准平稳系统动力学：以金融为例

4在时间间隔I=[3109:4108]（表示为盘中天数）内的随机分析显示，X处存在深度最小值≈ 1.9如第一市场国家中心所示。因此，数据点大约分布在u左右。所有可能的固定点集仅限于（d）上的点- 1） -半径为Xaroundu的维超球面。为了找到该设置的经验固定点，我们在Ku条件下最小化（9）- λk≡ 十、≈ 1.9，（10）我们用拉格朗日乘子法求解。我们注意到，对于欧几里德范数，问题总是唯一的最小值和最大值，除非距离（3）是常数。以C表示的问题的经验解决方案与合并集群的中心略有不同，即1000 2000 3000 4000 5000次[交易日]（a）12378States5*3200 3400 3600 3800 4000-0.4-0.20.0 0.2 0.4时间[交易日]（t） （b）图5：剩余六个状态的时间演变（上图）。合并后的市场状态用5*表示。下图显示了（t） 如式（11）所示。市场占据合并状态5*的时间点由垂直灰线标记。在上一节中，k C- u*K≈ 0.35. 这是因为在图5（a）中观察到的分析时间段I内，市场并不完全处于混合状态5*。现在，我们通过观察差异来量化从平均相关矩阵C获得的执行点C的偏差（t） =k C（t）- Ck- KC（t）-C k（11）分别表示从C（t）到C的距离。无论何时，市场都更接近Cthan到C（t） <0holds。时间序列（t） 如图5（b）所示。它在正负值之间切换。灰色背景突出显示了市场处于合并状态5*的时间点t，这与（t） 。

我们几乎准确地量化了合并后的市场状态（t） 从正值迅速下降。不仅确定了市场状态，还确定了该状态下的市场动态。如图5（b）所示（t） 当市场处于合并状态时，不断减少然后再次增加。反差（t） 当市场不处于合并状态时，围绕正值波动。作为一致性检查，我们采用了相同的算法，以第三个簇u的中心以及总体平均相关矩阵作为参考点。在所有情况下，我们都获得了相同的C.VII定点。结论聚类分析和随机过程分析的结合可以将动力系统的动力学描述为不同准稳态之间的噪声过程。对于金融市场，这些市场状态是根据反映股票市场依赖结构的相关矩阵定义的。特别是，当处于给定的市场状态时，市场围绕相应集群的中心波动。阈值准则可以产生几何上不同的状态，即系统的单一准稳态。时间t的市场状况与单个市场状态的偏差反映在相关矩阵C（t）与各自集群中心之间的距离上。该距离被作为复杂系统的新的低维序参数。随机分析提供了证据，证明了市场动态是如何在市场状态稳定性随时间变化而变化的潜在环境的指导下进行的。发现了新的准稳态。通过这种方式，我们提出了一种将高维复杂系统的动力学投影到低维集体动力学的方法。

此外，我们通过一个优化问题来解决数据集的高维性。这个问题很明确，并且对参考点的选择很有说服力。我们明确地获得了金融市场的高维拟稳定不动点，并寻找了将该方法应用于其他复杂状态的好机会。感谢Lilip Rinn感谢David Bastine的富有成效的讨论。[1] 全球行业分类标准，https://www.msci.com/products/indexes/sector/gics/.[2] V.埃斯蒂维尔·卡斯特罗。为什么有这么多聚类算法：一篇立场论文。西格德探险家。新闻。，4（1）：65-752002年6月。[3] R.弗里德里希、J.佩因克、M.萨希米和M.雷扎拉希米·塔巴尔。用随机方法接近复杂性：从生物系统到湍流。Physics Reports，506（5）：87–162，2011年9月。[4] R.Friedrich、S.Siegert、J.Peinke、S.Lueck、M.Siefert、M.Lindemann、J.Raethjen、G.Deuschl和G.P Fister。从实验数据中提取模型方程。菲斯。莱特。A、 271:217–2222000。[5] 哈肯。协同学：导论和高级主题。斯普林格，2004年。[6] C.霍尼希和R.弗里德里希。低采样率下kramersmoyal系数的估计。菲斯。牧师。E、 83（6）：0667012011年6月。[7] H.霍特林。将复杂的统计变量分解为主成分的分析。教育心理学杂志，24:417-441498-5201933。[8] A.赫特、M.斯文森、F.克鲁格和R.弗里德里希。通过聚类方法检测时空信号中的固定点。《物理评论E》，第61（5）页，2000年5月。[9] A.K.詹。数据聚类：超过k均值50年。《模式识别字母》，31（8）：651-6662010年6月。[10] D.拉莫鲁克斯和K.莱纳茨。基于克纳的随机过程漂移和扩散系数回归。菲斯。莱特。A、 373:3507–3512009。[11] J·A·李和M·维莱森。非线性降维。斯普林格，2007年。[12] T.A.M–ucke，M。

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