跳扩散风险过程下的渐近投资行为

那么我们有v′（x）/v（x）=M（v）（x）/v（x）- [c+（u）- r） a*（x） +rx][σ（a）*（x） ）+2ρσa*（x） +σ]=M（V）（x）/V（x）- rx[σ（a）]*（x） ）+2ρσa*（x） +σ]- f（a）*（x） )≥M（V）（x）/V（x）- rx[σ（a）]*（x） ）+2ρσa*（x） +σ]- f（A）。（3.18）所以它保持sav（x）≥u - rσf（A）-M（V）（x）/V（x）-rx[σ（a）]*（x） ）+2ρσa*（x） +σ]- ρσ/σ>A（3.19），当x足够小时。第二个不等式是因为limx→0M（V）（x）=0，limx→0v（x）=1和参数条件ρ<ρ等于u的因子- rσf（A）- ρσ/σ>A.跳扩散风险过程下的渐近投资行为7.同样，从引理3.4来看，当x很小时，v′（x）<0。因此，从（3.19）（aV（x）>A）来看，它应该是p0≤A.≤当x很小时，ALaV（x）=LAV（x）。因为V解HJB方程，所以它是0≤A.≤ALaV（x）=0，这证明了（3.13）。现在我们假设ρ>ρ并证明（iii）。来自LV（x）≤ 0，我们有v′（x）/v（x）≤M（V）（x）/V（x）- （c+rx）σ。（3.20）然后它保持sav（x）≤u - rσc- [M（V）（x）/V（x）+rx]- ρσ/σ<0，（3.21）对于小x，其中s秒不等式是由参数条件ρ>ρ引起的。因此它保持着稳定≤A.≤ALaV（x）=LV（x），对于小x，这证明了（3.15）。在ρ<ρ<ρ的条件下，我们用矛盾证明了（3.14）。假设a中LaV（x）的最大值不是aV（x），而是0或a，那么HJB方程（3.13）或（3.15）成立。如果它保持LAV（x）=0，则wehaveaV（x）=u- rσf（A）-M（V）（x）/V（x）-rx（σA+2ρσA+σ）- ρσ/σ<A，对于小x，由于ρ>ρ。因此，a中LaV（x）的最大化子不是a，且LaV（x）<0。矛盾如果LV（x）=0，我们有av（x）=u- rσc- [M（V）（x）/V（x）+rx]- ρσ/σ>0，对于小x，由于ρ<ρ。因此，a中LaV（x）的最大值不是0，且LV（x）<0。矛盾因此，在参数条件ρ<ρ<ρ下，a中LaV（x）的最大值为s mall x和it ho lds（3.14）的aV（x）。根据定理3.2，我们得到以下性质：注3.1。

在低盈余水平x下，最优投资控制a*五、 是一个*V（x）=A如果ρ<ρ，A*V（x）=aV（x）如果ρ<ρ<ρ，a*如果ρ>ρ，V（x）=0。此外，当ρ<ρ<ρ时→ 0英寸（3.6英寸），a*V（0+）等于aV（0+）并解出以下方程式：-σu-r（a+ρσ）=-2[c+（u）- r） a]σa+2ρσa+σ，简化为（u- r） σa+2cσa+2ρσc- σ(u - r） ]=0。图萨*V（0+）=-cu- r+sc（u）- r） +2σcσ（u- r） （ρ）- ρ). （3.22）注意，它保持0<a*在参数条件ρ<ρ<ρ下，V（0+）<A。如果u6=r，则上面的平方方程有两个实根。备注3.2。v′（0+）=-2[c+（u）-r） A]σA+2ρσA+σ，如果ρ<ρ；v′（0+）=-2cσ，如果ρ>ρ；v′（0+）=-u-rσ[a*V（0+）+ρσ]=-u-rσ[ρσ]-cu-r+rc（u）-r） +2σcσ（u-r） （ρ）-ρ） ]如果ρ<ρ<ρ。注：在所有情况下，它保持v′（0+）<0。8塔蒂安娜·贝尔基纳和尚珍·罗4。低盈余下的渐近投资——无约束情形在这种情况下，我们考虑无约束情形。也就是说，控制区域由=(-∞, ∞). 在本节的推导部分，我们假设u6=r。u=r的特殊情况见备注4.3。假设HJB方程（2.5）有一个经典有界解V（x），它满足V′（x）>0，V′（x）<0，（4.1）和V（0）=0，（4.2）V′（0+）=1。（4.3）然后是（2.5）isa中的最大值*V（x）=aV（x），（4.4）和V solvessup-∞<a<∞LaV（x）=LaV（x）V（x）=0，（4.5），即。，c+rx-ρ(u - r） σσV′（x）+σ（1）- ρ） V′′（x）+λE[V（x）- Y）- V（x）]=γ（V′（x））V′（x）。（4.6）式中γ=（u）- r） 2σ。（4.7）备注4.1。很容易看出，在无约束的情况下，0+的极限最优投资额是a*V（0+）=aV（0+），如（3.22）所示。它有一个*在参数条件ρ<ρ，a下V（0+）>0*如果ρ=ρ，V（0+）=0，a*如果ρ>ρ，V（0+）<0。

这纠正了[33]第624页的错误假设，即最佳初始投资金额始终为0。下面我们继续讨论，关于条件（4.1），（4.2）和（4.3），存在一个经典解V来解HJB方程（4.5）。设H（y）=1- F（y）。然后考虑到条件（4.2），方程（4.6）c可以改写为c+rx-ρ(u - r） σσV′（x）+σ（1）- ρ） V′（x）- λxZH（y）V′（x）- y） dy=γ（V′（x））V′（x），（4.8）或σ（1）- ρ） [V′（x）]+LV′（x）V′（x）-[LV′（x）]=0，（4.9），其中运营商的着陆定义如下：Lw（x）=c+rx-ρ(u - r） σσw（x）- λxZH（y）w（x）- y） dy，Lw（x）=（u- r） σw（x），（4.10）对于（0）上的任何连续函数w，∞). 然后从（4.9）和（4.1）开始，V′满足V′（x）=LV′（x），条件为V′≤ 0，其中运算符L定义为：Lw（x）=-Lw（x）+p（Lw（x））+σ（1）- ρ） （Lw（x））σ（1）- ρ). （4.11）引理4.1。在（0）上存在一个连续可微函数v（x），∞) 满足v′（x）=Lv（x），v（0）=1。（4.12）跳扩散风险过程下的渐近投资行为。注意，对于任何w∈ C[0，K]对于任何K>0，函数Lw，Lw和Lw在x中是连续的。考虑C[0，K]中的两个连续函数w（x），w（x）和上确界范数| | w | |=sup{w（x）|：0≤ 十、≤ K} 。那么以下不等式成立：|Lw（x）- Lw（x）|≤ [c+rK+（u- r） σ/σ+λK]| | w- w | |，| Lw（x）- Lw（x）|≤ (u - r） /σ| | w- w | |。还要注意函数f（x，y）=px+yis Lipschitz:|f（x，y）- f（x，y）|≤ |十、- x |+| y- y |。然后我们看到：|Lw（x）- Lw（x）|≤|Lw（x）- Lw（x）|σ（1）- ρ） +| f（Lw（x），σp1- ρLw（x））- f（Lw（x），σp1- ρLw（x））|σ（1- ρ)≤σ(1 - ρ） [2 | | Lw- Lw | |+σ| | Lw- Lw | |]≤C | | w- w | |，（4.13），其中C=2c+2rK+3（u- r） σ/σ+2λKσ（1）- ρ). （4.14）因此，算子L是C[0，K]上的Lipschitz，常数为C:| | Lw- Lw | |≤ C | | w- w | |。（4.15）其余的证明与引理3.1相似，我们跳过它。然后我们得出结论（4.12）。

WriteV（x）=Zxv（y）dy，（4.16），其中v是（4.12）的解。我们证明了以下引理：引理4.2。v（x）在[0]上是正的，v′（x）在[0]上是负的，∞).证据我们用矛盾来证明。definex=inf{x>0:v（x）=0}，假设x<∞. 然后它在[0，x]上保持v（x）>0，v（x）=0和v′（x）=0（由于v的连续性和L的定义）。它也在x上保持v′（x）<0∈ [0，x]注意V在（0，x）上满足（4.8）。通过x↑ xin（4.8），我们是Batinlimx↑x（u）- r） 2σ（V′（x））V′（x）=-λxZH（y）V′（x）- y） dy，我们从哪里看到limx↑xV′（x）V′（x）/V′（x）是固定的和hencelimx↑xV′（x）V′（x）=0。选择x并将x关闭到x，0<x<x<x-v′（x）v（x）<1∈ （x，x）。图尔恩五（x）- lnv（x）=Zxx-（ln v（x））′dx=Zxx-v′（x）v（x）dx<x- x、 （4.17）通过x↑ 以上种种，自相矛盾！因此它必须保持x=∞ 我们得出结论v（x）在[0]上是正的，∞). 立即，v′（x）为负。10 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN Loo为此，我们看到（4.16）中给出的函数V在条件（4.1）、（4.2）和（4.3）下求解HJB方程（4.5）。通过验证结果（类似于引理3.3），我们看到最大生存函数（值函数）由δ（x）=V（x）/V给出(∞).接下来我们研究了HJB解在低初始剩余下的符号行为。写入v（x）=v（x）- 1，和cρ=c-ρ(u - r） σσ，σρ=σ（1）- ρ） ，（4.18）然后满足方程（cρ+rx）（v（x）+1）+∑ρv′（x）- λxZH（y）（v（x）- y） +1）dy=γ（~v（x）+1）~v′（x），其中γ在（4.7）中定义，初始条件为v（0+）=0。（4.19）将最后一个方程的两个边乘以v′（x），我们得到方程（cρ+rx）（~v（x）+1）~v′（x）+σρ（~v′（x））- λv′（x）xZH（y）（v（x）- y） +1）dy=γ（~v（x）+1）。（4.20）我们发现方程（4.20）在条件（4.19）下的解及其导数的表示形式为：~v（x）=αxβ（1+o（1）），~v′（x）=βxβ-1（1+o（1）），x→ 0，其中β>0和α是一些常数。

考虑到H（x）=1+o（1），x→ 0，我们从（4.20）中了解了主要的扩展条款：γαx2β+2γαxβ+γ（1+o（1））=cραβx2β-1+cραβxβ-1+R-λβ + 1αβx2β+（r- λ） αβxβ+σραβx2β-2.（1+o（1）），x→ 从这个关系式很容易看出β=1。然后cρα+σρα=γ。因此α=v′（0+）=-cρ+qcρ+2γσρ/σρ= -u - rσ[ρσ]-cu-r+qc（u）-r）+2σcσ（u）-r） （ρ）- ρ)].回想一下，鉴于（4.1），v′（0+）=v′（0+）<0。我们有，V′（x）=1- Bx（1+o（1）），x→ 0，（4.21）和v′（x）=-B+o（1），x→ 0，（4.22）其中b=cρ+qcρ+2γσρ/σρ. （4.23）跳扩散风险过程下的渐近投资行为11注意b=u- rσ[a*V（0+）+ρσ]，其中a*V（0+）由（3.22）给出。因此，我们给出了V（x）：V（x）=x的渐近表示- （B/2）x（1+o（1）），x→ 根据值函数δ（x），我们有定理4.1。它保持δ（x）=C[x- （B/2）x（1+o（1））]，x→ 0，其中B在（4.23）中给出，C=1/V(∞) 是一个正常数。接下来，我们找到V′（x）的更精确的渐近表示，以获得最优策略的渐近表示。为此，我们引入变量v（x）=-Bx（1+z（x）），其中B在（4.23）中定义。那么v′（x）=-B（1+z（x））- Bxz′（x），x→ 我们用以下形式来描述z（x）：z（x）=ηxθ（1+o（1）），其中θ>0和η是一些常数。从（4.20）我们得到θ=1，然后η=λ- r+2γ+Bcρ2（cρ- Bσρ）和v′（x）=-B- 2Bηx（1+o（1）），x→ 0.（4.24）对于最优策略（4.4），考虑到（3.1）、（4.21）和（4.24），我们得到了x→ 0:a*V（x）=-(u - r） V′（x）σV′（x）- ρσσ=(u - r） [1- Bx（1+o（1））]σB[1+2ηx（1+o（1））]- ρσσ= -cu- r+sc（u）- r） +2σcσ（u- r） （ρ）- ρ) -u - rσ1+2ηBx（1+o（1））。（4.25）最后，我们有定理4.2。

对于最优的投资策略，它持有*V（x）=a*V（0+）-u - rσ-hλ- r+（u）-r） σiA.*V（0+）+ρσ+ cρ（u）-r）σqcρ+（u）-r）σσρx（1+o（1）），当x→ 0，a在哪里*V（0+）在（3.22）中给出，cρ和σρ在（4.18）中给出。备注4.2。我们注意到定理4.1和4.2中的结果也适用于参数条件ρ<ρ<ρ的约束情形。这些结果适用于任何性质为H（x）=1的索赔规模分布- o（1）当x→ 0.备注4.3。定理4.1和4.2中的结果适用于参数情况u=r，在这种情况下，最优投资额是一个具有*V（x）≡ -ρσσ和B=2cρ/σρ12塔蒂亚娜·贝尔基纳和上镇荧光标记4.4。在投资不受限制的情况下- r>0和ρ>ρ，我们有一个*V（0+）<0，这表明卖空高回报股票以获得最低盈余水平是最佳的。我们注意到，这种反直觉的投资策略在经典模型中从未出现，在无约束的情况下没有扰动，它显示了扰动模型的一个特点，即投资（买入/卖空股票）不仅是为了股票收益，而且也是为了中和扰动风险。我们还注意到，当在模型中施加对借款（货币）和购买（股票）的强烈投资约束而不受干扰时，这种策略（卖空高回报的股票）可能会发生（参见，例如[2]）。指数索赔案例的分析我们现在分析索赔额Y与平均数m呈指数分布的案例。在这种情况下，我们给出了关于大剩余水平渐近行为的一些新结果。对于特殊情况u=r，来自aV（x）≡ -ρσ，我们看到最优投资金额是常数，这种情况在Rema rk 5.4中讨论。在下文中，我们假设umeu6=r.5.1。不受约束的案件。

与[3]（ρ=0的情况）一样，我们首先推导出最优策略的方程。根据方程（4.8），对于具有指数索赔分布函数H（y）=e的情况-其中k=1/m，我们有（cρ+rx）v（x）+σρv′（x）- λxZe-kyv（x）- y） dy- λV（0）e-kx=γ（v（x））v′（x），（5.1），其中v（x）=v′（x），γ在（4.7）中给出，cρ和σρ在（4.18）中给出。Letu（x）=v（x）ekx。它保持v′（x）=e-kx（u′（x）- ku（x））。然后方程（5.1）可以改写为（cρ+rx）u（x）+σρ（u′（x）- ku（x））- λxZu（y）dy- λV（0）=γu（x）u′（x）- 库（x），安达*V（x）=-(u - r） V′（x）σV′（x）- ρσσ= -u - rσu（x）u′（x）- ku（x）- ρσσ.因此（cρ+rx）u（x）-σρu - RA.*V（x）+ρσσu（x）- λxZu（y）dy- λV（0）=- γ（a）*V（x）+ρ∑σ∑u- ru（x）。将这个方程与x微分，我们得到ru（x）+（cρ+rx）u′（x）-σρu - rσu′（x）（a）*V（x）+ρσ）- u（x）（a）*V（x））′（a*V（x）+ρσ）- λu（x）=-u - rhu′（x）（a）*V（x）+ρσ）+u（x）（a）*V（x））′i.用u（x）除以两边，并写出aV（x）=a*V（x）+ρσ=-u - rσV′（x）V′（x），（5.2）跳-扩散风险过程下的渐近投资行为13我们对aV有以下等式：- λ+（cρ+rx）K-u - rσ~aV（x）-σρu - rσkaV（x）-u-rσ- ~a′V（x）~aV（x）=-u - Rk~aV（x）-u - rσ+~a′V（x）,实际上，[σ＠aV（x）+σρ]~a′V（x）=-σm~aV（x）- 2.R- λ+cρm-(u - r） 2σ+rmxσu - r~aV（x）+2cρ+rx+2mσρ■aV（x）- σρu - rσ。（5.3）在续集中，我们找到了最优策略和价值函数的渐近表示。可以证明，方程（5.3）有一系列有界解，对于大x，每个有界解主要以以下渐近级数的形式表示：~aV（x）~ Σ∞k=0akx-k、 （5.4）式中，a=（u）- r） mσ，~a=-1.-λr(u - r） mσ。附录中给出了（5.2）中定义的功能（5.4）的简短调整。然后我们得到了最优策略的以下性质：定理5.1。

它保持着*V（x）=（u）- r） mσ- ρσσ-1.-λr(u - r） mσx（1+o（1）），x的（5.5）→ ∞.注意到[ln V′（x）]”-u-rσ~aV（x），我们有v′（x）=K exp{-(u - r） σZx~aV（y）dy}，（5.6）对于一些K>0的情况，从对大y使用~aV（y）=~a+~ay（1+o（1））得到v′（x）=K exp{-Zxmh1- M1.-λry（1+o（1））idy}=K exp{-Zxm+1.-λry（1+o（1））dy}=Ke-x/mxλ/r-1（1+o（1）），代表x→ ∞. 因此它保持sv（x）=V(∞) - 柯-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,我们有关于价值函数的关系：定理5.2。它保持δ（x）=1- 柯-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,对于某些常数K>0。将最小破产概率函数写成：ψ（x）=1- δ（x），我们有ψ（x）=Ke-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞. （5.7）14 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN LUORemark 5.1。我们注意到，（5.5）和（5.7）中的结果也适用于无扰动σ=0的模型。从（5.5）中，我们可以看到最佳投资金额有一个有限的限制。给出了最优策略收敛到极限的速度。在（5.7）中，最小破产概率函数的极限表达式是指数函数和幂函数x的乘积→ ∞. 我们发现，利率r、主动索赔均值m和索赔发生强度λ在表达式中起关键作用，而股票参数u、σ、溢价率c和扰动参数σ则不显著。为了将（5.7）与现有结果（例如，破产概率函数的指数界或幂函数近似）进行比较，我们给出了以下结果：备注5.2。在[7]的定理1中，如果2uσ>1，ψ（x）=Kx1-2μσ（1+o（1）），x→ ∞, 对于某些常数K>0。这个结果是在没有布朗扰动的m模型下得到的。而且对投资没有控制权，也就是说，所有盈余都投资于风险资产。

[18]的定理2给出了这个结果的一个推广，其中剩余过程由扰动的Cramer-Lundberg过程建模。在投资比例不变的情况下，即t时刻的投资金额为at=αXt，0<α≤ 1，破产概率的形式为：ψ（x）=Kx1-2[uα+r（1-α） ]ασ（1+o（1）），x→ ∞,对于某些常数K和2[uα+r（1- α)]ασ> 1. 在这些模型中，风险资产的投资金额倾向于以盈余的形式存在于实体中。因此，当盈余水平较大时，库存波动率和库存增长率是影响破产概率的主要参数，而不是指数平均值、索赔发生强度和保险费率。备注5.3。在[9]的定理4.1中，它显示为ψ（x）≤ E-RxR在哪里∈ （0，1/m）解方程λ1.- 先生- 1.= cR+u2σ。我们注意到，这里的盈余过程t是本文中ju-mp扩散过程的一个特例，R=0，σ=0，他的界是通过使用一个数量为uRσ的常数投资策略π得到的，在这个过程{e-RXπt}t≥0是一个鞅。在[19]的定理4.2中，布朗摄动是s hownψ（x）≤ E-Rx，其中R∈ （0，1/m）解方程λ1.- 先生- 1.=C- ρσuσR-σ(1 - ρ） R+u2σ。[19]的贴现盈余过程是一个跳跃差异过程，其形式与r=0时略有不同。指数界可以使用金额为uRσ的常数投资策略π获得- ρσσ在r=0的模型中，过程{e-RXπt}t≥0是一个鞅。5.2. 受约束的情况。首先假设函数V（x）满足方程（3.13）的极坐标x。该方程的形式为（σA+2ρσA+σ）V′′（x）+[c+（u）- r） A+rx]V′（x）- M（V）（x）=0。

（5.8）在指数索赔的情况下，回想k=1/m，等式（5.8）可以改写为[σA+2ρσA+σ]V′（x）+[c+（u）- r） A+rx]V′（x）+kλxZV（x）- y） 经验(-k y）dy- λV（x）=0。（5.9）表示g（x）：=xZV（x）- y） 经验(-k y）dy.跳扩散风险过程下的渐近投资行为15很容易看出g′（x）=V（x）- 千克（x）。（5.10）如果V满足（5.9），那么它满足以下等式：G′（x）+kG（x）=0，（5.11），其中G（x）=[σA+2ρσA+σ]V′（x）+[c+（u）- r） A+rx]V′（x）+kλxZV（x）- y） 经验值(-k y）dy- λV（x），（5.12），即方程式（5.9）的左侧。然后在（5.10）的观点中，方程（5.11）可以重写为一个三阶的普通微分方程（ODE）：0=v′（x）+2cAρ+2（u- r） AAρ+k+2rAρxV′（x）+2（（r）- λ） +kc+kA（u）- r） ）Aρ+2rkAρxV′（x），（5.13），其中ρ=σA+2ρσA+σ。（5.14）Put:a=2cAρ+2（u- r） AAρ+k，a=2rAρ，（5.15）和a=2[（r- λ） +kc+kA（u）- r） [Aρ，A=2rkAρ，（5.16）那么常微分方程（5.13）的形式为φ′′+（ax+A）φ′+（ax+A）φ=0，（5.17），其中φ=V′。我们设定y=φ，y=φ′。然后y′=y，y′=-（ax+a）y- 因此，我们得到以下矩阵形式的方程：y′=（a+ax）y，（5.18），其中y=（y，y）T，and=0 0-A.-A., A=0 1-A.-A..改写公式（5.18）-1y′=（A+Ax）y.（5.19）该系统在第二个范围内有一个不规则的奇点（见[32]）。由于矩阵的特征值为零，那么为了获得解的渐近行为的主项，我们必须通过概率论找到对零特征值的修正，直到O（1/x）。为此，我们使用线性常微分方程组的渐近对角化方法（见[17]及其参考文献）。首先，我们找到矩阵a的一个诊断算子，即矩阵D-1AD=~A，16 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN Loona，其中~Ais为对角矩阵。