模糊厌恶投资者的鲁棒默顿问题

我们简单地限制由∑导出的二次多项式在单位球面上不超过给定的阈值λ>0，λ≥λM，后者是σ的最大特征值。这相当于对∑的最大特征值施加相同的界。准确地说，假设波动率的估值为inS:={σ∈ Rn×n | 0<x∑x≤ λkxk对于所有x∈ Rn，x 6=0}在（6）中，内部极小化的极小值σ是挥发率σ，最大本征值等于λ，因此θ是相对于λ的本征向量。最后，鲁棒HJB归结为凹最大化：max（θ，c）∈Rn×R+u（t，c）+Vt+Vw（rw+θ）- r1）- λkθk- c） +λkθkVww= 因此，模糊波动率问题在观测上等价于波动率矩阵等于λI、漂移不确定性半径的默顿问题. 因此，从这里开始，一个过程实际上就像第3节。因此，最优相对投资组合为π（σ）=（λk^u）- r1k- )+Rλk^u- r1kλ（u）- r1）=（k^u- r1k- λ)+R k^u- r1kλ（μ）- r1）备注2另一个关于波动性的模糊性说明的有趣案例是基于方差/协方差矩阵估计值的定义。然而，它不会导致一个封闭的投资组合规则。波动性的模糊性在这里表示为集合S={∑的成员 0:k∑-^∑kF≤ δ} 对于方差/协方差矩阵的某些估计，以及正参数δ。内优化问题max∑∈SVw√θΣθ -Vwwθ∑θ等价于对称n×n矩阵空间中的矩阵优化问题：max∑∈SVwphθ∑i-Vwwhθ，∑i其中hX，yi=Tr（XTY）是迹积（对称n×n矩阵空间中的内积）。

表示秩一矩阵θθ（从并矢积中获得）为Θ，并传递到变量X=∑-^∑矩阵变量X:maxXβ中存在等价的二次约束优化（凸）问题()qhΘ，Xi+hΘ，^∑i+αhΘ，Xisubject to hx，Xi≤ δ其中我们定义了α=-Vwwandβ() = 大众汽车 为了方便起见，我们暂时省略了术语αhΘ，^∑i。从一阶最优性条件中，经过一些简单的代数运算，我们得到了以下最优（最坏情况）矩阵∑=^∑+λ（α+β2ξ）其中A=hΘ，^∑i和B=kΘkF，ξ=√A+δB，¨λ=（2α）√A+δB+β）Bδ√A+δB。注意，∑是正定义。不幸的是，将最坏情况矩阵替换为鲁棒HJB方程（6）会产生一个四阶多项式，它不会导致封闭形式的投资组合规则。尽管如此，可以使用数值程序来确定最佳投资组合规则。参考文献[1]A.Abel，2002，《悲观主义和怀疑对资产回报的影响的探索》，经济动态和控制杂志，26 1075-1092。[2] S.Cecchetti，P.Lam和N.Mark，2000，扭曲信念下的资产定价：股权回报率真的好吗？，《美国经济评论》，90787-805。[3] 陈志强和爱泼斯坦，2002，《连续时间内的模糊性、风险和资产收益》，计量经济学70（4），1403-1443。[4] E.Delage and Y.Ye，2010，《矩不确定性下的分布稳健优化及其在数据驱动问题中的应用》，运筹学，58（3），596–612。计算∑比计算σ更方便；Kf表示m×n矩阵的Frobenius范数，等于Tr（YY）。[5] V.DeMiguel和F.Nogales，2009，稳健估计投资组合选择，运筹学，57（3），560-577。[6] F.J.Fabozzi，P.N.Kolm，D.A.Pachamanova和S.M.Focardi，2007，《稳健投资组合优化与管理》，约翰·威利父子公司，纽约。[7] F.J.法博齐、D.黄和G。

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