有风险的定向多元值

在这种情况下，我们使用以下伪算法中总结的计算方法：输入：u，α，h和多变量样本Xm。对于i=1到mPi=PXm库西,如果| Pi- α| ≤ hxi∈^QhXm（α，u），表示xj∈^QhXm（α，u）dj=dist（xj，{uXm+λu}），endndv aRuα（Xm）={xk | dk=min{dj}，其中Xm:={x，··，Xm}是随机向量x的样本，uXm样本均值，^QhXm（α，u）：=nxj:|pxmcuxji- α| ≤ 带有松弛h和PXm[·]的样本数量曲线是Xm的经验概率分布。使用这个过程，我们能够处理高维随机向量。我们知道，可以使用更复杂的非参数统计工具来改进这些程序，但它们是另一个项目的材料。另一方面，众所周知，在风险理论中，一个度量是稳健的（参见[Artzner等人（1999年）、Burget and Ruschendorf（2006年）、Cardin and Pagani（2010年）、Rachev等人（2008年）]）。但总的来说，大多数测量对非典型观测非常敏感。在本节中，我们以[Counse and Di Bernardino（2013）]的衡量标准为基准，提出了一项模拟研究，以描述我们提案的敏感性。我们将在模拟中使用的污染模型如下：Xωd=（X，概率p=1- ω、 概率p=ω，（6.1），其中Xd=N（u，∑），Xd=N（u+u, Σ+ ∑）和0≤ ω ≤ 1.Xare的参数，u=[50,50]，∑=0.5 0.30.3 0.5.X在分析中保持不变，但X的正态分布参数会改变为不同的步骤以生成异常值。

作为一种量化异常值影响的度量，我们定义了P Vω=| |度量（Xω）- 测量（X）| | | |测量（X）| |，其中测量（X）是在X中评估的风险测量，ω=0，测量（Xω）是用污染水平ω%的样品评估的风险测量。XDDistribution方差分析的情景参数u，∑+4.5 00 6.5协方差矩阵分析u，∑+4.5 0.20.3 6.5均值分析u+u，∑连接分析u+u, Σ+4.5 0.20.3 6.5表2：模拟阶段和参数我们考虑了表2中所述的X的情况。程序如下：首先，我们生成了一个无污染样本Xω，ω=0，有5000个观察值，我们计算了两个V均为0。1（X）和aR0。1（X）。其次，我们使用了污染模型（6.1），ω的值从1%到10%。然后，我们为每个ω生成5000个样本，样本的期望值为异常值ω%。我们已经评估了风险度量以及每种污染水平的变化百分比，执行该程序100次0 2 4 6 8 1001234567x 10-3ωMVaRCB VaRFigure 7：测量值的变化百分比改变了方差，我们在以下曲线图中报告了P Vω的平均值。第一种情况是边缘方差变化给出的异常值，在实践中很难检测到。我们可以在图7中看到V的行为是0。对于任何污染水平，1（X）都比[Counse and Di Bernardino（2013）]中对应的较高VaR好。在这种情况下，“更好”意味着pvω更小。第二种情况考虑协方差ma0 2 4 6 8 1000.511.522.533.54x 10的所有分量的变化-3图8：改变协方差矩阵的测量值的变化百分比。结果如图8所示，再次显示了V aRe0的更好性能。1（X）关于稳健性。

最后的情景包括平均值的变化。首先，我们影响了均值的第一个分量，然后我们影响了第二个分量，最后两个分量同时受到影响。图9总结了结果。正如我们所看到的，V是0。1（X）在存在高维异常值的情况下表现出鲁棒性，但在唯一组件中的异常值下表现出额外的敏感性。使用随机损失的平均值作为我们的应收账款定义的中心点可能是缺乏稳健性的原因。0 2 4 6 8 1000.0050.010.0150.020.0250 2 4 6 8 1000.0050.010.0150.020.0250.030.035ΩMVaRCB VaR0 2 4 6 8 1000.020.040.060.080.10.12ΩMVaRCB VaRa）u=[0,25]\'b）u=[25,0]′c）u=[25,25]\'图9：改变所有参数的测量变量的百分比7结论在本文中，我们定义了经典风险测量的多变量扩展，基于文献中最近引入的定向多变量分位数。具体而言，我们提出了方向性多元风险值（V aRuα（X））作为一种工具，用于分析考虑外部信息或管理者偏好的n个异质性和依赖性的投资组合。我们用[Artzner等人（1999）]的公理化方法分析了V aRuα（X）的解析性质。我们已经提供了一些不变性性质以及一致性和尾次可加性性质，这些性质在arisk测度中是需要的。我们已经展示了V aRuα（X）的输出分量与边缘上相应的单变量VaR之间的关系。使用投资组合权重向量w的线性变换上的单变量VaR与V aR上的该变换值之间的联系-给出了w | | w |α（X）。

我们也给出了V aRuα（X）在某些连接函数族中的闭合表达式，考虑到特定的维数或特定的方向。最后，我们对V aRuα（X）的行为与[Counse and Di Bernardino（2013）]中提出的风险度量进行了鲁棒性比较的模拟研究。仿真结果显示了我们的方案相对于异常值的优势。在这项研究中，我们还发现了一个有待在未来工作中考虑的开放问题。其想法是考虑另一个中心点，而不是平均值作为参考系统的中心，以提高风险度量的稳健性，但同时保持已被改进的良好特性。一种选择是使用多变量深度度量来选择中心点。确认这项研究得到了西班牙经济和竞争部ECO2012-38442的部分支持。附录2.外稃的证明。2.因为，Ruu=e和R-u(-u） =e，（7.1）我们有Ru=-R-u、 然后使用（7.1），我们得到了，Cux={z∈ Rn:Ru（z）- 十）≥ 0}={z∈ 注册护士：R-u(-Z- (-x） )≥ 0}= -C-U-十、财产证明。3.由于引理2.2，很容易证明-X（α，u）=-QX（α，-u） ，（7.2）因此，Q-X（α，u）\\{λu+E[-十] }≡ (-QX（α，-u） )\\(-{λ(-u） +E[X]}）≡ -QX（α，-u） \\{λ(-u） +E[X]}.那么，V aRuα(-十） =-瓦尔-uα（X）。财产证明。4.这个性质是用引理2.3推导出来的。财产证明3.5。自从X≤尤伊<=> 鲁克斯≤uoRuY，我们得到：LX（α，u）：={z∈ Rn:PX（Cuz）≤ α}  {z∈ Rn:PY（Cuz）≤ α} ：=LY（α，u）此外，V aRuα（X）=LX（α，u）T{λu+E[X]}和V aRuα（Y）=LY（α，u）T{λu+E[Y]}。因此，使用（2.2）中定义的偏序，s、t有三种可能性∈ 注册护士：（i）sut，（ii）s 6ut和t 6美国（iii）s美国犹他州。我们可以证明，对于点V aRuα（X）和V aRuα（Y），第一个选项是不可能的。

假设v aRuα（X）uV-aRuα（Y），这意味着 CuzY。因此，PY（CuzY）≥ PX（CuzY）>PX（CuzX）=α。在这种情况下，如果我们假设正则性条件，我们就会得出一个矛盾。此外，假设E[Y]=cu+E[X]，对于所有c>0和结论E[X]uE[Y]来源于[Laniado et al.（2012）]（财产3.4.），允许我们排除在两点之间订购的第二种可能性。因此，唯一可能的选项是V aRuα（X）uV-aRuα（Y）财产证明。6.首先，注意：{λ（Qu）+E[QX]}=Q{λu+E[X]}。此外，我们有以下关系：CQuQx={z∈ Rn:RQu（z）- Qx）≥ 然后Ru=rqq，这意味着CQuQx=QCux，PQX（CQuQx）=PX（Cux）。然后，我们得到QQX（α，Qu）=QQX（α，u），（7.3），这证明了结果。财产证明。7.属性3.6意味着，RuV aRuα（X）=V是α（RuX），其中e=√nn[1，…，1]′。然后，RuV aRuα（X）≤ supω∈Ohm{RuX（ω）}，证明是完整的。财产证明。9.很容易看出，平均值中的等式意味着向量E[RuX]、E[RuY]和E[Ru（X+Y）]与方向向量E位于同一条线上。然后，我们可以写：CeV是α（RuX）=n[V是α（RuX）]Cew=n[V是α（RuX）][w，∞ )n、 （7.4）其中w是其分量为的向量，[·]表示向量的第一个分量。如果α>0，则为小α→ ∞, 然后是αP（卢比，卢比）∈ φαB→ u（B）。另一方面，我们有一个事实，波雷尔φα-1cu为α（RuX）×0，∞)nsatis定义了以下关系：αP”（RuX，RuY）∈φαφα-1（CeV为α（RuX）×0，∞)n）#→ 1.或等效地，u(φα-1（CuV为α（RuX）×0，∞)n） )~ 1.因此使用（7.4），我们有：[V是α（RuX）]~uN∞n×（0，∞)Nβφαn、 （7.5）同样地，[V是α（RuY）]~u(0, ∞)n×N∞NβφαN

（7.6）现在，对于随机变量Ru（X+Y），我们有；CeV为α（Ru（X+Y））={（X，Y）∈ (0, ∞)2n:（x+y）>V是α（Ru（x+y））}=n[V是α（Ru（x+y））]·{（x，y）∈ (0, ∞)2n：（x+y）>w}=n[V是α（Ru（x+y））]·Cew（7.7），其中表达式中的不等式是分量式的。因此，我们得到了(φα-1.（x，y）∈ (0, ∞)2n：（x+y）>V为α（Ru（x+y））)~ 1.然后使用（7.7）中的最后一个等式，我们最终得到，[V是α（Ru（X+Y））]~u{（x，y）∈ (0, ∞)2n:（x+y）>w}βφαn、 （7.8）因为在所有规范中，规范是等效的，即对于两个规范| | | | | |和| |||*,有正常数c，c | |·| |≤ || · ||*≤ c | |·| |。然后，无论采用什么标准，我们都使用变换[Resnick（1987）]，第267页，十、→ （| | x | |，| | x||-1x）并根据D:={z中的新度量η（·）重写u（·）∈[0, ∞]2n\\{0}：| | z | |=1}作为r-βη（·），由于（3.13）中测量的性质。对于D中的Borel集a，满足这两个度量的关系式为，u（a）=ZDZ∞1（r（u，v）∈ A） βr-（1+β）drη（du，dv）。（7.9）那么（7.5）、（7.6）和（7.8）中的Borel集的度量可以用| |·| | as:u表示N∞n×（0，∞)N=Zdhuii！βη（du，dv），（7.10）u(0, ∞)n×N∞N=ZDXivi！βη（du，dv），（7.11）u（{（x，y）∈ (0, ∞)2n:（x+y）>w}=ZDXi（ui+vi）！βη（du，dv），（7.12）现在使用Mikowski不等式，我们得到：ZDXi（ui+vi）！βη（du，dv）β≤Zdhuii！βη（du，dv）β+ZDXivi！βη（du，dv）β.（7.13）因此结合（7.5），（7.6），（7.8）和（7.13），我们得到了结果[V是α（Ru（X+Y））]≤ [V是α（RuX）]+[V是α（RuY）]，或等价地，从命题3.6和（2.2）中定义的偏序，我们得到了u=m | | m | |的结果：V是α（X+Y）uV-aRuα（X）+V-aRuα（Y）。(7.14)命题的证明。4.根据定义2.6，如果x∈ QX（α，u），我们有P[Ru（X）-十）≥ 0] = α. 因此，P[1′Ru（X- 十）≥ 0] ≥ α式中，1=[1，··，1]′。

（7.15）由于Ruu=e，我们得到P[1′Ru（X）- 十）≥ 0]=P[√n（Ruu）′Ru（X）- 十）≥ 0]=P[√N-w | | w||′（十）- 十）≥ 0]=P[w′X≤ w′x]=P[Z≤ 因此，（7.15）和（3.2）意味着w′x≥ V-aRα（Z）。命题4.2的证明。该证明遵循与[Councy and Di Bernardino（2013）]命题2.4相同的大纲。注意，在方向u=e，Cex={z∈ Rn:z≥ x} 。然后我们可以写，Lα=x∈ 注册护士：P（Cex）≤ α} ={x∈ Rn:P（X）≥ 十）≤ α} 我们可以通过生存函数F的拟凹性来假设[Lα]Cb的凸性，其中，[·]Cd表示互补集。现在，作为QX（α，e）=Lα≡ [Lα]c，Vα（X）属于集合[Lα]c.此外，从生存函数的定义来看(∞, ··· , xi，∞) ≥对于所有x，F（x）=F（x，··，xi，··，xn）∈ Rnand i=1，··，n.那么向量的每个分量都属于[Lα（e）]顺式结构在p=1水平上优于单变量VaR- 相应边缘的α。因此，V的每个分量都是α（X）的上界，即p=1级的单变量变量变量- 相应边际的α，因此，第一个不等式成立。现在来看第二个不等式，C-ex={z∈ Rn:z≤ x} 。然后，我们有，L1-α={x∈ Rn:P（C）-（前）≤ 1.- α} ={x∈ Rn:P（X）≤ 十）≤ 1.- α} 但是，如果F是一个拟凹函数，我们有[L1]-α] cis a凸集与Qx（1）- α, -e） =L1-α≡ [L1-α] c.因此V是1-α（X）属于这个集合[L1]-α] c.此外，从分布函数的定义来看，很容易看出[L1]中元素的每个成分-α] 在p=1的水平上，由单变量VaR下界的CI-相应边缘的α；因此，我们得到了结果。参考文献[Arbia（2002）]Arbia，G.，二元风险值。Statistica LXII，231-247，2002年。[Artzner等人（1999）]Artzner P.，Delbae F.，Heath J.Eber D.，一致性风险度量。《数学金融》3203-2281999。[Bernard et al.（2014）]Bernard C.，蒋X。

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