信用理论在交易对手信用风险回溯测试中的应用

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英文标题：
《The Credibility Theory applied to backtesting Counterparty Credit Risk》
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作者：
Matteo Formenti
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Credibility theory provides tools to obtain better estimates by combining individual data with sample information. We apply the Credibility theory to a Uniform distribution that is used in testing the reliability of forecasting an interest rate for long term horizons. Such empirical exercise is asked by Regulators (CRR, 2013) in validating an Internal Model Method for Counterparty Credit Risk. The main results is that risk managers consider more reliable the output of a test with limited sample size when the Credibility is applied to define a confidence interval.
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中文摘要：
可信性理论通过将个体数据与样本信息相结合，提供了获得更好估计的工具。我们将可信度理论应用于均匀分布，用于测试长期利率预测的可靠性。监管机构（CRR，2013）在验证交易对手信用风险的内部模型方法时，要求进行此类实证研究。主要结果是，当可信度用于定义置信区间时，风险管理者认为样本量有限的测试结果更可靠。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> The_Credibility_Theory_applied_to_backtesting_Counterparty_Credit_Risk.pdf (241.32 KB)

2022-5-7 13:37:12 上传

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关键词：信用风险 信用理论 counterparty Applications Quantitative

信用理论应用于对交易对手信用风险进行回溯测试Matteo Formentio Group Risk Management UniCredit Group UniversitáCarlo Cattaneosepter 2014AbstractCredition理论提供了将个人数据与样本信息相结合以获得更好估计的工具。我们将可信度理论应用于均匀分布，用于测试长期预测利率的可靠性。监管机构（CRR，2013）在验证交易对手信用风险的内部模型方法时，要求进行此类实证研究。主要结果是，当可信度被用于定义置信区间时，风险管理者认为样本量有限的测试结果更可靠。引言：对可信性理论的简要回顾经典可信性理论是由莫布雷（1914）在定义保险市场中的均衡时首次提出的。可信性是指在计算一个变量的估计值时，应用于个体观察的权重。计算可信加权估计的基本公式是：[] +(1 - ）[h在哪里∈ （0,1）是分配给个体观察的可信度权重，以及（1）- ）通常被认为是个体观察所属样本中提取的观察结果可信度的补充。因此，关键在于确定个体观察的可靠性，并借助可信度得出更好的估计。请注意，如果观测到的数据量很大，而且不太可能在不同时期之间有太大的变化，那么将更接近一个时期。另一方面，如果样本包含有限的数据，那么将更接近于零，其他信息将被赋予更多权重。

因此，可信性理论可以作为一种可靠的工具，用于评估在有限样本量下计算的估计值，以及已知信息的可信度。可信性可以通过（i）经典可信性来确定，其中是观测值的预期方差与个体方差的函数，或者（ii）由Bühlmann开发的贝叶斯分析，该分析将当前观测值与先验信息相结合。在经典可信度中，目标是获得在将100%的可信度分配给个体观察之前所需的数据量。这种数据量通常被称为完全可信性标准或完全可信性标准。为了确定通常由泊松过程建模的频率的完全可信度，可以使用正态近似来估计观测结果偏离平均值的频率。观察值与总体平均值之间的±范围内的概率为：=[- ≤ ≤ + ]= -≤- ≤ +其中最后一个表达式假设正态近似，让我们使用标准正态分布表。值得注意的是，（，）是频率过程的平均值和标准偏差。在频率为的泊松情况下，我们有=；=√以及观测到的频率 在预期数量±以内=等于：=-≤- ≤ += -√≤- ≤ +√根据单位Φ（）的累积分布，其中=我们有：假设一个司机样本和他们发生事故的频率。

如果保险公司想要定制保险费，可以通过加权（Z）单个事故频率和平均事故频率（1-Z）来确定单个保险费。Bühlmann可信度估计也被称为最佳线性最小二乘拟合贝叶斯可信度如果数据量是完全可信度标准，则=1，否则∈ (0,1)).= Φ√- Φ-√= Φ√- (1 - Φ√)= 2Φ√- 1或等效Φ√=. 表1显示了在标准正态分布的平均值±范围内的概率。表1在平均值±k范围内的概率（正态分布）我们可以通过改变分析目标并将概率视为外生来利用上述方程。事实上，可以计算出预期频率的数量() 这样，在±实际上，平均值是P() 可以根据前面的公式计算：=√这是由一个正常的表确定的，一旦我们修正了P.求解() 我们得到：Φ√=1 + =其中y是Φ（y）=, 和这是完全可信的标准。表2显示了频率的完全可信度给定不同的P和k值。表2正态分布作为泊松分布近似值的完全可信性标准现在，如果我们想知道在95%（P=95%）的观测值（本例中的频率）与实际平均值的偏差在±5%以内时，需要“确定”多少个观测值，则P=95%，y=1.960，Φ（1.960）=97.5%，n==..= 1537.完全可信度标准是一个强大的工具，但有一些局限性，因为它取决于以下假设：（i）观测值是频率，（ii）频率由泊松过程驱动，（iii）有足够的观测值使用泊松过程的正态近似。

5.5%k=7，7.5%7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7，7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7样本k=30%k=20%k=10%k=5%k=1%80,00%1816465716.42490,00%30 68 271 1.082 27.05595,00%43 96 384 1.537 38.41597,50%56 126 502 2.010 50.23999,00%74 166 663 2.654 66.34999,50%88 197 788 3.152 78.79499,99%168 378 1.514 6.055 151.367当泊松分布不适用时，Mayerson（1968）推导了一个通用公式。频率的完整可信度标准为：Φ√=1 + =哪里（）; ) 对应于样本假设的两个分布矩。梅耶森方程也被用来估计频率的平均大小。假设一个频率的样本独立于均值和方差的分布. 分布的样本平均值可估计为（+ + ··· + )/，样本方差为((∑)/) =()/. 因此，观察到的样本平均值在分布平均值±范围内的概率为：=[- ≤ ≤ + ]= -√≤- ≤ +√式中，除附加系数（）外，等式与前一等式相同/).根据中心极限定理，样本分布可以近似为大的正态分布。

因此，假设正态分布有一个概率P，即观测到的样本平均值与实际平均值的差异小于±我们有=√在求解时，我们得到了从任何分布计算的频率的完全可信性标准== 式中，CV是标准偏差与平均值之比，是频率大小分布的变异系数，以及是给定概率和范围的完全可信度标准。交易对手信用风险：回溯测试实证案例回溯测试是指将模型预测与实际价值进行定量比较，目标是检测内部模型的潜在弱点，以估计未来数量，如利率、商品或场外衍生品的市值，用于风险管理目的。CRR（2013）指出，“该机构应使用市场风险因素变动的历史数据进行回溯测试[…]。回溯测试应考虑多个不同的预测时间范围，注意，在泊松情况下，额外的因素至少减少到一年，在一系列不同的初始化日期，并覆盖广泛的市场条件。”（第294 1（a）条）。此外，正如巴塞尔委员会（2010年）所说，“结果的重要性在很大程度上取决于所用数据的数量和质量”。这就是为什么监管机构鼓励银行使用不重叠的预测间隔收集大量数据集。最后指出，监管机构允许银行选择适当的方法进行汇总，然后验证预测的整体质量。使用非重叠数据集的主要结果是，任何用于判断预测时间范围高于一年的质量的测试，在十年的非重叠日期中，观测值将少于十个。

长时间范围内的回溯测试数据集在样本规模上具有内在的局限性，因为模型参数的校准时间至少为三年（根据CRR第292（2）条的要求），而利率、外汇和货币等几个风险因素的可用市场数据历史长度有限（即1999年1月4日开始的美元外汇）。在这项工作中，我们将可信度理论应用于回溯测试中使用的测试结果，以便在样本有限的情况下定量评估此类结果的可靠性。我们关注的是一致性测试，比如科尔莫戈罗夫·斯米尔诺夫（1948）、贾克·布雷拉（Jarque Brera）或克莱默·冯·米塞斯（Cramer von Mises，1962）或安德森·达林（Anderson Darling，1954），因为它们是银行的市场实践。这是因为，在每个模拟日期，将化值与预测分布进行比较，然后将其转换为分位数。通过均匀性检验，用均匀分布检验分位数的时间序列。主要问题是具有5到10个观察值的统一测试的可靠性。先验而言，结果的重要性非常低，但根据监管机构的要求，必须考虑可靠性。表3显示了2002年1月至2013年6月期间，用标准利率模型（即CIR或Black Karasinski）建模的欧元利率曲线的安德森-达林统一检验值。表3欧元利率曲线2002年1月至2013年6月长期期限的结果显示样本非常有限，因为一年的时间期限有五个观察值，而两年只有五个观察值。因此，考虑到模型预测的质量，主要问题是这些长期视野的Pv值的可靠性将通过它们进行评估。可信度理论可以应用于回溯测试的结果。

以下方程式显示了假设均匀连续分布而非正态近似的完全可信性准则（见表1）。区间（0,1）上的连续均匀分布有以下两个矩：=+=，=(- )=其中a=1，b=0。应用于之前的方程组的应用，导致了以下结果的结果，导致了以下结果的结果的应用，导致了以下结果的结果的结果的结果的结果的结果的结果的结果的应用，前面的方程的应用，结果的结果的结果的结果的结果的结果的应用，导致了以下的结果的结果的结果的结果的结果的结果的结果的原因，原因，原因的原因是，原因的原因是，原因，原因是，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，原因，应用，5ZEROEUR-03Y 4.4%4.3%0，3.3%1，1，3.1，1，1，1，3，1，3，1，3，3，1，3，3，1，3，3，3，3，3，3，3，3，3，5，3，5，3，3，4，3，4，3，4，4，3，4，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，1，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，1，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3，3 5ZEROEUR-30Y 5,5%9,3%12,9%10,6%37,0%7,6%18,8%137 136 45 22 11 65ZEROEUR-50Y 12,3%7,3%23,8%2,4%35,8%4,9%28,4%137 136 45 22 11 5时间范围样本的时间范围值=√= √√= √3由此，我们从分布平均值P=Φ中得出观测统计值在±范围内的概率√3- Φ-√3= Φ√3- (1 - Φ√3)= 2Φ√3- 表4在平均值±k范围内的概率（均匀分布）然后可以求解以获得从均匀分布中提取的频率的完全可信性标准：== =其中所依赖的完全可信度是. 表5列出了不同P和k值的。

例如，我们可以推断，从N=6个数据样本计算出的任何平均值估计值，与实际平均值的偏差在±30%范围内的概率为80%，而对于P=90%和k=10%，具有100%可信度的样本必须是90个观察值。表5均匀分布的完全可信性标准完全可信性标准让我们将定量可信性权重定义为真实样本大小与完全可信性标准的比率：=表6显示了6个月、1年、18个月和2年时间范围的可信度，其中红色显示的权重高于30%。权重高于100%的解释与权重为100%的解释相同。常见的选择是=90%和= 10%. 因此，10.5%k=1.5%k=1.5%k=1.5%k=1.5%k=1.5%k=1.5%10 10 10 10 10.61%21，58%10 10 10，89%4，37%4，37%2，18%10 10 10 10，10.5%10 10 10 10，10.5%10 10，10，10，10，10，10，89%10，10，89%4，4，4，4，37%4，37%4，37，37%2，18，18，18%50，18%50，7 7 7 7 7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，7，=30%k=20%k=10%k=5%k=1%80,00%614552195.47585,00%8 17 69 276.90890,00%10 23 90 361 9.01895,00%14 32 128 512 12.80597,50%19 42 167 670 16.74699,00%25 55 221 885 22.11699,99%56 126 505 2.018 50.456P时间范围的值6个月为24%，1年为12%，18个月和2年为2%和1%。表6 6M、1Y、18M和2Y时间范围的可信度此外，我们可以使用这些权重来构建置信区间，因为我们知道它们来自概率分布，它们是可以解释为置信系数的概率。

具体来说，我们有：Prob（a）≤ f（θ，X）, … , 十）≤ b）≥ 其中Z为表6所示的权重，假设大于100%的权重等于100%，θ为表3所示的Pv值。均匀分布（0,1）的好处是累积密度函数等于概率密度函数，因此可以很容易地获得置信区间：IC=Pvalue*（±Z）表7显示了针对较低置信区间调整的Pv值。我们使用表3中的Pv值固定表6中P=90%和k=5%的概率。