指数Léevy模型中的渐近无差异定价

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英文标题：
《Asymptotic indifference pricing in exponential L\\\'evy models》
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作者：
Cl\\\'ement M\\\'enass\\\'e and Peter Tankov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Financial markets based on L\\\'evy processes are typically incomplete and option prices depend on risk attitudes of individual agents. In this context, the notion of utility indifference price has gained popularity in the academic circles. Although theoretically very appealing, this pricing method remains difficult to apply in practice, due to the high computational cost of solving the nonlinear partial integro-differential equation associated to the indifference price. In this work, we develop closed form approximations to exponential utility indifference prices in exponential L\\\'evy models. To this end, we first establish a new non-asymptotic approximation of the indifference price which extends earlier results on small risk aversion asymptotics of this quantity. Next, we use this formula to derive a closed-form approximation of the indifference price by treating the L\\\'evy model as a perturbation of the Black-Scholes model. This extends the methodology introduced in a recent paper for smooth linear functionals of L\\\'evy processes (A. \\v{C}ern\\\'y, S. Denkl and J. Kallsen, arXiv:1309.7833) to nonlinear and non-smooth functionals. Our closed formula represents the indifference price as the linear combination of the Black-Scholes price and correction terms which depend on the variance, skewness and kurtosis of the underlying L\\\'evy process, and the derivatives of the Black-Scholes price. As a by-product, we obtain a simple explicit formula for the spread between the buyer\'s and the seller\'s indifference price. This formula allows to quantify, in a model-independent fashion, how sensitive a given product is to jump risk in the limit of small jump size.
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中文摘要：
基于列维过程的金融市场通常是不完整的，期权价格取决于个体代理人的风险态度。在这种背景下，效用无差异价格的概念在学术界得到了广泛的应用。尽管理论上非常有吸引力，但由于求解与无差异价格相关的非线性偏积分微分方程的计算成本较高，这种定价方法仍然难以在实践中应用。在这项工作中，我们发展了指数L趵evy模型中指数效用无差异价格的封闭形式近似。为此，我们首先建立了无差异价格的一个新的非渐近近似，它推广了以前关于这个数量的小风险规避渐近的结果。接下来，我们使用这个公式推导出无差异价格的闭合形式近似，方法是将列维模型视为Black-Scholes模型的扰动。这将最近一篇论文（a.\\v{C}erny，S.Denkl和J.Kallsen，arXiv:1309.7833）中介绍的L挈evy过程的光滑线性泛函的方法扩展到非线性和非光滑泛函。我们的闭合公式将无差异价格表示为Black-Scholes价格和修正项的线性组合，这些修正项取决于基础Lāevy过程的方差、偏度和峰度，以及Black-Scholes价格的导数。作为副产品，我们得到了一个简单明确的公式，用于计算买方和卖方的无差异价格之间的价差。该公式允许以独立于模型的方式量化给定产品在小跳跃范围内跳跃风险的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Asymptotic_indifference_pricing_in_exponential_Lévy_models.pdf (780.52 KB)

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关键词：差异定价 Indifference Quantitative Perturbation Differential

指数Lévy模型中的渐近差异定价*巴黎迪德罗大学、巴黎、法国经济研究与现代化专业中心、法国苏伊士彼得坦科夫大学、巴黎迪德罗大学、法国定量金融国际实验室、，俄罗斯莫斯科国立研究型大学高等经济学院。电子邮件：tankov@math.univ-巴黎狄德罗。frAbstracton个体代理人的风险态度。在这种背景下，效用差异价格的概念在学术界受到了欢迎。虽然理论上非常有吸引力，但由于这项工作的计算成本很高，这种定价方法仍然难以在实践中应用，我们开发了指数效用差异价格的封闭形式近似非单位Lévy模型。为此，我们首先建立了一个新的差异价格的非渐近近似，它扩展了以前关于这个数量的小风险规避渐近的结果。接下来，通过将Lévy模型视为Black-Scholes模型的摄动，我们使用该公式推导出不同价格的闭合形式近似。本文将最近一篇关于Lévy过程的光滑线性泛函的方法推广到非线性和非光滑泛函。我们的闭合公式将差异价格表示为Black-Scholes价格和修正项的线性组合，修正项取决于潜在Lévy过程的方差、偏度和峰度，以及Black-Scholes价格的导数。作为副产品，我们得到了一个简单明确的公式，用于计算买方和卖方的差异价格之间的价差。

该公式允许以amodel独立的方式量化给定产品在小跳跃规模的限制下跳跃风险的敏感性。关键词：Lévy过程、效用差异价格、均值-方差对冲、渐近性*第二作者感谢Jan Kallsen的深入讨论和评论。+第二作者的研究部分得到了俄罗斯联邦政府的资助14。12.31.0007.arXiv:1502.03359v2[q-fin.PR]20151年2月23日简介著名的布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes model）使用几何布朗运动来描述资产的动力学，是现代数学金融的基石。然而，它未能再现经验观察到的股票回报和期权价格的显著特征，如厚尾分布和隐含波动率。由于这个原因，文献中对Black-Scholes框架进行了各种扩展。一种流行的方法是用Lévy过程的指数代替几何布朗运动。Levy过程允许更精确地量化市场风险，但这类过程的期权定价问题变得更加复杂。指数Lévy模型通常对应于衍生产品。相反，市场代理人接受购买或出售agiven衍生品的价格将取决于其风险规避和偏好。在这种情况下，一种常用的定价方法是差异定价法[]，该方法规定，代理人在进入和不进入交易之间不存在差异的公平价格：maxθE“UV+ZTθtdSt！#=maxθE”UV+p+ZTθtdSt-H！#，（1） 战略。在本文中，我们更具体地关注指数（常数绝对风险规避）效用函数u（x）=-E-αx，其中α>0是风险规避参数。

这导致了差异价格的更明确形式：pα=αlogminθEhexp-αRTθtdSt+αH伊明·埃希普-αRTθtdSti、 此外，使用所谓的最小熵鞅测度（MEMM）表示为byQ*（见等式（6）），指数效用差异价格可以通过单一优化问题来表示：pα=αlog minθE*“经验-αZTθtdSt+αH！#，（2） E在哪里*代表测量值Q下的期望值*.（2） 指数Lévy模型可以归结为求解非线性积分微分方程（参见，例如，[，]），这是一个棘手的数值问题。这使得这种方法不适用于银行的生产环境，因为银行通常必须实时评估价格。因此，不完全市场中差异价格的渐近逼近非常重要。α已知[，，]在温和的假设下，随着α趋于0，差异价格pαE*在最小均方模型下，最优策略收敛于二次套期保值策略。考虑到价格的非线性特征。因此，在[]中，作者计算了二次套期保值策略在MEMM下的剩余风险：pα=E*[H] +αminθE*ZTθtdSt- H+E*[H] !！+ o（α），α→ 0.（3）使用Malliavin演算技术在[]中获得了布朗过滤的主张。我们的AimeLévy模型。首先，在定理1中，我们建立了如下形式的差异价格近似值：p=E*[H] +αminθE*ZTθtdSt- H+E*[H] !！+ 误差（α）。（4） 与以前的研究不同，我们的公式是非渐近的，因为我们提供了一个显式的α，而不是渐近的α→0.此外，该公式在指数Lévy模型中相对容易检验的假设下得到了验证。

（4）的证明基于价格的区间和下限，并受到[21]和[16]中类似方法的启发。接下来，我们使用公式（4）通过将Lévy模型视为Black-Scholes模型的扰动，来发展指数Lévy模型中指数效用差异价格的闭合形式近似（见定理2）。鉴于Lévy过程（Xλt）的（4）单参数族的非渐近表示≥0，其中λ=1对应于感兴趣的模型，λ=0附近的λ。在[]年，这种扩张是为了满足ofC的预期和剩余风险∞例如，包括欧洲看跌期权。需要注意的是，在这个比率的问题中（例如与[15]进行比较）。导数和Black-Scholes期权价格的一个简单积分泛函。我们的方法基于Merton跳跃扩散模型，并表明近似公式的精度对于实际参数值是好的。过程。它还与[25]中最近讨论的效用优化的“模型空间扩展”技术有关。买方和卖方之间的差异价格：ps- PB≈ α|{z}风险规避×M-m′σ| {z}Lévy模型×EBS“ZT圣PBS（t，St）sdt |{z}将期权的风险敏感性，\'σmmPBSEBS\'σ转换为三个因素的乘积：作为经济主体特征的风险厌恶，在高频发生的小跳跃极限下跳跃风险的因素\'σ。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们介绍了precisemodels。在第3节中，我们推导了效用差异价格的非渐近近似，第6节具体分析了买卖价差的公式。

最后，技术备忘录的证明被归入附录。2数学框架指数Lévy模型X，F，PFtt≥0XT<∞圣∈, TSt=SE（X）Tw其中S>0是一个常数，E表示Doléans Dade指数定义的byE（X）t=eXt-[十] ctY0≤s≤t:Xs6=0（1+Xs）e-Xs。整篇论文的利率都是零。我们做出以下立场假设。假设1。这个过程不是a.s.单调的，存在δ<1这样的x满足|Xt|≤ δa.s.适用于所有t∈ [0，T]。备注1。特别是对于allt，Xen跳跃的下限大于0 a.s∈[0，T]。非单调性确保存在一个概率测度等价于一个鞅，它保证模型中不存在套利（参见第9.5节）。跳跃的上限是下一步研究所需的技术假设≤ 我们对负跳跃和正跳跃施加相同的界限。用（σ，ν，γ）表示与截断函数x7有关的x的特征三元组→ 1 | x|≤1t∈, t x的函数由[eiuXt]=etψ（u），ψ（u）=iuγ给出-σu+ZR（eiux）- 1.- iux1 | x|≤1） ν（dx）。效用差异定价∈ FThD，T→ R完全复制，因此个体代理人接受购买/出售索赔的价格将取决于代理人对风险的态度，这可能由效用函数量化。在本文中，我们主要研究由u（x）定义的指数效用函数=-E-αx其中α∈ (0, ∞) 是风险规避参数。定义一套可接受的交易策略∈ L（S）|L*用E[E]-αL*] < ∞ s、 t。

（θ·S）t≥ L*T∈ [0，T]a.s.}其中l（X）是抵消可预测的X可积函数值过程，文献[12]中已经提出了（θ·X）T:=Rtθsdxsx，但在[12]的上下文中，上述方法似乎是有效的。通过隐式关系（1），在指数效用函数的情况下，隐式关系产生显式公式=αlogminθ∈ΘE[exp(-α（θ·S）T+αHT]minθ∈ΘE[exp(-α（θ·S）T）]。（5） 买方的差异价格以类似的方式确定，且令人满意=-P-嗯。在该问题中，我们将关注卖方的价格，忽略显式计算的指数H和s（5）。设`（u）=γu+σu+ZR（eux）- 1.- ux）ν（dx）。在假设xis不是a.s.单调且有界跳跃的情况下，`（u）对所有u都有很好的定义∈ R、 从下方开始有界，并且存在*∈ 像这样`(-αφ*) =infu`（u）（见[33]中定理1的证明）。让θ∈ Θ和θt=θtSt-. 通过它的o公式，很容易证明mt=e-αRt~nsdXs-Rt`(-αφs）dss是一个局部鞅。除此之外，它是正的，并且从上方有界-αL*-T infu`（u），hencea真鞅。因此-α（θ·S）T]=E[E-αRT~ntdXt-RT`(-αφt）dt+RT`(-ανt）dt]≥ E[E]-αRT~ntdXt-RT`(-α~nt）dt]eRT`(-αφ*)dt=eRT`(-αφ*)dt。另一方面，战略θ*t=~n*圣-是可以接受的。事实上，作为有界跳跃，它的指数矩是有限的，根据Sato[]，E[E]的定理25.18-αφ*inf0≤T≤TXt]<∞.θ*这是最优的。然后我们定义*dP=e-αφ*XTE[e]-αφ*XT]。（6） 请注意，通过定义*, 测量*不依赖于α。利用[]中的定理33.1，可以证明*,Xis是一个具有微分分量volatilityσ和Lévy测度ν的鞅Lévy过程*, 在哪里*（dx）=e-αφ*xν（dx）。特别是，它意味着Sisaq*鞅。测量*是MEMM forS（参见[]）。使用这个度量，效用差异价格写为：p=αlog infθ∈ΘE*E-α（θ·S）T-H） 。

（7） 二次hedging二次（也称为均值-方差）套期保值包括寻找初始资本和一种hedging策略，以最小化预期的损益平方（利润和损失），即minc∈R、 θ∈ΘE[（c+（θS）T- H） ]，其中Θ是一类合适的可接受策略。我们参考[]、[]、[]了解二次套期保值的更多细节，并参考[20]了解指数Lévy模型的具体设置。在量度Q下*. 自从Q*是鞅测度，我们可以定义Θ={θ∈ L（S）：θ·S是平方可积鞅}，最优策略可以计算为θt=dhS，HiQ*tdhS，SiQ*t、 Ht=E时*[H | Ft]。在索赔中，它仅等于对冲策略的价格，不考虑未对冲的剩余风险。3差异价格的近似值本节的目标是获得指数效用q的非渐近近似值*考虑Q下的二次套期保值策略*将用“θ”表示。因为Xis是一个Lévy过程*-鞅（Ht）0≤T≤Tha是可预测的代表性财产[18，第III.4d段]，可以写成asHt=E*[H] +ZtσsdXcs+ZtZRγs（z）~JX（ds×dz），（8）XcXQ*■JXXQ*σtγs·函数。定理1。假设存在一个2δLα<1的常数L，使得| H- E*[H] |≤ L.a.s.（9）|σt |≤ L.a.s.为所有t∈ [0，T]，（10）|γT（z）|≤ L|z|a.s.为所有t∈ [0，T]和所有z∈ 补充。（11） 然后存在常数αδL<∞对于每一个ε∈（0,1）卖方的索赔差异价格满足P- E*[小时]-αE*ZTθsdSs- （H）- E*[H] ）！≤ α1+εCαδLE*“好≤T≤TZtθsdSs- （Ht）- E*[H] )2+ε#.常数Cαδlca可以选择为CαδL=Ce4αL∨ (1 - 2αδL）-2，其中C<∞ 是一个普适常数。备注2。上述定理的公式是不同价格的非渐近近似公式，可用于恢复各种渐近结果。

例如，观察到CαδLis以α为界→ 0，我们恢复了小风险厌恶的渐近性：p=E*[H] +αE*ZTθsdSs- （H）- E*[H] ）！+ o（α），α→ 0.证明。在定理的假设下，\'θt=St-σσt+RRzγt（z）ν（dz）σ+RRzν（dz）|St-θt|≤ 书信电报∈, TE*Happing第一引理1，pay-o off H=αHand boundL=αL，使用不等式对数（1+x）取对数≤ x除以α，我们得到p≤αE*ZTθsdSs- H+ Cα1+εe4αLE*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.同样，在yieldsp下面应用引理2≥αE*ZTθsdSs- H- Cα1+ε（1）- 2αδL）-2E*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.引理1。L（9）（11）存在一个普适常数C，使得对于每一个ε∈ （0,1），infθ∈ΘE*他-RTθsdSs+Hi≤ 1+E*ZTθsdSs- H+ Ce4LE*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.证据引入停止时间τ=inf{t≥ 0 :ZtθsdSs- Ht≥ 1} ∧ T.根据假设，考虑到δ<1，ZτθsdSs- H≤ 3L+1，策略θt=θtt≤τ属于Θ，我们得到infθ∈ΘE*他-RTθsdSs+Hi≤ E*他-RτθsdSs+Hi。我们将使用以下形式的泰勒公式：对于每个ε∈ （0,1）和m<∞,ex公司≤ 1+x+x+C | x | 2+ε，十、∈ [-m、 m]其中c=m1-εem。因此，对于CLε=（3L+1）1-εe3L+1infθ∈ΘE*他-RTθsdSs+H}i≤ 1+E*\"ZτθsdSs- H#+ CLεE*\"ZτθsdSs- H2+ε#≤ 1+E*ZTθsdSs- H+ CLεE*ZTθsdSs- H2+ε+ （3L+1）+ CLε（3L+1）εQ*[τ<T]。然后，通过马尔可夫不等式*[τ<T]=Q*sup0≤T≤TZtθsdSs- Ht> 1.≤ E*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#因此∈ΘE*他-RTθsdSs+H}i≤ 1+E*ZTθsdSs- H+ （CLε+（3L+1）+CLε（3L+1）2+ε）*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.现在，很明显，我们可以选择一个普遍的恒常式，如勒马霍尔德的陈述是正确的。引理2（下界）。设一个2Lδ<1的常数，以满足假设（9）-（11）。

然后，存在一个普适常数C，使得对于每个ε∈ （0,1]，p≥E*ZTθsdSs- H-C（1）- 2Lδ）E*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.证据从[3]的结果来看，我们有p=supQ∈EMM（Q*)等式[H]- H（Q | Q*),Q*Q*HQ | Q*byH（Q | Q*) = E*dQdQ*logdQdQ*∞D>使DQ*是鞅测度，p≥ E*[DHT]- E*[D log D]。（12） 让κ=- Lδ，引入停止时间τκ=inf{t≥ 0 :ZtθsdSs- Ht≥ κ} ∧ 定义的Tand=1+ZτκθtdSt- Hτκ。利用支配收敛定理和S的局部有界性，它可以很容易地推广到我们的类Θ。通过构造，E[D]=1和|D-1| ≤ κ + |θτκ-Sτκ-Xτκ|+|Hτκ|≤ κ+2Lδ≤+ Lδ<1。此外，对于有界策略θ，E*“DZTθtdSt#=E*DZτκθtdSt= E*“ZTθtdSt”- 哈！ZτκθtdSt#=0，因为θ是最优的二次套期保值策略。因此，DQ*是一个鞅测度。它需要计算（12）的右边。对于第一项，使用Cauchy-Schwarzin等式和对τκ的估计，我们得到*[DHT]=E*[DHτκ]=E*\"Hτκ-ZτκθtdSt#≥ E*HT-θtdSt！- E*HT-θtdSt！τκ<T≥ E*HT-θtdSt！- E*HT-ZTθtdSt2+ε2+εP[τκ<T]ε2+ε≥ E*HT-θtdSt！-κεE*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.（12）中的第二项可以使用以下泰勒公式估算：对于每个ε∈（0,1）和 ∈ （0,1），x对数x+1- 十、≤（十）- 1） +C | x- 1|2+ε, 十、∈ [1 - , 1 + ] 用C=1.-ε6(1 - ).然后，对于CLδε=（1/2+Lδ）1-ε6(1/2-Lδ），E*[D log D]=E*[D日志D+1- D]≤E*[（D）-1） ]+CLΔεE*[|D-1 | 2+ε]=E*\"Hτκ-ZτκθtdSt#+ CLΔεE*\"Hτκ-ZτκθtdSt2+ε#≤E*HT-θtdSt！+ （CLΔε+κε）E*“好≤T≤TZtθsdSs- Ht2+ε#.将（12）的第一项和第二项的估计相加，并适当地选择宇宙常数C，引理的证明就完成了。例1。H=（K）- ST）+。