路径相关风险下的最优衍生品清算时机

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英文标题：
《Optimal Derivative Liquidation Timing Under Path-Dependent Risk
  Penalties》
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作者：
Tim Leung and Yoshihiro Shirai
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper studies the risk-adjusted optimal timing to liquidate an option at the prevailing market price. In addition to maximizing the expected discounted return from option sale, we incorporate a path-dependent risk penalty based on shortfall or quadratic variation of the option price up to the liquidation time. We establish the conditions under which it is optimal to immediately liquidate or hold the option position through expiration. Furthermore, we study the variational inequality associated with the optimal stopping problem, and prove the existence and uniqueness of a strong solution. A series of analytical and numerical results are provided to illustrate the non-trivial optimal liquidation strategies under geometric Brownian motion (GBM) and exponential Ornstein-Uhlenbeck models. We examine the combined effects of price dynamics and risk penalty on the sell and delay regions for various options. In addition, we obtain an explicit closed-form solution for the liquidation of a stock with quadratic penalty under the GBM model.
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中文摘要：
本文研究了在当前市场价格下，风险调整后的最优期权变现时机。除了最大化期权销售的预期贴现回报外，我们还加入了基于期权价格短缺或二次变化直至清算时间的路径依赖风险惩罚。我们确定了立即清算或持有期权头寸直至到期的最佳条件。此外，我们还研究了与最优停止问题相关的变分不等式，并证明了强解的存在唯一性。本文给出了一系列分析和数值结果，以说明几何布朗运动（GBM）和指数Ornstein-Uhlenbeck模型下的非平凡最优清算策略。我们研究了价格动态和风险惩罚对各种期权的卖出和延迟区域的综合影响。此外，我们还得到了GBM模型下具有二次惩罚的股票清算的显式闭式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_Derivative_Liquidation_Timing_Under_Path-Dependent_Risk_Penalties.pdf (533.56 KB)

2022-5-7 10:25:25 上传

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关键词：衍生品 Quantitative Mathematical Optimization liquidation

路径依赖下的最优导数清算时机*Shirai Yoshihiro+2018年7月27日摘要本文研究了按现行市场价格清算期权的ris k调整最佳时机。除了最大化期权销售的预期贴现回报外，我们还加入了基于期权价格短缺或二次变化直至清算时间的路径依赖风险惩罚。我们确定了立即清算或持有期权直至到期的最佳条件。此外，我们还研究了与最优停止问题有关的变分不等式，并证明了强解的存在唯一性。本文给出了一系列分析和数值结果，以说明几何布朗运动（GBM）和指数或nstein-Uhlenbeck模型下的非平凡最优清算策略。我们研究了价格动态和风险惩罚对各种期权的卖出和延迟区域的综合影响。此外，我们还得到了GBM模型下二次惩罚股票清算的显式闭式解。内容1引言22问题概述32.1最优清算溢价分析。62.2对GBM和指数OU基础的应用。83 GBM基础的最佳清算94指数OU基础的最佳清算135二次罚款165.1出售股票的最佳时机。165.2期权清算。186包含注释207非齐次变分不等式的强解21A Novikov条件24*通讯作者。

工业工程师ing&运营研究部，哥伦比亚大学，纽约州纽约市，邮编10027。电话：（212）854-2942。电邮：leung@ieor。哥伦比亚。教育+纽约哥伦比亚大学工业工程与操作工程研究系，纽约10027。电话：（212）854-2942。电子邮件：yoshihiroshirai@gmail.com.1简介几十年来，期权被广泛用作投资和风险管理的工具。自2012年起，标准普尔500指数期权的日均市场名义价值约为900亿美元，日均成交量从2002年的119808份快速增长至2013年1月的839108份。关于期权收益的实证研究通常假设期权持有至到期（见Broadie et al.（2009）及其参考文献）。对于每一个流动交易期权，都有一个内在的时间灵活性，可以在到期前通过市场清算头寸。因此，有效风险管理的一个重要问题是：何时是出售期权的最佳时机？在本文中，我们提出了一个风险调整的最优止损框架来解决不同基础价格动态下的各种期权的这个问题。除了最大限度地提高期权销售的预期贴现市场价值外，我们还纳入了一项风险罚款，该罚款考虑了在清算时间之前不利的价格变动。对于每一种候选策略，我们都会通过整合期权头寸随时间的变化而实现的短缺，或者更普遍地说，根据损失函数来衡量相关风险。因此，我们的综合s hortfall风险罚金取决于路径，并引入了每个清算时机策略的风险和回报之间的权衡。在标的股票价格的一般微分模型下，我们建立了一个包含积分惩罚项的最优停止问题。

为此，我们定义并应用了最优清算溢价的概念，它代表了最优等待出售的附加价值，而不是立即清算。事实证明，一旦溢价消失，期权持有人就可以卖出期权。这一观察结果为各种头寸的最佳清算策略提供了许多有用的数学描述和财务解释。我们首先确定在何种情况下，立即清算或持有期权头寸直至到期是最佳的。非平凡清算策略的研究涉及与最优s topping问题相关的非齐次变分不等式的分析和数值研究。在一项相关工作中，Sur ya（2012）研究了具有运行成本和其他特征的L’evy过程下的有限成熟度最优停止问题的解结构，并且相关的部分积分微分自由边界问题也产生了非齐次变分不等式。在资产管理的背景下，Dayanik和Egami（2012）研究了一个永久最优停止问题，该问题由股息支付和息票支付产生流动现金流，并解决了一个与时间无关的非齐次变分不等式。对于清算问题中的变分不等式，我们证明了在适用于基本动力学的几何布朗运动（GBM）（见默顿（1973））和指数或nstein-Uhlenbeck（OU）（见Ornstein和Uhlenbeck（1930））模型的一般条件下，la Bensou-ssan和Lions（1978）（见下文第7节）强解的存在性和唯一性。

我们还提供了股票、看涨期权、看跌期权和跨售期权的最优清算策略的一些数学特征和数字样本。风险罚款的纳入产生了与未授权案件明显不同的最佳清算策略。例如，如果期权的Delta（期权价格相对于标的价格的导数）与标的超额收益具有相同的常数符号，那么在没有风险惩罚的情况下，持有期权直到到期是最佳的（见第2.2款）。这适用于看涨（或看跌）股票的看涨期权（或看跌期权）。然而，在风险惩罚下，投资者可能会发现，即使在看涨（或看跌）情况下（参见第3.1款），也可以提前变现看涨（或看跌）期权。看见http://www.cboe.com/micro/spx/introduction.aspxFurthermore，最佳液化区域的形状在很大程度上取决于风险惩罚。我们发现，较高的风险惩罚系数总是会减少延迟区域，这直观地表明投资者更有可能提前卖出。此外，在某些情况下，最佳延迟和销售区域可能会表现出一些有趣的结构，例如不连通性（见图3和图6）。这些分析结果在很大程度上得益于最优清算溢价的性质（见定理2.1和2.4）。与效用最大化/差异定价方法相比，我们的路径依赖风险惩罚模型也可以被视为将投资者的风险敏感性纳入期权清算/行权时间问题的另一种方法（亨德森和霍布森，2011；梁和卢德科夫斯基，2012；梁等人，2012）。

另一方面，Leung和Ludkovski（2011）研究了在不完全市场条件下购买欧洲和美国股票期权而不受风险惩罚的最佳时机，假设投资者选择不同于市场的风险中性定价措施。Leung和Liu（2013）还讨论了在GBM模型下出售期权而不受任何风险惩罚的时机，wh ich是我们模型的一个特殊例子。众所周知，基于短缺风险的风险度量概念已经应用于许多投资组合优化问题；见Artzner等人（1999年）；Rockafellar和Uryasev（2000年）；F–ollmer和Schied（2002）；F–ollmer和Schied（2004）；˙Ilhan等人（2005），以及其中的参考文献。我们的模型将这一思想应用于期权交易，作为与每一种清算策略相关联的路径。作为差额的一种变化，我们还引入了基于期权价格过程二次变化的风险惩罚。特别地，我们得到了GBM模型下具有二次惩罚的股票流动的显式闭式解（见定理5.1）。通过挖掘最优清算溢价，我们还比较了基于差额和二次风险惩罚的看涨期权和看跌期权的清算策略。Forsyth等人（2012年）也采用了平均二次方差作为标准，以确定存在价格影响时的最优库存交易策略。麦克莱恩等人（2013）最近的一篇论文考虑了一个离散时间投资组合优化问题，该问题具有凸损失函数，该函数解释了基准财富轨迹的不足。当我们考虑股票和期权的最优清算问题时，他们的研究集中在最优资本增长或凯利策略上。另一方面，Frei和Westray（2013）研究了受临时价格影响的股票头寸的最优清算。

特别是，它们将订单S lippage相对于VWAP（卷加权平均价格）的均值和方差最小化，作为基准。这些论文采用随机控制方法来解决随时间变化的最优位置问题，因为我们的问题只涉及最优的液化时间。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们为一个分散市场中的一般欧洲索赔制定了最优清算问题。在接下来的章节中，我们将重点讨论GBM和指数OU模型下的股票或期权清算。在第3节和第4节中，我们研究了具有短缺风险罚金的最优清算时机。在第5节中，我们使用二次变化风险惩罚进行分析。第6节总结全文。在第7节中，我们讨论了变分不等式强解的存在性以及最优清算溢价满足的概率表示。2问题概述在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是历史概率度量。该市场由一个风险资产S和一个利率r为常数的货币市场账户组成。风险资产价格由一个正扩散过程建模，该过程遵循随机微分方程DST=u（t，St）Stdt+σ（t，St）StdWt，S=S，（2.1），其中W是度量P和S>0下的标准布朗运动。这里，假设确定性系数u（t，s）和σ（t，s）满足标准的Lipschitz和生长条件（Karatzas和Shreve，1991，§5.2），以确保（2.1）的唯一强解。我们设F=（Ft）t≥0是布朗运动产生的过滤。让我们考虑一种市场交易的欧洲期权，其到期日T为标的资产S的付息额（ST）。

如果S哈珀比λ（t，S）：=u（t，S）-rσ（t，s）满足Novikov条件：E{exp（RTλ（u，Su）du）}∞, 密度处理dqdpFt=exp-Ztλ（u，Su）du+Ztλ（u，Su）dWu, 0≤ T≤ T、 （2.2）是a（P，F）-鞅（见Karatzas and Shreve（1991），第。3.5.12). 这定义了一个单等价鞅（风险中性）测度Q，期权的市场价格由v（t，s）=eEt，sne给出-r（T）-t） h（ST）o（t，s）∈ [0，T]×R+。（2.3）简写符号eet，s{·}≡eE{·| St=s}表示Q下的条件期望。注意，市场价格函数V（t，s）不依赖于漂移函数u（t，s）。观察股票和期权价格随时间的变化，投资者有在实验前出售期权的时机。在寻求期权的预期贴现市场价值最大化的同时，我们加入了一个风险惩罚，该惩罚将考虑到当前的下行风险。具体而言，我们通过以下方式确定时间t的缺口：l（t，St）=（m）- V（t，St））+，（2.4），其中m>0是投资者设定的一个常数。然后，将风险罚金建模为短缺的aloss函数，用ψ表示(l（t，St））。这里是损失函数ψ：R+→ 假设R是递增的、凸的、连续可微的，ψ（0）=0（参见F¨ollmer and Schied，2004，第4.9章）。因此，投资者面临惩罚最优停止p问题jα（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） V（τ，Sτ）- αZτte-r（u）-t） ψ（m）- V（t，St））+杜, （2.5）其中α≥ 0是一个惩罚系数，Tt是一组F-停止时间，取[t，t]中的值。除非另有说明，我们的分析适用于满足条件Bove的一般损失函数ψ。在这里，让我们举一个例子来形象化惩罚机制。例如，可以将基准设定为初始期权价格，并取ψ(l) = l.

然后，当期权低于其初始成本时，违约金期限累计（贴现）面积。我们在图1中说明了这一点。请注意，当期权价格高于基准时，已实现的差额保持不变，并且只要期权处于水底，已实现的差额就会继续增加。其他可行的规范包括功率惩罚ψ(l) = lp、 p≥ 1和指数惩罚ψ(l) = exp（γ）l) - 1，γ>0，等等。为了量化最优等待的价值，我们通过价值函数Jα与期权当前市场价格之间的差异来确定最优清算溢价，即Lα（t，s）：=Jα（t，s）- V（t，s）。（2.6）0 0.2 0.4 0.6 0.8 102468101214161820时间买入价格0时累计空头买入价格图1：基于GBM模型下欧洲买入期权的模拟价格路径（实数）实现的空头（虚线），参数S=100，r=0.03，u=-0.05，σ=0.3，K=100，T=1，α=1。基准m是初始看涨期权价格。或者，最优清算溢价Lα可以解释为一个简单的先买后卖策略的风险调整预期回报。用Yu=e表示贴现惩罚清算价值过程-鲁夫（u，苏）- αZue-rtψ（（m）- V（t，St））+）dt。为了保证问题（2.5）的最优停止时间的存在性，我们要求E{sup0≤U≤TYu}<∞. 对于欧式看涨期权，期权价值V（t，St）由股票价格St决定，而看跌期权价格受执行价格的限制。因此，对于调用和put的任何线性组合，必须施加E{sup0≤U≤TSu}<∞. 我们还要求P{min0≤T≤^tSt>0}=1，这意味着资产价格在任何固定时间^t a.s.之前保持严格的正值。

然后根据标准最优停止理论（Karatzas and Shreve，1998，TheoremD.12），与L（t，s）相关的最优清算时间由τ给出*= inf{u∈ [t，t]：Lα（u，Su）=0}。（2.7）换句话说，投资者在最优清算溢价Lα消失后出售期权是最优的，这意味着时间灵活性没有价值。因此，投资者的临时清算策略可以用卖出区S和延迟区D来描述，即S={（t，S）∈ [0，T]×R+：Lα（T，s）=0}，（2.8）D={（T，s）∈ [0，T]×R+：Lα（T，s）>0}。（2.9）我们的框架可以很容易地应用于购买期权的最佳时机的反向问题。这相当于在Lα中将sup改为inf。在本文中，我们将重点讨论液体问题。2.1最优清算溢价分析2.1。考虑到（2.1）中的基础价格动态，最优清算溢价决定了概率表示α（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） Gα（u，Su）du, （2.10）其中我们表示α（t，s）：=u（t，s）- RsVs（t，s）- αψ（m）- V（t，s））+. （2.11）证据。将伊藤公式应用于（2.3）中的市场价格，我们得到了sne-r（τ）-t） V（τ，Sτ）o- V（t，s）=Et，sZτte-r（u）-（t）u（u，Su）- RSUV（u，Su）du.将其代入（2.6）中的最优清算溢价，给定slα（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-（t）u（u，Su）- RSUV（u，Su）- αψ（（m）- V（u，Su））+）|{z}=Gα（u，Su）in（2.11）du.我们在（2.11）中称Gα（t，s）为驱动函数。我们观察到这取决于三角洲≡五、sof选项和惩罚系数α减少了每个（t，s）的驱动函数。通过研究驱动函数，可以推导出最优清算溢价Lα的许多性质。提议2.2。让我们∈ [0，T]是当前时间。如果驱动函数Gα（u，s）为正，（美国）∈ [t，t]×R+，则在到期时出售是最优的，即τ*= T