基础设施投资的最优多站法

首先，我们假设ψ是连续的、递增的且充分光滑的。此外，我们假设存在一个唯一的盈亏平衡点x>0，其中ψ（x）=0，对于x<x，ψ（x）<0，对于x>x，ψ（x）>0。最后，我们注意到ψ（x）由x的某个有效函数所限定。这样一个界，加上贴现率超过基础过程的漂移率α的假设，确保永久等待将导致预期回报为零，即limt→∞E{E-rtψ（Xt）}=0。在这种情况下，我们将首先分析具有单一投资机会的实物期权问题，这将是解决最优多重停止问题的基础。3.1. 最优单停问题我们首先考虑最优单停问题v（1）（x）=supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. （7） 这个问题类似于支付ψ的永久美式期权的定价。考虑问题（7）的候选停止时间：τx*= inf{t≥ 0 | X0，xt≥ 十、*, x>0}，阈值为x*> 0.通过著名的拉普拉斯变换（Laplace transform of First Passation time of X），参见例如（Shreve，2004，p.346），我们得到了X的≤ 十、*,埃尼-rτx*ψ（X0，xτx）*)o=ψ（x）*)xx*γ、 （8）在哪里=-ασ+s-ασ+2rσ。请注意，条件r>α意味着γ>1。如果x≥ 十、*, 然后τx*= 0和v（1）（x）=ψ（x）。从（8）中我们可以看到x的一个必要条件*作为一个最优停止边界y是thatx*最大化ψ（x）/xγ。ψ（x）上的线性界保证了这样一个极大值的存在。x=x时最大值的一阶条件*由ddxψ（x）xγ给出x=x*=十、*ψ′（x）*) - γψ（x）*)（十）*)γ+1≡ -∧ψ（x）*)（十）*)γ+1= 0 <=> ∧ψ（x）*) = 0，（9）其中我们引入了运算符符号∧=γ -xddx.

第二个或第二个条件，有助于证明一个最大值以及上述一阶条件，然后可以超越asddxψ（x）xγx=x*= -ddx∧ψ（x）*)（十）*)γ+1< 0 <=>ddx∧ψ（x）*) > 注意，在x处ψ（x）/xγ的最大值*不是最优停止规则τx的充分条件*对于一般的奖励函数ψ。人们还必须证明这一点E-rtv（1）（Xt）T≥0满足了τx选择的超马氏性*. 下面的引理给出了τx的充分条件*成为问题（7）的最佳停止规则。引理1。设ψ：R+→ R是单停问题（7）中的一个奖励函数。如果x*R+和ifddx∧ψ（x）上ψ（x）/xγ的isa全局最大值≡ (γ - 1） ψ′（x）- xψ′（x）≥ 0，x≥ 十、*, （10） thenv（1）（x）=ψ（x）∨ 十、*)1.∧xx*γ, 十、∈ R+，其中v（1）（x）在R+上是连续的。备注1。一阶条件∧ψ（x）*) = 0 in（9），以及（d/dx）∧ψ（x）的条件≥ 0，x≥ 十、*, 对大x的奖励函数ψ（x）的二阶导数（凸性）进行限制，直到在x=x时达到ψ（x）/xγ的最大值*, 函数ψ（x）在x=x左边的性质*这无关紧要。因此，引理1中的条件比施加e的漂移项限制更小-rtψ（Xt）对于所有Xt都是单调的，如（Dixit and Pindyck，1994，pp.128-130）所述，作为x=x处连接停止边界的有效条件的一部分*对于ψ（x）的永久美国人调用。证明：从（8）我们知道^v（x），其中^v（x）=（ψ（x）*)xx*γ、 x<x*,ψ（x），x≥ 十、*,（11） 是解决方案的候选者。从ψ（x）的条件来看，对于x≥ 十、*,∧ψ（x）=γψ（x）- xψ′（x）≥ 0，（12）ddx∧ψ（x）=（γ）- 1） ψ′（x）- xψ′（x）≥ 0

（13） 看看e的漂移术语-rt^v（Xt），E判定元件-rt^v（Xt）= E-rtψ（x）*)（十）*)γ-r+αγ+σγ（γ- 1){Xt≤十、*}dt+e-rt-rψ（Xt）+αXtψ′（Xt）+σXtψ′（Xt）{Xt≥十、*}dt，（14）我们观察到，从（12）和（13）中，第一项相同地消失，第二项不为正。因此-rt^v（Xt））t≥0是一个超鞅，这意味着^v（x）=EE-r（0∧τ） ^v（X0，X0）∧τ)≥ EE-r（t）∧τ） ^v（X0，xt）∧τ), τ ∈ S.（15）ψ（x）上的线性b意味着e-r（t）∧τ） ^v（X0，xt）∧τ） 是可积的。还有，接受限制→ ∞ in（15）和最大化τ产量：^v（x）≥ supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. （16） 对于一般的基础过程X，可以应用局部化过程来消除de的鞅项-rt^v（Xt）根据预期。相反，选择特定的停止时间τ=τx*, 过程E-r（t）∧τx*)^v（Xt）∧τx*)T≥0是构造的鞅，因此^v（x）=Ene-r（t）∧τx*)^v（Xt）∧τx*)o=Ene-rτx*^v（x）*)o=Ene-rτx*ψ（x）*)o≤ supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. （17） （16）和（17）中的表达式一起给出了期望的结果，^v（x）=v（x）=supτ∈东南方E-rτψ（X0，xτ）. 3.2. 最优多重停止问题利用引理1和命题1，我们现在可以陈述主要结果。有关证明，请参见附录B。定理1。设ψ：R+→ R是一个具有盈亏平衡点x的奖励函数。如果∧ψ（x）是x的凸∈ （十），∞), 对于大x，∧ψ（x）inc，则对于每k≥ 1，这里有一个x*k> xsuch thatv（k）（x）=ψ（k）（x）∨ 十、*（k）1.∧xx*Kγ, K≥ 其中ψ（k）（x）=ψ（x）+e-rTEv（k）-1） （X0，xT）. （19） 此外，序列（x*k） k≥1正在严格减少，并且v（k）K≥1是R+上连续函数的严格递增序列。而且，对于任何有界子集D 存在常数KD，使得v（k）（x）≤ KD代表x∈ D和k≥ 1.从计算的角度来看，通过hu（k）（x）=∧v（k）（x）=∧ψ（k）（x）11{x引入辅助函数u（k）是很方便的≥十、*k} 。

（20） 在ψ（x）（以线性函数为界，∧ψ（x）在（x）上的凸性，∞) 对于大x，∧ψ（x）增加，我们可以用与定理1中v（k）类似的方式证明：u（k）K≥1是一个不断增加的连续函数序列，它建立在每一个未定义的子集D上 R+。给定函数u（k）（x），我们可以通过hv（k）（x）=xγ重构值函数v（k）（x）ψ（k）（x）*k） （十）*k） γ-Zxy-γ-1u（k）（y）dy. （21）注意，由于u（k）（x）=0表示x<x*k（21）中没有收敛问题。作为定理1的结果，我们得到以下结果。推论1。函数u（k）（x），对于k=1，2，满足感（k）（x）=∧ψ（x）+e-rTEu（k）-1） （X0，xT）{x≥十、*k} ，u（0）（x）≡ 0，（22）边界点x*kis是解决问题的唯一方法∧ψ（x）*k） +e-rTEnu（k-1） （X0，x）*kT）o=0，ddx∧ψ（x）+e-rTEu（k）-1） （X0，xT）x=x*> 0 （23）推论1和方程式（21）概述了用于找到（6）解的归纳算法。下一节将详细介绍实施过程。现在仍然需要考虑在有限多个行使权的限制下，最优多重停止问题的解的行为。也就是说，我们将调查valuefunctionv(∞)（x） =sup~τ∈s∞E（Xn）≥1e-rτnψ（X0，xτn））。（24）自（e）-RTAX）t≥0，其中ax>ax- B≥ ψ（x）是所有Xtand的上鞅，因为断裂停止时间（τn）n≥1满足τn≥ （n）- 1） 我们有(∞)（十）≤ E(∞Xn=1e-rτnaX0，xτn）≤∞Xi=0EE-riTaX0，xiT=ax1- E-（r）-α） T.（25）也就是说，v(∞)（x） 在R+的每个有界子集上都有界。通过（24）中的积分定义，该界限确保了v的连续性(∞)（x） 在R+的每个有界子集上。最后，给出以下收敛结果。提议2。序列v（k）（x）一致收敛于v(∞)（x） 在R+的每个有界区间上。证明：在不丧失基本通用性的情况下，我们假设x≤ M

让（τ）*N∞)N≥1be值函数v的非最佳停止规则(∞)（x） 在第24页。利用（25）中类似的论点，用f（x）=ax边界ψ（x），我们得到v(∞)（x） =E（kXn=1e）-rτ*N∞ψ（X0，xτ）*N∞) +∞Xn=k+1e-rτ*N∞ψ（X0，xτ）*N∞))≤ v（k）（x）+E(∞Xn=k+1e-rτ*N∞f（X0，xτ）*N∞))≤ v（k）（x）+aMe-（r）-α） kT1- E-（r）-α） T.（26）在第二步中，我们使用了（τ）*N∞)kn=1是v（k）（x）的一个允许但并非必要的最优停止规则。和x≤ 从定理1可知（v（k））k≥1严格递增且有界，因此在[0，M]上收敛。v（k）的统一m收敛→ 五(∞)在x上∈ [0，M]然后从（26）开始。4.基础设施投资的应用在本节中，我们将第3节中的分析结果应用于基础设施投资问题，并讨论数值实现。此外，我们还研究了寿命T和提前期ν等关键参数以及工艺参数对结果的敏感性。最后，利用所提出的框架将寿命和交付周期相对较短的投资场景与寿命和交付周期都较长的场景进行比较。这样的比较将揭示短期情景的关键投资成本，它将与长期情景相竞争。回顾第2节中的现金流f（Xt），我们在其中纳入了暂时暂停生产以避免负现金流的可行性，即f（Xt）=（Xt）- c） +。与该现金流相关的奖励函数为ψ（x）=-I+Zν+TνxΦ（d+（t））eαt- cΦ（d）-（t） )E-rtdt，（27）式中±（t）=自然对数xc+α ±σT/σ√t、 （28）由于f（Xt）以Xt为界，人们认识到有一个线性函数以ψ（x）为界。研究ψ（x）的导数得到ψ′（x）=Zν+TνddxxΦ（d+（t））eαt- cΦ（d）-（t） )E-rtdt=Zν+TνΦ（d+（T））e-（r）-α） tdt>0。

（29）在第二步中，我们将积分中的导数识别为欧洲看涨期权的delta。从m（27）-（29）我们看到ψ（x）是连续的，并且在x中增加→0ψ（x）=-I<0存在唯一的盈亏平衡点x。因此，ψ（x）满足第3.1节给出的奖励函数定义中的所有条件。通过差异，我们发现ddx[λψ（x）]=Zν+Tνφ（d+（T））xσT(γ - 1)σ√t+d+（t）E-（r）-α） tdt，其中φ（x）是正态分布的密度函数。可以看出∧ψ（x）是所有x的凸≥ x′，其中x′=c exp-α + γσ-σν. 反过来，如果x≥ x′，通过在I上施加一个下边界来确定，那么∧ψ（x）在（x）上是凸的，∞), 因此，定理1的所有条件都得到满足，推论1中概述的算法也可以应用。如果取消了暂停运营的运营灵活性，那么预期现金流可以很容易地整合，在这种情况下，奖励函数ψ（x）将为ψ（x）=-I+Zν+Tνe-rtEX0，xt- Cdt=a（ν，T）x+b（ν，T），其中a（ν，T）和b（ν，T）仅是提前期和寿命的函数。也就是说，在没有操作灵活性的情况下，奖励函数ψ（x）在x中显然是线性的，使得∧ψ（x）在R+上是凸的，因此定理1也适用于这种情况。4.1. 上面（20）和（21）中u（k）（x）和v（k）（x）的表达式构成了我们的数值算法的基础，其中u（k）（x）、v（k）（x）和x*kare计算了k=1，2，3。下面的计算是在由500个点组成的网格上进行的，这些点的间距在0和xmax之间，后者由过程和模型参数确定。（2）中期望值的计算由于u（k）的事实而变得复杂-1） （x）不受R+的限制。

然而，由于我们在（27）中选择的奖励函数ψ（x）近似于大x，所以∧ψ（x）a和u（k）也是如此-1） （十）。而不是截断分布，我们可以代替线性外推u（k-1） （x）在给定网格之外。自（x）*k） k≥1在减少时，网格的必要范围主要取决于x*. 具体地说，Xmax被选为x左右99.9%置信区间的上界*,xmax=expln（x）*) +α -σT+3.29σ√T.xmax的选择，加上网格点的数量，是一个可以接受的折衷方案，这两个方案都有足够大的网格来确保u（k）的线性行为-1） （x）没有无法使用的计算复杂性。当比较不同的场景时，即T、ν和i的不同值时，使用了最大的网格。使用梯形方法，计算（22）中的期望值u（k）-1） （X0，xT）=Zxmaxu（k-1） （z）g（z；x，T，α，σ）dz+z^xxmax（kz+m）g（z；x，T，α，σ）dz，（30），其中kz+m是u（k）的线性外推-1） 对于x>xmax，其中g（z；x，T，α，σ）是对数正态分布的密度函数。选择（30）中的上限^x，以使分布的支持包含一个围绕x的双边置信区间，即外汇≤ xmax。边界点x*kwere在（2-3）的凸函数上使用了一种简单的二分法。u（k）（x）的计算，以及x的lso*kand v（k）（x）终止于公差ε，定义为ε=|u（k）- u（k）-1） |u（k）|，（31）已达到ε≤ 10-3.这种公差产生的溶液v（k）（x）在v的0.1%范围内(∞)（x） ，考虑到基础参数估计中的合理误差，该精度可能足够高。

在下面的结果中，我们用x表示*∞和v(∞)（x） 根据（31）中的公差，算法hm终止时的停止边界和值函数。图1展示了值函数v（k）（x）和停止边界x的算法的收敛性*分别地。下表1给出了计算中使用的默认参数值。固定成本参数（I和c）或其比值I/c=10的选择源于相关行业的观察结果。最近关于能源投资和大宗商品的研究报告称，价格波动在20%左右，尽管它们偶尔会经历短期的大幅上涨（见Westner和Madlener（2012）；杰曼和奥哈纳（2009）。因此，设置σ=20%相当于一个相对保守的选择，因为较低的可用性有利于维持现状。然而，我们还将研究图5中相对较高的波动率（σ=40%）情景。此外，使用有效贴现率（r-α） 5%的比例也与相关领域的文献中的例子一致，如Frayer和Uludere（2001）。总的来说，参数值的选择虽然合理，但主要用于说明目的。根据定理1，v（k）（x）K≥1严格递增，停止边界的顺序（x*k） k≥1严格来说是在减少。在图1（左）中，我们看到值函数随着每次迭代而单调增加。经过50次迭代后，上述公差ε小于10-5.此外，我们注意到，对于较大的e x，值函数呈线性。在图1（右）中，停止边界y x*Kd从0.85迅速下降到0.44，我们提到盈亏平衡点是x=0.33。即使经过20次迭代，收敛性也很明显。

特别是停止边界x*= 第一次迭代的0.85（见（9））帮助我们定义网格的上边界和X轴。停止边界x*kis指的是考虑到k的选择，第一笔投资应达到或高于的价格水平-1.以后再进行投资，每项投资在时间上至少间隔一辈子。由于企业很少有固定数量的投资续签，因此*∞最重要的是。对比x的值*到x*∞揭示了未来投资选择对当前投资决策的影响。在图1中，练习次数（迭代次数）为k=50，加上T=5年的寿命，给出了超过250年的时间范围。在合理的情况下，这种时间范围实际上是有限的。另一方面，在k较大的情况下，剩余投资机会的数量对第一次投资时机的影响较小。x的收敛性证明了这一点*随着k的增加，k达到一个恒定的水平。通过数值试验，我们发现折射时间（寿命）对收敛速度没有很大影响。由于贴现系数e，这是直观的-在（22）中定义u（k）（x），减少迭代过程中的差异。另一方面，提前期描述参数值Lifetime T 5提前期ν1投资成本I运营成本c 0.1贴现率r 10%漂移率α5%波动率σ20%表1：计算中使用的默认参数值。ν对收敛速度的影响要小得多，因为它只影响第一次投资的时机。在下一小节中，我们将进一步研究寿命和交付周期的影响。0.2 0.4 0.6 0.8 10246810121416价值函数，v（k）（x）价格，x0 10 20 30 500.40.450.50.550.60.650.70.750.80.850.9停止边界，x*k数，k图1：（左）值函数v（k）（x）的收敛性，对于k=1。

, 50. （右）停止边界x*KDE在迭代过程中迅速衰减。4.2. 敏感性分析我们将首先调查x的敏感性*∞关于工艺参数α和σ。之后，我们研究了x射线和x射线的敏感性*∞值函数v(∞)（x） 关于寿命T和提前期ν的主要模型参数。漂移率αcor r的低值对应于更高的“有效”贴现率r-α、 有时被称为便利收益。这降低了未来投资的现值，这解释了x和x之间的微小差异*还有x*∞关于小α，请参见图2（左）。相反，基础资产的更高漂移率会提高未来投资的价值。这将在停止边界x之间驱动一个GR齿楔*与停止边界x相比的单个投资*∞对大型企业进行多次连续投资。因此，这强调了在高漂移率环境中，将未来投资纳入当前决策的重要性。请注意，如果降低计数ra t e r，则预期会出现相同的结果，但条件仍然是r- α > 0. 在图中，我们观察到，随着α接近r（10%），运动边界x*k、 k=1，2，3，迅速增加。这是直观的，因为理论上，α的最佳运动边界是有限的≥ r、 x也会出现同样的现象*∞当α非常接近r时。-0.04-0.02 0.02 0.04 0.06 0.0800.20.40.60.811.21.41.61.82停止边界，x*漂移率，αx*1x*2x*3倍*∞0.1 0.2 0.3 0.40.20.40.60.811.21.41.6停止边界，x*波动率σx*1x*2x*3倍*∞图2：最佳停车边界x的灵敏度*千瓦。r、 t.漂移率α（左），w.r.t.波动率σ（右）。在图2（右图）中，我们看到o pt ima l运动边界x*∞随着波动率σ的增加而增加。