跳扩散风险过程下的渐近投资行为

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英文标题：
《Asymptotic Investment Behaviors under a Jump-Diffusion Risk Process》
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作者：
Tatiana Belkina and Shangzhen Luo
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study an optimal investment control problem for an insurance company. The surplus process follows the Cramer-Lundberg process with perturbation of a Brownian motion. The company can invest its surplus into a risk free asset and a Black-Scholes risky asset. The optimization objective is to minimize the probability of ruin. We show by new operators that the minimal ruin probability function is a classical solution to the corresponding HJB equation. Asymptotic behaviors of the optimal investment control policy and the minimal ruin probability function are studied for low surplus levels with a general claim size distribution. Some new asymptotic results for large surplus levels in the case with exponential claim distributions are obtained. We consider two cases of investment control - unconstrained investment and investment with a limited amount.
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中文摘要：
我们研究了一个保险公司的最优投资控制问题。剩余过程遵循Cramer-Lundberg过程，伴随着布朗运动的扰动。该公司可以将其盈余投资于无风险资产和Black-Scholes风险资产。优化目标是使破产概率最小化。我们用新的算子证明了最小破产概率函数是相应HJB方程的经典解。研究了一般索赔规模分布的低盈余水平下最优投资控制策略和最小破产概率函数的渐近行为。得到了指数索赔分布情形下大剩余水平的一些新的渐近结果。我们考虑两种投资控制情况——无约束投资和有限金额投资。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Asymptotic_Investment_Behaviors_under_a_Jump-Diffusion_Risk_Process.pdf (401.2 KB)

2022-5-7 11:13:27 上传

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关键词：投资行为 distribution Optimization Quantitative Perturbation

跳扩散风险过程下的渐近投资行为Tatiana BELKINA和SHANGZHEN LUOAbstract。我们研究了一个保险公司的最优投资控制问题。剩余过程遵循Cramer-Lundberg过程，伴随着布朗运动的扰动。该公司可以将其盈余投资于无风险资产和Black-Scholes风险资产。优化的目标是使单元的概率最小化。我们用新的算子证明了最小破产概率函数是相应HJB方程的经典解。研究了在一般索赔规模分布的低盈余水平下，最优投资控制策略和最小破产概率函数的渐近行为。对于具有指数索赔分布的情形，得到了一些新的关于大sur-plus能级的渐近结果。我们考虑了无约束投资和有限金额投资两种情况。关键词：Cramer-Lundberg模型，投资，渐近行为，破产最小化，布朗摄动。近几年来，人们对具有投资控制的保险业务的随机优化进行了广泛的研究。在经典的Cramer-Lundberg模型（复合泊松风险过程）下，Hipp和Plum[15]首先考虑了破产最小化问题，而投资控制是无约束的，风险资产的投资金额可以达到任何水平。最近，Azcue和Muler[1]研究了同一个模型，该模型具有借款约束，将借款金额限制在盈余水平，以投资于风险资产。在Belkina等人[2]中，作者考虑了一个限制问题，即对风险资产的投资（追逐或卖空）只允许在盈余的有限比例内进行。

在Gaier、Grandits和Schachermayer[9]以及Hipp和Schmidli[16]中，对于零利率和轻尾索赔的情况，研究了破产概率的渐近行为，并证明了当盈余趋于一致时，最优投资水平的收敛性。在Frolova等人[7]中，对于指数索赔的情况，在假设所有盈余都投资于风险资产的情况下，提供了破产概率的幂函数近似值。在Gaier和Grandits[8]，[10]中，对于尾部规则变化的索赔，在Grandits[12]、Schmidli[27]和Eisenberg[6]中，对于次指数索赔，获得了破产概率和最优投资额的某些渐近性质。其他相关研究文章研究了更复杂的再保险和投资控制形式。例如，Schmidli[26]在经典模型下考虑了无约束最优再保险投资控制问题。Taksar和Markussen[30]、Luo[20]和Luo等人[21]研究了具有各种投资限制的扩散近似模型下的问题。复合泊松模型的一个常见扩展考虑布朗扰动，即跳跃扩散模型（参见[5]、[13]、[19]、[23]和[33]）。sur-plus过程是ic-al类风险过程和布朗运动的总和。在该模型下，Zha ng和Yang[33]用无约束投资控制研究了一般目标函数，并讨论了计算最优投资策略的数值方法。在Gerber和Yang[13]中，考虑了绝对概率。

Laubis和Lin[18]展示了破产概率函数的极限表达式，该函数是一个幂函数，假设投资金额是俄罗斯科学院中央经济和数学研究所和俄罗斯国立研究大学莫斯科高等经济学院（TB）风险理论固定分形实验室。北爱荷华大学数学系，美国伊利诺伊州雪松瀑布，邮编：50614（SL）。AMS 2010科目分类。初级93E20，91B28，91B30，次级49J22，60G99。2塔蒂亚娜·贝尔基纳和尚珍·洛伊是sur plus的保险公司，保险类别是指数型的。在Lin[19]中，获得了最小破产概率的指数上界，并进行了数值计算，揭示了调整系数与模型参数之间的关系。在一个带有仓促利率的盈余模型中，Paulsen和Gjessing[23]研究了在没有投资控制的情况下最终破产的概率和破产时间。本文研究了投资控制下的破产概率最小化问题。我们考虑了扰动复合泊松盈余模型，并假设正利率，如[18]和[33]所示。盈余可以投资于风险资产（股票）和无风险资产，其中风险资产价格遵循几何布朗运动。我们考虑两个投资案例。在第一种情况下，我们假设投资没有限制（见[15]和[33]）。也就是说，风险资产的投资金额可以是任何水平。请注意，在这种情况下，允许在任何级别卖空风险资产。在第二种情况下，我们假设风险资产的投资金额不超过固定的A级，不允许卖空股票。该限制旨在降低保险公司的杠杆水平，如[21]所述。

在这两种情况下，目标都是最小化破产的可能性。最小破产概率函数的特征是[1]、[14]、[15]、[28]和[33]中的积分微分HJB方程。HJB方程有一类解，通过验证结果可以证明，最小破产概率函数是该解的一部分。我们总结了本文的三个主要贡献。首先，我们定义了新的算子，以证明在两种投资情况下HJB方程的经典解的存在性。这些算子为计算最优投资策略和最小破产概率提供了另一种方法（见上一节的数值例子）。其次，我们给出了低盈余水平下最优投资策略和最小破产函数的渐近结果。在无约束的情况下，我们发现当盈余水平接近0时，最优投资金额趋向于固定的非零值，与[6]和[15]中没有扰动的模型相反，在[6]和[15]中，当盈余趋向于0时，最优投资水平趋向于零。此外，我们还发现了最优投资金额收敛到非零水平的速度。研究了最小破产函数在0附近的渐近结果。在约束条件下，我们发现模型参数和最优投资控制之间存在密切的相互作用。我们给出了当盈余较低时，最优投资额分别取0、A或一定水平的参数条件。请注意，所有这些渐近结果都是针对任意索赔额分布得到的。第三，在指数索赔分布的特殊情况下，我们证明了大剩余水平的一些新的渐近结果。我们认为，当盈余趋于一致时，最优投资金额有一个有限的限制。

我们还发现，最小破产概率函数有一个极限表达式，它是一个指数函数和一个幂函数的乘积，因为盈余趋于一致。我们注意到，这些新的极限结果（关于指数索赔的最优投资问题）也适用于经典模型，没有p e假设。本文的其余部分按以下内容组织。在第2节中，我们提出了优化问题。在第三节中，我们证明了经典最优解的存在性，并给出了约束情形下的渐近结果。在第4节中，我们研究了无约束情况。在第5节中，我们研究了索赔规模为指数时的模型。第6.2节给出了数值示例和结论。优化问题我们假设在没有投资的情况下，保险公司的盈余由CramerLundberg模型控制：Xt=x+ct-N（t）Xi=1Yi，其中x为初始盈余，c为保险费率，N（t）为泊松过程，c为恒定强度λ，Yi为正i.i.d.随机索赔。假设在时间t，保险公司将一定数量的阿托投资于一种风险资产，其价格遵循几何布朗运动dST=uStdt+σStdBt，跳-扩散风险过程下的渐近投资行为3，其中u是股票回报率，σ是波动率，B:={Bt}t≥0是独立于{N（t）}t的标准布朗运动≥0和Yi的剩余金额（Xt- at）投资于无风险资产，其演变为DPT=rPtdt，其中r是利率。我们还假设剩余过程受到布朗噪声计的扰动。

具有扰动和动态投资控制，用π表示：={as}s≥0，剩余过程由xπt=x+Zt[c+r（xπs）控制- as）+uas]ds+σZtasdBs+σZtdBs-N（t）Xi=1Yi，（2.1）其中B:={Bs}s≥0是标准布朗运动，对于某些相关系数ρ，E（dbsds）=ρds，σ是扰动波动率。我们假设所有的随机变量都是在一个完全概率空间中定义的(Ohm, F、 P）被赋予过滤功能≥0由进程{Xt}t生成≥0和{St}t≥0.如果满足以下条件，则称控制策略π是可接受的：（i）可预测的，（ii）在∈ A、 以及（iii）几乎可以肯定的是，atis平方可积于任何有限时间间隔，其中A=[0，A]对于固定的A>0（解释情况）或A=(-∞, ∞) （不受约束的情况）。Wedenote by∏所有容许控制的集合。本文假设：（1）外生参数A、c、r、u、σ、σ为正常数；（ii）|ρ6=1（不完全c相关）；（iii）索赔分布函数F具有支持度（0，∞) 还有一位专家。现在我们将保险公司在可接受保单π下的破产时间定义为以下τπ=inf{t≥ 0:Xπt<0}。（2.2）因此，策略π下的生存概率为Δπ（x）=1- P（τπ<∞), （2.3）最大生存概率为δ（x）=supπ∈πΔπ（x）。（2.4）我们看到δ（x）的定义必须是一个非递减函数。如果我们假设δ是两次连续可微的，那么它解出了以下Hamilton-Jac-obi-Bellman方程：∈AL（a）δ（x）=0，（2.5），其中算符L由L（a）δ（x）=（σa+2ρσa+σ）δ′（x）+[c+（u）给出- r） a+rx]δ′（x）- M（δ）（x），（2.6）与M（δ）（x）=λ[δ（x）-Zxδ（x）- s） dF（s）]。（2.7）我们注意到M（δ）（x）是正的，因为tδ是（0）上的增函数，∞). 我们还注意到一个初始条件δ（0）=0，这是由于B罗年扰动。4塔蒂安娜·贝尔基纳和尚珍·罗3。

低盈余下的渐近投资——约束情形在这一部分中，我们研究了当投资控制受到控制区域A=[0，A]约束时的最优控制问题。在本节中，我们假设u>r，省略另一种情况u≤ R可以用类似的方法处理。假设W是一个两次连续可微分函数，W求解HJB方程。WriteaW（x）：=-(u - r） W′（x）σW′（x）- ρσσ（3.1）当W′（x）6=0时。当A=(-∞, ∞) 如果W′（x）<0。当A=[0，A]由A给出时的约束最大化子*W（x）=aW（x）0<aW（x）<A，W′（x）<00aw（x）≤ 0，W′（x）<0；或aW（x）≥ A/2，W′（x）>0A aW（x）≥ A、 W′（x）<0；或aW（x）<A/2，W′（x）>0，（3.2）表示W′（x）6=0，A*W（x）=A表示W′（x）=0。现在定义歌剧侵权行为w（x）=inf0≤A.≤ATw（a，x），（3.3），其中tw（a，x）=2{M（W）（x）- [c+rx+（u- r） a]w（x）}σa+2ρσa+σ，（3.4）w是[0]上的非负连续函数，∞), W由W（x）=Zxw（s）ds定义。（3.5）我们注意到W（0）=0。下面我们给出一个结果，表明HJBequation（2.5）存在一个经典解。我们证明了关于初值问题的P icard-Lindel定理的一个积分算子版本。有关参数的函数版本，请参见[31]。引理3.1。[0]上存在一个连续可微函数v（x），∞) 满足v′（x）=tv（x），v（0）=1。（3.6）证据。任何w的通知∈ C[0，K]对于任意K>0，函数M（W）（x）和Tw（a，x）在x中是连续的。对于a，函数Tw（a，x）在x中是一致连续的∈ [0，A]。因此函数tw（x）在x中是连续的。现在我们考虑两个连续函数w（x）和w（x）在C[0，K]中。使用上确界nor m | | w | |=sup{| w（x）|：0≤ 十、≤ K} ，对于任何w∈ C[0，K]。

那么下列不等式成立| W（x）- W（x）|≤Zx | w（y）- w（y）| dy≤ K | | w- w | |，ZxW（x- y）- W（x）- y） dF（y）≤ K | | w- w | | ZxdF（y）≤ K | | w- w | |，其中Wi（x）=Rxwi（y）dy表示i=1，2。所以我们得到| M（W）（x）- M（W）（x）|≤ 2λK | | w- w | |。跳扩散风险过程下的渐近投资行为∈ [0，K]，假设tw（x）≥ T w（x）和T w（x）=Tw（a*, x） ，那么我们就没有w（x）- tw（x）=tw（x）- Tw（a）*, 十）≤Tw（a）*, 十）- Tw（a）*, x） =2{M（W）（x）- M（W）（x）- [c+rx+（u- r） a*][w（x）- w（x）]}σ（a*)+ 2ρσa*+ σ≤C（K）| | w- w | |，（3.7）式中c（K）=2[2λK+c+rK+（u- r） A]/σ。（3.8）因此我们看到算子T是关于C[0，K]上的上确界范数的Lipschitz:|T w- T w | |≤ C（K）| | w- w | |，（3.9）与Lipschitz常数C（K）。现在定义运算符w（x）=ZxT w（y）dy+1（3.10）表示w∈ C[0，K]。然后它保持| | T w- T w | |≤ KC（K）| | w- w | |<1/2 | | w- w | |，如果我们选择s mall K，使KC（K）<1/2。这表明算子T是C[0，K]上的收缩。因此，C[0，K]中存在一个固定点v，使得v=TV。（3.11）通过相同的证明，可以将解推广到[0，2K]，从而推广到[0，∞). 微分（3.11），证明了引理。WriteV（x）=Zxv（s）ds，（3.12），其中v是引理3.1中的解。我们证明：引理3.2。v（x）在[0]上为正，∞).证据这个引理可以用矛盾来证明。definex=inf{x≥ 0:v（x）=0}，假设x<∞. 然后它保持v（x）=0。Thusv′（x）=tV（x）=inf0≤A.≤A2M（V）（x）/（aσ+2ρσσa+σ）>0，这与V′（x）=lim相矛盾→0+v（x）- v（x）- )≤ 0现在我们给出一个验证引理：引理3.3。假设g是[0]上的一个正的、递增的、两次连续可微函数，∞)并求解HJB方程（2.5）。然后g有界，最大生存概率函数由δ（x）=g（x）/g给出(∞).

此外，相关的最优投资策略是π*= {a*（t） }t≥0，a在哪里*（t） =a*δ（Xπ）*T-), 和Xπ*这是控制策略π下t时刻的盈余*.引理3.3的证明类似于[2]中验证结果的证明，我们省略了它。检查V是否解HJB等式是很容易的。因此，通过引理3.3，我们得到：6塔蒂亚娜·贝尔基纳和尚珍·罗定理3.1。函数V有界且在[0]上递增，∞) 最大生存概率函数由δ（x）=V（x）/V给出(∞).引理3.4。存在>0，使得v′（x）<0表示0≤ x<。引理可以用lex表示→ 0英寸（3.6英寸）。引理显示在低剩余水平下V的局部凹陷。一般来说，在受约束的情况下，V的凹度并不明显。然而，HJB方程在（0，∞) 在无限制的情况下（见第4节）。写入ρ=（u）- r） σ2cσ，ρ=ρ-(u - r） A+2cA2cσ/σ。定理3.2。存在>0这样的结果：（i）如果ρ<ρ，则V解为P0≤A.≤ALaV（x）=LAV（x）=0，（3.13）表示x in（0，）；（ii）如果ρ<ρ<ρ，则V≤A.≤ALaV（x）=LaV（x）V（x）=0，（3.14）对于x in（0，）；（iii）如果ρ>ρ，则V为P0≤A.≤ALaV（x）=LV（x）=0，（3.15）表示x英寸（0，）。证据假设ρ<ρ。定义函数f（a）：=c+（u- r） a（σa+2ρσa+σ）。（3.16）通过差异，函数f在（a，a）上增加，其中，a=-c±pc+（u- r） σ/σ- 2(u - r） ρcσ/σu- r、 （3.17）注意，当ρ<ρ时，它保持<0<a。此外，条件ρ<ρ相当于A<A。因此，在其保持f（A）的条件下≤ f（A）表示区间（0，A）中的A。由于V解HJB方程（2.5），我们假设La*（x） V（x）=0对于某些0≤ A.*（十）≤ A.