经济网络的经典力学

我们假设市场是“流动的”，这意味着任何数量的资产都可以毫无问题地出售或购买。我们定义了δpu（t）≡ pu（t）- pu（t- δt）是上一步价格的变化，δAu（t）=Au（t）- Au（t- δt）资产u的网络交易（购买数量减去销售）和τa“市场响应时间”我们为所有GIIP控股公司选择相同的“反向市场深度”，假设它们属于同一类资产。然后，我们定义了GIIPS控股的出售或购买方式，即定义δAiu。我们还包括一个“恐慌因子”β，该因子表示损失发生时痛苦传播的突然程度，以及一个“市场敏感性”因子α，该因子表示资产出售时价格下降的速度。表2总结了这些变量。我们假设，如果一家银行的股权缩水，它将开始出售GIIPS控股，以继续履行其债务义务，如果一家银行的股权因为资产价值恶化而缩水，它将出售其全部报告的一小部分，以确保履行这些义务。出售的国际投资头寸数量将取决于银行的恐慌程度，即“恐慌因子”β的值。因此，银行确定其权益在前一步中损失了多少部分，并根据δAiu（t+τB）=βδEi（t）Ei（t）Ei（t）Aiu（t）出售，其中τBis是“银行的响应时间”在这里，我们假设银行使用与出售时相同的协议进行购买，并出售其所有GIIP资产的相同部分。通过简单地替换δF，可以将上述方程转化为微分方程→ dF/dt。如果我们假设时间间隔很小，我们可以用τA、τBto一阶和getdF（t+τ）dt展开方程≈滴滴涕F（t）+τdFdt为简洁起见，我们定义T≡滴滴涕。

这三个方程式变成：τBt+TAiu（t）=βtEi（t）Ei（t）Aiu（t）[1]τAt+Tpu（t）=αtAu（t）Au（t）pu（t）[2]tEi（t）=XuAiu（t）tpu（t）+fi（t）。[3] 其中fi=dSi/dt具有外力的含义。式中，τBis是银行响应变化的时间尺度，τAis是市场响应的时间尺度。表2。符号表示在tpu（t）时，i银行在资产u中的SAIu（t）持有量；在t时，i银行在资产u中的标准化价格（pu（0）=1）；在t时，i银行的Ei（t）权益。β银行的“恐慌”因素。α销售价格的“逆市场深度”因素。如果没有时滞，这些方程主要是E、p、a的一阶时间导数相互关联的约束方程。然而，请注意，在模拟这个动态系统时，我们更新变量的顺序很重要，因为大多数非平凡的动态行为都是从更新之间的时间差开始的。Footline作者PNAS发行日期卷发行号302γ=αβ估计超过120天的时间窗口标准GIIPS2009-042009-082009-112010-022010-062010-092010-122011-0302每个γuGreeceitalyPortugalSpanireLanding。2.4个月期间γ=αβ的估计值。上图：带阴影的紫色区域是基于误差条的标准偏差，实线是为每个国家计算的不同γ的平均值。底部：计算单个国家的γu。不同国家的值彼此接近这一事实表明，我们的“放牧”假设（即所有GIIP的α和β相同）是正确的，并且我们的模型适用于这里。如图所示，在晶体高度0<|γ|<1之前，晶体逐渐长大。在危机最严重的时候≈ 2.危机过后，我们看到γ再次下降到γ<1。

后来我们发现，在γ<1时，系统进入一个新的均衡，但当γ>1时，资产价格崩溃。还要注意援助的时间表：2010/04年和2010/09年批准的希腊援助；2010/10年爱尔兰救助计划。这些解释了下方情节中的部分动作。每个国家都使用了以下股票代码（只能从Yahoo！Finance获得股票价格的前4名股票持有人）：希腊：NBG，欧洲银行。在，特佩尔。在，吃。在意大利：ISP。米，UCG。小米，小米。米，BNP。帕葡萄牙：BCP。LS，BPI。圣路易斯；西班牙：BBVA，旧金山；爱尔兰：比尔。F、 AIB。在我们的模拟中，我们使用这些微分方程并选择τA=τB=1。其中一个始终可以被选择为时间单位，并设置为1，但将它们设置为相等是一种假设，在现实中可能不正确。我们的分析表明，τA，b的选择不影响系统的稳定性，稳定性仅取决于α，β和冲击。Thefi（t）是银行在这个网络之外拥有的资产的权益变化，可以被认为是外部噪音或驱动力。我们用金融机构（t）来冲击银行，让它们破产。我们一次打击一家银行，比如j银行，将其股本减少10%，方法是将fi（t）=sEjδijδ（t）。从tpu(-ε) = 大牛(-ε） =0，堵塞teinito[1]并在小区间t上积分∈ [-ε、 +ε]产量tAiu（+ε）≈ βAiu（0）ln（1+s）[4]这和Ei（ε）=（1+s）Ei（0）是威斯特的初始条件。此外，我们需要E，A，p≥ 在模拟过程中为0。应用于欧洲主权债务危机我们将我们的模型应用于上述GIIPS数据。在研究EQ的模拟之前。[1] –[3]，我们估计了GIIPS主权债务危机情况下的参数值。γ=αβ的估计值。我们使用方程式的近似版本。

[1]–[3]估计参数α和β的乘积（SI中讨论了近似和假设的细节）。这些资产的分布大致呈对数正态，因此少数银行持有每个GIIPS国家债务的很大一部分。因此，只使用占支配地位的持有者的等式，并用E表示他们的和*（u）forcountryu将为我们提供γ的良好估计。我们估计响应时间τA，τ最多为几天。因此，我们将在四个月的时间内计算γ=αβ，以使系统达到其新的最终状态，并且我们可以丢弃二阶导数。这允许我们写入δAu≈ βXiδEiEiAiu≈ βδE*（u）E*（u）A*u，其中E*（u）表示占主导地位的银行对资产u的权益。利用这种近似，我们可以将前两个方程δpupu联系起来≈ αδA*uA*u≈ αβδE*（u）E*(u).因此我们可以把γ近似为≈δpu/puδE*（u）/E*(u). [5] 我们为每个国家评估γ。如果不同u值的值相似，则可能表明“放牧效应”是一个因素。这既支持我们的模型，也表明它适用于这个问题。我们对γ进行了评估，从危机刚刚开始的2009年初到2011年初，当时大多数ZF救援要么已经计划好，要么已经开始。0200300405060T（τ单位）0.750.800.850.900.951.001.05pu（t）α=0.60，β=0.60希腊：0.75意大利：0.95葡萄牙：0.97西班牙：0.99爱尔兰：0.9902003005060T（τ单位）0.0×1001.2×1003.6×1001.0×1012.7×1017.4×1012.0×1025.5×1031.5×1035GR035GR035GR。3.震惊“美国银行”，α=β=0.6。左图：资产价格随时间变化的曲线图。希腊损失最大，降至原值的75%。最终价格在图例中列出。

右图：4家“最脆弱银行”的股票（2家主要希腊持有者遭受巨额损失，一家意大利银行预计将因冲击而倒闭）。IT043是Banco Popolare，它的股本非常小，但持有大量债务。接下来的两个是希腊农业银行和EFG EurobankErgasias，这两个银行是希腊前四大持有者。05101520 25t（τ单位）0.00.20.40.60.81.0pu（t）α=1.50，β=1.50希腊：0.01意大利：0.41葡萄牙：0.05西班牙：0.00爱尔兰：0.4505101520 25t（τ单位）0.0×1001.2×1003.6×1001.0×1012.7×1017.4×1012.0×1025×1021.5×103Ei（t）#破产银行：3IT043GR034GR0305GR035图。4.模拟较大的α和β值（图例中的值为最终价格比pu（tf））。这一次，除了希腊债务，西班牙和葡萄牙债务的恶化程度仅次于希腊。这四家银行是最脆弱的，这次又有两家银行倒闭了。在α=β=1.5时，损伤比α=β=0.6时严重得多。注意，根据等式[3]，冲击的大小只会重新调整时间，因为→ λfi与T→ λ-1.tandτA，B→ λτA，Bδij是kroneckerδ，或单位矩阵元素，δ（t）是Dirac分布或脉冲函数。银行的权益主要由股东权益或普通股构成。这些银行通常有多个股票报价器，但通常有一个或两个主要股票报价器，其中大部分股票都是股票。

我们可以利用这些主要股票的走势来估计δE*（u）/E*(u).对于这种近似，我们使用以下公式：δE*（u）E*（u）=Ef- Ei（Ef+Ei）/2其中Ei是期初的股价，EFI是期末的股价。4 www.pnas。org--Footline Author0。030.040.050.06BANKRANKBRANK10-610-410-2100生存权益比率101103初始持有4854591068063603865587092469611356862754467119641784337851438989571285571021019983695318851110822352210074641205018976104829097103944530148131490911587471939240526120862724141793210772311011242169716912112121310581076611798109银行按α=β=1.5102104106Equity00所造成的损失排名。010.020.030.040.050.060.070.840.860.880.900.920.940.960.981.00α=β=0.4倍/max0。70.750.80.85α=β=0.60.320.340.360.380.40.420.440.840.860.880.900.920.940.960.981.00BankRank@a=β=1.00.0250.030.0350.040.0450.050.06α=β=1.5图。5.左：Top:银行排名[6]：根据银行故障对系统的影响对银行进行排名。上图显示了系统中最终GIIPS总持有量与初始GIIPS总持有量的比率。在这个测试中，我们做两件事。首先，我们将4家最脆弱银行的股本增加至其总持有量（Ei）→PuAiu）。然后，在每次运行中，我们将一家银行的股本调整为略低于允许其在动态中生存的最低股本（阈值是根据经验确定的）。最初对该体系的冲击是通过冲击不同银行（而不是我们专门导致破产的银行）的股本施加的。通过这种方式，银行排名告诉我们一家银行倒闭会造成多大的金钱损失。对于α和β的不同值，排名略有变化。在较低的值（例如α=β<1）下，总资产完全决定排名。但在较大的值，即“不稳定”状态下，相关性显著降低。

右图：α=β=0.4（纵轴）时的银行等级与最大持有量（持有量/最大）时的总持有量的散点图，以及α=β=0.6、1.0、1.5时的其他参数值与银行等级的散点图。γ=αβ<1时的银行等级与初始持有量直接负相关。γ=αβ>1的银行等级与α=β=0.4相比有显著差异，这告诉我们，在γ>1的不稳定状态下，只有最大的持有者才具有最高的系统重要性已不再是事实。如果我们假设银行发行的股票数量在所述期间大致不变，那么股票价格的变动可能会被用作银行股本变动的代理。每个国家γ值的许多主要变动（或斜率变化）似乎都与救助支付时间一致。图2显示了这段时间内的平均γ值和标准偏差误差条。图的底部给出了α和β的估计值，假设|α|=|β|。图2还显示了使用每个国家获得的γ值的更详细曲线图。图2显示，在危机之前，0<|γ|<1，在危机最严重时γ>1。下面我们将从α和β的不同值来探索相空间。一个重要的发现是，我们的模型预测，γ>1是一个不稳定阶段，在这个阶段，任何银行的权益受到的负性冲击都会导致大多数资产价格急剧下降到接近零。同样，正电荷会导致气泡的形成。另一方面，当0<γ<1时，在一次冲击之后，系统平稳地过渡到一个新的均衡，尽管一些银行可能会倒闭，但没有任何资产价格会降到零。模拟我们发现，当α和β的值很小时，例如，|αβ|<1，冲击网络中的任何银行都会导致相同的最终状态（见图S2）。这是一个新的稳定平衡。

如果我们再次冲击系统，价格不会发生显著变化，即低于0.1%。图3显示了资产价格和遭受最大损失的银行资产净值的时间演变示例。图3显示的结果似乎与欧洲债务危机期间实际发生的情况相符，尽管爱尔兰的损失比实际发生的要小。在这个图中，救援被忽略了。图中显示了四个最脆弱的银行（MVB）中的三个。3和4是希腊债务的持有者。在这个模拟中，希腊债务是损失最大的资产。请注意，该模型产生的损失预测仅基于持有GIIPS主权债务的银行网络，并提供了这些国家的经济信息，其中希腊损失最大，其次是葡萄牙（真实数据表明爱尔兰的损失与葡萄牙一样严重）。注意，新的平衡取决于α和β。回到真实数据，图2显示，在危机开始之前，系统通过实现与初始平衡类似的新平衡来应对冲击（行为类似于图3所示）。然而，在危机最严重的时候，当γ=αβ≈ 2.即使是很小的冲击也可能产生毁灭性的影响，并引发危机（见图4）。虽然许多银行在α和β值最高时会遭受重大损失，但这四家银行都会倒闭。在SI中，我们展示了重组贷款给每个国家的银行的效果，这意味着我们采用Aiu并随机排列指数i，以便与每个国家相连的银行的股票随机变化。有趣的是，这样的重组完全改变了GIIPS债券所承受的损害，这意味着希腊将不再是最脆弱的国家。

这表明，在我们的模型中，虽然系统的定性行为仅取决于α和β，但最终价格和权益强烈依赖于网络结构。因此，系统性风险和BankRankWe采取了不同的方法。我们发现，当一家银行的股本水平处于经受冲击所需的最低水平时，它可能会造成大量系统性损害。股本非常低的银行会迅速倒闭，不再交易，从而不再对系统造成损害。另一方面，有能力在相当长的一段时间内生存的银行，继续将损害传播到系统中，造成的损害比极其脆弱的银行更大。基于这一观察结果，我们使用“生存权益比率”（SER）对银行进行排名，即银行为了在系统性冲击中生存而需要的实际权益的分数。对系统造成的总损坏因银行而异。为了评估每家银行的系统重要性，我们衡量了它们的失败对系统的影响。由于通常没有比上述四种方法更有效的方法失败，我们对数据进行了轻微修改。我们采取的步骤如下：1。我们将四家倒闭银行的股本增加到Ei（0）=PiAiu（0），以防止它们倒闭并严重破坏系统。然后，当γ=αβ<1时，系统beFootline作者PNAS发行日期批量发行数量5come具有抗冲击能力，价格下跌低于1%（系统已达到稳定阶段）。当γ>1时，系统继续遭受重大损失。2.为了评估银行i的系统重要性，我们进行了单独的模拟，初始条件更改为Ei（0）∈[10Ei（0），10-8Ei（0）]，直到我们发现在对任何其他银行j（I6=j）的轻微冲击下存活的阈值。

我们计算了系统中的总GIIPS保持量pk（A·p）kleft。我们将i的“BankRank”定义为i银行倒闭时最终持有量与初始持有量的比率，即i的BankRank等于i银行倒闭时系统将承受的货币损失量：i的BankRank:Ri=Pj（A·p）j（tf）Pj（A·p）j（0）令人震惊的i。[6]Ri值越小，银行i的系统重要性就越大。左边的图5显示了银行在α=β=1.5的不稳定状态下的排名，以及它与初始持股、生存所需的最低股本比率和初始股本的比较。我们观察到BankRank和这些变量之间存在一定的相关性，但对于许多银行来说，BankRank似乎并不遵循这些变量中的任何一个。在右边。5.在左上角，我们看到α=β=0.4的StablerRegime中的BankRank与初始持有量有非常高的相关性。在右边的其他三幅图中，我们看到，当我们从稳定政权过渡到不稳定政权时，银行等级发生了显著变化。这再次表明，虽然在稳定的制度下，持股几乎完全决定了银行的系统重要性，但在不稳定的制度下，情况不再如此，许多小股东将具有高度的系统重要性。结论和备注我们研究了GIIPS主权债务的大型机构持有人的系统重要性，并提出了一种简单、动态的“系统性风险度量”，我们称之为BankRank。我们没有发现银行排名和多元化之间存在任何明确的相关性，但银行排名和GIIP总持有量之间存在很强的相关性。我们的模型很好地描述了GIIPS系统对冲击的响应，足以揭示“羊群效应”，即当整个系统可以使用任何单一参数值时，都会显示其存在。