有风险的定向多元值

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英文标题：
《A Directional Multivariate Value at Risk》
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作者：
Ra\\\'ul Torres, Rosa E. Lillo and Henry Laniado
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In economics, insurance and finance, value at risk (VaR) is a widely used measure of the risk of loss on a specific portfolio of financial assets. For a given portfolio, time horizon, and probability $\\alpha$, the $100\\alpha\\%$ VaR is defined as a threshold loss value, such that the probability that the loss on the portfolio over the given time horizon exceeds this value is $\\alpha$. That is to say, it is a quantile of the distribution of the losses, which has both good analytic properties and easy interpretation as a risk measure. However, its extension to the multivariate framework is not unique because a unique definition of multivariate quantile does not exist. In the current literature, the multivariate quantiles are related to a specific partial order considered in $\\mathbb{R}^{n}$, or to a property of the univariate quantile that is desirable to be extended to $\\mathbb{R}^{n}$. In this work, we introduce a multivariate value at risk as a vector-valued directional risk measure, based on a directional multivariate quantile, which has recently been introduced in the literature. The directional approach allows the manager to consider external information or risk preferences in her/his analysis. We have derived some properties of the risk measure and we have compared the univariate \\textit{VaR} over the marginals with the components of the directional multivariate VaR. We have also analyzed the relationship between some families of copulas, for which it is possible to obtain closed forms of the multivariate VaR that we propose. Finally, comparisons with other alternative multivariate VaR given in the literature, are provided in terms of robustness.
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中文摘要：
在经济学、保险学和金融学中，风险价值（VaR）是一种广泛使用的衡量特定金融资产组合损失风险的指标。对于给定的投资组合、时间范围和概率$\\alpha$，将$100\\alpha\\%$VaR定义为阈值损失值，因此给定时间范围内投资组合的损失超过该值的概率为$\\alpha$。也就是说，它是损失分布的一个分位数，它既具有良好的分析特性，又易于作为风险度量进行解释。然而，它对多元框架的扩展并不是唯一的，因为不存在多元分位数的唯一定义。在目前的文献中，多元分位数与$\\mathbb{R}^{n}$中考虑的特定偏序有关，或者与希望扩展到$\\mathbb{R}^{n}$的单变量分位数的属性有关。在这项工作中，我们引入了一个多元风险值作为向量值方向风险度量，基于一个方向多元分位数，这是最近在文献中引入的。定向方法允许管理者在分析中考虑外部信息或风险偏好。我们导出了风险度量的一些性质，并将边缘上的单变量VaR与定向多元VaR的分量进行了比较。我们还分析了一些连接函数族之间的关系，对于这些连接函数族，我们提出的多元VaR的闭合形式是可能的。最后，在稳健性方面与文献中给出的其他多元VaR进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：Multivariate Applications Quantitative relationship distribution

RiskRaúl Torres的方向多元值(ratorres@est-经济部。uc3m。（E）罗莎·E·利洛(lillo@est-经济部。uc3m。（es）亨利·拉尼亚多(hlaniado@est-经济部。uc3m。在经济学、保险和金融学中，风险价值（VaR）是一种广泛使用的衡量特定金融资产组合损失风险的方法。对于agiven投资组合、时间范围和概率α，100α%VaR被定义为阈值损失，因此在给定时间范围内投资组合的损失超过该值的概率为α。这就是说，它是损失分布的一个分位数，具有良好的分析特性，并且易于作为风险度量进行解释。然而，它对多变量框架的扩展并不是唯一的，因为不存在多变量分位数的唯一定义。在目前的文献中，多变量分位数与Rn中考虑的特定偏序有关，或者与希望扩展到Rn的单变量分位数的性质有关。在这项工作中，我们引入了一个多元风险值作为向量值方向风险度量，基于一个方向多元分位数，这是最近在文献中引入的。定向方法允许经理在分析中考虑外部信息或风险偏好。我们已经推导出了风险度量的一些性质，并将边际上的单变量VaR与定向多元VaR的组成部分进行了比较。我们还分析了一些连接函数族之间的关系，对于这些关系，我们提出的多元VaR的闭式形式是可能的。

例如，《全球银行业监管新巴塞尔协议》中发现的一个缺陷是金融机构分支机构之间的偿付能力和负债依赖性，或者说金融产品之间的依赖性可能会在市场上产生多米诺效应。因此，每个分支的可解性可能会受到强烈影响，不仅受其活动的影响，还受所有分支之间的依赖程度的影响。因此，考虑到数据的多变量性质和边际风险之间的依赖性，有必要对风险进行量化。在巴塞尔协议III中，提出了一项新的流动性监管，以避免在2007-2009年危机中发现的弱点；但为了获得更好的对冲效果，这些监管必须由机构内部模型加以补充。这些模型必须包括高维可计算的多元风险度量，并考虑可能的内部和外部风险，即使这些风险的性质具有强烈的异质性。近几十年来，致力于将VaR度量扩展到多变量设定的文献已经发表。例如，[Arbia（2002）]，[Tibiletti（2001）]，[Nappo and Spizzichino（2009）]研究了双变量版本。此外，对于一般的多元分布，引入了一些VaR的概念（例如[Lee和Prékopa（2012年）、Embrechts和Puccetti（2006年）、Cousine和Di Bernardino（2013年）]）。[Embrechts和Puccetts将风险度量与风险X的分布函数或生存函数累积某些α值时定义的水平面相关联，该α值被视为分位数面。

最近，[Counse and Di Bernardino（2013）]基于[Embrechts and Puccetti（2006）]中研究的水平面引入了多元VaR的新概念。他们评论说，将整个地表视为风险度量可能会导致解释问题。因此，他们将多元VaR定义为属于[Embrechts and Puccetti（2006）]中考虑的表面的点的平均值，因此，输出是一个与损失的随机向量维数相同的点。具体而言，他们定义了α水平（1）下的高风险价值（低风险价值）-α） –level）作为X的条件期望，给定X位于其分布（生存）函数的α集合中。在本文中，我们基于[Laniado et al.（2012）]中介绍的极端水平集，引入了一个定向多元风险值，这允许定义定向多元分位数的概念。极值水平集是按照[Embrechts and Puccetti（2006）]中相同的思想定义的曲面，但与多元分布的旋转有关；也就是说，考虑了定向方法。我们与[Counse and Di Bernardino（2013）]一样认为，多元VaR被视为一个表面，可能会带来与其解释相关的问题。因此，我们强调了将多元VaR视为向量值点的想法，该向量值点定义了分析方向中有向正态分布的顶点。使用X到X的平均值获得顶点。我们提出的风险度量考虑了现实问题的高维性质，分析中隐含了风险之间的依赖性。最后，我们给出了考虑管理者偏好的可能性，引入了方向u参数。

例如，与生存分布函数或累积分布函数中总结的信息的经典方向相比，投资组合中主成分的最大可变性或资产权重构成等方向可能更值得分析。此外，定向方法允许我们给出与随机变量线性组合相关的VaR的界，主要是当它们在统计上相关时。我们已经证明了我们认为与多变量风险度量相关的方向VaR的性质，例如关于特定随机顺序的一致性和平均损失方向的尾部次可加性，以及一些不变性。我们比较了定向多变量VaR和边缘单变量VaR的成分，以表明边缘VaR给出的向量提供了关于共同风险的不完整信息。我们还得到了当考虑二元连接函数或当多元阿基米德连接函数控制投资组合各组成部分之间的依赖性时，VaR的闭合表达式。最后，我们将展示[Counse and Di Bernardino（2013）]引入的替代向量值多元VaR的稳健性比较条款。本文的结构如下。在第二节中，我们将介绍一些初步的概念和符号，以便理解本文的主要贡献。在第3节中，我们介绍了定向多元风险值（V aRuα（X）），并提供了分析性质，这些性质可被视为[Artzner等人（1999）]中给出的多变量设置的扩展。第4节包含边际上的单变量VaR与定向多变量VaR的组成部分之间的比较。

第5节讨论了当考虑特定的种群时，多元VaR的理论结果和封闭形式。在第6节中，我们进行了稳健性分析。最后，本文总结了一些结论，并对未来的工作提出了一些可能的方向。2预备工作本文的主要目的是基于[Laniado et al.（2010）]中给出的定向多元分位数的概念，介绍一种定向多元值矩阵。为了使本文内容完整，我们在本节中对正确定义本文中介绍的风险度量所需的主要概念进行了修订。定义2.1。顶点x在方向u上的定向正切定义为，Cux={z∈ Rn:Ru（z）- 十）≥ 0}，（2.1）其中∈\'Bn（0）={v∈ Rn:| | v | |=1}和Ruis是正交矩阵，如Ruu=e，带e=√nn[1，…，1]′。基于定向正切概念，我们可以定义部分数据顺序（用u） 在RNA中，xuy，当且仅当，Cux Cuy，（2.2）其中x，y∈ 注册护士。或者相当于xuy，当且仅当，Rux≤ Ruy，其中右侧的顺序是组件式的。在本文中，我们将使用以下与Rn中的子集相关的符号。给定b∈ Rn，c∈ R、 还有 Rn，集合b+A和cA定义为，b+A:={b+A:A∈ A} ，cA:={cA:A∈ A} 。（2.3）我们回顾了一些关于定向正切的结果，这些结果将在本文的主要部分中有用。引理2.2。给定一个方向u和一个顶点x，那么CUX=-C-U-x、 （2.4）附录中给出了证明。引理2.3。给定c>0和b∈ Rn，然后CuCx+b=Ccx+b.（2.5）证明。使用（2.3）中给出的定义，证明非常简单。我们还回顾了一些有用随机顺序的定义；详见[Shaked and Shanthikumar（2007）]。定义2.4。

给定两个随机向量X和Y，X比Y小：（i）通常的随机顺序（用X表示）≤stY）如果E[φ（X）]≤ E[φ（Y）]，对于具有有限期望的任何递增函数φ（·）。（ii）正态上阶（由X表示）≤uoY）如果“FX（x，…，xn）≤“FY（x，…，xn），对于所有x，其中“FX，”-FY分别表示x和Y的生存函数。（iii）下正序（由X表示）≤loY）如果FX（x，…，xn）≥ FY（x，…，xn），对于所有x，其中FX，FY分别表示x和Y的分布函数。很容易验证两个阶，上正切和下正切，都是由通常的随机阶隐含的。[Laniado et al.（2012）]中定义的以下随机顺序将是提供多元VaR某些属性的关键工具，我们将在下一节中定义这些属性。定义2.5。设X和Y是Rn中的两个随机向量，X在u方向（由X表示）的极值顺序上小于Y≤EuY）if，P[Ru（X）- z）≥ 0] ≤ P[Ru（Y）- z）≥ 0]，用于Rn中的所有z。很容易证明X≤尤伊<=> 鲁克斯≤乌鲁伊。此外，如果X≤EuY thenE[X]正如[[Laniado et al.（2012）]中所证明的那样，uE[Y]，财产3.4]。由于多变量VaR基于分位数的定义，我们还需要介绍[Laniado等人（2010）]中给出的定向多变量分位数。定义2.6。设X是一个随机向量，具有相关的概率分布函数P。然后，在水平α，方向u上的方向多元分位数被定义为qx（α，u）：={x∈ Rn:P（Cux）≤ α} ，（2.6）带0≤ α ≤ 1.从现在开始，我们将关注一个绝对连续的随机向量X（关于Rn上的Lebesgue测度ν），其边际分布函数是递增的，因此E[Xi]<∞, 对于i=1。。。，N

这些条件称为正则条件。3.方向性多变量风险值在单变量环境中，与损失分布相关的分位数与VaR之间的关系是明显的。在本节中，我们提出了n相关风险组合的多变量VaR定义，与（2.6）中定义的方向性多变量分位数相关联。此外，输出是Rn中的一个点；也就是说，与所考虑的风险组合具有相同维度的向量。具体而言，与单变量情况一样，这一点定义了累积概率α的定向风险的顶点，但方向是投资者或风险管理层认为更方便的方向。定义3.1。设X为满足正则条件的随机向量，0≤ α ≤ 1.然后，在概率水平α的u方向上，X的风险方向多元值由V aRuα（X）给出=QX（α，u）\\{λu+E[X]}, （3.1）式中λ∈ R.我们必须强调，给定一个方向u，V aRuα（X）是α级方向分位数与方向u和X的平均值定义的线之间的交点。我们想指出，所选的中心性工具themean将代表随机向量空间的中心参考点，即支持相关的概率分布。正如我们将要演示的那样，在定义（3.1）时选择平均值，使我们能够得出与风险度量相关的理想且可解释的分析性质。但是，也可以选择其他选项作为中心参考点；例如，中位数被视为与多变量深度测量相关的最深点，可以提供更稳健的风险测量（例如[Zo and Ser fling（2000），Cascos et al。

(2011)]).为了说明这一概念，您可以在图1中看到（3.1）中定义的风险度量的一些示例，用于三种不同的方向上的二元分布-ewithα=0.7。该方向参考了X的分布函数分析。图2给出了具有相同双变量分布的示例，但在方向e和α=0.3；也就是说，考虑到X的生存函数给出的信息。我们称这两个方向为经典方向，但这项工作的目的是表明在风险分析中考虑其他方向可能是有趣的。请注意，在图中，u方向上与平均值相交的线显示为绿色，而分位数曲线显示为红色。我们提出的VaR就是直线和分位数曲线的交点。另一方面，蓝色的点是相应方向上“低于”风险水平α的点；同时，黑点是那些“超过”风险水平的黑点。观察图1，如果你把蓝色区域上的任何一点作为一个定向的正反方向的顶点-e、 那么正态的概率将大于α。如果该点分别取自红线或黑色区域，则等于或小于α。

从图2中可以得出相同的结论，但方向为e.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910 1 2 3 4 5 6 7 90123456789-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 5-5.-4.-3.-2.-1012345（A）二元均匀（B）二元指数（C）二元正态图1:V aR-e0。7（X）0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.10.20.30.40.50.60.70.80.910 1 2 3 4 5 6 8 90123456789-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4 5-5.-4.-3.-2.-1012345（A）二元均匀（B）二元指数（C）二元正态图2:V aRe0。3（X）在n=1的情况下，经典的单变量VaR符合我们对VaR的定义是可取的；这一事实将在下文中看到；请记住，单变量变量变量定义为V aR1-α（X）=inf{X∈ R:P[X≥ x]≤ α} ，（3.2）其中1- α通常被认为接近于1。此外，VaR还可以根据分布函数定义为V aR1-α（X）=inf{X∈ R:P[X≤ x]≥ 1.- α}. （3.3）作为P[X≤ x] =1-P[X≥ x] 在正则条件下的单变量设置中，则（3.2）和（3.3）是相同的。为了与单变量VaR一致，我们对多变量VaR的定义与n=1的经典定义一致。也就是说，我们有V aRuα（X），V aRα（X）=V aR1-α（X）=V aR-11-α（X），其中V aRα（X）与定义（3.2）和V aR有关-11-α（X）与定义（3.3）有关。然而，这一事实在多元语境中并不成立，在多元语境中，F（x）+F（x）=1通常不成立，即F（x）=P[C-ex]=P[X≤ x] ，（3.4）\'F（x）=P[Cex]=P[x≥ x] 。（3.5）本节剩余部分将专门提供V aRuα（X）的一些性质，这些性质与风险文献中考虑的性质类似；（见[Artzner等人（1999年）、Burget和Ruschendorf（2006年）、Cardin和Pagani（2010年）、Rachev等人（2008年）、Cascos和Molchanov（2007年）、Cascos和Molchanov（2013年）]）。