利用半静态交易进行套利、套期保值和效用最大化

另一个不同点是[18]关注的是效用最大化的主要问题，而我们将主要发现价值函数u的二元性。让我们定义（y）：=supx>0[u（x）- xy]，y>0，I:=-V=（U）-1，对于x，y>0，x（x）：={x自适应：x=x，XT=x+Φg，\'h（h，a，b，c，u）≥ 0表示某些（H、a、b、c、u）}，Y（Y）：={Y≥ 0适应：Y=Y，（（1+（H·S）t）Yt=0，这是一个P-超级马丁格尔为任何H∈ H满足1+H·S≥ 0，EPXTYT≤ xy表示任何X∈ X（X）}C（X）：={p∈ L+：p≤ 来点X∈ X（X）}，（3.5）D（y）：={q∈ L+：q≤ 来点吃的∈ Y（Y）}，（3.6），其中L+是非负P-a.s.的随机变量集。。然后我们得到了u（x）=supp∈C（x）EP[U（p）]，x>0。让我们也定义一下（y）：=infq∈D（y）EP[V（q）]，y>0。下面是效用最大化的主要结果。定理3.3（效用最大化对偶）。让SNA坚持住。然后我们有以下内容。i） u（x）<∞ 对于任何x>0，存在y>0，使得v（y）<∞ 对于任何y>y。此外，u和v是共轭的：v（y）=supx>0[u（x）- xy]，y>0和u（x）=infy>0[v（y）+xy]，x>0。此外，u在（0，∞), v在{v<∞}, 安德利姆→0+u（x）=∞ 还有limy→∞v（y）=0。ii）如果v（y）<∞, 然后存在唯一的^q（y）∈ D（y）对v（y）是最优的。iii）如果U的渐近弹性严格小于1，即AE（U）：=lim supx→∞xU（x）U（x）<1，那么我们有以下内容。a） v（y）<∞ 对于任何y>0，v在（0，∞). UAN和VAR急剧下降，且满足Mx→∞u（x）=0和limy→0+v（y）=-∞.此外| AE（u）|≤ |AE（U）|<1。b） 存在唯一的^p（x）∈ C（x）对u（x）是最优的。如果^q（y）∈ D（y）是v（y）的最佳值，其中y=u（x），然后^p（x）=I（^q（y）），和p[^p（x）^q（y）]=xy。c） 我们有u（x）=EP^p（x）U（^p（x））xv（y）=EP^q（y）V（^q（y））y.备注3.5。

我们不能用随机停止时间代替清算策略，因为这两种策略产生了非常不同的优化问题：EPU（η（φ））=EP“UTXt=0φtηt！#，如果η是清算策略，EP×λU（φγ）=EP“TXt=0U（φt）ηt#，如果η是γ的ω分布∈ T.4。定理3.1-3.3的证明定理3.1的证明。“<==”: 让Q∈ Q.然后存在εg，εh>0，这样eqg<g- εgand supτ∈TEQhτ<\'h- εh，由于T和T之间的一一对应，我们得到了任意Q的对应关系∈ Q、 supη∈TEQ[η（hi）]=supτ∈TEQhiτ，i=1，N、 参见例如[16，提案1.5]。那么很容易看出NAW.r.t.\'g- εg，h- εhholds，thusSNA成立。“==>”: 我们将分三步进行。第一步。定义：={Φ（H，a）- W：对于一些（H，a）和W∈ L+}∩ L∞,我在哪里∞是有界随机变量的集合。在这一步中，我们将证明I在弱星拓扑下是序列闭的。Let（Xn）∞n=1 I使得xn=Φ（Hn，an）- 西尼罗河*-→ 十、∈ L∞,符号“w”在哪里*-→” 表示弱星型拓扑下的收敛性。然后存在（Ym）∞m=1是（Xn）n的凸组合，因此→ X a.s.（参见[21]第35页定义3.1下关于从弱星收敛到几乎确定收敛的论证）。因为我是凸的，（Ym）m I.根据[7，定理2.2]，I在P-a.s.收敛下是闭合的。这意味着X∈ I.第2步。根据SNA，存在εg，εh>0，因此NA持有w.r.t.\'g- εgand\'h- εh.那么Na也持有w.r.t.\'g- εg/2和¨h- εh/2。定义：=nΦ？g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）- W：对于一些（H、a、b、c、u）和W∈ L+o∩ L∞.我们将证明J在弱星拓扑下是顺序闭合的。Let（Xn）∞n=1 J使得xn=Φ*g-εg，h-εh（Hn，an，bn，cn，un）- 西尼罗河*-→ 十、∈ L∞.我们考虑以下两种情况：lim infn→∞||（bn，cn）| |<∞ 和林英芬→∞||（bn，cn）| |=∞,其中| |·| |代表sup标准。案例（一）林信息→∞||（bn，cn）|∞.

在不丧失一般性的情况下，假设（bn，cn）→ （b、c）∈RM×RN。因为F是可分的，所以Lis也是可分的。然后，根据顺序Banach-Alaoglu定理，存在u=（u，…，uT）∈ TN，从而使高达一个子序列untw*-→ ut对于t=0，T因为h是有界的，所以un（h）w*-→ u（h）。那我们就有了G-\'g-εg+cnun（h）-\'h-εhW*-→ BG-\'g-εg+Cu（h）-\'h-εh.因此，Φ（Hn，an）- 西尼罗河*-→ 十、- BG-\'g-εg- Cu（h）-\'h-εh∈ L∞.然后在步骤1中，存在（H，a）和W∈ L+使得Φ（H，a）- W=X- BG-\'g-εg- Cu（h）-\'h-εh.因此，X=Φ¨g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）- W∈ J.案例（二）林信息→∞||（bn，cn）| |=∞. 在不丧失一般性的情况下，假设任意n的dn:=|| |（bn，cn）| |>0。我们得到了xndn=Φ¨g-εg，h-εhHndn，andn，bndn，cndn，un-Wndnw*-→ 0.那么在情况（i）中，存在（H、a、b、c、u）和W∈ L+，使得Φ¨g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）- W=0。此外，b，c≥ （b，c）的至少一个分量等于1。因此Φ’g-εg，h-εh（h，a，b，c，u）>0，P-a.s.，这与NA w.r.t.\'g相矛盾- εgand\'h- εh.步骤3。因为J是凸的，在弱星拓扑下是顺序闭合的，所以它是由[10，推论5.12.7]封闭的弱星。此外，因为NA持有w.r.t.\'g- εg/2和¨h- εh/2，J∩ L∞+= {0}. 然后根据[21]中定理1.1的抽象版本，如下所述：。1在同一篇论文中，存在q∈ q是绝对正的，EP[qX]≤ 任何X的0∈ J.现在通过氡-尼科德姆导数dQ/dP:=Q/EP[Q]确定测量值Q。然后可以看出，Q是一个EMM，满足Eqf=\'f，EQg≤ \'g- εg和supτ∈TEQhτ≤\'h- εh.尤其是q6=. 定理3.2的证明。我们将只证明φ的结果。ψ的情况类似，实际上更简单。让我们首先证明（3.3）。

可以看出πam（φ）≤ supη∈TinfQ∈QEQ[η（φ）]≤ infQ∈Qsupη∈TEQ[η（φ）]=infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。如果πam（φ）<infQ∈Qsupτ∈TEQφτ，然后取φ∈ 使得πam（φ）<φ<infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。（4.1）现在我们在市场中加入φ，并且我们假设φ只能在t=0时以价格“φ”购买。然后，由于φ>πam（φ），当涉及φ时（即，当市场由动态交易的s和静态交易的f、g、h、φ组成时），SNA也成立。因此，存在Q∈ Q这样的supτ∈定理3.1规定的TEQφτ<φ，这与（4.1）相矛盾。因此，我们认为（3.3）成立。类似地，我们可以证明（3.2）成立。接下来，我们证明φ的最优次套期保值策略的存在性。可以看出πam（φ）=supb∈RM+，c∈RN+supu∈TN，η∈Tsup{x:（H，a），s.t.Φ‘g，’H（H，a，b，c，u）+η（φ）≥ x} =supb∈RM+，c∈RN+supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]，其中qf:={Q是一个EMM:EQf=\'f}，我们将[7]第828页上的超边缘定理应用于第二行。我们将分三步来证明（H）的存在**, A.**, B**, C**, u**) 和η**对于（3.4）。第一步。考虑图F:RM+×RN+7→ R、 F（b，c）：=supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]。对于（b，c），（b，c）∈ RM+×RN+，|F（b，c）- F（b，c）|≤ supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]- infQ∈QfEQ[b（g- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]≤ supu∈TN，η∈TsupQ∈资历架构等式[b（g]- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]- 等式[b（g]- \'g）+c（u（h）-\'h）+η（φ）]≤ supu∈TN，η∈TsupQ∈QfEQ[|b- b | | g- \'g |+| c- c | |u（h）-“\'h |]≤ K（M+N）| |（b，c）- （b，c）| |，其中| b-b |：=（|b）-b ||bM-bM |）和类似的其他相关术语，K>0是常数，因此| | g（·）- \'g | | | | ht（·）-\'h | | |φt（·）|≤ K（t，ω）∈ {0，…，T}Ohm.因此F是连续的。第二步。现在以Q为例∈ Q Qf。

设ε：=min1≤我≤M“gi- EQgi∧ min1≤我≤N“嗨- supτ∈TEQhiτ> 0.然后是SUPB∈RM+，c∈RN+F（b，c）≥ F（0，0）≥ -K>-2K≥ sup | | |（b，c）| |>3KεF（b，c）。因此，supb∈RM+，c∈RN+F（b，c）=sup | |（b，c）||≤3KεF（b，c）。根据步骤1中F的连续性，存在（b**, C**) ∈ RM+×RN+，使得πam（φ）=supb∈RM+，c∈RN+F（b，c）=F（b）**, C**) = supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）]。第三步。任何问题∈ Qf，映射（u，η）7→ 等式[b]**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）]=EPdQdPB**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）在Baxter-Chacon拓扑下是连续的。然后是图（u，η）7→ infQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**（u（h）-在Baxter-Chacon拓扑下，\'h）+η（φ）]是上半连续的。根据[16，定理1.1]，集TN×Tis在Baxter-Chacon拓扑下是紧的。因此存在（u）**, η**) ∈ TN×T，使得πam（φ）=supu∈TN，η∈TinfQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**（u（h）-\'h）+η（φ）]=infQ∈QfEQ[b**（g）- \'g）+c**(u**（h）-\'h）+η**（φ） ]=sup{x:（H，a），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b）**, C**, u**) + η**(φ) ≥ x} ，我们将[7]中的超边缘定理应用于第三行。根据[7]中的相同定理，存在（H**, A.**) 使得Φg，h（h**, A.**, B**, C**, u**) + η**(φ) ≥ πam（φ）。定理3.3的证明。回忆一下（3.5）中定义的C（x）和（3.6）中定义的D（x），并表示C:=C（1）和D:=D（1）。通过[20]中的定理3.1和3.2，可以证明C和D具有以下性质：1）C（1）和cD（1）在测度收敛的拓扑中是凸的、实的和闭合的。序列{ηn=（ηn，…，ηnT）：n∈ N} 据说T收敛于η∈ Baxter-Chacon拓扑中的T，如果有∈ 五十、 林恩→∞EP[Yηnt]=EP[Yηnt]，t=0，也就是说，Baxter-Chacon拓扑是由弱星拓扑诱导的。

我们参考[16].2）中的p∈ L+，p∈ C<==> EP[pq]≤ 1个Q∈ D代表q∈ L+，q∈ D<==> EP[pq]≤ 1个P∈ C.3）C的概率有界，且包含恒等式函数1。很容易看出C和D是凸的和实心的，EP[pq]≤ 任何p都是1∈ C和q∈ D、 并包含函数1。我们将用三个部分来证明其余的性质。第一部分。我们将证明C在概率上是有界的。以Q为例∈ Q.然后是dQ/dP∈ D、 和Supp∈CEPdQdPp= 晚餐∈CEQp≤ 1.因此，我们有这个支持∈CP（p>C）=支持∈人物配对关系dQdPp>dQdPC= 晚餐∈CPdQdPp>dQdPC，dQdP≤√C+ PdQdPp>dQdPC，dQdP>√C≤ PdQdP≤√C+ 晚餐∈人物配对关系dQdPp>√C≤ PdQdP≤√C+√C→ 0，C→ ∞.第二部分。我们将为p展示这一点∈ L+，如果EP[pq]≤ 任何q都是1∈ D、 然后p∈ C、 作为A序列，C在测度收敛的拓扑下是封闭的。以p为例∈ L+满意EP[pq]≤ 任何q都是1∈ D.对于任何问题，都很容易看出这一点∈ Q、 过程（dQdP | Ft）t=0，这是第（1）条。因此，supQ∈QEQp=supQ∈量化宽松政策dQdPp≤ 1.由于定理3.2，存在（H，a，b，c，u）使得1+Φg，\'H（H，a，b，c，u）≥ p、 这意味着p∈ C.现在让我们（pn）∞n=1 C使pnP-→ p、 在不丧失一般性的情况下，我们假设pn→ 宾夕法尼亚州。。任何问题∈ D、 我们有那个EP[pq]≤ 林恩芬→∞EP[pnq]≤ 1.这意味着p∈ C.第三部分。我们将为q展示这一点∈ L+，如果EP[pq]≤ 任何p都是1∈ C、 然后q∈ D、 作为A序列，D在测度收敛的拓扑下是封闭的。以q为例∈ L+满意EP[pq]≤ 任何p都是1∈ C.辛塞克 {p∈ L+：p≤ 1+H·S，对于某些H∈ H} ，由[20，命题3.1]可知，存在一个非负适应过程Y=（Yt）t=0，T、 就这样≤ YT和任何H∈ H与1+H·S≥ 0，（（1+（H·S）t）Yt）t=0，这是一个P-超鞅。现在defineyt=（Yt，t=0，…，t- 1，q，t=t。然后可以证明Y=（Yt）t=0，T∈ Y（1）。因为q=YT，q∈ D

与第二部分中的论证类似，我们可以证明D在测度收敛的拓扑下是闭合的。5.模型不确定性下的套利和套期保值在本节中，我们将FTAP和次级套期保值结果扩展到非支配模型不确定性的情况。证明的主要困难在于缺乏一个主要的衡量标准。证明的主要思想是将路径空间离散化，并应用极大极小定理。理论5。1和5.2是模型不确定性情况的主要结果。本节和下一节中的符号将独立于前几节，但在没有混淆的情况下，我们将借用第3节中的一些概念。我们遵循[7]中的设置。允许Ohm 是完全可分度量空间，T∈ N成为时间的地平线。允许Ohmt:=Ohmt=1时的笛卡尔乘积，T（按惯例）Ohm是单身汉）。我们用F表示B的普遍完成(Ohmt） 。每个t∈ {0，…，T- 1} ω∈ Ohmt、 给出了一个非空凸集Pt（ω） P(Ohm) 概率测度。这里，Pt表示第t个周期的可能模型，给定时间t时的状态ω。我们假设，对于每个t，Ptis解析图确保Pt接受一个普遍可测量的选择器，即普遍可测量的核Pt：OhmT→ P(Ohmt） 使得Pt（ω）∈ 所有ω的Pt（ω）∈ Ohmt、 LetP:={P . . .  PT-1:Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} ，（5.1），其中每个PTI都是普遍可测量的Pt选择器 . . .  PT-1（A）=ZOhm. . .ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT）-1.dωT）。

P（dω），A∈ OhmT.概念S、f、g、h、\'f、\'g、\'h、T、T、h、Φg、\'h（h、a、b、c、u）、Φ（h、a）（和相关符号）与第3节中的概念类似，但此处我们要求S、h和η∈ T to be（B）(Ohmt） ）t-adapted，fand g to be B(OhmT） -可测量，τ∈ T成为A（B）(Ohmt） ）t-停止时间，H∈ H是（Ft）t自适应的，并且（3.1）中的总和对每个ω都成立∈ OhmT.我们假设g从下面有界。备注5.1。为了应用[3]中的结果，[3]中的结果基于[7]中的结果，我们要求∈ H为（Ft）t适应，而S、H和η∈ T to be（B）(Ohmt） ）t-适应，f和G为B(OhmT） -可衡量。在[7]中，由于可测量选择参数，H、S和FB选择了这种不同类型的可测量性。回想一下准绝对意义上（严格的）无套利的定义（参见[3,7]）。定义5.1。我们说NA（P）持有w.r.t.\'g和h，如果有（h，a，b，c，u），如果Φg，h（h，a，b，c，u）≥ 0个P-q.s.，然后Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）=0个P-q.s。。我们说一个属性持有P-q.s.，如果该属性持有任何P的P-a.s∈ P.我们说SNA（P）（w.r.t.\'g和\'h），如果存在εg，εh>0，那么NA（P）持有w.r.t.\'g- εgand\'h- εh.B(OhmT） -可测欧式期权ψ和B(Ohmt） t-调整美式期权φ，让美元确定次级套期保值价格，πeu（ψ）：=sup{x：（H，a，b，c，u），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b，c，u）+ψ≥ x、 P-q.s.}，和πam（φ）：=sup{x:（H，a，b，c，u）和η∈ T、 s.T.Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）+η（φ）≥ x、 P-q.s.}。对于g∈ RMandh∈ RN，定义鞅测度集（MMs）Qg，~h:={Q<< P:Q是一个MM，EQf=\'f，EQg≤ ~g，supτ∈TEQhτ≤~h}。（5.2）我们将做出以下长期假设。假设5.1。（1） setQ\'g:={Q<< P:Q是一个MM，EQf=\'f，EQg≤ \'g}是弱紧的。（2） g从下方有界，ψ有界且连续。（3） 对于k=1，N和t=1，T，hktandφtare有界且一致连续。备注5.2。

Q’gis的弱紧性在证明次对冲对偶性时使用了两次（见下一节中的（6.4）和（6.5））。特别是，在（6.4）中，为了证明supover Q’和inf在TN+1上的可交换性，我们使用了一个离散化参数，其中弱紧性保证了所需的极限性质（见引理6.1证明中的步骤3）。在[14,15]中也可以发现，相关概率测度集的弱紧性在极限论元中起着关键作用。在（6.5）中，我们直接应用了极大极小定理，该定理要求Q’g的弱紧性。我们想到的是一个树/晶格模型，其中节点的位置未知，但被认为位于一定的间隔内。（这是波动不确定性的离散时间版本。）事实上，在这些树模型中，假设股票价格是有界的，并且具有“有界波动率”的鞅测度集是弱紧的，这是很自然的。总的来说，当S是标准过程时，Q’gis被鞅性质所紧。因此，我们的假设实际上只是弱封闭性。例5.1。如果P是紧集上的概率测度集Ohm  RT，S是√上的规范过程Ohm, f是连续的，g是下半连续的，然后Q是弱紧的。在这种情况下，我们采用了独立于模型的设置，参见示例[1]。也就是说，在路径空间内，每种情况都是可能的Ohm. 请注意，本案中的套利概念与[1]中的不同。我们说Q<< P、 如果P∈ P、 这样Q P例5.2。与[1]类似，具有超线性增长条件的欧式期权（w.r.t.股票）的存在可能会使Q＠g变得更具体，让Ohm 是一个Banach空间，P是该空间的闭子集上的概率测度集OhmT.让g：Ohm 7.→ R为下半连续满足lim inf | |α||→∞g（α）| |α||∈ (0, ∞].

（5.3）我们假设其中一个欧式选项g的形式为g，即对于某些t，g（ω）=g（ωt）∈ {1，…，T}。假设l=1，d、 t=1，T，i=1，五十、 j=2，M、 sltandfia是连续的，gjis是下半连续的，lim | |ω||→∞Slt（ω）γ（ω）=lim | |ω||→∞fi（ω）γ（ω）=lim | |ω||→∞gj（ω）-γ（ω）=0，（5.4），其中γ（ω）：=PTt=1g（ωt），和gj-是gj的消极部分。使用一个类似于[1]第9页定理1.3的论点，我们可以证明Q¨gis弱紧。事实上，（5.3）意味着Q’gis紧，因此是预紧的，（5.4）是当| |ω| |时S，f，g的一些有界条件→ ∞, 这使我们能够应用弱收敛性的性质来显示Q’g的封闭性。下面是模型不确定性下次级套期保值和FTAP的主要结果。定理5.1（次级对冲）。假设SNA（P）在只涉及S、f和g时成立。在假设5.1下，我们得到πeu（ψ）=infQ∈Q\'g，\'hEQψ和πam（φ）=infQ∈Q\'g，\'hsupτ∈TEQφτ，（5.5）式中，如果Q\'g，\'h=, 那么πeu（ψ）=πam（φ）=∞. 此外，如果Q’g，’h6=, 还有Qeu，Qam∈Q\'g，\'hsuchπeu（ψ）=EQeuψ和πam（φ）=supτ∈特卡姆φτ。定理5.2（FTAP）。让假设5.1保持不变。那么SNA（P）成立，当且仅当存在g∈ RMandh∈ Rn与 g<\'g和 h<\'h一起，使得对于任何P∈ P、 存在Q∈ Qg，~H主导P。备注5.4。如果SNA（P）成立，那么当仅涉及S、f和g时，SNA（P）也成立，且Q’g，’h6= 根据定理5.2.6。定理5.1和5.2的证明。设R是一个凸的、弱紧的概率测度集(OhmT、 B(OhmT） ）。假设5.1（3）暂停。然后是SUPuk∈Tk=1，NinfR∈RER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#。（6.1）此外，对于uk，上述第三项中的最大值已达到∈ T、 uk（hk）可能不是（半）连续的。