系统性风险的度量

示例2.1（v）解释了s设置。修复事件A∈ 我们的条件是。相应的条件概率测度(Ohm, F） 是P（·A）。设置X=L∞(Ohm, F、 P（·| A）），让A X是基于分布的标量风险度量ρ的接受集。这意味着当X和X′在P（·A）下具有相同的分布时，ρ（X）=ρ（X′）。带I:=L∞(Ohm, F、 P），WeeEnumerate Y byYXk:=k+X，k∈ R、 X∈ 一、特殊情况CoV@R对应于选择例2.1（v）中的A和A X作为V@R关于q级的P（·| A）。在这种情况下，人们当然不希望由此产生的系统性风险度量具有凸性，因为V@R它不是凸的。但Adrian&Brunnermeier（2016）的条件设置可以推广到更高的风险度量。现在假设 X是凸的。函数k7→ YXkis凹面适用于任何X；因此，相应的系统风险度量R具有凸值。多元化运营商的自然选择是isDα（X，X′）k=k+αX+（1- α） X′=Cα（X，X′）k，k∈ R、 α∈ [0,1]，X，X′的∈ 引理2.7暗示R是D-拟凸的。备注2.9。如各种例子所示，现金不变性和多样化可能指的是系统的输入或输出。对于经典的标量货币风险度量，这些概念有明确的解释，但情况并非如此。此外，如示例2.1（vi）所示，资本可能不只是转移捐赠，而是指具有随机回报的投资。我们对CVM和系统性风险度量的概念提供了一个统一的框架，包括所有这些情况。3有效的现金不变分配规则系统风险本质上是一种多值风险。

在上一节中，我们建议通过收集额外资本的分配来衡量它，从而产生可接受的结果。图1：最小点k的图示*上一组的k*+ 蓝色的R+。例如，监管机构可以根据宏观审慎目标选择可接受性标准。因此，多值系统性风险度量是描述潜在下行风险的合适工具。它们还为可能远远超出资本监管范围的监管政策的评估和设计提供了基础。监管工具的目标必须是实现实际资本水平可以接受的情况。然而，多值系统性风险措施的实际实施可能会相当困难。因此，我们将描述有效且现金不变的分配规则。这些将包括文献中的许多风险归因规则，并提供关于这个问题的一般观点。正如我们将在第5节中展示的，这种单值分配规则在某些情况下可能会将不适当的风险费用归咎于单个实体。这是我们在本文中指出的一个重要问题。由于我们的方法包含了文献中的许多特定结构，因此这个问题不是我们方法的缺陷，而是我们在这里强调的一个基本挑战。任何选择额外资本分配的有效规则都会选择一个元素k*R（Y；k）的边界。这意味着*+ Rl+ R（Y；k），（6）如图1所示。k的坐标*因此，可以被解释为个体金融企业的最低资本要求，从而形成一个可接受的体系。这些指标比系统性风险指标R（Y；k）更容易传达。

此外，k内实体可接受资本水平的个人选择*+ Rl+不会对k的可接受资本水平造成任何外部性*+ 其他实体的Rl+。相反，如果要求系统以R（Y；k）的形式持有资本分配，则单个实体i的可行区域是实际资本m处的R（Y；k）部分-我∈ Rl-其他实体中的1个。如果其他实体在R（Y；k）内修改其实际资本水平，实体i的可行区域通常会改变。然而，请注意，资本要求k*+ Rl+比系统性风险指标R（Y；k）更严格。从这个意义上说，它们对银行体系构成了比必要的更严格的限制。然而，请注意，所提到的外部性并不是由系统性风险措施造成的。我们正在处理系统，在这些系统中存在外部性，因为最终结果是由系统实体的交互作用产生的。我们的系统性风险衡量标准正是那些导致可接受性的额外资本配置的特征。在这个层面上，互动和外部性是显而易见的。现在让我们集中精力构建高效的现金不变分配规则。我们将始终假定下列技术条件成立。假设3.1。系统风险度量R（Y）是凸的、封闭的、非平凡的，即R（Y）6∈ {, Rl}对于每个Y∈ Y.备注3.2。我们已经在引理2.4（iii）和引理2.6中提供了系统风险度量的凸值和闭值的充分条件。为了提高效率，资本分配*应该尽可能小。换言之，k家族*+ Rl+应该是R（Y；k）的最大子集，如图1所示。

这个性质在形式上比假设k强一些*位于R（Y；k）的边界上；事实上，它相当于要求k*是R（Y；k）的极小点，即*∈ Min R（Y；k）：={m∈ Rl |（m）- Rl+）∩ R（Y；k）={m}。在下文中，我们定义了一类合适的映射k*在Y×Rl上，称为有效现金不变量分配规则（EAR），选择k*∈ 最小R（Y；k）。正如我们将要展示的，如果我们为每个实体分配监管资本的价格，EAR可以被描述为所有可接受分配中总加权成本的最小值，见下面的引理3.9。虽然典型的例子通常是单值的，但有效的现金不变分配规则在非一般情况下可能会允许多个值。我们将在备注3.10中说明这些情况。映射k*因此，为了正式允许这些非泛型情况，设置了值。定义3.3。设P（Rl）为Rl的幂集。映射k*: Y×Rl→ P（Rl）被称为与系统风险度量R相关的有效现金不变分配规则（EAR），前提是满足以下属性：（i）最小值：k*（Y；k） 最小R（Y；k）(K∈ Rl，Y∈ Y） 。（ii）凸值：k，k∈ K*（Y；k）=> αk+（1）- α） k∈ K*（Y；k）(α ∈ [0, 1], K∈ Rl，Y∈ Y） 。（iii）现金不变性：k*（Y；k）+m=k*（Y；k）- m）(k、 m∈ Rl，Y∈ Y） 。备注3.4。已经解释了定义3.3中的属性（i）。财产（二）担保*（Y；k）对于Y是单值的∈ Y和k∈ 如果最小R（Y；k）不包含任何线段，则为Rl。k的财产（三）*可以用与R的相应属性相同的方式来解释。由于其现金不变性，研究k通常是有效的*（Y；0），我们经常用k来简单地表示*（Y）。定义3.5。耳塞*: Y×Rl→ P（Rl）可能具有以下附加性质：（iv）定律不变性：设Y，Z∈ Y

如果所有固定k∈ Rl，yk和zk有相同的分布，那么k*（Y）=k*（Z） 。（v） D-拟凸：设Y=（Yi）i∈引理2.7中的Ias和fix i，j∈ 我们说k*（i，j）ifk上的isD拟凸*（Dα（i，j））+Rl+ [k]*（Yi）+Rl+]∩ [k]*（Yj）+Rl+]（7）对于任何α∈ [0, 1]. 如果k*在任意（i，j）处是D-拟凸的∈ 一、 我们叫k*简单的D-拟凸。备注3.6。k的性质（iv）和（v）*可以用与R的相应属性相同的方式进行解释。然而，s y的临时风险度量可能满足此属性，而相应的EAR则不满足。备注3.7。如果耳鸣*是单值的，即k*（Y）∈ 每一天∈ Y、 然后性质（v）可以简化为更常见的准凸性条件：k*（Dα（i，j））≤ K*（易）∨ K*（Yj），其中k∨ k表示k，k的逐点最大值∈ Rl。提案3.8。假设假设3.1成立，让Y=（Yi）i∈引理2.7中的Ias。如果Ais是凸的且dα（i，j）k≥ Cα（i，j）k(K∈ 代表（i，j）∈ 一、 然后就有了耳鸣*在（i，j）是D-拟凸的。下面的引理为耳朵的构造提供了一种表征和方法。EAR将被描述为具有最小加权成本的可接受分配。监管资本价格的向量从系统风险度量R（Y）的衰退锥的对偶中选择。系统性风险度量的衰退锥由ECCR（Y）定义：={m∈ Rl|α>0：αm+R（Y） R（Y）} Rl+（Y）∈ Y） ，这是风险度量范围内的方向，可以在其中添加任意数量的资本。正对偶锥由eccr（Y）+={w给出∈ Rl|M∈ reccR（Y）：wTm≥ 0}  Rl+（Y）∈ Y） 。这些是价格的向量，因此通过沿着衰退锥增加资本，监管资本的总价格不会下降。引理3.9。

假设假设假设3.1成立并重新计算（Y）∩ - 对于每个Y，Rl+={0}∈ 让R:Y×Rl→ 如定义2.2所述，P（Rl；Rl+）是一种系统性风险度量。福鲁：是的→ Rl++:=（0，∞)那么w（Y）∈ reccR（Y）+，集值映射^k（Y）=arg m in（lXi=1w（Y）imi |m∈ R（Y））（Y）∈ Y） （8）定义耳朵。全神贯注*如定义3.3所定义，包含在表格（8）的EARs^k中，即*（Y）^k（Y）代表所有Y∈ Y.如前所述，向量w（Y）∈ Rl++可以被解释为监管机构选择的企业资本需求的价格向量。对于第一家公司，w（Y）部分是指监管机构分配给第一家公司的一个监管资本单位的价格。因此，EAR是使资本分配的总价格加权成本最小化的资本分配。备注3.10。为了你∈ Y、 值^k（Y）包含多个元素，当且仅当Min R（Y）包含与w（Y）正交的线段时。备注3.11。加权向量w:Y→ Rl++对任何Y都具有平移不变性性质w（Y）=w（Yk+·）∈ Y和k∈ Rl。如果我们将其应用于示例2.1（ii），设置YXk:=∧（X+k），X∈ I:=L∞(Ohm; Rn）和k∈ Rn，我们得到w（YX）只依赖于它的指数，即随机向量X。注3.12。（i） 为了你∈ ^k（Y）的Y唯一性在以下意义上是通用的，如果R（Y）不是半空间（意味着reccR（Y）+不是维度1），并且满足表3.9的假设：假设方向w/qPli=1wiof w∈ Rl++是根据与Rl++相交的球体上的统一概率度量U选择的。那么arg minnPli=1wimi | m∈ R（Y）ohas基数严格大于w的1∈ reccR（Y）+U-概率为0。（ii）如果Y的最小点集Min R（Y）∈ Y不包含任何线段，保证唯一。图2：两个系统性风险测量的示例。

耳朵上的切线和法线*分别绘制为虚线和虚线。然而，从数学角度来看，引理3.9中的EAR可以根据随机冲击计算价格向量w，对于实际应用，有时可能希望选择w作为常数。在这种情况下，我们得到EAR可以计算为：^k（Y）=arg m In（lXi=1wimi |m）∈ R（Y））（Y）∈ Y） （9）对于w∈ Rl++∩泰∈YreccR（Y）+。图2描述了系统性风险测量以及对应于价格向量W=（1，1）T的EAR。虚线表示法向量，虚线表示相应的切向量。例3.13。让我们讨论一些选择监管价格向量w:Y的例子→Rl++。（i） 固定价格向量。（a） 如果w=（1，…，1）T∈ 在例2.1（i）-（iii）中，所有企业的资本监管成本是相等的。在这种情况下，当计算EAR时，监管者将等式（9）中的总资本最小化。如果如例2.1（iv）所示，将企业分为l个实体，而i组中有NI个企业，则具有相同解释的权重向量为w=（n，n，…，nl）T.（b）或者，在例2.1（iii）中介绍的艾森伯格和诺埃（2001）或Cifuntes，Shin和费鲁奇（2005）的上下文中，监管价格向量w可能是“杠杆”的定义，即wi=|ei（0；0）|。数量ei（0；0）表示在无法收回的情况下，由于机构i违约而给金融系统造成的损失。

虽然系统风险度量自动考虑了银行在网络中的重要性，但这样的选择将选择对债务水平较高的企业有特别严格要求的EAR。（ii）不同的价格向量。（a） 正如我们在备注3.11中所看到的，在示例2.1（i）和（ii）的情况下，调节价格w（YX）是X的函数∈ L∞(Ohm; Rn）并可能反映其波动，例如w（YX）i=1/var（Xi）+c。在这种情况下，未来财富差异较大的企业被分配了较低的资本价格，导致该企业的最低资本要求较高。常数c≥ 0会影响监管价格。（b） 或者，也可以考虑其他偏差或（调整后的）下行风险措施。例如，对于标准货币风险度量ρi，i=1，…，w（YX）i=1/（ρi（Xi）+E[Xi]）+c，n、 如上所述，c≥ 0表示监管价格。例3.14。EAR与之前研究过的系统性风险度量和分配规则密切相关。（i） 聚合机制对资本水平不敏感。Chen、Iyengar&Moallemi（2013）提出的系统性风险度量，另见Kromer、Overbeck&Zillch（2016），Possesa结构与拟议的EAR非常相似，参见示例2.1（i）。在coherentcase中，这两种贡献都可以嵌入到我们的环境中。假设YXk:=∧（X）+Pni=1kiff∈ Rn，Chen，Iyengar&Moallemi（2013）的标量值系统性风险度量可以通过使聚合可接受所需的最小总资本来定义，即ρCIM（YX）：=ρ（λ（X））=min（nXi=1mi | YXm）∈ A） 。此外，Chen、Iyengar&Moallemi（2013）和Kromer、Overbeck&Zillch（2016）考虑了一种风险分配机制，通过双重代表的解决方案将ρcim的价值归因于不同的企业。

这个分配机制，我们将用x7表示→ kCIM（X）满足完全分配属性，即pikcim（X）=ρCIM（YX）。这意味着它们的位置包含在一个带有价格向量（1，1，…，1）T:kCIM（X）的EAR中^k（YX）。然而，与本文不同的是，Chen、Iyengar&Moallemi（2013）和Kromer、Overbeck&Zillch（2016）并不要求在他们调查的所有情况下ρ的现金不变性。（ii）系统风险。Brunnermeier&Cheridito（2013）提出了一个基于公用事业短缺风险（UBSR）广义版本的标量系统性风险度量系统风险。第二步，将标量风险度量分配给各个金融机构。该系统性风险度量与对资本水平不敏感的基于聚合的系统性风险度量密切相关，参见示例2.1（i）。Brunnermeier&Cheridito（2013）的聚集函数∧（x）：=nXi=1[-αix-+ βi（xi）- vi）+]对于参数α，β，v∈ Rn+，不对称地对待收益和损失。分配机制*Br Unnemerier&Cheridito（2013）对图斯克的全部分配财产表示满意*（YX） arg min（nXi=1mi |∧（X）+nXi=1mi∈ A） ，并包含在带有价格向量（1，1，…，1）T的EAR中。除此之外，Brunnermeier&Cheridito（2013）还考虑对其框架进行进一步调整，以捕捉其他影响。4网格搜索算法集值系统风险度量乍一看似乎太复杂，难以计算，但事实上并非如此。在本节中，我们构建了一个简单的网格搜索算法，为系统风险度量提供了一个近似值。该方法是在第5节给出的数值例子中实现的。建议的网格搜索算法在给定的紧凑区域上近似系统风险度量的边界，精度是先验的。该方法如图3所示。

该算法构造了一个R（Y；k）的上集R（Y；k），它在以下意义上非常接近R（Y；k）-1 0 1 2 3 4 5-1（a）所寻求的集合10 1 2 3 4 5-1（b）对分搜索1 0 1 2 3 4 5-1（c）迭代网格点10 1 2 3 4 5-1（d）迭代网格点1 0 1 2 3 4 5-1（e）迭代网格点10 1 2 3 4 5-1（f）迭代网格点1 0 1 2 3 4 5-1（g）最终网格10 1 2 3 4 5-1（h）输出近似图3：系统网格搜索算法的图解风险措施。蓝色网格点表示已知在R中的点，红色网格点表示已知不在R中的点。定义4.1。让v∈ Rl++。系统性风险度量R的v近似值是一个函数“R:Y×Rl”→ P（Rl；Rl+）使得R（Y；k） R（Y；k）\'\'R（Y；k）- 五(K∈ Rl，Y∈ Y） 。由于R的现金不变性，我们假设近似值R也是现金不变性的，并将w.l.o.g.聚焦在k=0上。现在我们将解释如图3所示的算法。首先，通过网格点细分紧凑的兴趣盒；网格点之间的距离决定了算法的精度。该算法试图确定图3（a）中的标记区域。为此，算法将对所有节点m进行验证∈ 在电网上，如果条件为Ym∈ A是满意的。这相当于m∈ R（Y）。为了便于说明，我们假设每个子框都是一个立方体inRl。图3（b）显示了算法的第一步，即沿长方体对角线方向（1，1，…，1）T进行二分搜索∈ Rl。这导致识别出两个非des，它们在这条对角线上是八个，一个在R（Y）内，一个在R（Y）外。由于系统性风险度量是具有序锥Rl+，m的上集合∈ R（Y）表示m+Rl+ R（Y），而m 6∈ R（Y）意味着- Rl+ R（Y）c，R（Y）的补码。