x=~xλ时，它们成为等式*, 由引理3.8（c）和引理3.9组成。因此X=~Xλ*是达到最高inu（x）=supX的独特财富过程∈A（x）E[U（x（T））]，这意味着U（x）=E[U（~x（T））]=wλ*（x） +λ*x、 一致可积性也是引理3.8（c）给出的。（ii）第一个结果紧接着引理3.7（a）得出，将λ*而不是λ。由（18）表示u′（x）=w′λ*（x） 为了所有的x∈ (0, +∞) 结果如下：u′（0）=+∞.（iii）这是从（18）和引理3.8（d）中得出的，在这里我们写λ*而不是λ。（iv）通过关系式（18）和λ*十、≥ 0 it h olds thatAE（u）+=lim supx→∞xu′（x）u（x）=lim supx→∞xw′λ*（x） wλ*（x） +λ*十、≤ lim supx→∞xw′λ*（x） wλ*（x） =AE（wλ）*)+≤ AE（Wλ）*)+= AE（U）- λ*五十） +<1，其中最后两个不等式来自[25]的定理2.2（i）和假设onAE（Wλ）。

注释3.10扩展了Kramkov和Schachermayer在[26]中的结果，它认为函数Wλ的渐近弹性是唯一有效的假设。最优解的必要和充分条件是，对偶问题的值函数始终大于0。在我们的模型中，对偶p问题的值函数是zλ*（y） =英菲∈Y（Y）E[Zλ*（YT）]，式中λ*≥ 0又是这样，E[L](-X（T））]=X。根据Wλ的定义得出*在（10）中，Wλ*具有效用函数的性质（参见命题2.11）。引理3.11条件zλ（y）<+∞ 对于所有情况，y>0相当于infq∈量化宽松ZλydQdP< +∞, 对于所有y>0。证据一个方向紧随着T heorem 3.6证明中的性质（g）。由于等价鞅测度Q的密度过程dQ/dP属于Y（1），因此遵循另一个方向。为了解决问题2.10，权利要求AE（Wλ）<1因此可以用zλ（y）<+∞ . 在损失函数L为非负的特殊情况下，这是成立的。定理3的断言。6仍然有效，这是下一个命题。命题3.12假设2.2、（9）和（10）成立。进一步假设U的渐近弹性严格小于1，损失函数L为非负值。那么定理3.6的所有性质都成立。证据假设AE（U）<1。根据[26]中的注释2，这意味着v（y）：=infQ∈量化宽松五、ydQdP< +∞对于所有y>0。根据定理2.14（ii），它适用于所有y∈ (0, +∞) Zλ（y）≤ V（y），因此意味着zλydQdP≤ 五、ydQdP, infQ∈QZλydQdP≤ infQ∈QVydQdP,通过方程（19）：zλ（y）≤ v（y）。这意味着v（y）<+∞ 意味着zλ（y）<+∞ 对于所有y>0。

因为根据命题2.11，Wλ具有效用函数的性质，zλ（y）是效用最大化问题Wλ（x）=supX（x）E[Wλ（XT）]对偶问题的值函数，我们可以将[26]中的定理2应用于Wλ效用最大化问题，导出引理3.7和引理3.8。因此，定理3.6中的性质成立。3.3最优投资和消耗由于我们的方法本质上是发展随机版本的Legendre-Fenchel变换来解决凸优化问题，它可以扩展到更复杂的情况。为了阐明这一观点，本节考虑了优化问题，其中根据[23]的框架添加了累积消耗过程C。让我们精确地定义过程C=（Ct）0≤T≤Tas是一个非负、非减量、F适应的RCLL过程。我们称满足上述假设的一对（π，C）为投资消费策略。投资者的财富过程Xπ，C，xo由Xπ，C，X（t）=X+Ztπ′udSu给出- Ct，0≤ T≤ 当Xπ，C，X（T）时，策略（π，C）是可容许的≥ 0.当没有混淆时，我们简单地写ex:=Xπ，C，X。Fu r或者，如果有一个策略π使得（π，C）是可容许的，我们称消耗过程C为可容许的。假设有一个概率度量u，使得ct=Ztc（u）u（du），0≤ T≤ T、 其中c是相应的密度过程。所有这类密度过程的集合将以u（x）为单位。通过上述表达式，终端财富被解释为从时间T开始的即时消费- 并由x（T）=CT给出-计算机断层扫描-=ZTc（u）u（du）-ZT-c（u）u（du）=c（T）。因为终端财富X（T）可以用消费过程c来表示，所以它只能在消费过程c上进行优化。最优解可以从以下纯消耗问题的最优解中恢复。

在本小节中，我们将重点讨论合理的弹性效用随机场，它是时间、财富和随机场景中的效用函数。关于确切的符号和属性，我们参考[23]。问题3.13找到一个最优的消费过程c和一个最优的终端财富X，以实现最大的预期效用u（X）=supc∈Au（x）nEhRTU（t，c（t））dt+U（c（t）/2）i对象为E[L](-c（T）/2）]≤ x、 （21）其中Uis是一个具有相应Kand K（参见定义3.1.in[23]）、Ua效用函数和定义2.7中定义的损失函数的确定性效用随机场，因此0<lim infx→∞U′（x）K（x）≤ lim supx→∞U′（x）K（x）<+∞. （22）为了推导问题3.13的最优解，我们需要以下假设。假设3.14存在e xi sts x>0，使得u（x）<+∞.与第3小节相同，我们通过引入GA-Lagrange乘子λ来描述约束条件下的优化问题≥ 0.定义Wλ（x）：=U（x）- λL(-x） 通过命题2.11，我们知道Wλ又是一个效用函数。下面是示例3.11。在[23]中，为了解决这个优化问题，两个效用测度uan和Wλ乘以一个效用随机域Wλ：[0，T]×R+→ Rde定义的asWλ（t，x）：=2tu（t，x2T），t<t；2Wλ（x），t=t.（23）我们需要下面的无约束优化问题来帮助解决问题3.13。问题3.15找到达到最大预期效用的最佳消耗过程cλ（x）=supc∈Au（x）EZTWλ（t，c（t））u（dt）.问题3.15的双重版本由zλ（y）=infQ给出∈判定元件ZTsupx>0Wλ（t，yYQt）- xyYQtu（dt）, （24）其中D表示对偶问题的域，即股票过程S的所有超鞅测度集的闭包，其元素为完全可加概率测度。过程YQis是F上最大可数可加测度密度过程的一个超鞅形式，它由Q（Q的正则部分，cf。

[23]).现在，我们给出这一小节的主要结果。定理3.16假设假设假设3.14和（22）成立。设U和L为AE（U）<1和Wλ(+∞) > 0.那么问题3.13有一个最优解c∈ Au（x）由c（t）给出=2T(U（t，·））-1.yYQyt, t<t；2（W′λ）*)-1.yYQyT, t=t，其中y=w′λ*（x） qy是双重问题的解决方案（24）。相应的最优终端财富由)X（T）=Hλ给出*yYQyT,其中Hλ*:= （W′λ）*)-1指定W的一阶导数的倒数*λ和λ*≥ 0就是这样的(-~X（T））]=X。此外，值函数u和zλ*具有定理3.6（ii）中的双对偶关系。证据大纲。根据L的假设和性质（参见定义2.7）以及Wλ的渐近弹性性质（参见引理3.4），它认为AE（Wλ）<1和0<lim infx→∞W′λ（x）K（x）≤ lim supx→∞W′λ（x）K（x）<+∞ . 因此，通过示例3.11。在[23]中，Wλ是合理的弹性效用场。现在，使用定理3.10。（v） 在[23]中，问题3.15的最优解由∧cλ（t）=Iλ给出t、 yYQyt, 0≤ T≤ T、 式中Iλ（T，y）：=（ddxWλ（T，x））-1（y）是Wλ的一阶导数的倒数，y=W′λ（x）和∧qy是对偶问题（24）的解。对于Iλ，它认为Iλ（t，y）=（2T）ddxU（t，x）-1（y），t<t；2（W′λ）-1（y），t=t。然后，问题3.15的最优终端财富由Xλ（t）=c（t）=（W′λ）给出-1.yYQyT= HλyYQyT.现在，再次选择λ*≥ 0使得E[L](-~Xλ（T））]=X.证明存在这样一个λ*类似于引理3.9。与定理3.6（i）中的p屋顶类似，我们可以证明∧c:=~cλ*是问题3.13的最优消耗。因此X:=~Xλ*是最理想的终端财富。u与dzλ的双对偶关系*可以用定理3.10中的双对偶关系wλ和zλ来证明与定理3.6（ii）中的类似。（iii）在[23]中。

4完全市场的解现在让我们考虑一个完全市场的情况，即集合Q只包含一个元素Q——唯一的等价鞅测度。对于wλ，我们可以定义共轭函数zλviazλ（y）：=EZλydQdP.4.1主要理论增益，我们现在的目标是解决主要的优化问题2.10。在完全市场情况下，我们不需要关于Wλ的渐近弹性的假设。结果与理论3相似。6.除了看起来更漂亮。定理4.1假设2.2、（9）和（10）成立。设y:=inf{y>0|z（y）<+∞} andx:=limyy-z′λ（y）。然后我们得到以下结果。（i） 如果x<x，则最优解x∈ 问题2.10的X（X）由▄X（T）=Hλ给出*ydQdP,对于y>y，其中y=u′（x）。λ*≥ 0等于E[L(-~X（T））]=X.~X是Q下的一致可积鞅。此外，函数u和wλ*分别在（7）和（14）中定义的值在U（x）=wλ的方式下不同，直到一个常数*（x） +λ*x、 （25）（ii）u（x）<+∞ 对于所有x>0。函数u在增加，在（0+∞)在（0，x）上严格凹。u和zλ*+ λ*xare共轭，即它保持zλ*（y） +λ*x=supx>0{u（x）- xy}，y>0；u（x）=infy≥0{zλ*（y） +λ*x+xy}，x>0。（iii）对于0<x<xit认为xu′（x）=E[~x（T）U′（~x（T））]+λ*E[~X（T）L′（~X（T））]。此外，u满足u′（0）：=limx0u′（x）=+∞.证据（i） 首先，因为Wλ是效用函数f或任何λ≥ 2.11号提案中的0。

根据[25]中的定理2.0（ii），（14）中问题的最优解是由∧Xλ（T）=Hλ（ydQ/dP）给出的，对于X<X和y>y，其中y=w′λ（X）或等价地，X=-z′λ（y）。λ的存在性*≥ 0，使得E[L](-Hλ*（ydQ/dP））]=x在引理3.9中得到了证明。此外，通过（14）我们得到了λ*（x） =supX∈X（X）E[U（X（T））- λ*L(-X（T））]=EUHλ*ydQdP- λ*EL-Hλ*ydQdP= EhU（~Xλ）*（T）我- λ*x、 然后我们使用了定理3.6（i）证明中的参数。此外，我们通过[25]的（13）和定理2.0（iii）得到了Eq[~X（T）]=EPHλ*ydQdPdQdP= EP-Z′λ*ydQdPdQdP= -z′λ*（y） =x。因此，~x是Q-鞅，它属于x（x）。（ii）它来自（25）和引理3.7（a）。（iii）u′（x）的r表示来自（25）和w′λ（x）=xE[~xλ（T）w′λ（~xλ（T））]，参见引理3.8（d）。此外，这句话暗示了w′λ*（0）：=limx0w′λ（x）=+∞. 4.2 Black-Scholes市场中的扩展我们现在假设我们在Black-Scholes框架中，价格过程由几何布朗运动描述。L et B=（B，…，Bn′）是n维布朗运动(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P），过滤时间（英尺）为0≤T≤假设市场由一个无风险债券组成，其利率r[0，T]→ R、 由St:=exp{Rtrsds}给出，对于t∈ [0，T]。此外，有n只股票，而它们的预期价格过程Si，i=1，n、 建模为（dSit=Sit）（笑）-rt）dt+Pnj=1σijtdBjt;Si=Si，i=1，m、 （26）在下文中，下标t被忽略。这里，ui和σi是关于过滤（Ft）0的逐步可测量的随机过程≤T≤T.ui描述了第i个库存的漂移和{σij}nj=1第i个库存的挥发性。让我们定义波动率矩阵σt:=（σijt）n×和风险溢价过程α=（α，…，αn）′，通过αit:=uit-rt。

我们假设α是一致有界的，σ有满秩，σσ′是可逆有界的。在这种情况下，我们的市场是完整的，因为资产的数量等于布朗运动的维数。因此，存在一个u nique等价鞅测度Q，氡Nikodym密度N由nt:=dQdP给出Ft=exp-Ztθ′sdBs-Zt||θs||ds, （27）式中θt:=σ-1tα是风险的市场价格。对于初始资本x>0，财富过程由（3）给出。利用价格过程动力学（26），我们得到了随机微分方程dXπ，x（t）=π′tdiag（St）αtdt+π′tdiag（St）σtdBt；Xπ，0（t）=X.（28）在完全市场中，已知任何可容许的未定权益ξ都可以唯一对冲。其自我融资套期保值组合（x，π）的财富过程根据（28）和Hastinme-T Payoffξ演变。我们的最优交易策略π*因为问题2.10是唯一的，因为它是唯一对冲组合（x，π）的一部分*) 或有权益的收益为最优最终财富xπ*,x（T）=x（T）=Hλ*ydQdP= Hλ*y经验-ZTθ′sdBs-ZT||θs||ds根据定理4.1（i），其中y=w′λ*（x） λ*是这样的(-Xπ*,x（T））]=x。只有当市场系数α和σ是确定性的时，最优投资组合的显式形式才可能，参见[12]。Xπ的分布*,x（T）由p给出Xπ*,x（T）≤ A.= Φln（W′λ）*（a） /y）+RT | |θt | | dtqRT | |θt | dt,其中Φ表示标准正态分布的分布函数。我们将在下一小节举个例子。4.3示例let U（k）=-k+1和L（k）=-kbe给定。然后满足定义2.4和2.7的所有性质。然后我们有Wλ（k）=-k+1-3λk和Hλ（k）=q1+3λk。假设θ<ζ等于rmin≤ 十、≤ rθ<NT<ζ。

那么最优财富过程i由X（t）=Xπ给出*,x（t）=Nts1+3λy·ENt·（exp（a+bη））{θ<Ntea+bη<ζ}英尺,其中a:=-RTt||θs||ds，b:=-||θ| |和η是独立于Ft的标准高斯随机变量。此外，λ*是他唯一的解决方案-γ~X（T）i=X和y∈ (0, +∞) 是这样的，即e[NTX（T）]=X。相应的交易策略由π给出*t=-诊断（St）-1（σ′t）-1θtea+bs1+3λyNt·-2NtΦln（ζ/Nt）- ab-B(29)-Φln（θ/Nt）- ab-B+ φln（ζ/Nt）- ab-BNtζb- φln（θ/Nt）- ab-BNtθb,式中，φ是累积标准正态分布函数Φ的密度。证据等价鞅测度的密度Nto可以用（27）表示，因此它保持sthatnt=exp-ZTθ′sdBs-ZT||θs||ds= 新台币-ZTtθ′sdBs-ZTt||θs||ds= Nt·exp（a+bη），其中a:=-RTt||θs||ds，b:=-||θ| |和η是独立于Ft的标准高斯随机变量。过程N | X是关于P的鞅，所以我们没有| Xt=E[NTXT | Ft]<=>~Xt=ENTNtHλ（yNT）1{θ<NT<ζ}英尺= E“nts1+3λyNT{θ<NT<ζ}英尺#。在[12]之后，我们可以使用Cnte[g（Nt，η）|Ft]=cNtψ（Nt）和ψ（z）=E[g（z，η）]表示z∈ (0, +∞), 其中g是一个可测函数，c∈ R是一个常数，并以Xt=Nts1+3λy·E的方式导出过程XNt·（exp（a+bη））{θ<Ntea+bη<ζ}英尺.选择g（z，x）=ze（a+bη）{θ<zea+bx<ζ}并用它计算ψ（z）=E[g（z，η）]=√2πZ+∞-∞ze（a+bx）e-x{θ<zea+bx<ζ}dx=zea-B√2πZln（ζ/z）-abln（θ/z）-阿贝-（十）-b/2）dx=zea-B√2πZln（ζ/z）-ab-bln（θ/z）-ab-是-xdx=zea-BΦln（ζ/z）- ab-B- Φln（θ/z）- ab-B.现在，用F（z，t）：=z设置∧Xt=Ntq1+3λyψ（Nt）=F（Nt，t）-ea-bs1+3λyΦln（ζ/z）- ab-B- Φln（θ/z）- ab-B,它用^o的公式，dXt=Ft（Nt，t）dt+Fz（Nt，t）dNt+Fzz（Nt，t）dNtdNt=Ft（Nt，t）+Fzz（Nt，t）Nt | |θt||dt- Fz（Nt，t）Ntθ′tdBt，（30），其中Fz，Fz和ftf表示F（z，t）相对于z和t的偏导数。

比较dBtin（28）和（30）前面的系数，我们得到了（π）*t） ′diag（St）σt=-Fz（Nt，t）Ntθ′t<=> π*t=-诊断（St）-1（σ′t）-1θtNtFz（Nt，t）。让我们计算F（z，t）对z的一阶导数。Fz（z，t）=ea+bs1+3λy·-Z-Φln（ζ/z）- ab-B- Φln（θ/z）- ab-B+Z-φln（ζ/z）-ab-Bzζb- φln（θ/z）- ab-Bzθb,式中φd表示标准正态分布的密度函数。这样我们就得到了表达式（29）。5结论本文在不允许套利的一般不完全市场中，解决了基于效用的卖空约束下的期望效用最大化问题。其中的效用函数和损失函数不需要有特殊形式。我们只假设原始p问题的值函数是实值函数，效用函数的渐近弹性小于1，损失函数为负n。此外，我们在最优投资和消费框架下解决了这个问题。在所有情况下，最优终端财富的形式与定理3.6（i）中推导的形式相同，即效用函数的一阶导数与损失函数和拉格朗日乘数的组合。需要进一步研究的一个有趣问题是，研究结果是否可以推广到动态风险度量。Cuoco等人[8]考虑了完全Black-Scholes市场中半动态风险约束和衍生解下的问题。此外，我们将在一个信息完整的环境中传递模型，即投资者对市场有部分了解，如过滤G:=（Gt）t所述∈[0，T] F:ut（x）=supX∈Xt（x）E[U（x（T））|Gt]，受E[L]约束(-X（T））| Gt]≤ x、 P-a.s.通过考虑财富过程过滤G下的鞅表示，可以给出该问题的最优解。