指数Léevy模型中的渐近无差异定价

过程（Ht）0≤T≤由以下公式得出：Ht:=E*[H | Ft]=P（t，St）Pt，SE*K-性爱-t+X（参见[10，命题2]），我们有鞅表示ht=e*[H] +ZtσtdXct+ZtZRγs（z）~J（ds×dz）与σt=P（t，St）SStandγt（z）=P（t，St-（1+z）- P（t，St）-).由主导的趋同：sP（t，S）s= E*[SE（X）T-谢（X）T-T≤K]≤ 另一方面，对于z∈ 补v，| P（t，S（1+z））- P（t，S）|≤ E*[| zSE（X）T-t | 1SE（X）t-t（1+z）∧1.≤K]≤K | z | 1- δ、 4.Black-Scholes模型附近的差异价格渐近性因为，正如我们所见，差异价格的计算可以在EMM下进行，在本节中，为了简化符号，我们省略了星号*. 换句话说，我们简单化了一个鞅Lévy过程，它具有不同分量的波动率σ和Lévy测度ν。为期权价格提供正确的“数量级”近似值。因此，在这些市场中，将更复杂的随机模型视为Black-Scholes模型的扰动似乎是合理的，因为在Lévy过程X“接近”布朗运动的情况下，可以找到差异价格（7）的显式近似值。为了量化接近布朗运动意味着什么，继Cern'y、Denkl和Kallsen最近的一篇论文之后，我们特别引入了一个小参数λ∈（0,1）引入模型，考虑随机过程族xλt:=λXt/λ，0≤ T≤ T.请注意，我们的参数化与[]中介绍的略有不同，因为这是指数化的。因此，我们的公式比[7]中的公式要简单一些。XXλ↓Xλ到过程（Xt）t≥0=（¨σWt）t≥0，其中W是标准布朗运动，且¨σ=σ+RRxν（dx）。

然后我们定义：Sλ=SE（Xλ）。同样，当λ趋于0时，很容易证明过程Sλ收敛到SE（¨σW）。设Hλ=H（Sλ）并考虑相应的差异价格pλ=αlog infθ∈ΘE-α（θ·Sλ）T-Hλ）（13）当λ→对于欧洲薪酬，我们假设h=h（ST）和hλ=h（sλT）。在这个定理和下面的定理中，我们让PBS（t，S）表示相应期权的Black-Scholes价格，其波动率σ由σ=σ+Rxν（dx）定义，即PBS（t，S）=Ehh硒-\'\'σ（T）-t） +/σWT-Ti、 WtPBS，SPBSN站。定理2。假设o支付函数是有界的，几乎所有地方都是可微分的，导数在[0]上有有限的变化，∞) 还有L<∞ 这样| xh（x）|≤ 我几乎无处不在σ>0或存在β∈ （0，2）使↓0R[-r、 r]xν（dx）r2-β> 0.那么，作为λ→ 0，pλ=PBS（S）+λmTSP（3）BS（S）+λmTSP（4）BS（S）+λmTn6SP（3）BS（S）+18SP（4）BS（S）+9SP（5）BS（S）+SP（6）BS（S）o+αλM-m′σEBS“ZT圣PBS（t，St）sdt#+o（λ），其中m=RRxν（dx），m=RRxν（dx）和b表示在BlackScholes模型中用波动率∑计算的预期。备注3。hxK-x+Y>正态逆高斯[1]。方差伽马模型[26]无法满足这一要求。证据该证明基于定理1的非渐近逼近公式，应用于过程Sλ，其形式为pλ- E[Hλ]-αEZTθλsdSλs- （Hλ）- E[Hλ]！≤ CE“sup0≤T≤TZtθλsdSs- （Hλt）- E[Hλ]）2+ε#，\'θλargminθERTθtdSλt- （Hλ）- E[Hλ]）EHλERTθλsdSλs- （Hλ）- E[Hλ]）右边的剩余项。在这些引理中，我们假设Standingh假设，没有该假设，收敛速度为λ↓ 0可能有所不同。引理3（剩余项的估计）。假设定理2的假设成立，letMλt=RtθλsdSλs- （Hλt）- E[h（SλT）]）和定义MλT=sup0≤T≤T | MλT |。然后q>2，作为λ→ 0E（`MλT）q= Oλq对数λQ引理4。符合事实的

那么，作为λ→ 0，EZTθλtdSλt- h（SλT）！=λM-m′σEBS“ZT圣PBS（t，St）sdt#+o（λ）。此外，对于带支付函数h（ST）=（K）的欧式看跌期权-ST）+，EBS“ZT圣PBS（t，St）sdt#=K2π′σZe-d1+udu√1.- uwhere d=logSK-“σT”σ√T.引理5（价格线性部分的估计）。假设o函数h可通过多项式增长测量。oσ>0或存在β∈ （0，2）使↓0R[-r、 r]xν（dx）r2-β> 0.那么，作为λ→ 0，E[h（SλT）]=PBS（S）+λmTSP（3）BS（S）+λmTSP（4）BS（S）+λmTn6SP（3）BS（S）+18SP（4）BS（S）+9SP（5）BS（S）+SP（6）BS（S）o+o（λ）。5数值结果在这一节中，我们用数值说明了定理2，Q的渐近公式的性能*跳跃不是从上面开始的。然而，在下面讨论的数值实现中，域的进一步增加不会改变价格）。默顿跳跃扩散模型在该模型中，股价定义为t=SE（X）twhereXt=ut+σWt+NtXi=1（eYi）- 1） whereWdenotes标准布朗运动，跳跃大小（Yi）~ N（γ，δ）是i.i.d.随机数≥0λMof跳到时间t。因此，X的Lévy度量具有由ν（X）=λMx>-1δ（x+1）√2πe-（对数（x+1）-γ)2δ.在数值例子中，我们让λ=1，并通过p=PBS（S）+mTSP（3）BS（S）+mTSP（4）BS（S）+mTn6SP（3）BS（S）+18SP（4）BS（S）+9SP（5）BS（S）+SP（6）BS（S）o+αλ来近似差异价格M-m′σEBS“ZT圣PBS（t，St）sdt#（14）使用已被渐近证明为λ的公式→对于λ的有限非零值，0等于使用函数在零处的二阶泰勒展开来近似该函数在点x 6=0处的值。近似值的质量并不取决于x的具体值，而是取决于函数在0和x之间的平滑度。

本节的数值例子表明，作为λ的函数，差异价格确实是平滑的，并且使用定理2的公式λ=1可以得到非常精确的近似值。要评估近似的差异价格，需要进行三次计算评估“σ”和Lévy MeasureMadm的力矩。在默顿的模型中，这些量很容易从Lévy测度的显式形式计算出来，并由¨σ=σ+λM{e2γ+2δ给出- 2eγ+δ+1}m=λm{e3γ+δ- 3e2γ+2δ+3eγ+δ- 1} m=λm{e4γ+8δ- 4e3γ+δ+6e2γ+2δ- 4eγ+δ+1}u条件），渐近公式仅取决于三个‘群’参数‘∑，mandm.·计算（14）中最后一行的积分。在我们的例子中，我们考虑了看跌期权和算法6号订单。附录D中给出了这些导数的精确显式公式。部分积分微分方程和有限差分方案在本段中，我们简要描述了差异价格的HJB方程（见例[，]）以及差异方程[]，此处仅用于说明渐近方法；它的完整推导及其准确性的研究超出了本文的范围。设HT=（K）-假设S有最强大的动力-= dXt，其中xis是一个鞅Lévy过程，具有Lévy测度ν和扩散系数σ。然后，差异价格p（t，S）满足（为了节省空间，尽可能省略参数）0=Pt+SσPS+ZRp（t，S（1+z））- P- SzPsν（dz）+minθ（αSσ）θ -Ps+αZReα（p（t，S（1+z））-P-Szθ）- 1.- α（p（t，S（1+z））-P-Szθ）ν（dz））pT，SK-S+xlog SPt、xpt、S0=Pt+σP十、-P十、+锆P（t，x+z）- P-（ez）- 1)P十、ν（dz）+minθ（ασ）θ -P十、+αZReα（P（t，x+z）-P-（ez）-1)θ)- 1.- α（P（t，x+z）- P-（ez）- 1)θ)其中，是ν的对数变换。提希，NhTNgrid xj=x+jd，j=0。

，2M，并将Lévy度量单位|表示为|（dx）=KXk=-K′νKδkd（dx），其中K是一个整数，δ是狄拉克δ函数。LetPi，jdenote，p（ti，xj）的近似值。我们使用以下隐式-显式格式：0=Pi+1，j- π，jh+σ皮，j-1+Pi，j+1- 2Pi，jd-π，j+1- 皮，j-12d+KXk=-KPi+1，j+k- Pi+1，j- （ekd）- 1） Pi+1，j+1- Pi+1，j-12dνk+minθ（ασ）θ -Pi+1，j+1- Pi+1，j-12d+αKXk=-Keα（P（i+1，j+k）-P（i+1，j）-（ekd）-1)θ)- 1.- α（P（i+1，j+k）- P（i+1，j）- （ekd）- 1)θ)νk）。换句话说，引入符号bj（Pi+1）=KXk=-KPi+1，j+k- Pi+1，j- （ekd）- 1） Pi+1，j+1- Pi+1，j-12dνkandHj（Pi+1，θ）=ασθ -Pi+1，j+1- Pi+1，j-12d+αKXk=-Keα（P（i+1，j+k）-P（i+1，j）-（ekd）-1)θ)- 1.- α（P（i+1，j+k）- P（i+1，j）- （ekd）- 1)θ)νk，对于j=1，2米- 1Pi，j1+σhd- 皮，j-1.σh2d+σh4d- π，j+1σh2d-σh4d= Pi+1，j+hBj（Pi+1）+h minθHj（Pi+1，θ），带边界条件spi，2M=（K-ex2M）+和Pi，0=（K-ex）+。数值比较在本段中，我们将欧洲看跌期权的差异价格的渐近公式与通过使用有限差分格式求解PIDE获得的值进行数值比较。以足够的精度求解PIDE所需的计算时间为107秒。使用单处理器内核进行语言处理）。该方案的参数=40（Km空间步数）。图1（左图）绘制了用这两种方法计算的价格，作为风险规避参数值α=10的标的资产初始价格的函数。为了比较，我们还绘制了图1。00 1.05 1.10 1.15 1.200.050.060.070.080.090.100.110.120.13无差异渐近线性精确无差异PDE0 5 10 15 20风险规避0。1240.1260.1280.1300.1320.134PIDE价格渐近近似参数α=10。右图：用PIDE和渐近公式作为风险规避参数αforS=1的函数计算的差异价格。

其他模型参数：strikeK=1，到期日t=1年，差异波动率σ=0.2，跳跃强度λM=5，平均对数跳跃大小-5%，原木跳跃尺寸标准偏差10%。价格的线性部分（E）*[H] ），使用默顿模型中可用的显式公式计算。从图中可以看出，现金期权的买卖差价（即差价和价格线性部分之间差价的两倍）与我们使用的版本参数值相对应，也相当高。该图清楚地表明，对于所选的参数值，对应于一个真实的（即，我们取=1）作为风险规避参数α的函数，具有更高的分辨率。请注意，差异价格的渐近公式在α中是线性的。我们看到，在这个例子中，渐近公式几乎无误差地再现了价格的线性成分（对于α=0），以及具有高精度的价格的非线性成分，即使对于相对较大的风险规避值也是如此。6买卖价差和期权跳跃风险的敏感性对于欧式期权的卖方和买方之间的差异价格，即买卖价差：ps- PB≈αM-m′σEBS“ZT圣美国公共广播电视公司S（t，St）dt#。三个因素的乘积，每一个都代表我们市场模型的一个特定特征：0.20.40.60.01.21.41.61.8K=0.9K=1.0K=1.1.01.21.1.41.1.01.1.1.21.1.1.1.1.1.1.1.6 1.8 2.001234567T=0.2T=0.5T=1.00 1.01.21.50.40.60.81.8K=0.1.1.1.1.1.1=1.1.2图2：跳跃风险敏感性作为K的函数，S=1，\'\'σ=0.2。右图：跳跃风险敏感性是T的函数，S=1，“∑”=0.4.o表征经济主体风险规避的参数αM-m′σ和峰度价格过程的差异。“因素”ZT圣美国公共广播电视公司S（t，St）dt#（15）跳跃风险，在小跳跃的极限内。

因此，研究这种跳跃风险敏感性指标对罢工和到期时间的依赖性是很有趣的。图2将欧洲看跌期权的预期（15）绘制为履约函数（左图）和到期时间函数（右图）。我们发现，对于接近货币的期权，跳跃风险的敏感性是最大的，因为对于远离货币期权的期权，其行使概率、价格和价差都非常小（请记住，我们对微小跳跃的敏感性感兴趣）。请注意，期权市场中的实际买卖价差会抑制类似的模式，其最大值接近货币（见图3），尽管实际买卖价差当然会受到跳跃风险以外的多种因素的影响。就非现金期权的到期时间而言，敏感性首先增长（因为行权概率增加），然后由于“中心极限定理”的影响而衰减，该定理平滑了跳跃的影响。900 1000 1100 1200 1300 1400 15000.00.51.01.52.0图3:2006年1月21日观察到的标准普尔500指数期权的买卖价差，作为利率的函数，到期时间T=42天。基本指数为S=1261.49。引理3LetPλ（t，S）=E的一个证明*[h（SE（Xλ）T-t） ]。根据[]中的命题2，在定理2的假设下，Pλ（t，S）在内部和内部是完全可微分的，引理的假设特别暗示：sPλs≤ 洛杉矶。s、 无论如何∈[0，T]。

使用[10]中给出的期权价格的鞅表示，我们得到了mλT=ZTθλt-PλsσSλtdWt+ZTZR{zθλtSλt-- Pλ（t，Sλt）-（1+z））+Pλ（t，Sλt-)}λJXλ（dt dz），二次套期保值策略由θλt=σ给出PλS+SλtRRz（Pλ（t，Sλt（1+z））- Pλ（t，Sλt））νλ（dz）σ+RRzνλ（dz）=PλS+/σSλtZRzΞλt（z）νλ（dz），其中我们表示Ξλt（z）=Pλ（t，Sλt（1+z））- Pλ（t，Sλt）- zSλtPλS.q≥存在cq，cq>0，使得：E[（sup0≤T≤T | Mt |）q]≤ CqE[hMiqT+|x | q？νMT]（16），其中，νMT是进程m的跳跃度量的补偿器。右侧出现的量由hmλiT=ZT明确给出θλt-Pλsσ（Sλt）dt+ZTZR{zθλtSλt- Pλ（t，Sλt）-（1+z））+Pλ（t，Sλt-)}νλ（dz）dt，|x | q？νMλT=ZTZRzθλtSλt- Pλ（t，Sλt）-（1+z））+Pλ（t，Sλt-)qνλ（dz）dt。将θλ的表达式代入上述等式中的第一个，我们进一步得到：hMλiT=σ′σZTdtZRzΞλt（z）νλ（dz）+ZTZRz′σZRzΞλt（z）νλ（dz）- λt（z）νλ（dz）dt=-“∑ZTdtZRzΞλt（z）νλ（dz）+ZTZRλt（z）νλ（dz）dt≤ZTZRλt（z）νλ（dz）dt。（17） 我们的第一个目标是估算HMλ。为此，我们确定η∈（0，T）并分别估计它-η和hMλiT- 嗯λ-η.我们继续估计hMλiT-η. 通过泰勒-拉格朗日展开式Ξλt（z）=z（Sλt）zPλS（t，Sλt（1+θz））（1- θ） dθ。注意z>-1，R1-θ1+θzdθ=（1+z）对数（1+z）-zz≤ 1.因此表示Γλ（t，S）=PλS（t，S）λt（z）|≤ zSλtmaxs |Γλ（t，S）|。我们的结论是HMλ-η≤ λZRzν（dz）ZT-η（Sλt）maxSS |Γλ（t，S）|dt。（18） 此外，术语hmλ- 嗯λ-η由期权的delta控制。事实上sPλs≤ 五十、 我们推导出| Pλ（t，Sλt（1+z））- Pλ（t，Sλt）|=ZzSλtPλS（t，Sλt（1+u））du≤L | z | 1- δ、 所以最后是λ- 嗯λ-η≤ZTT-ηZRλt（z）νλ（dz）dt≤ 2ZTT-ηZR | Pλ（t，Sλt（1+z））- Pλ（t，Sλt）|νλ（dz）dt+2ZTT-ηZRz（Sλt）Pλsνλ（dz）dt≤ 2ηLZRzν（dz）(1 - δ)+ 1.

（19） （18）（19）A和B，使hmλ≤λA sup0≤T≤T（SλT）（对数T- 对数η）+ηBσ>0，λA sup0≤T≤T（SλT）（日志T）- 对数η）+λ2（β）-1)ηβ-1.-Tβ-1.+ ηBσ=0。取η=λ并假设λ≤√T∧, 收益率，对于常数C<∞,嗯λ≤ λC1.- sup0≤T≤T（SλT）对数λ.由于Sλ是鞅，根据BDG不等式，我们得到了所有q≥ 2，E[| SλT- Sλ| q]≤ E[sup0≤T≤T | SλT- Sλ| q]≤ CqEσ+ZRxν（dx）q/2ZTStdt！q/2+λq-2ZRzqν（dz）ZTSqtdt,也就是说E[sup0≤T≤T | SλT | q]在λ上一致有界，因此E[hMλiq/2T]=Oλq对数λQ（16） Mλq>C<∞可能会在每一行之间变化），|x | q？νMλ，PT=ZTZRz′σZRzΞλt（z）νλ（dz）- λt（z）qνλ（dz）dt≤ 第二季度-1σ-2qλq-2ZR | z | qν（dz）ZTZRzΞλt（z）νλ（dz）qdt+2q-1ZTZRλt（z）qνλ（dz）dt≤ Cλ2q-2ZT-η| Sλtmaxs |Γλ（t，S）| qdt+Cηλq-2.≤λ2q-2C sup0≤T≤T（SλT）qηq-1.-Tq-1.+ ηλq-2Cσ>0，λ2q-2C sup0≤T≤T（SλT）qηq-1.-Tq-1.+ λ2(β-1)ηβ-1.-Tβ-1.+ ηλq-2Cσ=0。再次选择η=λ导致，|x | q？νMλ，PT≤ Cλq（1+sup0）≤T≤T（SλT）q），因此，E[|x |q？νMλ，PT]=O（λq）asλ→ 引理3的证明是完整的。引理6（伽马的估计）设σ>0。然后存在C<∞ 使得maxss |Γλ（t，S）|≤C√T-t、 o∑lim inf↓0R[-r、 r]xν（dx）r2-β>β ∈,C<∞maxSS |Γλ（t，S）|≤ C(√T-t+λβ-1（T）-t） β）。证据LetCallKλ（t，S）=E[SE（Xλ）T-T- K+].在定理2的假设下，h（S）=h（0）+h（0）S+Z（0，∞]（S）- K） +u（dK），其中u是r+的一个有限度量，定义为u（（a，b]）=h（b）- h（a）。

SinceCallKλ（t，S）≤ S、 比夫比尼定理，Pλ（t，S）=h（0）+h（0）S+Z（0，∞]CallKλ（t，S）u（dK）。CallKλ（t，S）Su产量Pλ（t，S）S=h（0）+Z（0，∞]CallKλ（t，S）Su（dK）。使用指数Lévy模型[]中看涨期权价格的傅里叶变换表示，我们得到以下等式：CallKλS（t，S）=2πZRKiu+1S-iu-2λT-t(-u） du=2πZRKiuS-iu-1λT-t(-U- i） duλtuEeiu log E（Xλ）tetψλ（u）ψλu-σuiuReiu对数（1+z）--因此，CallKλS（t，S）≤2πSZRΦλT-t(-U- （一）du和控制收敛定理yieldsS |Γλ（t，S）|≤C2πZRΦλT-t(-U- （一）du=C2πZRe（T-t） <ψλ（u）-i） 其中C=R（0，∞]|du|和<ψλ（u- i） =-σu+R{（1+x）（cos（u-log（1+x））- 1） }νλ（dx）。让我们分别研究σ>0和σ=0的情况。当σ>0时，我们直接得到<ψλ（u）- （一）≤ -σu导致|Γλ（t，S）|≤Cσp2π（T）- t） 。当σ=0时，使用（20），我们得到，S |Γλ（t，S）|≤C2πZ | u |<`/λe-c（T）-t） udu+Z | u|≥`/λe-c | u |βλ2-β（T-t） 杜！≤C2πZRe-c（T）-t） udu+ZRe-c | u |βλ2-β（T-t） 杜=~C(√T-t+λβ-1（T）-t） β），其中C是一个常数。引理7。假设σ=0，且lim inf↓0R[-r、 r]xν（dx）r2-β> 0表示某些β∈(0,2). 然后，每`>0和v∈ R、 存在c>0和c<∞ 这样对你来说∈ R<ψλ（u+iv）≤C-cu | uλ|≤ `C-c | u |βλβ-2 | uλ|≥ `.（20） 证据。