短缺风险约束下的投资组合优化

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英文标题：
《Portfolio Optimization under Shortfall Risk Constraint》
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作者：
Oliver Janke and Qinghua Li
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This paper solves a utility maximization problem under utility-based shortfall risk constraint, by proposing an approach using Lagrange multiplier and convex duality. Under mild conditions on the asymptotic elasticity of the utility function and the loss function, we find an optimal wealth process for the constrained problem and characterize the bi-dual relation between the respective value functions of the constrained problem and its dual. This approach applies to both complete and incomplete markets. Moreover, the extension to more complicated cases is illustrated by solving the problem with a consumption process added. Finally, we give an example of utility and loss functions in the Black-Scholes market where the solutions have explicit forms.
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中文摘要：
本文提出了一种利用拉格朗日乘子和凸对偶的方法来解决基于效用的短缺风险约束下的效用最大化问题。在效用函数和损失函数渐近弹性的温和条件下，我们找到了约束问题的最优财富过程，并刻画了约束问题各自的值函数与其对偶之间的双对偶关系。这种方法适用于完全市场和不完全市场。此外，通过添加消耗过程来解决问题，说明了对更复杂情况的扩展。最后，我们给出了Black-Scholes市场中效用函数和损失函数的一个例子，其中解具有显式形式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_under_Shortfall_Risk_Constraint.pdf (301.91 KB)

2022-5-7 10:04:29 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Mathematical Optimization Quantitative

短缺风险约束下的投资组合优化*+李清华*2016年4月21日摘要本文提出了一种利用拉格朗日乘子和凸对偶的方法，解决了基于效用的短缺风险约束下的效用最大化问题。在效用函数和损失函数渐近弹性的温和条件下，我们找到了约束问题的最优财富过程，并刻画了约束问题m的相应值函数与其对偶之间的双对偶关系。这种方法适用于完全市场和不完全市场。此外，通过添加一个消费过程来解决问题，可以说明对更复杂案例的扩展。最后，我们给出了Black-Scholes市场中效用函数和损失函数的一个例子，其中解具有显式形式。关键词：投资组合优化、基于效用的短缺风险、凸对偶性、拉格朗日乘数、渐近弹性、最优消费这是泰勒和弗朗西斯·格鲁普于2016年4月19日在《优化》杂志上发表的一篇文章的公认手稿，可在线获取：http://www.tandfonline.com/10.1080/02331934.2016.11736931简介投资组合经理努力实现两个目标——利润最大化和风险防范。前者被公式化为最大化终端财富X（T）的预期效用，其中它们的参考由效用函数U:maxXE[U（X（T））]建模。（1） 后者被转化为对其风险度量的约束ρ：ρ（X（T））≤ 0.（2）然后，投资组合经理在风险约束下解决效用最大化问题。默顿[28]首先提出了效用最大化的无约束版本，他解决了幂、对数和指数效用函数的问题，在两种资产的情况下，他找到了最优交易策略的显式解决方案。

之后，克拉姆科夫和沙切梅耶*洪堡大学——德国柏林大学林登分校数学系，10099。作者感谢Ulrich Horst、Julio Backho Off和Anna Maria Hamm，以及匿名推荐人提供的有用建议和评论。+电子邮件：janke@math.hu-柏林。判定元件；通讯作者。[25,26]发展了对偶方法，解决了金融市场一般不完全半鞅模型中的问题。自Artzner等人[2]在数学上定义了风险度量，然后由例如F¨ollmer和Schied[11]开发以来，风险约束下的投资组合优化一直是一个活跃的研究主题。过去十年的金融危机使人们对投资组合策略带来的风险更加警惕。另一方面，文献中也对最小化短缺风险度量进行了广泛研究：Leibowitz和Henriksson[27]为具有短缺约束的优化问题引入了置信限方法。Rockafellar和Uryasev[32]表明，在计算风险值时，通过对一类问题使用线性规划和非光滑优化技术，条件风险值可以最小化。此外，Acerbi和Tasche[1]以及Bertsimas等人[6]的著作中还概述了缺口作为风险度量的重要属性，以及它与其他风险度量的比较。结合[11]、[32]和其他研究结果，Goldberg等人[17]考虑了预期短缺优化问题。与之前的工作相比，他们将最小预期缺口与最小方差投资组合进行了比较，而不是考虑预测平均收益，并表明使用基于因子的极端风险进行下行风险优化是方差最小化的现实选择。

Bin[7]最近的一篇论文研究了一个带有投资者止损策略的投资组合优化问题，并导出了一个新的条件风险价值方程，该方程比传统方法得到了更好的解。本文将利用基于ρbeinga效用的短缺风险测度，解决约束条件（2）下的效用最大化问题（1）。我们的方法发展了Kramkov和Schachermayer[25]提出的效用最大化的凸对偶。在效用函数和损失函数的温和假设下，我们证明了拉格朗日函数是一个通常的效用函数，其交变弹性小于1。一个效用为拉格朗日函数的无约束最大化问题可以通过对偶方法求解。证明了约束问题的解是无约束问题的解，并给出了适当的拉格朗日乘子。我们给出了一个最优财富过程以及约束问题和对偶问题各自的价值函数之间的b-i-d对偶关系。在Black-Scholes框架下，资产的价格过程遵循几何布朗运动，我们将考虑一个完整的市场，其中股票的数量等于不确定性的数量。在这种情况下，我们得到了一个更简单的最优解形式，就像一般情况下的价格半鞅过程一样。此外，我们将给出一个例子，其中导出了最优交易策略的显式解。为了说明我们的方法在更复杂的情况下的扩展，我们解决了基于效用的短缺风险约束下的最优投资和消费问题。Karatzas等人[21]首先制定并解决了无约束版本，这两个问题分别考虑，然后组合。

Karatzas和Zitkovic[23]使用了依赖时间的效用函数，并将不对称弹性的概念扩展到了这种情况。利用凸对偶技术，他们解决了纯消费以及综合消费和最终财富问题。我们将在他们的版本中添加风险约束。其他研究人员也对风险约束下的投资组合优化问题进行了研究。例如，Basak和Shapiro[4]以及Gabih等人[15,13]认为，在一个完整的Black-Scholes金融市场中存在这样一个问题，但风险度量不是现金不变的。Gundel和Weber[18,19]、Gabih等人[14]和R udlo off等人[33]使用基于效用的短缺风险作为风险度量。例如，Moreno Bromberg等人[29]和Horst等人[20]制定了BSDE方法。Backhoff和Silva[3]分析了Pontryagin原理和拉格朗日乘子技术之间的联系，以解决约束条件下的效用最大化问题。Cuoco等人[8]考虑了完整的Black-Scholes市场中的半动态风险约束，在该市场中，投资者每次都使用他们的信息，并通过将静态风险度量应用于预期财富变化的条件分布来评估他们的风险。尽管其他作者也使用拉格朗日乘数将效用函数与损失函数联系起来（例如，参见[18,19,12,33]），但，我们的方法明确地考虑了渐近弹性：我们定义了效用函数和损失函数的渐近弹性性质，使得优化问题存在解，并给出了约束优化问题的值函数的共轭函数。此外，我们还证明了这个值函数是一个效用函数，并计算了它及其渐近弹性。

与Gundel和Weber[18,19]相比，我们只考虑可接受交易策略的财富过程，而不是长期的最终财富，因此不需要第二个拉格朗日乘数来满足预算约束。此外，我们的结果还可以推广到其他的投资组合优化问题，我们给出了最优消费问题。据我们所知，这个问题还没有解决。我们的方法的主要优点是，它也可以用于除FROM短缺风险之外的其他损失函数，只要所连接的函数还是一个效用函数。最后，我们给出了一个完整Black-Scholes市场的具体例子，并明确地求解了最优交易策略。与Gabih[12]或Gundel和Weber[18,19]相比，我们使用的效用函数和损失函数形式不同。本文的其余部分分为五个部分。第2节定义了金融市场、效用函数和风险度量。我们的方法是在效用最大化和基于效用的短缺风险度量的典型环境中提出的。此外，我们在第2.4小节中介绍了使用拉格朗日乘子的方法来获得另一个新的效用函数问题。在3.2小节中，将风险约束下的初始优化问题与不完全市场中的辅助问题联系起来，解决了该问题。此外，作为扩展，我们在第3.3小节的模型中添加了一个消费过程。在第4节中我们考虑了一个完整的市场，在第4.1小节中我们推导了最优解，通过解决第4.2小节中的问题扩展了Black Scholesmarket中的优化问题，并在第4.3小节中给出了一个具体的例子，其中我们推导了一个特殊的效用函数和损失函数的最优财富过程和最优交易策略的显式形式。

本文在第5.2节“问题公式”2中得出结论。1市场(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 P）是一个经过过滤的概率空间。金融市场的时间范围是某个正实数T的区间[0，T]。m市场由一只无风险债券和m只股票组成)S=（)S，)Sm）。具有确定性利率r:[0，T]→ R、 t 7→ 对于所有t，键由St=expnRtrsdso>0给出∈ [0，T]。此外，贴现股价过程S:=（S，…，Sm）′，其中Si:=~Si/S，i=1，m、 是关于（P，（Ft）0的m维半鞅≤T≤T） 。设x表示投资者的正初始资本和外源初始资本。假设交易策略π=（π，…，πm′是一个可预测的S-可积过程，其中πit，i=1，d、 表示在时间t时我在投资组合中持有的资产数量。投资组合定义为一对（x，π）。关联财富过程表示为Xπ，X。剩余财富Xπ，X-Pdi=1π投资于无风险的bon d。我们的投资组合（x，π）是自我融资的，在这个意义上，不会有外来流动的信贷或消费。因此，财富过程由xπ，x（t）=x+Ztπ′udSu，0给出≤ T≤ T.（3）所有此类可容许交易策略的集合π表示为∏。初始资本为x的所有非负沃尔特过程的集合定义为asX（x）：={xπ，x≥ 0 | π ∈ Π }.在没有混淆的情况下，我们用X表示Xx，π。定义2.1关于概率测度P和财富过程集合X（1），等价局部鞅测度的集合Q是所有概率测度Q的集合，满足（i）P和Q是等价的（Q~ P）；（ii）任何X∈ X（1）是Q下的局部鞅。如果过程S是局部有界的，那么它是[0，T]上任何等价局部鞅测度Q下的局部鞅。

此外，我们用D（Q）表示任意概率测度Q的所有Radon-nikodym导数dQ/dP的集合∈ Q关于P。假设2.2我们在本文中假设Q 6=.从经济上讲，等价局部鞅测度的存在等价于以下意义上的arb-itrage的缺失。定义和定理2.3（[10]，推论1.2）设我们是一个局部有界实值半鞅。S有一个等价的局部鞅测度，当且仅当S满足无风险的免费午餐，即不存在序列（fn）n≥0在可容许被积函数的最终结果中，fn=Rπ，使得负部分f-n一致地趋于0，使得fn几乎肯定趋于a[0+∞]-满足P（f>0）>0的值函数。当等价局部鞅测度唯一时，市场是完全的（参见[25]）。Kardarasand Platen[24]指出，假设无套利市场意味着价格过程必须是半鞅。因此，我们对S的半鞅假设是必要的。然而，事实并非如此，参见[24]。因此，我们需要假设2.2.2.2效用函数。下面，让我们介绍从每种投资策略中获得一定现金量的投资者的外生时间和状态独立效用函数。直观地说，效用函数u比较了不同现金数额给投资者带来的满意度。

严格来说，效用函数U定义如下。定义2.4（效用函数）设函数U:（0+∞) → R∪{-∞}, x7→ 给出U（x）。如果U是严格递增的、严格凹的、连续微分的，并且满足Inada条件su′，则称为效用函数(+∞) := 利克斯→∞U′（x）=0和U′（0）：=limx0U′（x）=+∞.此外，U的一阶导数的反函数表示为I:=（U′）-1.V的勒让德变换-U(-x） 在解决效用最大化问题和计算最优终端财富时非常有用（参见[22,31]）。它由v（y）给出：=supx>0{U（x）- xy}=U（I（y））- yI（y），0<y<+∞. （4） 双对偶关系由u（x）=infy>0{V（y）+xy}，x>0给出。（5） 下面的结果描述了勒让德变换V的渐近性质。例如，可以在[22，引理4.2]中找到证明。属性2.5假设U是定义2.4中定义的效用函数，则定义在（4）中的函数V是连续可微的、递减的、严格凸的和满足的(+∞) := 酸橙→∞V′（y）=0和V′（0）：=limy0V′（y）=-∞.此外，它认为v（0）：=limy0V（y）=U(+∞) 和V(+∞) := 酸橙→∞V（y）=U（0）。U满足I的一阶导数的反函数I:=（U′）-1= -V′.2.3风险度量对于给定数量的初始资本，代理人的交易策略受其风险偏好的限制。因此，我们假设代理人是风险规避者，并且通过特定功能测量的风险是从上面计算出来的。风险度量由其公共关系属性定义。Giesecke等人[16]指出，一个好的风险度量应该在货币规模上量化风险，检测极端损失事件的风险，并鼓励投资组合选择的多样化。定义2.6（凸风险度量）（[16]，定义2.3）设X为可积随机变量的向量空间。

函数ρ：X→ 如果属性（a，b，c）对任何X，X均成立，则R称为（货币）凸风险度量∈ 凸性：ρ（λX+（1）-λ） 十）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（X），对于任意λ∈ [0, 1].（b） 单调性：X≤ Ximpliesρ（X）≤ ρ（X）。（c） 平移不变性：ρ（X+m）=ρ（X）- m、 对任何人来说∈ R.根据性质平移不变性（c），值ρ（X），X∈ 十、 可以解释为代理人为消除风险而增加其风险资产X的价值。也就是说，ρ（X+ρ（X））（c）=ρ（X）- ρ（X）=0。对产权凸性（a）的解释是，代理人可以通过分散其投资组合来最小化风险。单调性（b）意味着如果报酬增加，风险降低。此外，还有一个动态版本的风险度量，例如由F–ollmer和Schied[11]定义。金融业中经常使用的一个非常著名的风险度量是风险价值（VaR）。对于财务职位X∈ 十、 定义为最小值m∈ R必须加在x上，以确保损失概率不超过给定的α级∈ (0, 1). 在数学上，VaR表示为（cf[16]）VaRα（X）：=inf{m∈ R | P（X+m<0）≤ α}.虽然VaR通常用于银行和保险公司，但它也有一些缺点。首先，它没有考虑超过VaR的损失规模。其次，凸属性定义2.6（a）一般不适用于VaR，因此它不鼓励多元化。由于我们关注凸风险度量，因此我们的方法不包括VaR情况。尽管如此，Basak和S hapiro[4]还是为Black Scholes市场解决了这个问题。为了避免其缺点，可以将VaR修改为平均风险值（AVaR），参见。