指数Léevy模型中的渐近无差异定价

首先观察<ψλ（u+iv）=λ-2Z（（1+λx）-VCO（u（1+λx））- 1+vλx）ν（dx）=λ-2Z（1+λx）-v（cos（u（1+λx））- 1） ν（dx）+v（v+1）Zxν（dx）Z（1+θλx）-五、-2(1 - θ） dθ。因为xhas跳跃以δ和λ为界≤1.存在∞andc>0（取决于v），因此对于所有支持ν的x，|v（v+1）Zxν（dx）Z（1+θλx）-五、-2(1 - θ） dθ|≤ C和| 1+λx|-五、≥ c、 然后，使用1- cos（x）=2（sinx）≥ 2（xπ）表示|x |≤ π、 我们得到：<ψλ（u+iv）≤ C-cZ | u对数（1+λx）|≤πu（log（1+λx））λν（dx），但自（log（1+x））≥ x（对数2）表示|x |≤ 1我们有，对于不同的c>0，<ψλ（u+iv）≤ C-cZ | u对数（1+λx）|≤π（ux）|λx|≤1ν（dx）。再一次，通过x的跳跃边界，|log（1+x）|≤|对于不同的c>0，<ψλ（u+iv），在v和w的支撑下的x | log（1+δ）≤ C-cZ | x|≤πλ| u | log（1+δ）∧1uxν（dx）。根据假设↓0R[-r、 r]xν（dx）r2-β> 0表示某些β∈（0,2），存在大于0和c>的情况，对于所有r<r，r[-r、 r]xν（dx）≥ cr2-β.这意味着我们可以找到常数“>和另一个c>0，从而<ψλ（u+iv）≤C-cu | uλ|≤ `C-c | u |βλβ-2 | uλ|≥ `现在，通过改变c和c，这个不等式可以证明对任意的`。B引理4的证明使用引理3的证明符号，我们有ZTθλtdSλt- h（SλT）！= E[（MλT）]=E[hMλiT]，其中hMλiT在（17）中计算。

根据看涨期权价格的傅里叶变换公式，callkλ（t，S）=2πZRKiu+1-RS-iu+RtΦλT-t(-U- iR）（R）- iu）（R）- 1.- 我们推导出thatCallKλ（t，S（1+z））- CallKλ（t，S）- zSCallKλ（t，S）S=2πZRKiu+1-RS-iu+RtΦλT-t(-U- iR）（1+z）-iu+R- 1+（iu）- R） z（R）- iu）（R）- 1.- u）杜。z>-RobtainingCallKλ（t，S（1+z））- CallKλ（t，S）- zSCallKλ（t，S）S=2πZRKiuS-iu+1tΦλT-t(-U- i） （1+z）-iu+1- 1+（iu）- 1） ziu（iu）- 1） 杜。因此，λt（z）=2πz（0，∞)u（dK）ZRKiuS-iu+1tΦλT-t(-U- i） （1+z）-iu+1- 1+（iu）- 1） ziu（iu）- 1） 杜。根据Fubini定理，在（17）等式4πZ（0，∞)u（dK）Z（0，∞)u（d\'K）ZRdvZRdu-Kiv×ΦλT-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- 五、-2i）-紫外线（iu）-1） （四）- 1)-aλ（u）aλ（v）′σ+bλ（u，v）,式中λ（u）=ZRνλ（dz）z{（1+z）-iu+1- 1+（iu）- 1） z}=λ-1ZRν（dz）z{（1+λz）-iu+1- 1+（iu）- 1） λz}和bλ（u，v）=ZRνλ（dz）{（1+z）-iu+1- 1+（iu）- 1） z}{（1+z）-iv+1- 1+（四）-1） z}=λ-2ZRν（dz）{（1+λz）-iu+1- 1+（iu）- 1） λz}{（1+λz）-iv+1- 1+（四）-1） λz}的显式形式为Φλ，Φλt（u）=etψλ（u），ψλ（u）=-σ（u+iu）+λ-2ZR（（1+λz）iu- 1.- iuλz）ν（dz）=-σ（u+iu））- （u+iu）ZRzν（dz）Z（（1+λZθ）iu）-2(1 - θ） dθ，我们利用ν有界支撑的事实推断，对于每个u∈ C、 ψλ（u）→ ψ（u）=-u+iuσ+ZRzν（dz）asλ→ 0.另一方面，因为（1+λz）-iu+1- 1+（iu）- 1） λz=iu（iu- 1） λzZ（1+λθz）-iu-1(1 - θ） dθ，我们得到λ-1aλ（u）→iu（iu）- 1） ZRzν（dz）和λ-2bλ（u，v）→ -紫外线（iu）-1） （四）- 1） ZRzν（dz）asλ→因此，假设我们可以找到一个可积界来应用支配收敛定理λ-2hMλ它收敛到M-m′σ4πZ（0，∞)u（dK）Z（0，∞)u（d\'K）ZTdtZRdvZRdu Kiu\'Kiv×ΦT-t(-U- i） ΦT-t(-五、-i） Φt(-U- 五、-2i）=M-m′σEBS“ZT圣PBS（t，St）sdt#asλ→ 0.我们首先考虑σ>0的情况。

首先请注意，根据X跳跃的界限，Z（1+λθZ）-iu-1(1 - θ） dθ≤2(1 - δ） ，因此它仍然需要为Φλt找到一个可积（在u、v和t中）界-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- 五、-2i）然而，在这种情况下，ΦλT-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- v）≤ E-（T）-t） σ（u+v）-tσ（u+v）+t′σ，自ZrduZrdve起可积-（T）-t） σ（u+v）-tσ（u+v）=ZRdu e-Tσuzrdve-Tσv（1）-tT=2πσ√T- t、 现在让我们考虑σ=0的情况。我们将使用边界（20）。此外，|bλ（u，v）|≤ λ-2.Zν（dz）|（1+λZ）-iu+1- 1+（iu）- 1） λz|×Zν（dz）|（1+λZ）-iv+1- 1+（四）-1） λz|（20） 常数C<∞,Zν（dz）|（1+λZ）-iu+1- 1+（iu）- 1） λz|≤ Cλu（u+1）1 |λu|≤`+ Cλu |λu |>`，（20）不等式，| aλ（u）aλ（v）|≤ σλ-2.Zν（dz）|（1+λZ）-iu+1- 1+（iu）- 1） λz|×Zν（dz）|（1+λZ）-iv+1- 1+（四）-1） λz|,为了完成证明，必须研究积分ZrdVZrduΦλT-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- 五、-2i）（1 |λu）≤l |+λu>lλ√1+u）（1 |λv≤l |+λv>lλ√1+v）。（21）R{uλ|≤`, |vλ|≤`},{uλ|>`，|vλ|≤ `},{uλ|≤ `, |vλ|>`}和{uλ|>`，|vλ|>`}，其他三个集合的极限为零。在第一个集合上，被积函数的边界如下：ΦλT-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- 五、-2i）{uλ|≤`,|vλ|≤`}≤ E-c（T）-t） （u+v）-ct（u+v），可在u，v和t中积分。因此，由支配收敛定理λ-24πZ（0，∞)u（dK）Z（0，∞)u（d\'K）ZTdtZ|vλ|≤2`dvZ | uλ|≤2\'du Kiu\'Kiv×ΦλT-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- 五、-2i）-紫外线（iu）-1） （四）- 1)-aλ（u）aλ（v）′σ+bλ（u，v）→M-m′σEBS“ZT圣PBS（t，St）sdt#asλ→ 0

还有待证明的是，其他三组对极限的贡献为零。关于集{uλ|>2`，|vλ|≤ `}, （21）中的被积函数的界为：λ-1.√1+ue-c（T）-t） λβ-2 | u |β-c（T）-t） 五-ctλβ-2 | u+v |β≤λ-1.√1+ue-c（T）-t） λβ-2 | u |β-c（T）-t） 五-ctλβ-2 | v |β≤λ-1.√1+ue-c（T）-t） λβ-2 | u |β-cT（`β-2.∧1） |v |。另一方面，Z | uλ|>2`duλ√1+ue-c（T）-t） λβ-2 | u |β≤ 2Z∞2`duλue-c（T）-t） λ-2 | u |β=√T-tfT-tλ,式中f（θ）=2√θZ∞2′θ1/βduue-c | u |β注意fis是有界正函数，f（θ）→0为θ→ ∞. 因此，根据支配收敛定理，ZTdtZ |uλ|>2`duZ | vλ|≤`ΦλT-t(-U- i） ΦλT-t(-五、-i） Φλt(-U- 五、-2i）λ√1+u→ 0asλ→ 0.集合{uλ|≤ `, |vλ|>`}可以用同样的方式处理。最后，在集合{uλ|>`，|vλ|>`}上，（21）中的被积函数以λ为界-2p（1+u）（1+v）ne-c（T）-t） λβ-2 | u |β-c（T）-t） λβ-2 | v |β-ct | u+v |λ| u+v|≤`+ E-c（T）-t） λβ-2 | u |β-c（T）-t） λβ-2 | v |β-ctλβ-2 | u+v |βo（22）随变量u=x+y，v=x的变化-y、 利用凸性不等式x+yβ+十、- Yβ≥ cβ（|x |β+|y |β），满足度| uλ以上第一项的积分|≥`duZ | vλ|≥`dvλ-2p（1+u）（1+v）e-c（T）-t） λβ-2 | u |β-c（T）-t） λβ-2 | v |β-ct | u+v |λ| u+v|≤`≤Zλ| x+y |>2`dxZλ| x-y |>2`dyλ-2（1+| x+y |）（1+|x）-y |）e-ccβ（T-t） λβ-2 | x |β-ccβ（T-t） λβ-2 | y |β-ct | x |λ| x|≤`≤Zλ| y |>`dyZλ| x |>`dxλ-2（1+| x+y |）（1+|x）-y |）e-c（cβ∧1） T | x|≤CλZ | x |>`/λdx e-c（cβ∧1） T | x |，对于一些康斯坦茨来说∞, 我们在[]中使用引理2。很明显，这个表达式收敛到0为λ→ 第二项的0.0，在（22）个满意度中，Z | uλ|≥`duZ | vλ|≥`dvλ-2p（1+u）（1+v）e-c（T）-t） λβ-2 | u |β-c（T）-t） λβ-2 | v |β-ctλβ-2 | u+v |β≤Zλ| x+y |>2`dxZλ| x-y |>2`dyλ-2（1+| x+y |）（1+|x）-y |）e-c（cβ∧1） Tλβ-2 | x |β≤CλZλ| x |>`dx e-c（cβ∧1） Tλβ-2 | x |β=CλZ | x |>`dx e-c（cβ∧1） Tλ-2 | x |β=Cλβ-3Z | x |>λ-βdx-e-c（cβ∧1） T | x |β，当λ明显变为零→ 0.为了计算看跌期权的报酬，回想一下Black-Scholes模型中的St=Se-σt+σWtand普特（t，S）S=φ（d（t））Sσ√T-twithφ（x）=e-十、√2π.

因此，EBSZTSt普特（t，S）sdt=K2πσZTEBSE-对数（St/K）σ√T-T-σ√T-TdtT-t=K2πσZTEBSE-日志（S/K）-σT+σWtσ√T-TdtT-t、 要得到结果，还需要对高斯密度进行显式积分。引理5的C证明在这个证明中，我们表示xbst=？∑Wt，其中是独立于xλ的标准布朗运动。对于λ>0，定义λ（t，x）=E[h（xE（xλ）tE（XBS）t-t） 对于ε>0，lethε（x）=E[h（xE（XBS）ε）]，PεBS（t，x）=E[hε（xE（XBS）t-t） ]=hε+t-t（x），fελ（t，x）=E[hε（xE（xλ）tE（XBS）t-t） ]。这些函数定义得很好，因为exλ具有有界跳跃，因此e（Xλ）皮重的所有力矩都是有限的。在不丧失一般性的情况下，我们还将采用下面的S=1。根据它的o公式，使用引理8的第1项，PεBS（T，SλT）=PεBS（0，1）+ZTPεBStdt+ZTPεBSSSλtσdWt+ZTσ（Sλt）PεBSSdt+X{PεBS（t，Sλt-（1+z）- PεBS（t，Sλt）-) - zSλtPεBS在引理8中，我们得到：E[hε（Sλt）]- PεBS（0，1）=EZTZRPεBS（t，Sλt（1+z））- PεBS（t，Sλt）- zSλtPεBSs-z（Sλt）PεBSsνλ（dz）dt=ZTZRfελ（t，1+z）- fελ（t，1）- z(xfελ）（t，1）-z(xfελ）（t，1）νλ（dz）dt=ZTZRz(xfελ（t，1）+Zz（1）- θ)(xfελ）（t，1+zθ）dθνλ（dz）dt定义fελ（t，x）=(xfελ（t，x）=E[~hε（xE（xλ）tE（XBS）t-t） ]式中，hε（x）=x(xhε）（x）。

然后，再次使用泰勒-拉格朗日展开式，我们得到所有t∈ [0，T]~fελ（T，1）=~fελ（0，1）+ZtZR{fελ（s，1+z）-~fελ（s，1）- z(xfελ（s，1）-z(x~fελ（s，1）}νελ（dz）ds=PεBSS（0,1）+ZtZRZλz（1）- θ)(x~fελ）（s，1+λzθ）dθν（dz）ds。将这个表示代入上述公式，我们得到[hε（SλT）]=PεBS（0，1）+λmTPεBSS（0，1）+λZTdtZRzν（dz）Z（1）- θ)(xfελ）（t，1+λzθ）dθ+λmztdtzrzν（dz）z（1- θ)(x~fελ）（s，1+λzθ）dθ。注意（s，x）∈ [0，T]×R+(xfελ（s，x）=6(xfελ（s，x）+18x(xfελ（s，x）+9x(xfελ（s，x）+x(xfελ）（s，x）。现在我们使用引理8的第5项使ε趋于零，得到e[h（SλT）]=PBS（0，1）+λmTPεBSS（0，1）+λZTdtZRzν（dz）Z（1）- θ)(xfλ）（t，1+λzθ）dθ+λmztdtzdszrzν（dz）z（1- θ)(xfλ）（s，1+λzθ）dθ.8）来表示ztdtzrzν（dz）z（1- θ)(xfλ）（t，1+λzθ）dθ→ZTdtZRzν（dz）Z（1）- θ)(xf）（t，1）dθ=mT(xf）（0,1）=mT美国公共广播电视公司S（0,1）和类似的ztdtzdszrzν（dz）Z（1- θ)(x~fλ）（s，1+λzθ）dθ→mT(x~f）（0，1）=mTn6P（3）BS（1）+18P（4）BS（1）+9P（5）BS（1）+P（6）BS（1）o引理8。让引理5的假设成立。那么，对于所有0≤ K≤ 61.PεBS∈ C1,2（[0，T]×（0，∞)).2. (kxhε）（x）存在，是连续的，并且对于所有ε>0.3的情况，在x中都有多项式增长。(kxfελ）（t，x）存在，在x上连续且满足|(kxfελ）（t，x）|≤ C（1+| x | n）对于某些n≥ 0和一个不依赖于t、ε或λ的常数C。对于所有的t，x(kxfλ）（t，x）→ (kxhT）（x）asλ→ 0.5. 对于所有的t，x，λ(kxfελ）（t，x）→ (kxfλ）（t，x）asε→ 0.证明。

在我们的假设下，随机变量log（E（Xλ）tE（XBS）T-t+ε）允许密度pελ（t，x），可通过傅里叶反演恢复：pελ（t，x）=2πZRe-iuxΦBST-t+ε（u）Φλt（u）du。通过界（20）和ΦBS的显式形式，我们得出结论，pελ（t，x）对任意阶x的导数是连续的，并由kxpελ（t，x）=2πZR(-iu）ke-iuxΦBST-t+ε（u）Φλt（u）du。根据Jensen不等式和Plancherel定理，对于任何p≥ 0，ZR|kxpελ（t，x）| ep | x | dx=ZR|kxpελ（t，x）e（p+2）| x | e-|x | dx≤锆|kxpελ（t，x）| e（2p+2）|x|≤锆|kxpελ（t，x）|e（2p+2）xdx+锆|kxpελ（t，x）|e-（2p+2）xdx=2πZR | v-i（p+1）| 2k |ΦBST-t+ε（v）-i（p+1））Φλt（v-i（p+1））|dv+2πZR | v+i（p+1）| 2k |ΦBST-t+ε（v+i（p+1））Φλt（v+i（p+1））|dv< ∞.（20） C<∞ZR | v+i（p+1）| 2k |ΦBST-t+ε（v+i（p+1））Φλt（v+i（p+1））|dv≤ CZR（1+| v | 2k）e-（T）-t+ε）′σv-ct | v | vλ|≤`-ct | v |βλβ-2 | vλ|>`dv≤ CZR（1+| v | 2k）e-（T）-t） \'\'σv（e）-ct | v |+e-ct | v |β）dv，（23），很容易看出它是均匀有界的。因此，RR|kxpελ（t，x）| ep | x | dx在t，ε和λ上均匀地有界。这意味着函数fελ由fελ（t，x）=ZRdz h（xez）pελ（t，z）给出。fελ¨fελt，xfελt，因此由¨fελ（t，x）=ZRdz h（ez+x）pελ（t，z）=ZRdz h（ez）pελ（t，z）给出- x） 通过控制收敛，利用上述估计，我们得到kx′fελ（t，x）=(-1） kZRdz h（ez）kxpελ（t，z）- x） =(-1） kZRdz h（ex+z）kxpελ（t，z）xkxfελt，x在t，ε和λ上均匀生长。这就完成了第3项的证明。为了研究λ中的收敛性，注意从h的多项式增长，|h（ex）|≤ ep | x |。然后，类似于上面的步骤，我们有|kx′fλ（t，x）- kx\'f（t，x）|≤ CZRep | z||kxpλ（t，z）- kxp（t，z）|≤ CZR（1+| v | 2k）|ΦBST-t（v-i（p+1））（Φλt（v）-一（p+1））-ΦBSt（v）-i（p+1））|dv+ CZR（1+| v | 2k）|ΦBST-t（v+i（p+1））（Φλt（v+i（p+1））-ΦBSt（v+i（p+1））|dv.例如，考虑第二个术语。

它满足ZR（1+| v | 2k）|ΦBST-t（v+i（p+1））（Φλt（v+i（p+1））-ΦBSt（v+i（p+1））|dv≤ CZR（1+| v | 2k）e-（T）-t） σv|Φλt（v+i（p+1））-ΦBSt（v+i（p+1））| dvλtvip→BStvipvλ→（23）收敛到0为λ→0.完成第4项的证明。其他项目也可以用类似的方式证明。D高阶Black-Scholes greeksrate和波动率σ>0 readsdSt=σStdWt的一般公式，其中Wdenotes表示标准布朗运动。在该模型中，由P:[0，T]×R给出了一个执行K>0，到期T>0的欧式看涨期权的定价函数+→ R+satifiesp（t，s）=E[（ST- K） +|St=s]=sΦ（δ（t，s））- KΦ（δ（t，s））、φ正态分布以及系数δ和δ由δ（t，s）=logsK+σ（t）定义-t） σ√T-t、 δ（t，s）=δ（t，s）- σ√T-t、 我们出发了∈ N、 dn（t，s）=snNPsn（t，s）。前两个现金希腊值可通过直接微分计算得出：d（t，s）=sΦ（δ（t，s））d（t，s）=s~n（δ（t，s））sσ√T-t、 对于欧洲看涨/看跌期权价格的高阶衍生品，以下递归关系适用于所有n≥ 0:d3+n（t，s）=nXk=0CnkDn-k（t，s）d2+k（t，s），其中Cnk=nk=NK（n）-k） !！是二项系数Dk（t，s）=(-1） k+1k！δ（t，s）-σ（T）-t） kXp=1p#和δ（t，s）=δ（t，s）σ√T-t+1。这种递推关系导致6阶以下的现金希腊式：d（t，s）=-d（t，s）δ（t，s），d（t，s）=d（t，s）δ（t，s）-στ- d（t，s）δ（t，s），d（t，s）=-d（t，s）2δ（t，s）-στ+ 2d（t，s）δ（t，s）-στ- d（t，s）δ（t，s），d（t，s）=d（t，s）6δ（t，s）-στ- 3d（t，s）2δ（t，s）-στ+ 3d（t，s）δ（t，s）-στ- d（t，s）δ（t，s）。参考文献[1]tics，2（1998），第41-68页。[2] D.Becher，《效用优化和差异套期保值跳跃后向SDE的有界解》，《应用概率年鉴》，16（2006），第2027-2054页。[3] ical Finance，12（2002），第1-21页。[4] E.Benhamou，E.Gobet和M.Miri，《跳跃效应的智能扩展和快速校准，金融和随机》，13（2009），第页。

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