路径相关风险下的最优衍生品清算时机

如果驱动函数gα（u，s）为负，（美国）∈ [t，t]×R+，则最好立即出售，即τ*= t、 证据。我们从（2.10）中的积分观察到，如果驱动函数Gα为正（分别为负），（美国）∈ [t，t]×R+，然后我们可以通过选择最大（或最小）的停止时间，即τ来最大化期望*= T（分别为τ）*= t） 。特别是，如果Vs（t，s）和（u（t，s）- r） 有不同的迹象（t，s），那么驱动函数gα总是负的，所以最好立即卖出。如果我们设置T=∞. 一般来说，延迟区域s总是包含驱动函数为正的区域，即{Gα>0} {Lα>0}，（2.12）参见例如（Oksendal and Sulem，2005年，公关作品2.3）。直观地说，这意味着如果G（t，s）>0，投资者不应该立即卖出，因为可以通过等待极小的时间来获得增量正的极小溢价。此外，我们还可以从（2.10）中推断出基于提取函数的最优清算溢价的排序。推论2.3。考虑两个选项A和B，以及两个惩罚系数αA和αB。如果A的驱动函数支配B的驱动函数，即GαAA（t，s）≥ GαBB（t，s），（t，s）∈[0，T]×R+，则A，LαAA的最优清算溢价支配B，LαBB（T，s），即LαAA（T，s）≥ LαBB（t，s），（t，s）∈ [0，T]×R+。由此推论，我们可以比较不同处罚的清算时间。例如，对于0≤ α≤ α、 我们有Gα（t，s）≥ Gα（t，s）表示相同的选项。由（2.7）和推论2.3可知，惩罚α的最优清算时间晚于惩罚α的最优清算时间。一般来说，根据潜在的动态和期权支付，可能会出现各种延迟和卖出区域。

接下来，我们给出了延迟区域有界的充分条件。定理2.4。让T<∞ 时间是同质的。然后，延迟区域是有界的，前提是（i）c>0 s.t.Gα（t，s）<c每（t，s）∈ [0，T]×R+；存在常数b，k>0，使得Gα（t，s）<-[0，T]×k中的b，∞).证据Ste P1。我们发现了一个主导Lα（t，s）的函数BL（t，s），并且在两个方向上都在下降。为此，我们定义了Gα（s）：=max{Gα（t，ξ）：（t，ξ）∈ [0，T]×s，∞)},bL（t，s）：=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） bGα（Su）du，.通过构造bgα：[0，T]×R+→ R在t中是常数，在s中是递减的。它也满足条件（i）和（ii）。因此，利用S的时间均匀性，我们得到，对于t>t′，bL（t，S）=supτ∈T0，T-tE0，sZτe-rubGα（Su）du≤ supτ∈T0，T-t\'E0，sZτe-rubGα（Su）du=bL（t′，s）。因此，bL（t，s）在t中减少。此外，由于bgα在s中减少，我们有，对于s′>s，bL（t，s′）=supτ∈Tt，TEt，s′Zτte-r（u）-t） bGα（Su）du= supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） bGα（Su+s′）- s） 杜≤ supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） bGα（Su）du=bL（t，s）。因此，bL（t，s）在s中也在减少。由于定义BGα支配Gα，推论2.3 imp表明，只要bL（t，s）有界支撑，Lα（t，s）就有界支撑。从今以后，我们可以在不失去普遍性的情况下，假设Lα在变量t和s中都是递减的，并且Gα是时间齐次的，在s中是递减的。特别地，我们表示Gα（s）≡ Gα（t，s）。第二步。我们证明，对于每t>0，就有e xi sts^s<∞ 因此，对于所有>^s的情况，Lα（t，s）=0。由于Lα（t，s）在减少，因此可以证明不存在^t∈ （0，T]s.T.Lα（T，s）>0表示0≤ T≤^t和s∈ R+。为此，让我们假设这样一个时间并不存在。换句话说，τ*= inf{t≤ U≤ T:L（u，Su）=0}>。修正t∈ [0，^t）.条件（ii）表示存在k s.t.Gα（s）<-b<0英寸[k，∞).

对于s>k，我们让τk:=inf{u≥ t:苏≤ k} 。由于S有连续路径，我们有τk>t.definek（t，S）：=crEt，sne-r（τk）-t） {τk≤τ*}o- Et，s（bZτ）*∧τkte-r（u）-t） 杜克瑞-r（τk）-t） {τk≤τ*}o- B1.- Et，sne-r（τ）*∧τk-t） o, （2.13）其中c是条件（i）中Gα的上界。下一步，采取行动↑ ∞ 得到Pt，s（τk≤ （T）↓ 0，而Et，sE-r（τ）*∧τk-（t）< E-r（^t）-t） 自τ*>因此，我们得到β（t，s）：=c Pt，s（τk）≤ τ*)r（1）- Et，sE-r（τ）*∧τk-（t）)→ 0.因此，对于足够大的s>k，我们得到b≥ β（t，s），这意味着K（t，s）≤ 0（见（2.13））。接下来我们考虑差异α（t，s）- K（t，s）≤ Et，s（Zτ）*τ*∧τke-r（u）-t） Gα（Su）du-cre-r（τk）-t） {τk≤τ*})≤ ertEt，sncr（e）-rτ*∧τk- E-rτ*) -cre-rτk{τ*≤τk}o=-塞特雷特，斯内-rτ*{τk≤τ*}o≤ 这意味着Lα（t，s）≤ K（t，s）≤ 这与假设Lα（t，s）>0相矛盾。第三步。它仍然需要在时间0时显示^s>0，使得Lα（0，s）=0，对于每一个s>^s∈ [0，T]并考虑每个T∈ [0，T+^T]最优停止问题lα（T，s）：=supτ∈Tt，T+^tEt，sZτte-r（u）-t） Gα（Su）du.S的时间均匀性产生Lα（^t，S）=Lα（0，S）。现在我们应用步骤2，并得出结论，存在^s>0，使得对于每一个s>^s，lα（^t，s）=0。因此，延迟区域是有界的。我们注意到定理2.4的陈述和证明不涉及损失函数的性质。换句话说，只要得到的驱动函数满足条件（i）和（ii），延迟区域是有界的。我们注意到，如果延迟区域是有界的，那么存在一个常数，使得{Lα>0} [0，T]×（0，\'s）。

在接下来的章节中讨论清算策略时，我们将重复使用定理2.4。2.2 GBM和指数OU的应用今后，我们将从分析和数值上研究以下情况下的最佳清算时间：（i）u（t，s）=u和σ（t，s）=σ>0的几何布朗运动（GBM）模型，以及（ii）u（t，s）=β（θ）的指数OU模型- log（s））和σ（t，s）=σ>0。我们将研究股票、欧洲看跌期权和看涨期权的清算时机。对于GBM和指数OU情况，风险中性度量Q由（2.2）唯一定义，且满足诺维科夫条件（见附录A）。此外，S的Q动态是一个带漂移r的GBM，而一个执行K和到期时间T的看涨期权和看跌期权的无套利价格（见2.3）由C（T，S）=SΦ（d）给出- 柯-r（T）-t） Φ（d）和P（t，s）=Ke-r（T）-t） Φ(-d）- sΦ(-d） ，（2.14），其中Φ是标准的正常c.d.f。and d=log（sK）+（r+σ）（T- t） σ√T- t、 d=d- σ√T- t、 为了数值计算非平凡清算策略，我们求解了formmin的变量不等式（VI）- Lαt- u（t，s）s Lαs-σ（t，s）sLαss+rLα- Gα，Lα= 0，（2.15），终端条件Lα（T，s）=0，其中（T，s）∈ [0，T）×R+。在第7节中，我们展示了上述VI在包括GBM和指数OU情况（见定理7.2）的条件下，在Bensoussan和Lions（1978）的术语中允许一个唯一的强解。为了实现，我们对有限（离散化）网格D=[smin，smax]×[0，T]上的VI（2.15）采用C秩Nicholson方案。我们参考Glowinski（Glowinski，1984年，第3章）的书，了解求解抛物线型非均匀VIs的数值方法。3以GBM为基础的最佳清算我们从GBM模型下的第一个示例开始。

考虑到P位置2。2.我们观察到，如果≤ r、 无论我们是否引入风险惩罚，持有股票或看涨期权（或通常任何正三角洲头寸）都是最佳选择。另一方面，命题2.2也意味着，如果u>r且α=0，则延迟总是最佳的。然而，对于非零风险惩罚（α>0），解决方案可以是非平凡的。为了了解这一点，我们注意到与调用相关的驱动函数由GαCal l（t，s）=（u）给出- r） sCs- αψ（（m）-C（t，s））+），其中C（t，s）是（2.14）中的买入价。特别是，惩罚项是严格正的，当s=0且在减小时，它会消失。另一方面，第一项（u- r） s=0时，sCsis严格从零开始增加。这意味着存在一个价格水平^s，使得gαCal l（t，s）在[0，t]×[^s]中为正，∞). 反过来，从（2.12）可以看出，销售区域必须是有界的（可能是空的），延迟区域是无界的。同样的论点也适用于有股票的案例。图2说明了这一点。接下来，我们考虑看跌期权的清算。回想一下（2.14）中给出的put p rice p（t，s）。它的负增量意味着≥ r驱动函数GαP ut（t，s）≤ 0, （t，s），这意味着根据提案2.2立即出售是最佳选择。相比之下，当u<r时，如果α=0，则销售区域为空，但在风险惩罚下，最优策略可能并非微不足道。提议3.1。考虑在u<r且α>0的GBM模型下看跌期权的最优清算。然后，延迟区域是有界的。

此外，如果m<K且^t∈ [0，T]使得αψ′（m- P（^t，0））+<r- u.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5101520253035404550timestock价格清算边界G=0卖出区域<0延迟区域>00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.510203040506070时间股价清算边界G=0卖出区域<0延迟区域>0图2：股票（左面板）和看涨期权（右面板）的最佳清算边界（实线）和Gα（虚线）的z ero轮廓。我们取T=0.5，r=0.03，u=0.08，σ=0.3，K=50，α=0.1。T heloss函数由ψ给出(l) = l, 股票的基准为m=50，调用的基准为m=C（0，K）。证据p ut Gα的驱动函数≡ GαP ut（t，s）=（r- u）sΦ(-d）- αψ（（m）- P（t，s））+）满意度→0Gα（t，s）=-αψ（（m）- K） +）≤ 0，（3.1）lims→∞Gα（t，s）=-αψ（m）<0，（3.2）Gαs（t，s）=[r- u - αψ′（m）- P（t，s））+）11{m>P（t，s）}]Φ(-d）- （r）- u）sΓ，（3.3）其中=Ps≥ 0.反过来，我们将任何^b∈ （0，αψ（m））和定义ψ(l) := min{ψ(l),^b}。这意味着不等式gα（t，s）：=（r- u）sΦ(-d）- αψ（（m）- P（t，s））+）≥ Gα（t，s）。然后通过推论2.3，我们只需要证明gα满足定理2.4的假设。我们观察到gα在上面是有界的，从（3.2）可以看出lims→∞Gα（t，s）→ -每t的α^b<0∈ [0，T]。此外，存在^s>0，使得对于每一个s>^s，ψ（（m- 因此，我们有Gαt=（u）- r） sφ（d）对数（sK）- （r+σ）（T）- t） 2σ（t）- （t）≤ 0，对于s>max{^s，kexp（（r+σ/2）T）}和T∈ [0，T]。SinceGα（0，s）→ -α^b as s→ -∞, 我们可以选择b∈ （0，α^b）使k>max{^s，kexp（（r+σ/2）T）}和-[0，t]×[k]中的b>G（0，s）>G（t，s），∞). 因此，G满足定理2.4的假设。最后，假设^t∈ [0，T]使得αψ′（m- P（^t，0））+<r- u，其中m<K。

由（3.1）和（3.3）可知，Gα（^t，0）=0和Gαs（^t，0）>0，因此集合{Gα>0}是非空的。反过来，包含（2.12）意味着延迟区域也是非空的。备注3.2。例如，如果αψ′（m- P（t，0））+）≥ R- u > 0, T∈[0，T]。事实上，因为我们有Gα（t，0）≤ 0和Gαs（t，0）≤ 0, T∈ [0，T]，Gα不能严格为正。根据提议2.2，立即出售是最佳选择。命题3.1如图3所示。在这些例子中，延迟区域是非空的，而s区是无界的，但可以断开连接（图3（右））。例如，当每t的Gα（t，0）<0时，就会出现这种情况∈ [0，T]，但mintmax Gα（T，s）>0。对于连接的s ell区域的直觉如下。如果看跌期权深入到货币中（即当STI接近于零时），其市场价格的上涨空间非常有限，因为它在Ke之上-r（T）-t） 。同时，进一步推迟销售将招致罚款。因此，当惩罚系数α较高时，最好以较低的股价水平出售。另一方面，如果资金的投入很深（即当STI非常高时），市场价格和投入的增量接近于零，这意味着DRIVE函数变得更负，并且立即等时卖出。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5304050607080901000时间库存价格清算边界G=0延迟区域>0销售区域<0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1001020304050607080timestock价格清算边界G=0Delay RegionG>0Sell RegionG<0Sell RegionG<0图3：具有服务水平s函数ψ的GBM动态下看跌期权的最佳清算边界（实心）和Gα的零轮廓（虚线）(l) = l. 我们取m=2K，α=0.001（左图），m=P（0，K），α=0.01（右图）。

参数：T=0.5，r=0.03，u=0.02，σ=0.3，K=50。对于看涨期权和看跌期权中的多头头寸，Delta CST会发出恒量信号。作为具有非常数符号的三角形的导数的一个例子，我们考虑一个长跨距。这是一个结合了看涨期权和看跌期权的履约价格≤ 分别地和同样的成熟。跨骑的力量由hST D（ST）：=（ST）给出- K） ++（K）- ST）+。用CST D表示的长股票的市场价格只是相应的Black Scholescall和卖出价格之和，即CST D（t，s）=C（t，s）+P（t，s）。为了简单起见，我们设置了K=K=K。命题3.3。对于GBM模型下的长跨仓位的最佳清算，可以得出以下结论：（i）如果u=r，延迟区域必须为空；（ii）如果u>r，则延迟区域是无界的；（iii）如果u<r，则延迟区域有界。证据跨骑的重心是Gαstd（t，s）=（u- r） sCST Ds（t，s）- αψ（（m）-CST D（t，s））+）。对于u=r，结论紧接着是P位置2.2。如果μ>r，我们只注意到gαstd（t，s）→ ∞ 作为s→ ∞ 每一个t∈ [0，T]，该断言源自包含（2.12）。现在假设u<r。我们将证明Gα满足定理2.4的假设。显然，GαST在上面显示。自CST D（t，s）以来→ ∞ 作为s→ ∞ 每一个t∈ [0，T]，则存在^s>0，对于每个s>^s和T∈ [0，T]，ψ（（m）- CST D（t，s））+）=0。此外，fors>max{^s，K exp（r+σ/2）T}, 我们有Φ（d）t=φ（d）对数（sK）- （r+σ）（T）- t） 2σ（t）- t） >0，因此Gαstdt（t，s）=2（u- r） sΦ（d）T≤ 这意味着Gαstd（0，s）≥ 每t的Gαstd（t，s）∈ [0，T]。自Gαstd（0，s）→ -∞ 作为s→ ∞, 对于固定的b>0，存在kb>0，使得GαST D（0，s）<-b每一个s≥ kb。

因此，s ettingk=max{^s，K exp（r+σ/2）T, kb}，我们有Gαstd（t，s）≤ Gαstd（0，s）<-[0，T]×k中的b，∞).因此，定理2.4的假设是满足的，我们得出结论。特别是，命题3.3表明，当u<r时，销售区域是无约束的，即使α=0。在图4中，我们举例说明了案例（ii）和（iii）的最佳清算边界。当投资者看涨（左面板：u=0.08>0.03=r）时，清算边界增加，延迟区域位于卖出区域的顶部。有趣的是，当投资者看跌时（右图：u=0.02<0.03=r）。0.1 0.2 0.3 0.4 0.52530354045505566570timestock价格清算边界G=0G<0卖出区域>0延迟区域0.1 0.2 0.3 0.4 0.5253035404550566570timestock价格清算边界G=0延迟区域>0卖出区域<0图4：最佳清算边界和Gα的零轮廓在损失函数为ψ的GBM模型下(l) = l. 我们设置K=50，m=CST D（0，K），α=0.1，r=0.03，u=0.08（左面板）和u=0.02（右面板）。本节结束时，我们将讨论具有有限层位（T=∞). 这导致了以下静态最优停止问题l（s）=s upτ∈TEsZτe-ruGα（Su）du. （3.4）式中Gα=-r） s-αψ（（m）-s） +）T是F停止时间的集合，取[0，∞].什么时候≤ r、 根据命题2.2，立即销售是最优的，对于不成熟的情况也是如此。事实证明，当u>r时，清算问题有相反的平凡解，也就是说，永远持有是最优的。提议3.4。如果u>r，则（3.4）中的值函数L（s）是有限的，并且是出售股票的最佳选择。证据考虑一个候选停止时间τ=∞.

然后，通过应用托内利的定理，我们得到了Z∞E-ruGα（Su）du= 锿Z∞E-ru（u）- r） 宿都- αZ∞E-ruψ（（m）- 苏）+）杜=Z∞e（u）-r） u（u）- r） sdu- αZ∞E-后悔ψ（（m）- Su）+）杜≥Z∞e（u）-r） u（u）- r） sdu- αZ∞E-ruψ（m）du=∞,因为u>r和ψ在增加。因此，L（s）=∞ 而且，销售从来都不是最佳选择。4指数OU下的最优清算在指数OU模型中，股票价格满足SDEdSt=β（θ- log St）Stdt+σStdWt，（4.1）带θ∈ R和β，σ>0。因此，最优清算溢价L（t，s）由方程（2.10）给出，驱动函数gα（t，s）=[β（θ- 日志（s））- r] sVs（t，s）- αψ（（m）- V（t，s））+，（4.2），其中V（t，s）是（2.3）中的一般期权价格。与GBM的情况相比，在没有惩罚的情况下，最优清算策略现在对于股票或期权而言是非常重要的。更一般地说，我们可以证明延迟区域实际上是有界的。直觉应该是明确的：当STI非常高时，预计它将恢复到其长期平均值，以便以适当的方式销售imm成为最佳选择。提议4.1。在指数OU模型下，呼叫的延迟区域是有界的。证据调用的驱动函数GαCal lf由（4.2）给出，其中V（t，s）=C（t，s）（调用价格见（2.14））。它在上面有界，因此它满足定理（2.4）的条件（i）。众所周知，p rice是一种令人满意的产品C（t，s）T≤ 0.此外，β（θ-日志（s））-R≤ 0 i fffs≥ exp（θ）-rβ），以及Φ（d）T≥ 0代表s≥ K exp（r+σ/2）T. 反过来，我们有GαCal lt（t，s）=[β（θ）- 日志（s））- r] sΦ（d）t+αC（t，s）tψ′（m）- C（t，s））+）11{m>C（t，s）}≤ 0，对于s>max{exp（θ-rβ），K exp（r+σ/2）T} 和t∈ [0，T]。这意味着GαCal l（0，s）≥ GαCal l（t，s）。修正b>0。自GαCal l（0，s）→ -∞, kb>0标准温度。，s>kb，GαCal l（0，s）<-B