跳扩散风险过程下的渐近投资行为

很容易证明这一点=1 0-a/a=1 0-K1,~A=0 00 -A..接下来介绍变量sy=D的变化E+Nx+Nxz、 （5.20）其中z=（z，z）T，E是2×2单位矩阵，N是下面要确定的一些2×2矩阵。微分方程（5.20）在x中，我们有y′=DE+Nx+Nxz′- DNx+2Nxz、 我们从（5.19）方程得到-1z′=E+Nx+Nx-1英寸A+斧头！E+Nx+Nx+ O十、#z、 （5.21）式中，A=D-1AD=-K1-A.- k（k）- a） k- A..选择矩阵N，N，N，使方程的形式为x-1z′=A+Ax+Ax+O十、!z、 （5.22）式中，a和a是一些对角矩阵。我们让A=-K00K- A.,（A的对角线元素与矩阵A中的对角线元素相同），我们确定A。等于（5.21）和（5.22）的右边，我们有一个+Ax！E+Nx+Nx+ O十、=E+Nx+Nx~A+~Ax+~Ax！。等于x的系数-1我们得到了<<AN+~A=<<A+N>>A，这意味着=0-1/a-[a+k（k- a） ]/a.现在等于x的系数-2我们得到了?AN+?AN=?A+N?A+N?A和N=0-（2k）- a） /a[a+k（k- a） （a）- 2k）/a,~A=λ/r- 1 00 1- λ/r.该系统（5.22）渐近等价于以下系统（见[4]）：！~z，（5.23）跳-扩散风险过程下的渐近投资行为，其中~z=（~z，~z）T，分为两个独立的方程：~z′=-k+λ/r- 1x~z，~z′=-2rAρx-2cAρ-2(u - r） AAρ+1- λ/rx~z代表x→ ∞, 这些方程的解具有以下形式：~z=Ce-kxxλ/r-1（1+o（1）），z=Ce-rAρx-2（c+（u）-r） A）ρxx1-λ/r（1+o（1）），对于某些常数C和C。对于（5.22）的解，同样的表示是正确的。

注意=z+-Aρ2rx+lx！z、 y=-K-R- λrx+lxz+“1+kAρ2rx-lx#z、 式中，l是矩阵N的元素：l=-a（2k）- a） ，l=r- λra（a）- 2k）。因此，考虑到上述非减损函数V的表示法满足la rge x的（3.13），WeDev′（x）=Ce-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞, （5.24）与v′（x）=-M-R- λrx+lx总工程师-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,其中C>0。ThusaV（x）=（u- r） mσ- ρσσ-1.-λr(u - r） mσx（1+o（1）），x→ ∞.注意，对于A=0的情况，如果我们考虑ai，i=1。。。，（5.15），（5.16）和（5.14）中的ρ（特别是，在这种情况下，ρ=σ）。写入ρ=m（u- r） σσ，ρ=ρ-一个好主意。如果A<（u）-r）mσ-ρσ，或ρ<ρ，对于大x，我们有V′（x）<0和aV（x）>A，因此A*V（x）=A和V解（3.13）。如果ρ<ρ<ρ（即0<（u-r）mσ- ρσσ<A），从无约束情形下大剩余值下最优策略的渐近表达式（5.5）中，我们可以看到大剩余值下的V′（x）<0 A和0<aV（x）<A；那么优化器就是一个*V（x）=aV（x），其中V求解（3.14）。如果ρ>ρ（（u-r）mσ- ρσ<0），对于大x，我们有V′（x）<0和aV（x）<0，因此*V（x）=0和Vsolves（3.15）。如果ρ=ρ（即A=（u-r）mσ- ρσ），然后V′（x）<0，aV（x）≥ A和A*V（x）=A对于大x如果（λ- r） 是阳性，或0<aV（x）<A和A*V（x）=aV（x）if（λ）- r） 这是负面的。然后V分别解（3.13）或（3.14）。If（λ）-r） =0，其中一种情况取决于其他参数，我们省略了进一步的讨论。如果ρ=ρ（（u-r）mσ- ρσ=0），我们有V′（x）<0，0<aV（x）<A和A*V（x）=aV（x）对于大x如果（λ- r） 是阳性，或aV（x）≥ 0和a*V（x）=0如果（λ- r） 这是负面的。然后V分别解（3.14）或（3.15）。

If（λ）- r） =0，其中一种情况取决于其他参数。关于最优策略和价值函数，我们有以下定理：18塔蒂亚娜·贝尔基纳定理和商真定理5.3。对于大的x，它保持着A*V（x）=h（u）-r）mσ- ρσi（1+O（x）），A≥(u-r）mσ- ρσσ≥ 0;0,(u-r）mσ- ρσσ< 0;A、 A<（u）-r）mσ- ρσσ.（5.25）此外，如果A>-r）mσ- ρσ>0在第一种情况下，更精确的关系式（5.5）是完整的。定理5.4。它保持δ（x）=1- 柯-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞,对于某些常数K=K（A）>0。备注5.4。从本节的分析中，我们可以看到，在任何投资策略下，如果风险资产中投资了大量资金，则生存概率函数具有与定理5.4中相同的主项（指数函数和幂函数的乘积）的极限表达式。我们注意到定理5.3和5.4中的结果在没有扰动（σ=0）的模型中仍然有效。我们还注意到，在没有风险投资和扰动的情况下（如≡ 破产概率函数的形式如下（参见[23]和[29]）：ψ（x）=R∞xe-u/m1+ru/cλ/r-1duc/λ+R∞E-u/m1+ru/cλ/r-1du，表示ψ（x）=Ke-x/mxλ/r-1（1+o（1）），x→ ∞, 对一些人来说，K>0.6。数值例子和结论在这一部分，我们给出两个数值例子和一些结论。在这些例子中，我们考虑了无约束投资的情况。使用渐近结果和算子（4.12）对各种索赔分布进行计算。例6.1。在本例中，参数如下所示：u=0.42，r=0.32，c=0.36，λ=0.3，ρ=-0.2，σ=0.1，σ=0.2，k=1。我们给出了指数、半正态和对数正态索赔分布情况下的计算。

对于不同分布的所有情况，对于低盈余水平，我们有以下渐近结果*V（x）≈ 0.8542115- 0.02039470x（1+o（1）），x→ 0，使用（3.22）和定理4.2。指数索赔分布的均值为1，尾部概率函数H（x）=e-x、 半正态索赔分布的密度和尾部概率函数如下所示：f（x）=vpπ/2e-x2v，H（x）=2h1- Φ十五i、 x>0，其中Φ为标准正态分布函数，v为参数。我们设置v=pπ/2，然后分布的平均值是vp2/π=1。对数正态分布具有密度和尾部概率函数SF（x）=√2πvxe-（lnx）-u） 2v，H（x）=1- Φ日志（x）- 紫外线, x>0，参数v>0和u∈ (-∞, ∞). 我们将v=1和u=-0.5，因此平均iseu+v/2=1。对于这些索赔分布，使用（3.1）和运算符（4.12）计算的最优投资控制如图1和图2所示。对于给定的指数索赔分布，对于大剩余水平，它具有以下渐近结果：a*V（x）≈ 10.4- 0.625x（1+o（1）），x→ ∞,使用（5.5）。跳扩散风险过程下的渐近投资行为19例6.2。在本例中，参数如下所示：u=0.2，r=0.12，c=0.5，λ=0.3，ρ=0.15，σ=0.9，σ=0.5，和k=0.5。我们给出了指数分布、威布尔分布和帕累托分布情况下的计算。对于不同分布的所有情况，对于低盈余水平，我们有以下渐近结果a*V（x）≈ -0.05274736+0.01112835x（1+o（1）），x→ 0，使用（3.22）和定理4.2。指数分布的均值为2，H（x）=e-0.5倍。威布尔分布具有密度和尾部概率函数SF（x）=vu徐五、-1e-（xu）v，H（x）=e-（xu）v，x>0，其中u和v是参数。我们设定u=1，v=1/2。

所以分布的平均值是uΓ（1+1/v）=2。帕累托索赔分布具有密度和尾部概率函数sf（x）=vuv（u+x）v+1，H（x）=uu+xv、 x>0，其中u和v是参数。设置u=2，v=2；所以平均值是u/（v）- 1) = 2. 对于这些索赔分布，图3和图4给出了使用（3.1）和运算符（4.12）计算的最优投资控制（我们注意到，在指数和帕累托索赔分布的两种情况下，本例中的最优投资策略在图3中几乎没有显示出差异）。在具有指数索赔分布的情况下，对于大盈余水平A，我们有以下渐近结果*V（x）≈ 0.163580+0.740741x（1+o（1）），x→ ∞,使用（5.5）。本文研究破产最小化情形下的最优投资控制问题。盈余由一个受扰动的Cramer-Lundberg过程建模。考虑了Black-Scholes股票和无风险资产的投资控制。利用算子证明了两种投资情况下HJB方程经典解的存在性。在投资受限的情况下，对于低盈余水平，我们发现最佳投资金额取0（不投资风险资产）或A（风险投资的最大水平）或趋于固定水平的参数条件。在无约束条件下，我们证明了当盈余水平x变为0时，最优投资金额以x阶率接近固定水平。我们还证明了最大生存概率以x阶的速率趋于0。在指数索赔的情形下，我们给出了大剩余值的新的渐近结果。我们证明，最优投资金额趋向于固定水平的1/x，正如盈余水平的x趋向于固定水平。

我们还证明了最小破产概率函数具有e的极限表达式-x/mxλ/r-1.一般来说，在跳跃扩散模型下，最优投资控制和最大生存概率函数在分析上是不可处理的，即它通常无法给出它们的显式表达式。因此，本文的渐近结果为寻找最优投资控制和最大生存概率提供了方便而有意义的计算。致谢本研究的第一作者得到了俄罗斯基础研究基金资助的RFBR 13-01-00784和RFBR 11-01-00219，以及NRU HSE国际定量金融实验室，RF government grant，ag。14.A12。31.0007（TB）。本文也是在波恩大学豪斯多夫数学研究所（TB）访问期间，在“经济和金融随机动力学”（TB）三个月计划的框架内撰写的。第二位作者（SL）感谢北爱荷华大学的专业发展任务和暑期研究奖学金的支持。20 TATIANA BELKINA和SHANGZHEN LUO0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010.854180.854200.854220.854240.854260.854280.854300.854320.854340.854360.85438盈余指数半-正态对数-如图1所示。O低盈余下的公共投资——示例10 1 2 3 4 5 6 7 80510152025盈余指数一半-正态对数-如图2所示。大盈余下的最优投资——例1参考文献[1]Azcue，P.和Mul，M.：在借贷约束下使保险公司破产概率最小化的最优投资策略，保险数学。经济。

44（1），26–34（2009）跳扩散风险过程下的渐近投资行为210 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01-0.05280-0.05275-0.05270-0.05265-0.05260-0.05280-0.05275-0.05270-0.05265指数威布尔帕累托图3。O低盈余的公共投资——例20 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.100.10.20.30.40.50.60.70.8指数Weibull参数图4。大盈余下的最优投资——例2[2]Belkina，T.，Hipp，C.，Luo，S.，和Taksar，M.，Cramer-Lundburg模型中的最优约束投资，斯堪的纳维亚精算杂志，（5），383–404（2014）[3]Belkina，T.A.和Norshteyn，M.V.：具有扩散干扰的风险动态模型中的最优投资策略结构，经济过程的分析和建模，《文章集》，ed.V.Z.Belenky，9号，莫斯科，塞米·拉斯（2012年）（俄语版）；电子打印：www.cemi。rssi。ru/publication/books[4]Bellman，R.：微分方程的稳定性理论，纽约：多佛（2008）[5]杜弗涅，F.和格伯，H.U.：因微分而发生变化的复合泊松过程的风险理论，保险数学。经济。10（1），51–59（1991）[6]Ei senberg，J.：一类次指数分布利率下的渐近最优投资，斯堪的纳维亚精算杂志（8），671–689（2014）[7]Frolova a.，Kabanov Yu。在保险业中，风险投资是危险的，金融是随机的。，6（2）227-235（2002）[8]Gaier，J.和Grandits，P.：存在规则变化尾巴和最优投资的破产概率，保险数学。经济。30，211–217（2002）22 TATIANA BELKINA和商镇罗[9]Gaier，J.，Grandits，P.和Schachermayer，W.：渐近破产概率和最优投资，应用概率年鉴13（3），1054–1076（2003）[10]Gaier，J。

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和Zhang，L.H.：具有跳差风险过程的保险人最优投资，保险数学经济学，37615–634（2005）附录我们给出了eaVin（5.4）的渐近级数表示的粗略证明。请注意，函数aV（x）是方程（5.3）的解，它是下面复制的非线性常微分方程（以φ为单位）：[σφ（x）+σρ]φ′（x）=-σmφ（x）- 2.R- λ+cρm-(u - r） 2σ+rmxσu - rφ（x）+2cρ+rx+2mσρφ（x）- σρu - rσ。（6.1）我们看到方程（6.1）通过变量y=x/2和y的变化是渐近自治的→ ∞. 这个自治方程有两个有限的平稳点。其中一个是稳定点，等于a，另一个是不稳定点。因此，（6.1）的解必须有一个等于稳定点的极限，或趋于（+或-）为x的极限→ ∞ （见[4]、[22]和[32]）。跳扩散风险过程下的渐近投资行为23我们刻画了序列w（x）=∑给出的（6.1）的第一个有限极限解∞k=0eak/xk，（6.2），其中系数eak由（使用（6.1））：ea=（u）给出- r）m/σ>0，ea=-(1 - λ/r（u）- r） m/σ。。。。（6.3）假设ew（x）是（6.1）的另一个有限极限解。定义b（x）=ew（x）- w（x）。函数b（x）求解常微分方程σ（b+2wb）w′+[σ（b+2wb+w）+σρ]b′=-σmb+3bw+3bw- 2（A+Bx）（b+2bw）+2（C+rx）b，（6.4）其中=R- λ+cρm-(u - r） 2σσu - r、 B=rσm（u）- r） ，C=Cρ+σρ2m。让我们进一步用b（x）线性化b（x）上的常微分方程（6.4）→ 0，x→ ∞. 考虑到1/x幂展开式的基本线性项，我们得到了b′=xd+dx+dxeb，x>> 1.（6.5）此处d=-2r/[σρ+（u）- r） m/σ]<0，我们省略了系数和d的表达式。ODE（6.5）的通解的形式为b（x，d）=Dxdexp（dx/2+dx），其中d是一个任意常数。