利用半静态交易进行套利、套期保值和效用最大化

因此，我们不能直接应用（6.1）中第一个等式的极小极大定理。为了克服uk（hk）的不连续性和R的非支配性带来的困难，我们将离散化Ohm先吃，然后吃。为此，对于n=1，2，让我∈N B(Ohm) 是一个可数的分区Ohm, 使每个A的直径小于1/n。取αni∈ 阿尼弗∈ N、 并定义映射θN：Ohm 7.→ Ohm,θn（β）=αnjifβ∈ 对于一些j.让ξn：OhmT7→ OhmT、 使得ξn（ω）的每个分量由（ξn（ω））T=θn（ωT），T=1，T、 ω=（ω，…，ωT）∈ OhmT.（那么ξnca也可以被视为an（B）(Ohmt） ）t-适应过程）LetRn:={Ro （ξn）-1:R∈ R} 。我们将分四个步骤来展示（6.1）。第一步。我们展示给大家看→∞超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#≤ 超级微克∈Tk=1，NinfR∈RER“NXk=1uk（hk）#（6.2）固定ε>0。让（un，…，uNn）∈ 是这样吗∈RnER“NXk=1ukn（香港）#≥ 超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#- ε.通过（ukn）t=（ukn）t来定义（un，…，uNn）o ξn，对于t=0，T和k=1，N.那么就很容易看出（μuN，…，μNn）∈ 对于任何∈ R、 设~Rn:=~Ro （ξn）-1.∈ 注册护士。因此，NXk=1ukn（hk）#=E ~R“NXk=1TXt=0（（ukn）to ξn）（香港电讯o ξn）#=E＠R“NXk=1TXt=0（＠ukn）t（hkto ξn）#。因此E/Rn“NXk=1ukn（hk）#- E~R“NXk=1ukn（hk）#≤ E/R“NXk=1TXt=0（yenukn）t（香港时间）o ξ) - 香港电讯#≤ Nρ（1/N），其中ρ是h的连续模量，即t=1，T和k=1，Nhkt（ω）- hkt（ω）≤ ρmaxs=1，t |ωs- ωs|, ωi=（ωi，…，ωiT）∈ OhmT、 i=1,2。因此，我们有这个supuk∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#- ε ≤ infR∈RnER“NXk=1ukn（香港）#≤ E/Rn“NXk=1ukn（hk）#≤ ER“NXk=1ukn（hk）#+Nρ（1/N）∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#- ε ≤ infR∈RER“NXk=1ukn（hk）#+Nρ（1/N）。在上面两侧取limsup，然后发送ε&0，我们有（6.2）个保持。步骤2.我们显示supuk∈Tk=1，。。。

，NinfR∈RnER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rnsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#。由于（ξn）的域是可数的，因此存在一个概率测度R*关于支配Rn的（ξn）的域。然后我们就有了这个supuk∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（hk）#=supuk∈Tk=1，NinfR∈内尔*“博士*NXk=1uk（hk）#=infR∈Rnsupuk∈Tk=1，内尔*“博士*NXk=1uk（hk）#=infR∈Rnsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#，其中我们对第二个等式应用极小极大定理（参见[23，推论2]），并使用T是紧的事实和映射：（u，…，uN）7→ 急诊室*“博士*NXk=1uk（hk）#在Baxter-Chacon拓扑下是连续的（例如，参见[16]）w.r.t.r*.第三步。我们展示了∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#≤ 林恩芬→∞infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#（6.3）通过提取下限的子序列，我们在不丧失一般性的情况下，假设序列∈Rnsupτk∈Tk=1，NERhPNk=1hkτki）收敛。固定ε>0。以Rn为例∈ Rn这样的supτk∈Tk=1，NERn“NXk=1hkτk#≤ infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#+ε.Let)Rn∈ R应使Rn=~Rno（ξn）-1.由于R是弱紧的，所以存在R∈ R使其达到一个子序列Rnw-→~R.然后对于任何有界一致连续函数f∈ B(OhmT） ,，恩夫- 电子射频≤恩夫- E~Rnf+E~Rnf- 电子射频=E~Rn（f）o ξn）- E~Rnf+E~Rnf- 电子射频≤ ERn |（f）o ξn）- f |+E~Rnf- 电子射频≤ ρf（1/n）+E~Rnf- 电子射频→ 0，n→ ∞,式中，ρfis是f的连续模。因此，Rnw-→自mapR 7以来→ supτk∈TERhhkτKi在弱拓扑下是下半连续的（参见[17，定理1.1]），mapR 7→NXk=1supτk∈TERhhkτki=supτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#也是下半连续的→∞infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#+ε≥ 林恩芬→∞supτk∈Tk=1，NERn“NXk=1hkτk#≥ supτk∈Tk=1，NXk=1hkτk#≥ infR∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#。让ε&0，我们得到（6.3）保持。步骤4。通过步骤1-3，我们得到了supuk∈Tk=1，。。。

，NinfR∈RER“NXk=1uk（香港）#≤ infR∈Rsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#=infR∈Rsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#≤ 林恩芬→∞infR∈Rnsupτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#=lim infn→∞infR∈Rnsupuk∈Tk=1，NER“NXk=1uk（hk）#=lim infn→∞超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#≤ 林尚→∞超级微克∈Tk=1，NinfR∈RnER“NXk=1uk（香港）#≤ 超级微克∈Tk=1，NinfR∈RER“NXk=1uk（hk）#，其中第二个和第四个（in）等式来自[16，命题1.5]。因此，（6.1）如下。最后，由于mapR 7→ supτk∈Tk=1，NER“NXk=1hkτk#是下半连续的，R是弱紧的，存在R*∈ R达到（6.1）中第三学期的数量。定理5.1的证明。我们只会证明美式期权φ的结论（欧洲期权ψ的情况类似，实际上稍微容易一些）。我们有πam（φ）=supc∈RN+supu∈TN，η∈Tsup{x∈ R:（H，a，b），s.t.Φ\'g，\'H（H，a，b，c，u）+η（φ）≥ x、 P-q.s.}=supc∈RN+supu∈TN，η∈TinfQ∈Q’gEQc（u（h）-\'h）+η（φ）= supc∈RN+infQ∈Q’gsupτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#，（6.4），其中我们将[3，定理2.1（b）]应用于第二等式，引理6.1应用于第三等式。（请注意，这就是我们使用SNA（P）的假设，即当仅涉及S、f和g时，SNA（P）成立。）现在是MAPC7→ supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#是线性的，mapQ 7→ supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#，是下半连续的（见引理6.1证明中的步骤3）和凸的。由于Q’g的弱紧性，我们可以将极大极小定理（参见[23，推论2]）应用于（6.4），并得到πam（φ）=infQ∈Q’gsupc∈RN+supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-“hk）+φτ#（6.5）=infQ∈Q\'g，\'hsupc∈RN+supτ∈T，τk∈Tk=1，NEQ“NXk=1ck（hkτk-\'hk）+φτ#=infQ∈Q\'g，\'hsupτ∈TEQ[φτ]。最后，我们得到了Q’g，他的弱紧性，这意味着定理5.1的最后一个陈述。

的确，对于（Qn）n∈N Q\'g，\'h 由于假设5.1（1）的弱紧性，存在Q∈ Q’gand（Qni）i∈N （Qn）n∈N、 这样Qniw-→ Q.根据假设5.1（3）和。g、 [17，定理1.1]，地图R7→ supτ∈特hkτ对于k=1，…，是下半连续的，N.因此，EQhhkτi≤ 林英菲→∞EQnihhkτi≤香港，k=1，因此，Q∈ Q\'g，\'h。定理5.2的证明。效率。假设存在<<g<\'g和<<h<\'h，这样对于anyP∈ P、 存在Q∈ Qg，~H主导P。然后很容易证明NA（P）持有w.r.t.~gand ~h，因此SNA（P）持有。必然性我们将通过对液体美式期权N的归纳来证明这一点。当n=0时，结果来自[3，定理2.1（a）]。现在假设N=N的结果成立-1.∈ 让我们考虑N=N代表k∈ {n- 1，n}表示NAk、SNAk、πk（·）和Qk·，作为（5.2）中定义的关于S、f、g和h的NA、SNA、分边价格和鞅测度集，分别是香港。根据SNAn（P），存在^hn<\'hn，因此NAn（P）持有w.r.t.\'g和（\'h，\'hn）-1，^hn）。因此πn-1（hn）≤^hn，否则，人们会通过支付^hn购买一个单位的hn并获得（πn）来创造套利-1（hn）+^hn）/2通过某种交易策略。正如斯南（P）所说，可以看出斯南-1（P）也适用。因此，通过归纳假设以及定理5.1和注释5.4，我们得到了πn-1（hn）=infQ∈Qn-1克，（\'h，\'hn）-1） supτ∈TEQ[hnτ]≤^hn</hn。（6.6）此外，存在g*∈ 曼纳德·h*∈ 注册护士-1G*< \'g和h*< （\'h，\'hn-1） ，因此对于任何P∈ P、 存在Q∈ Qn-1克*,H*占主导地位的P。根据假设5.1（3），存在C>0，使得|hnt |<C表示t=0，T选择λ∈ （0，1）使得/hn:=λC+（1）- λ） ^hn+\'hn<\'hn。现在让∧g:=λg*+ (1 - λ） \'g，和<<h:=（λh*+ (1 - λ） “h，…”，λhn-1.*+ (1 - λ） “嗯-1、~hn）。让P∈ P.我们将证明存在一些Q∈ Qng，~h主导P。

的确，以Q为例*∈ Qn-1克*,~h*占主导地位的P。根据（6.6），存在^Q∈ Qn-1克，（\'h，\'hn）-1） ，比如supτ∈TE^Q[hnτ]<hn+hn。LetQλ：=λQ*+ (1 - λ） ^Q 显然，Qλ<< P、 Qλ是MM，等式λf=\'f，等式λg≤ ~g和supτ∈TEQλ[hkτ]≤~HKK=1，N- 1.此外，supτ∈TEQλ[hnτ]=supτ∈TλEQ*[hnτ]+（1）- λ） E^Q[hnτ]≤ λC+（1）- λ） supτ∈TE^Q[hnτ]≤嗯。这意味着Qλ∈ Qn~g，~h。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner和W.Schachermayer，资产定价基本原理和超级复制定理的无模型版本（2013年）。出现在数学金融领域。可获得的arXiv:1301.5568。[2] E.Bayraktar，Y.-J.Huang和Z.Zhou，关于模型不确定性下的美国期权套期保值，金融数学杂志，6（2015），第425-447页。[3] E.Bayraktar，Y.Zhang和Z.Zhou，关于模型不确定性下资产定价基本定理的注记，风险，2（2014），第425-433页。[4] E.Bayraktar和Z.Zhou，在连续时间的停止游戏中，出现在theAMS的会议记录中。也可在2014年的ArXiv上获得。[5] E.Bayraktar和Z.Zhou，《关于零和最优停止博弈》（2014）。预印本，arXiv:1408.3692。[6] M.Beiglb¨ock，P.Henry Labord\'ere和F.Penkner，《期权价格的模型独立界限——大众运输方法》，金融与随机，17（2013），第477-501页。[7] B.Bouchard和M.Nutz，《非支配离散时间模型中的套利和对偶》，人工神经网络。阿普尔。Probab。，25（2015），第823-859页。[8] L.Campi，《关于美国看跌期权市场完整性的说明》，摘自《金融的启发》，湛江斯普林格，2014年，第73-82页。[9] R.Cont，《定量金融百科全书》。4卷。，新泽西州霍博肯：约翰·威利父子公司，2010年。[10] J.B.Conway，函数分析课程，数学研究生教材第96卷，Springer Verlag，纽约，第二版，1990年。[11] A.M.G.考克斯和C。

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