利用半静态交易进行套利、套期保值和效用最大化

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英文标题：
《Arbitrage, hedging and utility maximization using semi-static trading
  strategies with American options》
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作者：
Erhan Bayraktar and Zhou Zhou
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider a financial market where stocks are available for dynamic trading, and European and American options are available for static trading (semi-static trading strategies). We assume that the American options are infinitely divisible, and can only be bought but not sold. In the first part of the paper, we work within the framework without model ambiguity. We first get the fundamental theorem of asset pricing (FTAP). Using the FTAP, we get the dualities for the hedging prices of European and American options. Based on the hedging dualities, we also get the duality for the utility maximization. In the second part of the paper, we consider the market which admits non-dominated model uncertainty. We first establish the hedging result, and then using the hedging duality we further get the FTAP. Due to the technical difficulty stemming from the non-dominancy of the probability measure set, we use a discretization technique and apply the minimax theorem.
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中文摘要：
我们考虑一个金融市场，股票可用于动态交易，欧洲和美国期权可用于静态交易（半静态交易策略）。我们假设美式期权是无限可分的，只能买不能卖。在本文的第一部分，我们在没有模型歧义的框架内工作。我们首先得到了资产定价的基本定理（FTAP）。利用FTAP，我们得到了欧洲和美国期权套期保值价格的二重性。基于套期保值的对偶性，我们也得到了效用最大化的对偶性。在本文的第二部分，我们考虑了允许非支配模型不确定性的市场。我们首先建立套期保值结果，然后利用套期保值对偶进一步得到FTAP。由于概率测度集的非支配性导致了技术上的困难，我们使用了离散化技术并应用了极大极小定理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Arbitrage,_hedging_and_utility_maximization_using_semi-static_trading_strategies.pdf (520.8 KB)

2022-5-7 16:06:26 上传

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关键词：效用最大化 套期保值 最大化 maximization Mathematical

套利、套期保值和效用最大化，使用美国期权公司Erhan BAYRAKTAR和ZHOU Abstract的半静态交易策略。我们考虑一个金融市场，股票可用于动态交易，欧洲和美国期权可用于静态交易（半静态交易策略）。我们假设美式期权是完全可分割的，只能买不能卖。在本文的第一部分，我们在没有模型模糊的框架内工作。我们建立了资产定价（FTAP）的基本定理。利用FTAP，我们得到了欧式和美式期权套期保值价格的二重性。基于套期保值的对偶性，我们也得到了效用最大化的对偶性。在本文的第二部分，我们考虑了允许非支配模型不确定性的市场。我们首先建立套期保值结果，然后利用套期保值二元性进一步得到FTAP。由于概率测度集的非支配性导致了技术上的困难，我们使用了离散化技术并应用了极小极大定理。1.引言套利、套期保值和效用最大化问题在金融数学领域得到了广泛研究。我们参考[9,13]及其参考文献。最近，人们在这三个主题上做了大量工作，其中股票是动态交易的，（欧式）期权是静态交易的（半静态策略，参见[12]）。例如，[1,6,7,12]分析了无模型或模型不确定性设置中的套利和/或超级对冲，[19]研究了给定模型下障碍期权的最优对冲，[22]研究了给定模型中的效用最大化。

值得注意的是，大多数与半静态策略相关的文献仅将欧式期权视为流动期权，只有少数文献将美式期权纳入静态交易。特别是，[8]研究了市场的完整性（在某些Lsense中），其中所有执行价格的美式看跌期权都可用于半静态交易，[11]研究了欧洲和美国看跌期权价格函数的无套利条件。在本文中，我们考虑一个离散时间的金融市场，包括股票，（路径依赖）欧洲期权和（路径依赖）美国期权（我们也将其称为对冲期权），其中股票是动态交易的，欧洲和美国期权是按时交易的。我们假设美式期权是完全可分的（也就是说，我们可以把每个日期都分解为：2018年8月15日。关键词和短语。资产定价的基本定理，对冲对偶性，效用最大化，半静态交易策略，美式期权。这项研究部分得到了国家科学基金会的支持，授权DMS-0955463。将美式期权分成若干部分，并分别行使每一部分），我们只能购买但不能出售美式期权。在本文的第一部分，我们考虑了没有模型模糊性的市场。在严格无套利的概念下，我们得到了资产定价的基本定理（FTAP），它比通常意义上的无套利略强。然后通过FTAP结果，我们进一步得到了欧式和美式期权的次级套期保值价格的二重性。利用对偶结果，我们研究了效用最大化问题，得到了价值函数的对偶性。在论文的第二部分中，我们在模型不确定性的框架下工作。

我们利用极大极小定理证明了欧式和美式期权的次套期保值结果。从次级套期保值的二重性，我们进一步得到了FTAP的结果。由于鞅测度集的非支配性，或美式期权支付的不连续性，我们不能在证明的某些步骤中直接应用极大极小定理。为了克服这些技术难题，我们首先对路径空间进行离散化，然后在离散化空间中应用极大极小定理，最后取一个极限。这部分的一个关键假设是具有分布约束的鞅测度集的弱紧性。如果我们考虑紧空间上的所有物理测度，或者如果流动的欧式期权可以压缩鞅测度集（参见[1,6]），那么这个假设就满足了。与股票和欧洲期权一样，假设美式期权具有无限可分性是至关重要的。从财务角度来看，通常情况下，如果我们将一个单位的美式期权分成几部分，并分别行使每一部分，我们可以做得更好。在第2节中，我们提供了一个激励性的例子，在没有美式期权的可分性假设的情况下，无套利条件成立，但没有等价鞅测度（EMM）来正确定价对冲期权。此外，我们在这个例子中看到，欧式期权的超边际价格不等于所有正确定价对冲期权的EMM预期的上限。

在数学上，有限可分性导致一些相关随机变量集的凸性和封闭性，这使我们能够应用分离超平面参数，在没有模型模糊的情况下，获得正确定价期权的EMM的存在性，或者在模型不确定的情况下，应用极小极大定理，获得次套期保值对偶性。论文的其余部分组织如下。在下一节中，我们将提供一个激励示例。在第3节中，我们将介绍在没有模型模糊性的情况下，FTAP、次级套期保值和效用最大化对偶的设置和主要结果。我们在第4节给出了这些结果的证明。在第5节中，我们陈述了当市场允许非支配模型不确定性时的FTAP和次级套期保值结果。最后，在第6节中，我们展示了FTAP和次级套期保值结果的模型不确定性版本的证明。2.一个激励性的例子在本节中，我们将看一个使用股票期权和美式期权的欧式期权超级套期保值的例子。这个例子将促使我们考虑美国选项的可分割性。图1图2考虑上图1给出的一个简单模型。股票价格S=（St）t=0,1,2，美国期权h=（ht）t=0,1,2的支付，以及欧洲期权ψ的支付分别由圆圈中的数字、带直角的正方形和带圆角的正方形表示。让(Ohm, B(Ohm)) 是图1所示的路径空间，让（Ft）t=0,1,2是由s生成的过滤。设P是一个概率测度，在Ohm. 因此，任何EMM都可以用图1所示的0<p，q<1/2的配对（p，q）来表征。我们假设美式期权h只能在t=0时购买，价格为“h=0”。

为了避免涉及股票S和美国期权h的套利，我们预计setQ：=Q是EMM:supτ∈TEQhτ≤ 0不为空，其中T表示停止时间集。同样地，为了避免套利，setA：=（p，q）∈0,×0,:[（3p）∨ 1] +[（10q）- 3) ∨ (-2)]∨ (-1) ≤ 0应该是非空的。在上面的图2中，A由阴影区域表示，这表明A 6=.现在考虑使用半静态交易策略的欧式期权ψ的超级套期保值价格π（ψ）。也就是说，π（ψ）：=inf{x:（H，c，τ）∈ H×R+×T，s.T.x+H·s+chτ≥ ψ、 P- a、 其中H是适应过程的集合，H·s=Pt=0Ht（St+1）- 圣彼得堡）。我们可以预期，超级对冲对偶性将由‘（ψ）=supQ给出∈QEQψ。通过计算，supQ∈QEQψ=sup（p，q）∈A.p+5q-=p+5q-(,)= 0.另一方面，可以证明¨π（ψ）=infτ∈Tinfc∈R+inf{x:H∈ H、 s.t.x+H·s≥ ψ - chτ}=infτ∈Tinfc∈R+supQ∈MEQ[ψ- chτ]=，其中M是EMM的集合。在这里，我们对第二行使用超级套期保值的经典结果，第三行的值可以用蛮力计算，因为我们只有五个停止时间。因此，超级套期保值价格严格大于超级套期保值价格∈ Q、 也就是说，π（ψ）>supQ∈QEQψ。因此，如果我们将ψ加入市场，并假设我们只能以t=0的价格出售ψ，价格ψ=1/16（>0=supQ）∈QEQψ），那么市场将不允许套利，但不存在Q∈ Q、 使得EQ[ψ]≥ ψ.然而，观察ψ=（hτ+h），其中τ=（1，S=6,2，S=2。这表明，如果我们假设h是可整除的，也就是说，我们可以将一个单位的h分成几部分，并分别行使每一部分，那么我们可以证明ψ的超级套期保值价格为pq∈QEQψ=0。现在，如果我们在市场中加入ψ，销售价格ψ<0，那么我们可以找到q∈ Q、 使得等式ψ>ψ3。

在本节中，我们首先描述了财务模型的设置（无模型不确定性）。特别是，正如上一节中的例子所建议的，我们将假定美国选项是可分割的。然后我们将提供主要结果，包括FTAP的定理3.1，次级套期保值的定理3.2，以及效用最大化的定理3.3。3.1. 设置。让(Ohm, F、 （Ft）t=0,1，T、 P）是一个过滤概率空间，其中F被假定为可分离的，T∈ N表示离散时间内的时间范围。设S=（St）t=0，这是一个以代表股票价格过程的RDR值为单位的自适应过程。让fi，gj：Ohm 7.→ Rbe FT可测量，代表欧洲期权的收益，i=1，L和j=1，M.我们假设我们可以在t=0时以价格¨fi购买和出售每个菲亚特，我们只能购买，但不能购买，例如，当τ=（2，S=6,1，S=2，然后infc∈R+supQ∈MEQ[ψ- chτ]=infc≥0sup0<p，q<-Cp+5q-+ C=在t=0时，以“gj”的价格出售每个gj。设hk=（hkt）t=0，t这是一个经过调整的过程，代表美式期权的支付过程，k=1，N.我们假设我们只能在t=0时以“hk”的价格购买但不能出售每个hk。表示f=（f，…，fL）和‘f=（’f，…，’fL），同样表示g、’g、h和‘h。为简单起见，我们假设g和h是有界的。备注3.1。在这里，g可以代表欧洲期权，其交易以买卖价差报价。这不失一般性，因为对于任何具有买入价g和卖出价g的欧式期权g，我们可以将该期权视为两个欧式期权g=-g和g=g，只能按价格购买-分别为g和g。至于美式期权h，我们限制自己只购买h。这是因为如果我们出售美式期权，我们将面临不知道何时行使美式期权的风险。

此外，如果出售美式期权，我们需要考虑非预期交易策略，问题将变得更加复杂（参见[2,4,5]）。定义3.1。一个适应的过程η=（ηt）t=0，据说这是一种清算策略，如果ηt≥ 对于t=0，T和TXT=1ηT=1，P-a.s。。（3.1）将T表示为所有清算策略的集合。备注3.2。让我们也提到随机停止时间的相关概念，它是扩大概率空间上的arandom变量γ(Ohm ×[0,1]，FB、 P×λ），使得{γ=t}∈英尺对于t=0，T，其中B是[0,1]上的Borel-sigma代数，λ是Lebesgue测度。设t为一组随机停止时间。γ∈ T、 其ω-分布ξ=（ξT）T=0，由ξt（·）=λ{v:γ（·，v）=t}，t=0，T、 是T中的一个成员。T和T之间有一对一的对应关系（直到递增的重新排列）。我们参考[16]了解这些事实。尽管存在一对一的对应关系，清算策略和随机停止时间的路径却截然不同。随机停止时间是一种策略，它通过抛硬币来决定使用哪种停止时间（因此整个单位只清算一次），而清算策略是一种练习流程（因此整个单位的不同部分在不同时间清算）。由于这种差异，如果我们用随机停止时间取代清算策略，定理3.1（FTAP）、定理3.2（对冲对偶性）和定理3.3（效用最大化对偶性）将不成立。（对于随机停止时间，仍然可以考虑FTAP和大概率空间上的套期保值，结果会有所不同。）例如，在上一节的例子中，与清算策略不同，我们不能仅仅使用h通过任何随机停止时间来超级对冲ψ（在放大概率空间上）。

有关效用最大化案例的更多解释，请参见备注3.5。每η∈ T和美式期权hk，使用清算策略η表示η（hk）为hk的支付。也就是说，η（hk）=TXt=0hktηt，表示u=（u，…，uN）∈ TN，表示u（h）=（u（h），uN（hN））。设H为代表股票动态交易策略的适应过程集。设（H·S）t:=PT-1t=0Ht（St+1-St），并表示H·S代表（H·S）t或简称。对于半静态交易策略（H、a、b、c、u）∈ H×RL×RM+×RN+×TN，从初始财富0开始的投资组合的终值由Φ’g，’H（H，a，b，c，u）：=H·S+a（f）给出-\'f）+b（g）- \'g）+c（u（h）-其中f-\'f:=（f）-“f，…”，佛罗里达州-\'fL），af代表a和f的内积，与其他相关术语类似。对于（H，a）∈ H×RLwe还应使用符号Φ（H，a）：=H·S+a（f-简而言之。从现在开始，当我们写出（H，a，b，c，u）等五元组时，除非我们特别指出，否则它们默认为H×RL×RM+×RN+×tn，对于（H，a）也是如此。资产定价的基本定理。定义3.2。我们说无套利（NA）持有w.r.t.\'g和\'h，如果有（h，a，b，c，u），Φg，Φh（h，a，b，c，u）≥ 每年0美元==> Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）=0 P-a.s。。如果存在εg，我们说严格无套利（SNA）成立∈ (0, ∞)Mandεh∈ (0, ∞)N（从现在起，我们将使用εg，简称εh>0），这样NA保持w.r.t.\'g- εgand\'h- εh.defineq:={Q是一个EMM:EQf=\'f，EQg<\'g，supτ∈TEQhτ<\'h}，其中T是停止时间的集合，supτ∈TEQhτ：=（supτ）∈TEQhτ，supτ∈TEQhNτ），以及上述的预期和等式/不等式是从组件的角度理解的。定理3.1（FTAP）。SNA<==> 问题6=.3.3. 次级对冲。设ψ：Ohm 7.→ R是可测量的，代表欧洲期权的收益。设φ=（φt）t=0，这是一个适应的过程，代表了美国选择的支付过程。

为了简单起见，我们假设ψ和φ是有界的。定义ψπeu（ψ）的次级套期保值价格：=sup{x:（H，a，b，c，u），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b，c，u）+ψ≥ x} ，以及φπam（φ）：=sup{x:（H，a，b，c，u）和η∈ T、 s.T.Φ\'g，\'h（h，a，b，c，u）+η（φ）≥ x} 。定理3.2（次级对冲）。让SNA坚持住。那么πeu（ψ）=infQ∈QEQψ，（3.2）和πam（φ）=infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。（3.3）此外，存在（H*, A.*, B*, C*, u*) 使得Φg，h（h*, A.*, B*, C*, u*) + ψ ≥ πeu（ψ），并且存在（H）**, A.**, B**, C**, u**) 和η**∈ T使得Φg，h（h**, A.**, B**, C**, u**) + η**(φ) ≥ πam（φ）。（3.4）备注3.3。事实上，从定理3.2的证明中，我们得到了πam（φ）=supη∈TinfQ∈QEQ[η（φ）]=infQ∈Qsupη∈TEQ[η（φ）]=infQ∈Qsupτ∈TEQφτ。然而，二元性（3.3）中“sup”和“inf”的顺序不能互换。也就是说，有可能∈Qsupτ∈TEQφτ>supτ∈TinfQ∈QEQφτ。我们参考[2，示例2.1]了解此类示例。事实上，如果φ是不可除的，并且只有S和f用于套期保值，则上面右边是φ的分边价格（即使存在模型不确定性）。关于这一点，我们参考[2，定理2.1]。3.4. 效用最大化。让我们：（0，∞) 7.→ R是一个效用函数，它是严格递增的，严格凹的，连续可微的，并且满足Inada条件极限→0+U（x）=∞ 还有limx→∞U（x）=0。考虑效用最大化问题u（x）：=sup（H，a，b，c，u）∈A（x）EP[U（Φg，\'h（h，A，b，c，u））]，x>0，其中（x）：={（h，A，b，c，u）：x+Φg，\'h（h，A，b，c，u）>0，P-A.s.，x>0。备注3.4。[18] 还研究了效用最大化问题，该问题涉及给定数量的可完全分割美式期权的清算。与[18]中的问题不同，这里我们还将股票和欧洲期权合并，我们需要决定在t=0时需要购买多少美国期权。