有风险的定向多元值

具体而言，我们根据[Artzner et al.（1999）]在单变量环境下与一致风险度量相关的属性，提供了多变量V aRuα（X）的属性。此外，我们还探索了多元响应固有的其他性质，如正交变换下的不变性。附录中给出了以下结果的所有证据。属性3.2（非负荷载）。如果λ>0 in（3.1），则uV-aRuα（X）。（3.6）该属性反映了风险度量是损失平均值的界，与2.2中给出的偏序有关。注意，假设λ>0是必要的，尤其是当α被选择为接近0时。属性3.3（准奇测度）。V aRuα（·）具有以下性质：V aRuα(-十） =-瓦尔-uα（X）。（3.7）该特性相对于随机损耗分布表现出对称性。属性3.4（正同质性和平移不变性）。让c∈ R+，b∈ Rnand Y=cX+b，那么V aRuα（Y）=cV aRuα（X）+b.（3.8）性质3.5（一致性w.r.t.极值随机顺序）。设满足正则性条件的X和Y berandom向量。如果E[Y]=cu+E[X]且c>0≤EuY，那么：V aRuα（X）uV-aRuα（Y）。（3.9）性质3.6（正交准不变性）。设Q为正交变换。那么，V aRQuα（QX）=QV aRuα（X）。（3.10）属性3.7（非过度加载）。让鲁布表示（2.1）中描述的正交矩阵。那么，V aRuα（X）uR′usupω∈Ohm{RuX（ω）}。（3.11）该性质表明，V aRuα（X）的上界为所考虑方向上损失的最高值。文献中另一个很好的风险度量属性是次可加性。众所周知，经典的单变量VaR不是次可加性度量。然而，有一些条件可以确保尾部区域的次可加性（见[Artzner等人（1999年）、Heyde等人（2009年）、Daníelson等人（2013年）]）。

同样，我们强调了V aRuα（X）一般不是次可加的，但我们将证明这个性质在某些条件下成立。之前的定义是必要的。定义3.8。如果函数φ（t）>0与Borelσ上的指数β和非零度量u（·）一致，则随机向量X具有规律性变化，尾部指数β也随之变化-现场B（[0，∞]n\\{0}这样，tP[（φ（t））-1X∈ ·]五、→ t时为u（·），（3.12）→ ∞ （见[Jessen and Mikosh（2006），Resnick（1987）]）。在这种情况下，度量值的性质为u（cB）=c-βu（B），（3.13）适用于任何c>0和B a Borel集。通过这个定义，我们可以说明V aRuα（·）的尾区次可加性性质。属性3.9（尾部区域次可加性）。设X和Y为随机向量，平均值m相同。如果（X，Y）是指数β>1且尾非退化的规则变化随机向量，则V aRuα（·）在尾区域u=m | | m | |方向上是次可加的，即V aRuα（X+Y）uV-aRuα（X）+V-aRuα（Y）。（3.14）注意，属性3.9可以扩展到随机向量，对于c>0，平均值满足E[X]=cE[Y]。正如你所看到的，房产确保了至少在平均损失的方向上，合并两个风险活动以分散风险是有用的。4单变量VaR分量和定向多变量VaR的比较本节的目的是比较V aRuα（X）的分量与与与X的每个边际分布相关的单变量VaR。但在此之前，我们需要记住多变量准凹函数的定义。定义4.1。多元函数g:Rn→ 如果上层集Uq:={x，R是一个拟凹函数∈ Rn:g（x）≥ q} 是所有q的凸集∈ R

或等价地，下集合Lq的互补性：={x∈ Rn:g（x）≤ q} 是否为所有q设置了一个凸∈ R.我们想指出，总体而言，分布函数和生存函数都满足定义4。1.[Tibiletti（1995）]证明了这一事实，因此这不是本文所考虑函数的限制条件。让我们用随机向量X的第i个边缘和与Rn中某点相关的第i个分量来表示。以下结果提供了本研究中引入的多元VaR的组成部分与经典的单变量VaR之间的比较。命题4.2。考虑一个满足正则性条件的随机向量X。假设它的生存函数F是准凹的。那么，无论如何∈ （0,1）：V aR1-α（Xi）≥ [V是α（X）]i，对于所有i=1。。。，n、 此外，如果它的多元分布函数F是拟凹的，那么对于所有α∈ （0，1），我们有瓦尔-e1-α（X）我≥ V aR1-α（Xi），对于所有i=1。。。，n、 附录中给出了证据。如您所见，前面的结果可以扩展到其他方向，如下所示。推论4.3。设X是一个满足正则条件的随机变量，X是一个方向u。如果RuX的生存函数是一个拟凹函数，那么，对于所有0≤ α ≤ 1，V aR1-α（[RuX]i）≥ [RuV aRuα（X）]i，对于所有i=1。。。，n、 此外，如果RuX具有准凹度累积分布，则鲁瓦-u1-α（X）我≥ V aR1-α（[RuX]i），对于所有i=1。。。，n、 其中Rui是（2.1）中定义的正交变换。根据命题3，证明很简单。6和提案4.2。因此，通过连接之前的结果，我们得到了所有对（u，α）的以下不等式(-u、 一,-α).V aRuα（X）紫外线照射-u1-α（X）。

（4.1）这种关系允许我们以类似于[Embrechts and Puccetti（2006）]和[Counse and Di Bernardino（2013）]的方式定义方向性上限风险值和方向性下限风险值，但采用统一的符号。具体而言，我们引入了以下定义：方向u的上VaR为，V aRuα（X）=V aRuα（X），（4.2）方向u的下VaR为，V aRuα（X）=V aR-u1-α（X）。（4.3）这些概念的一个例子如图3所示，我们可以在一元正态分布中看到，u方向的上VaR=(√,√) 对于风险水平α=0.3，以及方向上相应的较低VaR-u和levelrisk 1- α. 注意，我们可以在图中描述分位数曲线的渐近线类型，此外，这些渐近线将是相同α处旋转随机向量RuX的每个边缘的单变量分位数，其中旋转矩阵rui与（2.1）中的相同。这些渐近线可以被视为[Belzunce et al.（2007）]中定义的经典方向分位数曲线的推广。多元VaR和单变量VaR之间的联系令人感兴趣的另一种实际情况（参见[Embrechts and Puccetti（2006），Wang et al.（2013），Bernard et al.（2014）]）是，需要给出单变量VaR在边际损失线性变换上的界限；例如，当考虑组合权重向量的转换时，即当objectiverandom变量为z=w′X时，47 48 49 50 51 52 5347484950515253图3：上下V aRuα（X）与u=(√,√) 对于无变量正态分布，α=0.3。其中w是投资组合权重的向量。由于主要当投资组合的组成部分不是独立的时，很难获得Z的VaR，因此特别有兴趣获得至少一个V aRα（Z）的界。

幸运的是，我们可以使用定向方法得到一个上限。提案4.4。让你=-w | | w | |是组合灯方向的酉向量。如果x∈ QX（α，u），然后w′x≥ V-aRα（Z）。附录中给出了证据。特别是由于命题4。4.我们有-w | | w |α（X）≥ V-aRα（Z）。（4.4）这一结果是考虑多元VaR的定向方法及其在金融应用中的效用的另一个理由。5定向多元VaR和copulas研究者将copulas称为“一维边际分布在[0,1]中均匀的多元分布函数”。关于连词的广泛讨论，请参考[Nelsen（2006）]。这个强大的工具允许定义依赖性和多变量分布族的无标度度量。在多元分布中，有两个方面是重要的：边缘分布和它们之间的依赖结构。总体概念充分描述了边缘变量之间依赖的整体结构，并为其随机行为提供了一个全局模型。将这两个方面联系起来的重要结果是Sklar定理，根据acopula，它允许将多元分布函数写成，F（x，··，xn）=C（F（x），··，Fn（xn）），（5.1），其中F是连接分布函数，F。。。，F它的边缘分布和C连接，根据Sklar定理，连接总是存在的。连接函数成为一个强大的工具，可以为连接函数的特殊家族找到多元分位数的闭合表达式。

例如，在财务方面，当损失按百分比进行建模时，找到用copula表示的风险度量的闭合表达式是非常重要的，因为损失的支持将是维度n的酉超立方体。因此，本节的目的是分析如何根据一些copula族获得V aRuα（X）。第一个结果显示V aRuα（X）的表示仅限于二元copula。设X是一个二元随机向量，其边缘在区间[0,1]中均匀分布。在这种情况下，X的分布函数是密度为c（·，·）的copula。众所周知，e[X]=（，）。注意，假设n=2，方向u=（u，u）可以用角度θ来表示，使得tanθ=u/u，然后u=（cosθ，sinθ）。按照角度给出的符号，V aRuα（X）必须是线lθ上的一个点，由lθ定义：=n（w，w）：w=wsin（θ）-（sin（θ）-cos（θ）cos（θ）o，如果cos（θ）6=0，（w，w）：w∈ [0,1]，w=, 如果cos（θ）=0。（5.2）因此，给定一个方向θ，V aRuα（X）由其第一个分量表征，第二个分量由（5.2）得到。现在，可以通过求解以下积分方程得到第一个分量，Z ZDθ（w）c（s，t）dtds=α，（5.3），其中Dθ（w）由酉平方[0,1]×0,1]和理论定向象限的交点给出，方向由θ和顶点（w，lθ（w））确定。

具体而言，Dθ（w）可以用半直线SLθ（w），lθ（w）表示为未知的wby，该半直线将相应的象限限定为，lθ（w）：=（z，z）：zcosθ -π- zsin公司θ -π= Wtan（θ）cosθ -π- 她在吗θ -π-（tan（θ）- 1） 因为θ -πlθ（w）：=（z，z）：zsinθ -π+ zcosθ -π= Wtan（θ）s inθ -π+ 余弦θ -π-（tan（θ）- 1） 罪θ -π例如，如果θ∈ （π，π），我们可以写出如下积分方程：Zwmin{lθ（w）T{z=0}，0}Zlθ（w）c（s，T）dtds+Zmin{lθ（w）T{z=1}，1}wZlθ（w）c（s，T）dtds=α。（5.4）图4显示了带有θ的区域Dθ（w）的情况∈ （π，π）是（5.4）的解，线lθ上的一点。综上所述，对于一个给定的双变量向量，我们可以得到copula密度为c（·，·）的V aRuα（X）。现在，我们将重点关注文献中广泛使用的阿基米德连接函数族，其定义如下：0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91lθ1（w1）uXlθ（w1）lθ2（w1）图4：由θ给出的象限∈ （π，π）和线lθ上的顶点。定义5.1（阿基米德连接函数）。设φ：[0，1]→ [0, ∞) 是φ（1）=0的连续凸严格递减函数。让φ-1（·）是φ（·）的伪逆函数。然后，阿基米德copula C（v，··，vn）由C（v，··，vn）=φ定义-1（φ（v）+··+φ（vn））。（5.5）在这种情况下，对于分布函数为A的n维随机变量，属于具有生成元φ（·）的阿基米德连接函数族，V aR-eα（X）由所有分量都等于[V aR]的向量给出-e1-α（X）]i=φ-1.φ(1 - α） n. （5.6）此外，如果X有一个属于阿基米德家族的生存copulaC和生成器φ（·），则等价的Sklar表示给出了关系“FX（X，··，xn）=C（\'F（X），··，\'Fn（xn）），其中“F”是连接生存函数，而“F，…”。。。，“fnits边缘生存功能。因此，我们得到：[V是α（X）]i=1-φ-1φ（α）n！。

（5.7）记住，如果向量X有一个copula C，那么生存copula为1- x也将是C。因此，如果Xd=1- 十、 那么X的copula和它的survivalcopula是相同的；例如，阿基米德家族中的Frank的copula和椭圆copula家族都拥有这个属性。那么，在这种情况下，V aReα（X）的闭合压力是V aR的反射点-e1-α（X）关于点（，··，）。现在我们将展示一些使用阿基米德连接函数的例子。首先，我们将使用Frank的子类来展示一个在二元情况下任意方向u的V aRuα（X）的例子。稍后，我们将对低风险VaR进行一些比较≡ VaRα（X）与上正态VaR≡V aRα（X）由[Counse and Di Bernardino（2013）]开发，带有V aRuα（X），但考虑了属于克莱顿子类的n维copula。让我们定义这两个子类。（i） Frank Copula：这个Copula的生成函数是φβ（r）=-自然对数E-βr- 1e-β- 1.φ-1β（s）=-βln（1）- (1 - E-β） e-s） ，（5.8）Cβ（v，v）=-βln1+（e）-βv- 1） （e）-βv- 1） e-β- 1., （5.9）cβ（v，v）=-β(1 - E-β） e-β（v+v）（（e）-βv-1） （e）-βv- 1) - （e）-β- 1） ），（5.10）式中∈ R\\{0}。（ii）Clayton Copula：这个家族由φβ（r）=β（r）生成-β- 1） φ-1β（s）=（1+βs）-1/β，（5.11）Cβ（v，v）=maxn（v-β+v-β- 1） 1/β，0o，（5.12），其中β∈ [- 1, 0) ∪ (0. + ∞].在图5中，我们绘制了无变量随机向量的方向V aRuα（X）的第一个分量，密度由Frank copula密度给出。leftplot与u=-e，右图与u=-√(1, 2).

两个绘图都将更改显示为0≤ α ≤ 1对于依赖参数β的不同值，0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.800.10.20.30.40.50.60.70.80.9α- levelVaRαu（X）β=-10β= -3β= 1β= 3β= 100 0.2 0.4 0.6 0.80.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.75α - levelVaRαu（X）β=-10β= -3β=1β=3β=10a）方向-e=-√[1,1]\'b）方向u=-√[，]图5:V aRuα（X）变化α中第一个成分的行为。我们可以在图5中看到V aRuα（X）对β的依赖性。注意，作为β→= ±∞ 方向为±e，我们将分别得到已知为单调和反单调的极端情况。在左图中，可以看到共单调情况与由边缘上的单变量变量变量组成的向量相匹配，在这种情况下由向量[V aR]给出-eα（X）]i.此外，众所周知，随机向量上的旋转不会保持旋转分布中的依赖结构；此外，这一事实在右图中得到了体现，在右图中，方向的变化显示了所考虑的每个依赖参数中测量值的旋转。设X是一个随机向量，其分布函数属于Claytoncopula子类。因此1- X是一个带有克莱顿生存copula的随机向量。我们对V aR的第一个组成部分进行了比较-eα（X）与V aRα（X）=e[X | F（X）=α]和V是α（1）- 十） 带v-aRα（1）- 十） =EX | F（X）=1- α, 相应的lower orthant VaR和upper orthant VaR由[Cousine and Di Bernardino（2013）]开发。表1包含V aRα（X）和V aRα（1）的显式表达式- 十） 在维2中，我们的建议的广义表达式是α，β的任意维。

图6显示了n=2的图形比较；左图显示了V aR的结果-eα（X）在实线中，V aRα（X）在虚线中，而右边的图显示了V是α（1）的结果- 十） 在实线中，andV aRα（1- 十） 用虚线表示。方向V aRuα（·）[堂兄和迪贝纳迪诺（2013）]的VaRX1+α-βn-βββ-1αβ-ααβ-11- x1-1+(1-α)-βn-β1 -ββ-1(1-α)β-(1-α)(1-α)β-表1:Clayton的Copula类图6中的结果还显示，在Clayton Copula类的随机向量的情况下，V aR-eα（X）相对于参数α增加，而相对于参数β减少。另一方面，V是α（1）- 十） 是参数α的递增函数，也是依赖参数β的递增函数。[Counse and Di Bernardino（2013）]对这类连接函数的这些特征进行了评论和证明，对于我们的风险度量，可以很容易地按照相同的方案进行证明。此外，我们需要强调的是，对于每个固定的配对（α，β），以下关系成立，V aRα（X）≤ 瓦尔-eα（X）和V是α（1）- 十）≤V-aRα（1）- 十） ，（5.13），其中不等式是分量式的。因此，我们可以说，我们的测量在上限情况下更保守，在下限情况下更乐观。经理可以根据自己的喜好考虑这一点。6鲁棒性上一节给出了具有[0,1]均匀边缘分布的随机向量的分析结果。然而，在实际情况下，需要0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91α- levelVaRα-e（X）β=-1Beta=0Beta=1Beta=8Beta=∞0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91α - levelVaRαe（1-十） 贝塔=-1Beta=0Beta=1Beta=8Beta=∞a） 小写b）大写图6：克莱顿连接词家族的比较。求任意随机向量X的V aRuα（X）。