准平稳系统动力学：以金融为例

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英文标题：
《Dynamics of quasi-stationary systems: Finance as an example》
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作者：
Philip Rinn, Yuriy Stepanov, Joachim Peinke, Thomas Guhr and Rudi
  Sch\\\"afer
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We propose a combination of cluster analysis and stochastic process analysis to characterize high-dimensional complex dynamical systems by few dominating variables. As an example, stock market data are analyzed for which the dynamical stability as well as transitions between different stable states are found. This combined method also allows to set up new criteria for merging clusters to simplify the complexity of the system. The low-dimensional approach allows to recover the high-dimensional fixed points of the system by means of an optimization procedure.
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中文摘要：
我们提出了一种聚类分析和随机过程分析相结合的方法，用较少的控制变量来描述高维复杂动力系统。作为一个例子，对股票市场数据进行分析，发现其动态稳定性以及不同稳定状态之间的转换。这种组合方法还允许为合并集群设置新的标准，以简化系统的复杂性。低维方法允许通过优化程序恢复系统的高维不动点。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Dynamics_of_quasi-stationary_systems:_Finance_as_an_example.pdf (526.02 KB)

2022-5-7 18:32:33 上传

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关键词：系统动力学 动力学 Econophysics Quantitative Optimization

准平稳系统动力学：以金融为例Philip Rinn，*尤里·斯捷潘诺夫、约阿希姆·佩因克、托马斯·古尔、鲁迪·沙菲林特物理与福温研究所、卡尔·冯·奥塞茨基大学奥尔登堡分校、德国杜伊斯堡-埃森大学物理学院、德国杜伊斯堡我们提出了一种聚类分析和随机过程分析相结合的方法，用很少的主导变量来描述高维复杂动力系统。作为一个例子，对股票市场数据进行了分析，发现其动态稳定性以及不同稳定状态之间的转换。这种组合方法还允许为合并集群设置新的标准，以简化系统的复杂性。低维方法允许通过优化程序恢复系统的高维固定点。PACS编号：89.75-k、 05:45-a、 02.50。复杂系统，非线性动力学和混沌，随机分析。引言对于由许多相互作用的子系统组成的复杂动力系统来说，将高维性降低到几个表征系统的主要变量是一个普遍的挑战。聚类分析是根据元素的相似性对其进行分组的方法。然而，由于不同的算法可能导致不同的聚类[2,9]，因此存在歧义。复杂系统的动力学行为可以通过自组织来降低其复杂性。在这里，高维动力学产生了一些阶数参数，这些阶数参数在强烈波动的背景下缓慢演化[5]。借助随机方法，可以显示这种简单的动力学，并直接从数据中估计朗之万方程，即数据被分析为带有漂移和扩散项的随机过程[3]。我们表明，聚类分析和随机方法可以有效地结合起来。

聚类分析的目的不是掌握动态效应。通过将其与随机方法相结合，我们可以得到改进的动态聚类分类。此外，我们还将复杂系统的动力学簇特征提取为新兴簇和消失簇。Hutt等人[8]提出了检测时空信号中固定点的相关想法。在这里，我们重点关注金融数据，使用聚类分析在相关结构中识别准平稳市场状态[13]。在进行综合分析之前，我们简要概述了这些发现。二、市场状态：聚类我们研究了1992年至2012年期间标准普尔500指数股票的每日收盘价Sk（t）[19]，总计5189个交易日。仅考虑整个期间连续交易的306只股票。*电子地址：菲利普。rinn@uni-奥尔登堡。deWe计算相对价格变化，即回报率Rk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t），（1）对于时间范围内的每个股票k一个交易日的交易时间（td）。为了避免因时间变化趋势和波动而产生的估计偏差，我们在估计其相关性之前对收益进行局部归一化[15]。我们用rk（t）表示局部标准化收益。Wet然后计算皮尔逊相关系数cientsij=hrirji- 这里是。。。我表示42个交易日的平均值。通过在时间序列中以一个交易日的步长移动计算窗口，我们获得每个时间t的相关矩阵C（t）。根据全球行业分类标准（GICS）[1]，所有被考虑的公司均按十个行业分类。为了减少估计噪声，我们对每个扇区内以及不同扇区之间的相关系数进行平均，得到10×10矩阵。虽然这个扇形平均矩阵是对称的，但它的对角线并不平凡。

因此，它包含SD=（10+10）/2=55个独立条目。十字线是用实数d维欧几里得空间Rd中的一个元素来识别每个平均相关矩阵，以便计算任意两个相关矩阵之间的相似性，即距离。在本文中，所有的距离都是用欧几里德标准度量的，我们用k表示。。。k、 作为下一步，我们使用对分k-均值聚类算法[17]。在聚类过程开始时，所有相关矩阵被视为一个聚类，然后使用k=2的k-均值算法将其划分为两个子聚类。重复此分离过程，直到每个簇的大小（根据簇成员到簇中心的平均距离）小于给定阈值。我们选择平均距离小于1.564，以实现参考文献[13]中的8个簇。如果相应的相关矩阵位于第i个簇中，则称市场在时间t处于市场状态i。图1（a）显示了相应的聚类树。图1（b）描述了金融市场的时间演变。随着时间的推移，新的集群形成，现有集群消失。虽然前1000个交易日由状态1主导，并且只有偶尔跳到状态3，但我们观察到，在最近的时间里，跳得更频繁，行为也不太稳定。州5州4州6州7州1州2州3（a）0 1000 2000 3000 4000 5000次[交易日]（b）12345678州。1：聚类树（a）和状态的时间演化（b）。为了量化时间t的市场状况，距离xi（t）=kC（t）- 计算八个簇中心ui（i=1，2，…，8）的相关矩阵C（t）的uik（3）。八个结果时间序列中的两个如图2所示。

这些时间序列描述了从各个集群中心看到的系统的时间演化。图2显示，一开始市场靠近集群中心1，远离集群中心6。根据图1（b），随着时间的推移，这种情况会发生变化：第6组出现较晚，而第1组出现在前半个时间段。三、 随机分析来自不同领域的一大类动力系统被建模为随机过程，因此由0 1000 2000 3000 4000 500001234次[交易日]Xi（t）X6（t）X1（t）图2：（彩色在线）系统到簇中心1（虚线，红色）和簇中心6（黑色）的距离（3）的演变。一个随机微分方程，朗之万方程[3,14]˙X（t）=D（1）（X，t）+qD（2）（X，t）Γ（t），（4），它将系统变量X的时间演化描述为确定性函数D（1）（X，t）和离散项D（2）（X，t）的和。随机力Γ（t）呈高斯分布，hΓ（t）i=0，hΓ（t）Γ（t）i=2δ（t- t） 。对于平稳连续马尔可夫过程，Segert等人[16]和Friedrich等人[4]表明，可以使用Kramers-Moyal系数M（n）直接从测量的时间序列中提取漂移和扩散函数，该系数被定义为条件动量SD（n）（x）=n！limτ→0M（n）τ（x）τ，（5）M（n）τ（x）=h（x（t+τ）- X（t））niX（t）=X.（6）这里X表示随机变量X（t）的值，在该值处，漂移函数（n=1）和扩散函数（n=2）被计算。等式（6）中的平均值是在条件X（t）=X保持的X（t）的所有实现上进行的。因此，如果在时间t从给定值X开始，则等式（6）表示时间步长τ后变量X（t）的平均增量（以指数n为模）。

在τ=0时，该平均增量相对于τ的导数等于n=1时的位移函数值和x时n=2时的扩散函数值，如式（5）所示。有关更多详细信息，请参阅参考文献[3]。在目前的工作中，我们在1000个交易日的时间窗口上估计漂移函数，在此时间窗口上估计的数量被视为与时间无关。时间依赖性是通过比较滑动时间窗口上的估计DDRIFT函数获得的。尤其是对于小数据集，条件矩（6）的估计可能会很繁琐。除了Siegert等人[16]和Friedrich等人[4]提出的原始估计程序之外，我们在此使用参考文献[6,10]中提出的基于核的回归。与其分析漂移函数本身，不如考虑定义为负本原积分Φ（x）=-漂移函数的ZD（1）（x）dx（7）。减号是一种惯例。系统的动力学以Φ（x）的形式编码：势函数的局部极小值对应于系统振荡的准稳定平衡点或准稳定点。相比之下，局部极大值对应于不稳定的固定点。我们注意到，由于定义，势函数被定义为一个加法常数，该常数在这里设置为零。我们进一步注意到漂移函数和势函数都有反时间的维数。四、 优化算法聚类的一个缺点是，聚类的数量通常是未知的。因此，使用了阈值标准。此外，聚类基于几何特性，如元素之间的位置和距离，即它们的相似性。该系统的动力学并不涉及。作为一种新的方法，我们将聚类分析与随机分析相结合。

其目的是从时间序列中提取动态属性，并导出稳定性特征和准稳定不动点。根据公式（3）中定义的八个时间序列，我们计算公式（7）中定义的确定势Φ（x）i（i=1,2，…，8）。为了掌握集群的时间演化，即市场状态，我们在1000个数据点的窗口上计算Φi（x）(≈ 四个交易年），每四年移动21个数据点(≈ 一个交易月），每个集群i产生199个确定性潜力Φi（x）。图3显示了不同时间窗口的这些潜力样本。垂直虚线表示到星团中心的距离，星团中心标记在BSISSA上。五个图中的每一个电势都显示了一个明确的最小值。因此，由相关矩阵表示的市场动态在吸引固定点周围表现出噪声动态，吸引固定点由最小值定义。最有趣的是，这些势的极小值的位置与聚类分析得到的聚类中心的距离非常吻合。除了系统固定点的位置外，电位还提供了分析时间窗口内市场稳定性的信息。只有一个以上明确的局部极小值的势函数，如图3（a）和（b），反映了不稳定的动力学。相比之下，一个孤立的、深层的极小值，如inFig。3（e），对应于一个稳定的动力学。在图3（c）-（e）中，显示了从非常接近的状态4和5到状态2的过渡。势函数的准稳定定点随时间改变其位置，并向第一个簇的中心移动。我们注意到，在中间状态下，如图3（d）所示，势函数的宽度增加。它不是一个明确的局部极小值，而是一个相对稳定的平台。

因此，反映在势函数局部极小值位置变化中的市场的时间演化被视为状态转换。穆克等人也证明了我们的方法描述多重稳定和过渡行为的能力。[12] 在风能方面。inStepanov等人[18]详细研究了市场状态的稳定性以及状态转换。V.簇的合并除了电位的极小值的位置与到簇中心的距离明显重合的情况外，还有一些不太清楚的情况，如下图所示。4.在考虑的时间窗口I=[3109:4108]（以td表示）中，市场在状态2、3、4、5和6之间切换。如上所述的聚类过程没有考虑市场的动态。所有相关矩阵都是同时聚集的，没有任何关于市场如何在相关矩阵之间跳跃的信息。选择一个星团的元素时，要使到其星团中心的距离之和最小化。对集群中心1和集群中心3的市场动态进行的随机分析表明，潜在函数在到集群中心5、4和6的距离之间表现出明显的最小值，如图4所示。这一事实现在被认为是改变聚类分析的一个关键因素，聚类4、5和6将被合并成一个新的聚类5*。图1（a）中的聚类树表明，这种聚类的合并是自然的，因为三个MergedCluster是由同一祖先聚类的分裂产生的。如果选择的阈值足够小，则该群集不会被拆分。作为参考，我们在图5中展示了将集群4、5和6合并到集群5*后状态的时间演变。

分别从簇1和簇3看，到合并簇中心的距离与图4中虚线（虚线点）标记的电势局部最小值的位置显著一致。因此，我们得出结论，虽然对于chosenthreshold集群，即市场状态4、5和6在几何上是不同的，但这些状态一起形成一个单一的准稳态。在这种状态下，系统围绕集群5*的中心流动，集群5*是系统的固定点。我们注意到平均值为0。0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5-0.02-0.01 0.00 0.01电位[1996:2995]- 从中心4X4（t）电位[td-1] 12345678（a）0.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5-0.02-0.01 0.00 0.01电位[2269:3268]- 从中心4X4（t）电位[td-1] 12345678（b）01 2 3 4 5-0.02 0.00 0.02 0.04潜力【2017:3016】- 从中心1X1（t）电位[td]-1] 12345678（c）01 2 3 4 5-0.02 0.00 0.02 0.04电位[2143:3142]- 从中心1X1（t）电位[td]-1] 12345678（d）01 2 3 4 5-0.02 0.00 0.02 0.04电位[2605:3604]- 从中心1X1（t）电位[td]-1] 1 2345678（e）图3：定点（a）、（b）和系统状态（c）-（e）之间转换的电势存在稳定性。垂直点线对应于各自的簇中心，见图2。获得电位的时间间隔用[t，t]表示。相关矩阵C=NIXt∈所分析时段的IC（t）（8）与合并集群的中心明显不同*用ku*-\'\'Ck=0.55。HereNIdenotes表示I的长度。此外，与簇中心的距离为1 ku-\'Ck=1.42，clustercenter为3 ku-\'C k=0.82与图4所示的最小电位位置不匹配。六、 识别高维固定点在上一节中，我们对一维时间序列进行聚类和随机分析，以获得系统的固定点。

我们确定了势函数的局部极小值与准平稳定点之间的距离的位置。在本节中，我们提出了一种通过优化问题识别准平稳固定点的方法。我们记得平均相关矩阵（8）最小化了距离Xt之和∈Ik∧- C（t）k（9）of C（t）in I到一个固定的相关矩阵∧。对于高维经验数据，可能存在不同的子空间（主成分），数据点沿着这些子空间分布[7,11,18]。因此，我们要求系统的固定点是这些子空间的元素。由于给定主成分的两个元素之和不再一定是该成分的元素，因此平均值（8）的计算不一定会得出系统的固定点。我们在上一节中给出了一个例子。计算出的平均值C与随机分析发现的执行点位置不匹配。在这里，我们建议将系统固定点识别为在给定时间间隔I中与所有C（t）最相似的首选子空间的元素，即它们最小化距离之和（9）。在没有任何更好的子空间的情况下，我们恢复平均相关矩阵C。这个想法类似于geode0 1 2 3 4的定义-0.020-0.010 0.000 0.010电位[3109:4108]- 从中心1X1（t）电位[td]-1] 123456785*（a）01 2 3 4-0.020-0.010 0.000 0.010电位[3109:4108]- 中心3X3（t）电位[td]-1] 123456785*（b）图4：（在线彩色）合并状态4、5和6的结果，以匹配从状态1（a）和状态3（b）看到的最小电势。任意流形上的tic曲线使任意两点之间的距离最小，不再是必要的直线。作为一个应用，我们考虑来自上一节的数据样本。如图所示。